Funciones Trigonométricas

SOH CAH TOA

Una forma fácil de recordar las funciones seno, coseno y tangente y a qué lados corresponden en un triángulo rectángulo es utilizando SOH CAH TOA. Si tenemos un triángulo rectángulo como el de abajo, y etiquetamos un ángulo 𝞱, debemos etiquetar los tres lados del triángulo opuesto (para el único lado opuesto al ángulo 𝞱 y que no está en contacto con ese ángulo), hipotenusa (para el lado más largo, que siempre es el opuesto al ángulo de 90°) y adyacente (para el último lado).

Etiquetado de los lados de un triángulo rectángulo

Las funciones seno, coseno y tangente relacionan la razón de dos lados de un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos. Para recordar qué funciones implican a qué lados del triángulo, utilizamos el acrónimo SOH CAH TOA. S, C y T significan Seno, Coseno y Tangente, respectivamente, y O, A y H significan Opuesto, Adyacente e Hipotenusa. Así, la función Seno implica al Opuesto y a la Hipotenusa, y así sucesivamente.

Triángulos SOH CAH TOA para recordar las funciones trigonométricas

Todas las funciones seno, coseno y tangente son iguales a los lados que implican divididos entre sí.

\[\seno \theta = \frac {opuesto} {hipotenusa}; \espacio \cos \theta = \frac {adyacente} {hipotenusa}; \espacio \tan \theta = \frac {opuesto} {adyacente}].

¿Qué es la función seno?

Como hemos visto, puedes calcular el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo dividiendo el opuesto por la hipotenusa. La gráfica de una función seno tiene este aspecto (la curva roja):

Ilustración gráfica de la función seno

A partir de esta gráfica, podemos observar las características clave de la función seno:

• El gráfico se repite cada 2𝞹 o 360°.

• El valor mínimo del seno es -1

• El valor máximo del seno es 1

• Esto significa que la amplitud de la gráfica es 1 y su periodo es 2𝞹 (o 360°)

• La gráfica cruza el eje y en 0, y cada 𝞹 radianes antes y después.

• La función seno alcanza su valor máximo en \(\frac{\pi}{2}\) y cada 2𝞹 antes y después.

• La función seno alcanza su valor mínimo en \(\frac{3\pi}{2}\) y cada 2𝞹 antes y después.

Memorizar los valores del seno

Tendrás que recordar de memoria los valores del seno de los ángulos más utilizados, y aunque pueda parecer complicado, hay una forma de hacerlo más fácil de memorizar. Necesitarás conocer los valores del seno de los ángulos 0, \(\frac{\pi}{6}\) (30°), \(\frac{\pi}{4}\) (45°), \(\frac{\pi}{3}\) (60°) y \(\frac{\pi}{2}\) (90°). Para ello, lo más fácil es empezar construyendo una tabla para el ángulo, 𝞱 y sin𝞱:

Ahora tenemos que rellenar los valores del seno. Para ello, empezaremos poniendo los números del 0 al 4 de izquierda a derecha:

El siguiente paso es sumar una raíz cuadrada a todos estos números y dividirlos por 2:

Ahora sólo nos queda simplificar lo que podamos:

Y ya está.

¿Qué es la función coseno?

Puedes hallar el valor del coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo dividiendo el adyacente por la hipotenusa. La gráfica del valor del coseno es exactamente igual que la del seno, salvo que está desplazada hacia la izquierda en \(\frac{\pi}{2}\) radianes (la curva azul):

Ilustración gráfica de la función coseno

Observando esta gráfica, podemos determinar las características clave de la función coseno:

• El gráfico se repite cada 2𝞹 o 360 °

• El valor mínimo del coseno es -1

• El valor máximo del coseno es 1

• Esto significa que la amplitud de la gráfica es 1 y su período es 2𝞹 (o 360°)

• La gráfica cruza el eje y en \(\frac{\pi}{2}\), y cada 𝞹 radianes antes y después de eso.

• La función coseno alcanza su valor máximo en 0 y cada 2𝞹 radianes antes y después.

• La función coseno alcanza su valor mínimo en 𝞹 y cada 2𝞹 antes y después.

Memorizar los valores del coseno

También tendrás que recordar de memoria los valores del coseno de los ángulos más utilizados, y aunque esto pueda parecer complicado, hay una forma de hacerlo más fácil de memorizar. Necesitarás conocer los valores del seno de los ángulos 0, \(\frac{\pi}{6}\) (30°), \ (\frac{\pi}{4}\) (45°), \(\frac{\pi}{3}\) (60°) y \(\frac{\pi}{2}\) (90°). Para ello, utilizaremos el mismo método que para el sen y empezaremos construyendo una tabla para el ángulo, 𝞱 y cos𝞱:

Ahora rellenaremos los números del 0 al 4, pero esta vez lo haremos de derecha a izquierda:

Los dos últimos pasos son iguales que antes, así que tomaremos la raíz cuadrada de cada número y la dividiremos por 2, y simplificamos:

Como ves, los valores del seno y el coseno de los ángulos comunes son iguales, simplemente al revés.

¿Qué es la función tangente?

Puedes calcular la tangente de un ángulo dividiendo el opuesto por el adyacente en un triángulo rectángulo. Sin embargo, la función tangente tiene un aspecto algo distinto de las funciones coseno y seno. No es una onda, sino una función no continua, con asíntotas:

Ilustración gráfica de la función tangente

Observando esta gráfica, podemos determinar las características clave de la función tangente:

• El gráfico se repite cada 𝞹 o 180°.

• El valor mínimo de la tangente es \(-\infty\)

• El valor máximo de la tangente es \(\infty\)

• Esto significa que la función tangente no tiene amplitud y su periodo es 𝞹 (o 180°)

• La gráfica cruza el eje y en 0 y cada 𝞹 radianes antes y después de ese punto

• La gráfica de la tangente tiene asíntotas, que son valores a los que la función se acercará hasta el infinito.

• Estas asíntotas están en \(\frac{\pi}{2}\) y cada 𝞹 antes y después de eso.

La tangente de un ángulo también puede hallarse con esta fórmula:

\[\tan\theta = \sin \theta / \cos \theta \].

Memorizar los valores de la tangente

Igual que antes, tendrás que recordar los valores de tan para los ángulos 0, \(\frac{\pi}{6}\) (30°), \(\frac{\pi}{4}\) (45°), \(\frac{\pi}{3}\) (60°) y \(\frac{\pi}{2}\) (90°). Para ello, utilizaremos la fórmula anterior y las tablas que ya hemos construido para el seno y el coseno, y utilizaremos el hecho de que \(\tan = \sin /\cos\) para calcular los valores tan𝞱:

Observa que no se puede determinar el valor de tan (\(\frac{\pi}{2}\)), ya que es igual a 1/0, que no se puede calcular. Esto dará como resultado una asíntota en \(\frac{\pi}{2}\).

Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas son las funciones arcsin, arccos y arctan, que también pueden escribirse como \(\sin^{-1}(x)\), \(\cos^{-1}(x)\) y \(\tan^{-1}(x)\). Estas funciones hacen lo contrario que las funciones seno, coseno y tangente, es decir, devuelven un ángulo cuando les introducimos un valor sen, cos o tan.

Ilustración de la relación entre las funciones trigonométricas y sus respectivas funciones inversas

Las gráficas de estas funciones son muy distintas de las gráficas de sen, cos y tan:

Una ilustración de arcsin, arccos y arctan en los ejes x e y

¿Qué son las funciones trigonométricas recíprocas?

Las funciones trigonométricas recíprocas se refieren a las funciones cosecante, secante y cotangente, abreviadas como csc, sec y cot, respectivamente. Tenemos que volver la vista a nuestro triángulo rectángulo para comprender lo que representan estas funciones.

Etiquetado de los lados de un triángulo rectángulo

Antes hemos definido sen, cos y tan basándonos en las razones de los lados de este triángulo. La cosecante, la secante y la cotangente son simplemente los recíprocos de las razones sen, cos y tan, respectivamente. Esto significa que para hallar la ecuación de la cosecante 𝞱, daríamos la vuelta a la ecuación del sen 𝞱 y así sucesivamente.

\[\sin\theta = \frac {opuesto} {hipotenusa}; \espacio \cos\theta = \frac {adyacente} {hipotenusa}; \espacio \tan\theta = \frac {opuesto} {adyacente}].

\[\csc\theta = \frac {hipofenusa}{opuesta}; \space \sec\theta = \frac {hipofenusa}{adyacente}; \space \cot \theta = \frac {adyacente}{opuesta}].