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Secuencias aritméticas
Una secuencia aritmética es una secuencia que tiene una diferencia común, lo que significa que la secuencia aumentará o disminuirá mediante una suma o una resta constante. Tienen el siguiente aspecto
3, 7, 11, 15, 19 ... Esta secuencia tiene una diferencia común de 4
78, 72, 66, 60, 54 ... Esta secuencia tiene una diferencia común de 6
5, 12, 19, 26, 33 ... Esta secuencia tiene una diferencia común de 7
Puede que necesites encontrar un término concreto (enésimo término) dentro de la secuencia y para ello puedes utilizar esta fórmula
\[u_n = a + (n-1)d\]
un es el enésimo término a es el primer término d es la diferencia común
Halla el término 50 de la siguiente secuencia 4, 7, 10, 13, 16, 19 ...
En primer lugar, tienes que identificar tus variables y sustituirlas en la fórmula;
n - 50
a - 4
d - 3
\[u_{50} = 4 + (50-1)3\]
Ahora tienes que resolver la ecuación.
\[u_{50} = 4 + (50-1)3\]
\[u_{50} = 151\]
Secuencias geométricas
Una sucesión geométrica es una sucesión que tiene una razón común, la sucesión aumentará o disminuirá por una multiplicación o división constante. He aquí algunos ejemplos:
- 3, 9, 27, 81, 243 ... Esta secuencia tiene un cociente común de 3
- 9, 18, 36, 72, 144 ... Esta secuencia tiene una relación común de 2
- 4, 6, 9, 13.5, 20.25 ... Esta sucesión tiene un cociente común de 1,5
También se te puede pedir que encuentres un término concreto de esta secuencia, a continuación se muestra la fórmula que necesitarías;
\[u_n = ar^{n-1}\]
un es el enésimo término a es el primer término r es la razón común
Encuentra el15º término de esta secuencia 1, 2, 4, 8, 16 ...
Primero tienes que identificar tus variables y sustituirlas en la fórmula;
n - 15
a - 1
r - 2
\[u_{15} = (1)2^{15-1}\]
Ahora resuelve tu ecuación.
\[u_{15} = (1)2^{15-1}\]
\[u_{15} = 16384\]
Relaciones de recurrencia
Puedes encontrar cada término de la secuencia si conoces la regla que sigue y el primer término mediante una relación de recurrencia. Puedes utilizar cada término anterior para ayudarte a encontrar el siguiente, y la fórmula para ello es
\[u_{n+1} = f(u_n)\]
Puede que te den esta función y te pidan que encuentres el primer número de términos. Veamos cómo abordar este tipo de pregunta;
Encuentra los cinco términos siguientes de la secuencia \(u_{n+1} = u_n + 3, u_1 = 7\)
Para ello, tienes que sustituir el término n-ésimo en la fórmula;
término 1 - \(u_2 = u_1 +3\) \(u_2 = 7 + 3\) \(u_2 = 10\)
término 2 - \(u_3 = u_2 +3\) \(u_3 = 10 + 3\) \(u_3 = 13\)
término 3 - \(u_4 = u_3 +3\) \(u_4 = 13 + 3\) \(u_4 = 16\)
término 4 - \(u_5 = u_4 +3\) \(u_5 = 16 + 3\) \(u_5 = 19\)
término 5 - \(u_6 = u_5 +3\) \(u_6 = 19 + 3\) \(u_6 = 122\)
Secuencias crecientes y decrecientes
Las secuencias pueden describirse comocrecientes si cada término es mayor que el anterior, lo que puede mostrarse como, \(u_{n+1} > u_n\). Pueden describirse como decrecientes si cada término es menor que el anterior, esto puede mostrarse como \(u_{n+1} < u_n\). Una sucesión también puede describirse como periódica si los términos de la sucesión se repiten o crean un ciclo, lo que puede representarse como \(u_{n+k} = u_n\).
Un ejemplo de secuencia creciente 7, 15, 23, 31, 39, 47
Ejemplo de sucesión decreciente 15, 10, 5, 0, -5, -10
Un ejemplo de secuencia periódica 8, 9, 10, 8, 9, 10, 8, 9, 10
Cómo modelizar situaciones de la vida real con secuencias
Las secuencias pueden utilizarse para modelizar muchos escenarios de la vida real, como los ahorros y los salarios. Si el modelo aumenta en la misma cantidad, creará una secuencia aritmética; si aumenta en el mismo porcentaje, creará una secuencia geométrica.
Una mujer tiene 2000€ en su cuenta de ahorros, y cada mes añade 200€. ¿Cuánto dinero tendría en su cuenta de ahorro al cabo de un año?
Desglosemos la pregunta. En primer lugar, tenemos que identificar el tipo de secuencia que es. Como la constante aumenta la misma cantidad cada mes, se trata de una secuencia aritmética. A continuación, tenemos que encontrar la fórmula correcta que nos ayude a averiguar cuánto dinero hay en la cuenta al cabo de 1 año, es decir, tienes que encontrar el duodécimo término;
\[u_n = a + (n-1)d\].
A continuación tienes que sustituir la información que conoces por
a - 2000
n - 12
d - 200
\[u_{12} = 2000 + (12-1)200\]
Ahora resuelve la ecuación que has creado.
\[u_{12} = 2000 + (12-1)200\]
\[u_{12} = 4200\]
Ahora sabes que la mujer tendrá 4200 € en su cuenta de ahorro al cabo de 12 meses.
Secuencias - puntos clave
Una secuencia es un conjunto de números que siguen una regla y un orden determinados.
Hay dos tipos de secuencias, las aritméticas y las geométricas.
Una secuencia aritmética aumenta y disminuye mediante sumas y restas.
Una secuencia geométrica aumenta y disminuye por multiplicación y división.
Puedes utilizar una fórmula para encontrar un término concreto dentro de la secuencia.
Las secuencias pueden utilizarse para modelizar situaciones de la vida real.
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