Propiedades de los exponentes

¿Sabes que los números se pueden potenciar? Evidentemente, no como alimentar un coche o cualquier máquina, sino matemáticamente.

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Propiedades de los exponentes Propiedades de los exponentes

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Índice de temas

    En este artículo definiremos los exponentes y sus propiedades , entre otras cosas.

    ¿Qué es un exponente?

    Un exponente nos indica el número de veces que un número se multiplica por sí mismo. Se suele considerar como Potencias.

    El exponente \(2^3\) muestra que \(2\) es multiplicarse \(3\) veces:

    \[2^3=2\times2\times2\]

    Componentes de un exponente

    Un exponente contiene dos partes principales: la parte que queda arriba se llama potencia, y la parte que queda abajo, que lleva la potencia, se llama base.

    En \(5^7\), \(7\) es la potencia o el exponente, mientras que \(5\) es la base.

    Propiedades de los exponentes

    Para realizar las operaciones de los exponentes, se han establecido algunas reglas que te guiarán fácilmente.

    Propiedad de multiplicación de los exponentes

    La regla de la multiplicación o producto de exponentes establece que

    El producto de dos o más números con la misma base es igual a la base común a la potencia de la suma de los exponentes

    \[a^m\n=a^{m+n}\}]

    Expande \(2^3\times 2^2\).

    Solución:

    \[2^3\times 2^2=2^{3+2}=2^5\]

    Verificación

    \2^3 veces 2^2=(2 veces 2 veces 2)=2^5].

    Expande \(a^4 veces a^6).

    Solución:

    \[a^4+a^6=a^{4+6}=a^{10}\]

    Verificación

    \[a^4\times a^6=(a\times a\times a\times a)\times (a\times a\times a\times a\times a)=a^{10}\].

    Expande \(2^3 veces 3^3 veces 2^4).

    Solución:

    \[2^3 veces 3^3 veces 2^4=(2^3 veces 2^4)\3 veces 3^3=2^{3+4} veces 3^3=2^7 veces 3^3].

    Propiedad de división de los exponentes

    La regla de la división o co ciente de exponentes establece que

    El cociente de dos o más números con la misma base es igual a la base común a la potencia de la diferencia de los exponentes

    \[\dfrac{a^m}{a^n}=a^m\div a^n=a^{m-n}\]

    Un cociente de dos o más números con bases diferentes es igual a su división directa,

    \[a^m\div b^n=\dfrac{a^m}{b^n}\]

    Simplifica \)\dfrac{2^3}{2}).

    Solución:

    \[\dfrac{2^3}{2}=2^{3-1}=2^2\]

    Verificación

    \[\dfrac{2^3}{2}=\dfrac{2 veces 2{2}=2 veces 2=2^2\2]

    Simplifica \(\dfrac{b^7}{b^3}\).

    Solución:

    \[\dfrac{b^7}{b^3}=b^{7-3}=b^4\]

    Verificación

    \[\dfrac{b^7}{b^3}=\dfrac{b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b\times b}=b\times b\times b\times b=b^4].

    Simplifica \(\dfrac{2^5\times 3^7}{3^4}\).

    Solución:

    \[\dfrac{2^5\times 3^7}{3^7}=2^5\times \dfrac{3^7}{3^4}=2^5\times 3^{7-4}=2^5\times 3^3\].

    Propiedad del exponente cero

    La regla del exponente nulo o cero establece que

    Cualquier número distinto de cero elevado al exponente de \(0\) es igual a \(1\). Es decir, para todo \(a\neq 0\), tenemos \(a^0=1\).

    Prueba de la propiedad del exponente cero

    Utilizando la regla de división de los exponentes, para cada \(a\neq 0\), tenemos

    \[\dfrac{a}{a}=a^{1-1}=a^0\]

    Por otra parte, tenemos \(\dfrac{a}{a}=1\), por tanto

    \[\dfrac{a}{a}=a^{1-1}=a^0=1\]

    a. \(2^0\)

    b. \(-2^0\)

    c. \((-2)^0\)

    Solución:

    a. Todo lo que sea igual a la potencia de \(0\) es igual a \(1\). Por tanto, tenemos

    \[2^0=1\]

    b. Aquí, la base es \(2\), con un \(-1\) multiplicado por delante. Se convierte en

    \[\begin{align}-2^0&=-1\times 2^0=\\&=-1\times 1=\\&=-1\end{align}\]

    c. Aquí, la base es \(-2\), y todo lo que sea igual a la potencia de \(0\) es igual a \(1\). Se convierte en

    \[(-2)^0=1\]

    Observa la importancia de los paréntesis en los ejemplos anteriores \(b\) y \(c\).

    Propiedad del exponente negativo

    La propiedad del exponente negativo establece que

    Una base con exponente negativo es igual al recíproco de la base elevado al opuesto del exponente

    Es decir, para cada \(a\neq 0\), tenemos

    \[a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}\]

    Prueba de la propiedad del exponente negativo

    Para cada \(a\neq 0\), tenemos \(a^{-m}=a^{0-m}=\dfrac{a^0}{a^m}=\dfrac{1}{a^m}\).

    \[2^{-1}=\dfrac{1}{2}\]

    \[9^{-3}=\left(\dfrac{1}{9}\right)^3\]

    \[6^{-5}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^5\]

    Propiedades de los exponentes racionales

    Un número elevado al exponente de una fracción es igual a la raíz de la base del denominador elevada al exponente del numerador, es decir \(a^{frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\}).

    En concreto, \(a^{\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}\).

    Halla el valor de las siguientes expresiones.

    a. \(125^{\frac{1}{3}}\)

    b. \(2^{frac{4}{3}})

    c. \(16^{-\frac{3}{2}}\)

    Solución:

    a. El primer paso consiste en expresar \(125\) como producto de sus factores primos,

    \125 = 5 veces 5 veces 5 = 5^3].

    Así tenemos

    \[125^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5\]

    b.

    \[2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{16}\]

    c. Hay dos formas de resolver esta pregunta y ambas implican utilizar la regla del exponente fraccionario y la regla del exponente negativo.

    Primero, utiliza la regla de los exponentes fraccionarios.

    \[\begin{align}16^{-\frac{3}{2}}&=\left(\sqrt[2]{16}\right)^{-3}=\\&=(4)^{-3}\end{align}\]

    A partir de aquí, utilizamos la regla del exponente negativo

    \[\begin{align}(4)^{-3}&=\dfrac{1}{4^3}=\\&=\dfrac{1}{64}\end{align}\]

    Resolviéndolo de forma alternativa, utilizarás primero la regla del exponente negativo.

    \[16^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{16^{\frac{3}{2}}}\]

    Ahora utilizaremos la regla del exponente fraccionario en el denominador.

    \[\begin{align}\dfrac{1}{16^{\frac{3}{2}}}&=\dfrac{1}{\left(\sqrt[2]{16}\right)^3}=\\&=\dfrac{1}{4^3}=\\&=\dfrac{1}{64}\end{align}\]

    Obtienes la misma respuesta.

    Potencia de una propiedad de producto

    La propiedad de la potencia de un producto establece que

    Cuando un producto de dos números se eleva a una potencia, la respuesta resultante es igual al producto de cada número que lleva ese exponente por separado.

    En otras palabras, el producto de dos números distintos con el mismo exponente es igual al producto de cada uno de esos números elevado a su exponente, es decir

    \[(ab)^m=a^m\veces b^m\]

    Observamos que

    \[(ab)^m=a^m\veces b^m=b^m\veces a^m=(ba)^m\]

    Comprueba que \(6^3=2^3 veces 3^3).

    Solución:

    Método 1

    Por un lado, tenemos; \(6^3=6\6 veces 6\6=216\).

    Por otro lado, \(2^3 veces 3^3=8 veces 27=216\).

    Por tanto, \(6^3=2^3\veces 3^3\).

    Método 2

    \6^3=(2 veces 3)^2=2^3 veces 3^3].

    Propiedad de la potencia de un cociente

    La propiedad de la potencia de un cociente establece que

    Cuando un cociente de dos números se eleva a una potencia, la respuesta resultante es igual al cociente de cada número que lleva ese exponente por separado

    En otras palabras, el cociente de dos números distintos con el mismo exponente es igual al cociente de cada uno de esos números elevado a su exponente, es decir

    \[\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}\]

    Comprueba que \(2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\).

    Solución:

    Método 1

    Para empezar

    \[2^3=2\times 2\times 2=8\]

    Además

    \[\begin{align}\dfrac{6^3}{3^3}&=\dfrac{6\times 6\times 6}{3\times 3\times 3}=\\\\&=dfrac{^2{cancel{6}}{^2}{cancel{6}{^2}{cancel{6}}{^1}{cancel{3}}{^1}{cancel{3}}{=\\\\&= 2}{2}{\\\\&=8}[fin].

    Esto implica que

    \[2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\]

    Método 2

    Aplica la propiedad del cociente;

    \[\begin{align}\dfrac{6^3}{3^3}&=\left(\dfrac{6}{3}\right)^3=\\&=2^3=\\&=8\end{align}\]

    Por tanto

    \[2^3=\dfrac{6^3}{3^3}\]

    Potencia de una propiedad de potencia

    Un número elevado a un exponente es elevado a otro exponente es igual al número elevado al producto de los exponentes, es decir

    \[\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}=a^{mn}=a^{nm}=a^{n\times m}=\left(a^n\right)^m\].

    Comprueba que \(\izquierda(2^3\derecha)^2=2^6\).

    Solución:

    Método 1

    Por un lado, tenemos

    \[2^3=2\times 2\times 2=8\]

    Por tanto,

    \[\left(2^3\right)^2=8^2=64\]

    Por otra parte

    \[2^6=2^{3+3}=2^3 veces 2^3=8 veces 8=64\]

    Por tanto

    \[\left(2^3\right)^2=2^6=64\]

    Método 2

    \[\left(2^3\right)^2=2^{3\times 2}=2^6=64\]

    Ejemplos de propiedades de los exponentes

    Calcula lo siguiente sin utilizar calculadoras.

    a. \((-3x^3y^2)(2x^6y^5)\)

    b. \((2b)^{-4}\)

    c. \(\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}\)

    d. \(81^{frac{3}{4}})

    e. \(\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}\)

    Solución:

    a. Para la expresión

    \[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)\]

    Los expresamos como productos separados,

    \[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)=(-3 veces x^3 veces y^2)=(2 veces x^6 veces y^5)

    Expandimos los paréntesis,

    \[(-3x^3y^2)(2x^6y^5)=-3 veces x^3 veces y^2 veces 2 veces x^6 veces y^5].

    A continuación, juntamos los términos semejantes,

    \(-3x^3y^2)(2x^6y^5)&=-3veces 2veces x^3veces x^6veces y^2veces y^5=\&=-6\times \left(x^{3+6}\right)\times\left(y^{2+5}\right)=\\&=-6\times x^9\times y^7=\\&=-6x^9y^7\end{align}\]

    b. Para la expresión

    \[(2b)^{-4}\]

    Primero eliminamos el exponente negativo, aplicamos la regla recíproca,

    \[(2b)^{-4}=\dfrac{1}{(2b)^4}=\dfrac{1}{2^4b^4}=\dfrac{1}{16b^4}\] xml-ph-0000@deepl.internal c. Para la expresión

    \[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}\]

    Para eliminar el exponente negativo, aplicamos la regla recíproca,

    \[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3x^3}{-6x^6}\right)^2\]

    A continuación dividimos los términos semejantes de la expresión entre paréntesis,

    \[\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3x^3}{-6x^6}\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\left(x^{3-6}\right)\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}x^{-3}\right)^2\]

    Después, distribuimos el exponente \(2\) al producto dentro del paréntesis para obtener

    \[\begin{align}\left(\dfrac{-6x^6}{3x^3}\right)^{-2}=\left(-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{x^3}\right)^2=\\&=\left(-\dfrac{1}{2x^3}\right)^2=\\&=\dfrac{(-1)^2}{(2x^3)^2}=\\&=\dfrac{1}{2^2(x^3)^2}=\\&=\dfrac{1}{4x^6}\end{align}\]

    d. Para la expresión

    \[81^{frac{3}{4}}]

    recordamos primero la regla del exponente de fracción,

    \[81^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{81}\right)^3=\sqrt[4]{81^3}\]

    Pero

    \[81=9^2=\left(3^2\right)^2=3^4\]

    Por lo tanto

    \[81^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{81^3}=\sqrt[4]{\left(3^4\right)^3}=\sqrt[4]{\left(3^3\right)^4}=3^3\]

    Podemos verlo de otra forma, recordemos que

    \[\left(a^m\right)=a^{mn}\]

    Por tanto

    \[81^{\frac{3}{4}}=\left(3^4\right)^{\frac{3}{4}}=3^{4\times \frac{3}{4}}=3^3\]

    e. Para la expresión

    \[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}\]

    Primero expandimos el numerador,

    \[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}=dfrac{-12veces m^4veces n^3veces m^3veces n^2}{36m^7n^5}].

    A continuación juntamos los términos similares para obtener

    =dfrac{-12veces m^4veces m^3veces n^3veces n^2}{36m^7n^5}==dfrac{-12veces m^4veces m^3veces n^3veces n^2}{36m^7n^5}==dfrac{-12veces m^3veces n^2}{36m^7n^5}.= = = = = = = = = = = 12 veces m^4+3 veces n^3+2} {36m^7n^5} {36m^7n^5} = = = = 12 veces m^7 veces n^5} {36m^7n^5} {36m^7n^5} = = = 12 veces m^7 veces n^5} {36 veces m^7 veces n^5} end{align}].

    A continuación, dividimos los términos semejantes para obtener

    \[\begin{align}\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}&=\left(\dfrac{-12}{36}\right)\times \left(\dfrac{m^7}{m^7}\right)\times\left(\dfrac{n^5}{n^5}\right)=\\&=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times m^{7-7}\times n^{5-5}=\\\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times m^0times n^0\end{align}].

    Recordemos que cualquier número distinto de cero elevado al exponente \(0\) es \(1\), obtenemos

    \[\dfrac{-12m^4n^3(m^3n^2)}{36m^7n^5}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times 1\times 1=-\dfrac{1}{3}\]

    Simplifica la expresión \(\dfrac{m^\frac{3}{4}veces n^{\frac{1}{2}}}m^{\frac{1}{2}veces n^{-\frac{3}{2}}).

    Resuélvelo cuando \(m= 16\) y \(n= 3\).

    Solución:

    \[\begin{align}\dfrac{m^{\frac{3}{4}}\times n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}\times n^{-\frac{3}{2}}}&=\dfrac{m^{\frac{3}{4}}}{m^{\frac{1}{2}}}\times \dfrac{n^{\frac{1}{2}}}{n^{-\frac{3}{2}}}=\\&=\left(m^{\frac{3}{4}}\div m^{\frac{1}{2}}\right)\times \left(n^{\frac{1}{2}}\div n^{-\frac{3}{2}}\right)=\\&=m^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}\times n^{\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)}=\\&=m^{\frac{1}{4}}\times n^2\end{align}\]

    Sustituye el valor de \(m\) por \(16\) y el de \(n\) por \(3\) en la expresión;

    \[\begin{align}m^{\frac{1}{4}}\times n^2&=16^{\frac{1}{4}}\times 3^2=\\&= izquierda(2^4\derecha)^ {{frac{1}{4}veces 3^2={\i}=2^{4}veces 3^2={\i}=2veces 9={\i}=18\i}[end{align}\i].

    Notación científica

    La forma en que se escriben habitualmente los números se denomina notación estándar. Sin embargo, la notación científica representa las cifras utilizando el formato

    \[q\veces 10^p\quad\texto{por}cuadrado 1\leq q < 10\]].

    siendo \(p\) un número entero.

    Convierte \(38 000 000 000\) metros por segundo a Notación Científica.

    Solución:

    El primer paso es contar de izquierda a derecha. Tenemos el número \(38 000 000 000\).

    Tenemos \(38\) y \(9\) ceros a su derecha.

    Recordamos la notación científica,

    \[q veces 10^p]

    \[1\leq q<10\]

    donde \(p\) es un número entero. Así,

    \[38 000 000 000=38 veces 10^9\]

    Ahora \(38\) debe escribirse también \(q\veces 10^p\). Así pues

    \[38=3,8\times 10\]

    Ahora sustituimos en la expresión inicial para obtener

    \38 000 000 000=3,8 veces 10 veces 10^9=3,8 veces 10^{10}\].

    La longitud y el pan de una marca rectangular son \(2\, \text{mm}\) y \(6\, \text{mm}\) respectivamente, calcula el perímetro en kilómetros dejando tu respuesta en forma estándar.

    Solución:

    El perímetro de un rectángulo viene dado por

    \[\pincipio{alineación}\text{Perímetro de la marca}&=2\times\left(\text{longitud}+\text{anchura}\right)=\\\\}=2\times\left(2\,\text{mm}+6\,\text{mm}\right)=\\&=2\times 8\,\text{mm}=\\&=16\,\text{mm}\end{align}\]

    Recuerda que

    \1000 = 1 km.

    \[100{texto} cm}=1{texto} m}]

    \[10{texto}{ mm}=1{texto}{ cm}]

    \100 veces 10{texto}{ mm}=1{texto}{ m}]

    \1000 veces 100 veces 10 {texto{ mm}=1 {texto{ km}}

    \1 vez 10^6{texto}{ mm}=1{texto}{ km}]

    \[1 vez 10^6{texto}{ mm}=1{texto}{ km}{10^6}]

    \[1 vez {cancelación{10^6}{texto}{ mm}{cancelación{10^6}=1dfrac{texto}{ km}{10^6}]

    \[1\text{ mm}=\dfrac{1}{10^6}\text{ km}]

    Recuerda que

    \[a^{-1}=\dfrac{1}{a}\]

    Por tanto

    \[\dfrac{1}{10^6}=10^{-6}\]

    Esto significa que

    \[1\text{ mm}=10^{-6}\text{ km}\]

    Así que convierte \(16\text{mm}\) en \(\text{km}\);

    \1[1\text{ mm}=10^{-6}\text{ km}]

    \1{texto}{ mm}=10^{-6}{texto}{ km}=16 veces 16].

    \16 veces 10^{-6}{texto}{ km}]

    Ahora \(16\) debe escribirse también \(q\veces 10^p\). Por tanto

    \[16=1,6\times 10\]

    Ahora lo sustituimos en la expresión inicial para obtener

    \[\begin{align}16\times 10^{-6}\text{ km}&=1,6\times 10\times 10^{-6}\text{ km}=\\tu6 veces 10^1 veces 10^{-6} {texto} { km} = 1,6 veces 10^{-6+1} {texto} { km} = 1,6 veces 10^{-5} {texto} { km} fin]].

    \[\text{Perímetro de la marca}=1,6 veces 10^{-5}\text{ km}]

    Propiedades de los exponentes - Puntos clave

    • Un exponente nos indica el número de veces que un número se multiplica por sí mismo.
    • Una potencia consta de dos partes principales, la base y el exponente.
    • Los exponentes se simplifican utilizando sus propiedades.
    • La notación científica es una representación más sencilla de los números utilizando la notación \(q\veces10^p\) donde \(p\) es un número entero y \(1\leq q<10\).
    Preguntas frecuentes sobre Propiedades de los exponentes
    ¿Qué son las propiedades de los exponentes?
    Las propiedades de los exponentes son reglas matemáticas que simplifican la manipulación de expresiones con potencias.
    ¿Cuáles son las principales propiedades de los exponentes?
    Las principales propiedades son: producto de potencias, cociente de potencias, potencia de un producto, potencia de un cociente y potencia de una potencia.
    ¿Cómo se aplica la propiedad de producto de potencias?
    Aplicando la propiedad de que al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: a^m * a^n = a^(m+n).
    ¿Qué es la propiedad de potencia de una potencia?
    La propiedad de potencia de una potencia dice que multiplicamos los exponentes: (a^m)^n = a^(m*n).

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