Propiedades de los exponentes

El exponente \(2^3\) muestra que \(2\) es multiplicarse \(3\) veces:

\[2^3=2\times2\times2\]

En \(5^7\), \(7\) es la potencia o el exponente, mientras que \(5\) es la base.

Expande \(2^3\times 2^2\).

Solución:

\[2^3\times 2^2=2^{3+2}=2^5\]

Verificación

\2^3 veces 2^2=(2 veces 2 veces 2)=2^5].

Expande \(a^4 veces a^6).

Solución:

\[a^4+a^6=a^{4+6}=a^{10}\]

Verificación

\[a^4\times a^6=(a\times a\times a\times a)\times (a\times a\times a\times a\times a)=a^{10}\].

Expande \(2^3 veces 3^3 veces 2^4).

Solución:

\[2^3 veces 3^3 veces 2^4=(2^3 veces 2^4)\3 veces 3^3=2^{3+4} veces 3^3=2^7 veces 3^3].

Simplifica \)\dfrac{2^3}{2}).

Solución:

\[\dfrac{2^3}{2}=2^{3-1}=2^2\]

Verificación

\[\dfrac{2^3}{2}=\dfrac{2 veces 2{2}=2 veces 2=2^2\2]

Simplifica \(\dfrac{b^7}{b^3}\).

Solución:

\[\dfrac{b^7}{b^3}=b^{7-3}=b^4\]

Verificación

\[\dfrac{b^7}{b^3}=\dfrac{b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b}=b\times b\times b\times b=b^4].

Simplifica \(\dfrac{2^5\times 3^7}{3^4}\).

Solución:

\[\dfrac{2^5\times 3^7}{3^7}=2^5\times \dfrac{3^7}{3^4}=2^5\times 3^{7-4}=2^5\times 3^3\].

a. \(2^0\)

b. \(-2^0\)

c. \((-2)^0\)

Solución:

a. Todo lo que sea igual a la potencia de \(0\) es igual a \(1\). Por tanto, tenemos

\[2^0=1\]

b. Aquí, la base es \(2\), con un \(-1\) multiplicado por delante. Se convierte en

\[\begin{align}-2^0&=-1\times 2^0=\\&=-1\times 1=\\&=-1\end{align}\]

c. Aquí, la base es \(-2\), y todo lo que sea igual a la potencia de \(0\) es igual a \(1\). Se convierte en

\[(-2)^0=1\]

\[2^{-1}=\dfrac{1}{2}\]

\[9^{-3}=\left(\dfrac{1}{9}\right)^3\]

\[6^{-5}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^5\]

Halla el valor de las siguientes expresiones.

a. \(125^{\frac{1}{3}}\)

b. \(2^{frac{4}{3}})

c. \(16^{-\frac{3}{2}}\)

Solución:

a. El primer paso consiste en expresar \(125\) como producto de sus factores primos,

\125 = 5 veces 5 veces 5 = 5^3].

Así tenemos

\[125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5\]

b.

\[2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}\]

c. Hay dos formas de resolver esta pregunta y ambas implican utilizar la regla del exponente fraccionario y la regla del exponente negativo.

Primero, utiliza la regla de los exponentes fraccionarios.

\[\begin{align}16^{-\frac{3}{2}}&=\left(\sqrt[2]{16}\right)^{-3}=\\&=(4)^{-3}\end{align}\]

A partir de aquí, utilizamos la regla del exponente negativo

\[\begin{align}(4)^{-3}&=\dfrac{1}{4^3}=\\&=\dfrac{1}{64}\end{align}\]

Resolviéndolo de forma alternativa, utilizarás primero la regla del exponente negativo.

\[16^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\]

Ahora utilizaremos la regla del exponente fraccionario en el denominador.

\[\begin{align}\dfrac{1}{16^{\frac{3}{2}}}&=\dfrac{1}{\left(\sqrt[2]{16}\right)^3}=\\&=\dfrac{1}{4^3}=\\&=\dfrac{1}{64}\end{align}\]

Obtienes la misma respuesta.

Comprueba que \(6^3=2^3 veces 3^3).

Solución:

Método 1

Por un lado, tenemos; \(6^3=6\6 veces 6\6=216\).

Por otro lado, \(2^3 veces 3^3=8 veces 27=216\).

Por tanto, \(6^3=2^3\veces 3^3\).

Método 2

\6^3=(2 veces 3)^2=2^3 veces 3^3].

Comprueba que \(2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\).

Solución:

Método 1

Para empezar

\[2^3=2\times 2\times 2=8\]

Además

\[\begin{align}\dfrac{6^3}{3^3}&=\dfrac{6\times 6\times 6}{3\times 3\times 3}=\\\\&=dfrac{^2{cancel{6}}{^2}{cancel{6}{^2}{cancel{6}}{^1}{cancel{3}}{^1}{cancel{3}}{=\\\\&= 2}{2}{\\\\&=8}[fin].

Esto implica que

\[2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\]

Método 2

Aplica la propiedad del cociente;

\[\begin{align}\dfrac{6^3}{3^3}&=\left(\dfrac{6}{3}\right)^3=\\&=2^3=\\&=8\end{align}\]

Por tanto

\[2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\]

Comprueba que \(\izquierda(2^3\derecha)^2=2^6\).

Solución:

Método 1

Por un lado, tenemos

\[2^3=2\times 2\times 2=8\]

Por tanto,

\[\left(2^3\right)^2=8^2=64\]

Por otra parte

\[2^6=2^{3+3}=2^3 veces 2^3=8 veces 8=64\]

Por tanto

\[\left(2^3\right)^2=2^6=64\]

Método 2

\[\left(2^3\right)^2=2^{3\times 2}=2^6=64\]

Calcula lo siguiente sin utilizar calculadoras.

a. \((-3x^3y^2)(2x^6y^5)\)

b. \((2b)^{-4}\)

d. \(81^{frac{3}{4}})

e. \(\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}\)

Solución:

a. Para la expresión

\[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)\]

Los expresamos como productos separados,

\[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)=(-3 veces x^3 veces y^2)=(2 veces x^6 veces y^5)

Expandimos los paréntesis,

\[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)=-3 veces x^3 veces y^2 veces 2 veces x^6 veces y^5].

A continuación, juntamos los términos semejantes,

\(-3x^3y^2)(2x^6y^5)&=-3veces 2veces x^3veces x^6veces y^2veces y^5=\&=-6\times \left(x^{3+6}\right)\times\left(y^{2+5}\right)=\\&=-6\times x^9\times y^7=\\&=-6x^9y^7\end{align}\]

b. Para la expresión

\[(2b)^{-4}\]

Primero eliminamos el exponente negativo, aplicamos la regla recíproca,

\[(2b)^{-4}=\dfrac{1}{(2b)^4}=\dfrac{1}{2^4b^4}=\dfrac{1}{16b^4}\] xml-ph-0000@deepl.internal c. Para la expresión

\[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}\]

Para eliminar el exponente negativo, aplicamos la regla recíproca,

\[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3x^3}{-6x^6}\right)^2\]

A continuación dividimos los términos semejantes de la expresión entre paréntesis,

\[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3x^3}{-6x^6}\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\left(x^{3-6}\right)\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}x^{-3}\right)^2\]

Después, distribuimos el exponente \(2\) al producto dentro del paréntesis para obtener

\[\begin{align}\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x^3}\right)^2=\\&=\left(-\dfrac{1}{2x^3}\right)^2=\\&=\dfrac{(-1)^2}{(2x^3)^2}=\\&=\dfrac{1}{2^2(x^3)^2}=\\&=\dfrac{1}{4x^6}\end{align}\]

d. Para la expresión

\[81^{frac{3}{4}}]

recordamos primero la regla del exponente de fracción,

\[81^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=\sqrt[4]{81^3}\]

Pero

\[81=9^2=\left(3^2\right)^2=3^4\]

Por lo tanto

\[81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{\left(3^4\right)^3}=\sqrt[4]{\left(3^3\right)^4}=3^3\]

Podemos verlo de otra forma, recordemos que

\[\left(a^m\right)=a^{mn}\]

Por tanto

\[81^{\frac{3}{4}}=\left(3^4\right)^{\frac{3}{4}}=3^{4\times \frac{3}{4}}=3^3\]

e. Para la expresión

\[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}\]

Primero expandimos el numerador,

\[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}=dfrac{-12veces m^4veces n^3veces m^3veces n^2}{36m^7n^5}].

A continuación juntamos los términos similares para obtener

=dfrac{-12veces m^4veces m^3veces n^3veces n^2}{36m^7n^5}==dfrac{-12veces m^4veces m^3veces n^3veces n^2}{36m^7n^5}==dfrac{-12veces m^3veces n^2}{36m^7n^5}.= = = = = = = = = = = 12 veces m^4+3 veces n^3+2} {36m^7n^5} {36m^7n^5} = = = = 12 veces m^7 veces n^5} {36m^7n^5} {36m^7n^5} = = = 12 veces m^7 veces n^5} {36 veces m^7 veces n^5} end{align}].

A continuación, dividimos los términos semejantes para obtener

\[\begin{align}\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}&=\left(\dfrac{-12}{36}\right)\times \left(\dfrac{m^7}{m^7}\right)\times\left(\dfrac{n^5}{n^5}\right)=\\&=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times m^{7-7}\times n^{5-5}=\\\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times m^0times n^0\end{align}].

\[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times 1\times 1=-\dfrac{1}{3}\]

Simplifica la expresión \(\dfrac{m^\frac{3}{4}veces n^{\frac{1}{2}}}m^{\frac{1}{2}veces n^{-\frac{3}{2}}).

Resuélvelo cuando \(m= 16\) y \(n= 3\).

Solución:

\[\begin{align}\dfrac{m^{\frac{3}{4}}\times n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}\times n^{-\frac{3}{2}}}&=\dfrac{m^{\frac{3}{4}}}{m^{\frac{1}{2}}}\times \dfrac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{-\frac{3}{2}}}=\\&=\left(m^{\frac{3}{4}}\div m^{\frac{1}{2}}\right)\times \left(n^{\frac{1}{2}}\div n^{-\frac{3}{2}}\right)=\\&=m^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}\times n^{\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)}=\\&=m^{\frac{1}{4}}\times n^2\end{align}\]

Sustituye el valor de \(m\) por \(16\) y el de \(n\) por \(3\) en la expresión;

\[\begin{align}m^{\frac{1}{4}}\times n^2&=16^{\frac{1}{4}}\times 3^2=\\&= izquierda(2^4\derecha)^ {{frac{1}{4}veces 3^2={\i}=2^{4}veces 3^2={\i}=2veces 9={\i}=18\i}[end{align}\i].

Convierte \(38 000 000 000\) metros por segundo a Notación Científica.

Solución:

El primer paso es contar de izquierda a derecha. Tenemos el número \(38 000 000 000\).

Tenemos \(38\) y \(9\) ceros a su derecha.

Recordamos la notación científica,

\[q veces 10^p]

\[1\leq q<10\]

donde \(p\) es un número entero. Así,

\[38 000 000 000=38 veces 10^9\]

Ahora \(38\) debe escribirse también \(q\veces 10^p\). Así pues

\[38=3,8\times 10\]

Ahora sustituimos en la expresión inicial para obtener

\38 000 000 000=3,8 veces 10 veces 10^9=3,8 veces 10^{10}\].

La longitud y el pan de una marca rectangular son \(2\, \text{mm}\) y \(6\, \text{mm}\) respectivamente, calcula el perímetro en kilómetros dejando tu respuesta en forma estándar.

Solución:

El perímetro de un rectángulo viene dado por

\[\pincipio{alineación}\text{Perímetro de la marca}&=2\times\left(\text{longitud}+\text{anchura}\right)=\\\\}=2\times\left(2\,\text{mm}+6\,\text{mm}\right)=\\&=2\times 8\,\text{mm}=\\&=16\,\text{mm}\end{align}\]

Recuerda que

\1000 = 1 km.

\[100{texto} cm}=1{texto} m}]

\[10{texto}{ mm}=1{texto}{ cm}]

\100 veces 10{texto}{ mm}=1{texto}{ m}]

\1000 veces 100 veces 10 {texto{ mm}=1 {texto{ km}}

\1 vez 10^6{texto}{ mm}=1{texto}{ km}]

\[1 vez 10^6{texto}{ mm}=1{texto}{ km}{10^6}]

\[1 vez {cancelación{10^6}{texto}{ mm}{cancelación{10^6}=1dfrac{texto}{ km}{10^6}]

\[1\text{ mm}=\dfrac{1}{10^6}\text{ km}]

Recuerda que

\[a^{-1}=\dfrac{1}{a}\]

Por tanto

\[\dfrac{1}{10^6}=10^{-6}\]

Esto significa que

\[1\text{ mm}=10^{-6}\text{ km}\]

Así que convierte \(16\text{mm}\) en \(\text{km}\);

\1[1\text{ mm}=10^{-6}\text{ km}]

\1{texto}{ mm}=10^{-6}{texto}{ km}=16 veces 16].

\16 veces 10^{-6}{texto}{ km}]

Ahora \(16\) debe escribirse también \(q\veces 10^p\). Por tanto

\[16=1,6\times 10\]

Ahora lo sustituimos en la expresión inicial para obtener

\[\begin{align}16\times 10^{-6}\text{ km}&=1,6\times 10\times 10^{-6}\text{ km}=\\tu6 veces 10^1 veces 10^{-6} {texto} { km} = 1,6 veces 10^{-6+1} {texto} { km} = 1,6 veces 10^{-5} {texto} { km} fin]].

\[\text{Perímetro de la marca}=1,6 veces 10^{-5}\text{ km}]