Serie aritmética

La fórmula de una serie aritmética

Naturalmente, quieres una forma compacta de escribir una serie aritmética.

Una serie aritmética es una serie de la forma

$${\text{suma}}_{l}imit{s}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a+dn)$$

donde $a$ y $d$ son números reales constantes.

La suma de una serie aritmética

Puedes preguntarte si una serie aritmética converge. Lo primero que debes probar es la Prueba del ^Enésimo Término para la Divergencia. La prueba del ^enésimo término para la divergencia te dice que si

$$\text{limits is allowed only on operators}$$

no existe, o tiene un límite que no es cero, entonces la serie aritmética diverge. Pero $a$ y $d$ son constantes, por lo que si $d\ne 0$ este límite no existe y la serie aritmética diverge. En cambio, si $d=0$ entonces

$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$

Como $a\ne 0$ entonces sabes que la serie aritmética diverge. Eso te lleva a que sólo una serie aritmética puede converger, y es aquella en la que la secuencia aritmética correspondiente es \( \ {0, 0, 0, \ puntos \} \), ¡lo cual no es muy interesante!

Entonces, ¿por qué te interesan las series aritméticas?

La fórmula de las sumas parciales de una serie aritmética

La respuesta a por qué pueden interesarte las series aritméticas está en las sumas parciales. Aunque la serie no converja, las sumas parciales pueden seguir siendo útiles. Así que examinemos las sumas parciales de la serie aritmética:

$$\text{Missing end{array}}$$

Esto no parece muy útil hasta ahora para intentar encontrar un patrón. A veces, en matemáticas, pruebas algo y luego descubres que no era muy útil, así que pruebas algo diferente. Esto forma parte del proceso de descubrimiento y no significa que hayas hecho algo mal.

En lugar de eso, intentemos ver la suma parcial completa $s_{n-1}$ escrita de forma más larga:

$$s_{n-1}=a+(a+d)+puntos+(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).$$.

Parece que muchos de esos términos son similares, así que ¿qué ocurre si los escribes al revés? Entonces

$$s_{n-1}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\cdots +(a+d)+a.$$

Si sumas las dos cosas puede que se anulen, así que inténtalo:

$$\begin{array}{llllllll}2s_{n-1}& =& a+(a+d)+\cdots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d)=& [a+(a+(n-1)d]+[(a+d)+(a+(n-2)d)]+\dots \dots & & +[(a+(n-2)d)+(a+d)]+[(a+(n-1)d)+a]& =& n[2a+(n-1)d]\end{array}$$

porque hay exactamente $n$ repeticiones de $2a+(n-1)d$. Así que era una cosa extraña de probar, ¡pero desde luego parece que ha ayudado! Ahora sólo queda dividir por 2 para obtener

$$s_{n-1}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d).$$

A veces lo verás escrito como

\suma de límites (a+kd) = frac {n} {2} (2a + (n-1)d) .

Ejemplos de series aritméticas

Una de las formas más habituales de utilizar la fórmula para las sumas parciales de una serie aritmética es hallar la suma de los primeros $n$ números naturales.

Volvamos al ejemplo del estadio del principio.

Series geométricas frente a series aritméticas

Puede ser fácil confundir las series geométricas y las aritméticas. Recuerda esto

• una serie es aritmética si restas términos consecutivos y obtienes una constante

• una serie es geométrica si divides términos consecutivos y obtienes una constante