Ecuaciones Diferenciales

Este artículo explora las Ecuaciones diferenciales. Primero veremos la definición de una ecuación diferencial y cómo verificar una solución. Después veremos cómo resolver una ecuación diferencial ordinaria de primer orden separable, esbozar familias de soluciones y modelizar con una ecuación diferencial.

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    ¿Qué es una ecuación diferencial?

    Cuando tenemos una ecuación que implica una serie de derivadas, la llamamos ecuación diferencial. Cuando las derivadas son de una función de una variable, la llamamos ecuación diferencial ordinaria (EDO). Cuando hablamos de una ecuación diferencial, solemos hablar de su orden. Por orden se entiende la derivada más alta que está presente en la ecuación. Por ejemplo, la ecuación es de orden dos, ya que la derivada de mayor orden en la ecuación es de segundo orden.

    Al resolver una ecuación diferencial, el objetivo es encontrar una función que satisfaga la ecuación. Esta solución no será única, ya que con una derivada se puede añadir una constante que cambie la función pero siga satisfaciendo la ecuación. La única forma de encontrar el valor de esta constante es añadiendo una condición de contorno.

    En una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, sólo necesitamos una condición de contorno para satisfacer la incógnita. En general, para una nth ecuación diferencial ordinaria de orden, necesitamos n condiciones de contorno. Una condición de contorno especifica el valor de la función en un punto determinado. Esto te permite calcular el valor de los coeficientes desconocidos.

    Verificación de soluciones de ecuaciones diferenciales

    Ante una ecuación diferencial, si nos dan una solución potencial, podemos comprobar si es válida o no. Para ello hay que calcular todas las derivadas utilizadas y rellenarlas para ver si la solución potencial es adecuada para satisfacer la ecuación.

    Comprueba que es una solución de . (Observa aquí que utilizamos yιpara representar , y yιι para representar ).

    Utilizando la Regla del Producto, hallemos la primera y la segunda derivada de y con respecto a x.

    Entonces

    y''=ddx(y')=ddx(3e2x+2xe2x)=6e2x+2e2x+4xe2x=8e2x+4xe2x

    Ahora podemos completar los valores para obtener

    Por tanto, se verifica la solución.

    Resolver ecuaciones diferenciales

    En el nivel A, sólo necesitamos saber resolver Ecuaciones diferenciales ordinarias separables de primer orden. Separable se refiere al hecho de que las dos variables (normalmente x e y) pueden separarse y luego dividirse para resolverlas.

    La forma de una ecuación diferencial separable (para las variables y y x, donde y es una función de x) es . Podemos reordenarla para obtener, e integrarla para obtener. Una vez integrada, ésta es nuestra solución general para la ecuación diferencial. Si es necesario, podemos aplicar condiciones de contorno para encontrar una solución específica.

    Cabe señalar que, estrictamente hablando, no podemos manipular de esta forma, ya que no es una fracción, sino una Notación para la derivada. Sin embargo, en este caso podemos tratarla como una fracción.

    Encuentra la solución general de.

    Ésta es de la forma , lo que significa que la solución es de la forma . Esto significa que podemos rellenar las dos Funciones para llegar a . Integrando el lado derecho, obtenemos . En el lado izquierdo, se trata de una integral estándar, dada como .

    Esto también se puede conseguir utilizando la sustitución

    Esto significa que nuestra solución es . Observa que aquí hemos combinado ambas constantes en una. Podemos simplificarlo aún más para obtener.

    Encuentra la solución de , con.

    En primer lugar, separemos esta ecuación para obtener .

    El lado izquierdo se integra en, y el lado derecho se integra en.

    Se combinan para dar. Esto puede simplificarse aún más para obtener.

    Sabemos que, así que podemos completarlo para obtener.

    Esto da C = 1, y nuestra solución es.

    Trazar una familia de curvas solución de ecuaciones diferenciales

    Cuando buscamos una solución general para una ecuación diferencial, nos quedan constantes en la ecuación general. Estas constantes pueden tener cualquier valor, y seguirían satisfaciendo la ecuación diferencial. La familia de curvas solución es la colección de las Funciones con diversos valores para las constantes.

    Encuentra la solución general de , y dibuja una gráfica que lo muestre con cuatro soluciones particulares diferentes.

    A continuación se muestra una gráfica que muestra cuándo C = -1, 0, 1, 2

    Ecuaciones diferenciales Una familia de soluciones StudySmarterUna familia de soluciones, con C = 2 verde, C = 1 azul, C = 0 rojo y C = -1 morado, Tom Maloy - StudySmarter Originals

    Modelización con ecuaciones diferenciales

    La razón por la que estudiamos ecuaciones diferenciales es la posibilidad de utilizarlas en situaciones de la vida real. Para ilustrarlo, veamos un ejemplo.

    Supongamos un depósito cilíndrico de agua de radio 5 m. La altura del agua en el depósito en cualquier punto se indica como. El agua sale del depósito a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada del volumen del depósito. Halla .

    El volumen del depósito de agua en un punto cualquiera viene dado por, lo que significa.

    El agua sale a un ritmo proporcional a la raíz cuadrada del volumen, es decir, donde a es una constante de proporcionalidad.

    Podemos utilizar la expresión anterior del volumen para obtener.

    Entonces, por la regla de la cadena,.

    Ecuaciones diferenciales - Puntos clave

    • Una ecuación diferencial es una ecuación formada por varias derivadas.
    • El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de cualquier derivada en la ecuación.
    • Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden separable tiene la forma , con solución.
    • Las condiciones de contorno nos permiten poner un valor a una constante.
    • Una solución general es la que tiene una constante desconocida, y una solución específica existe para una condición de contorno específica.
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    Preguntas frecuentes sobre Ecuaciones Diferenciales
    ¿Qué es una ecuación diferencial?
    Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con sus derivadas.
    ¿Para qué se usan las ecuaciones diferenciales?
    Las ecuaciones diferenciales se usan para modelar fenómenos en ciencias e ingeniería, como el movimiento, la temperatura y el crecimiento poblacional.
    ¿Qué es una ecuación diferencial de primer orden?
    Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación que involucra la primera derivada de una función pero no derivadas de orden superior.
    ¿Cómo se resuelve una ecuación diferencial?
    La resolución de una ecuación diferencial implica encontrar una función que satisface la ecuación, usando métodos como separación de variables, factores integrantes, o transformadas de Laplace.

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