Ecuación Diferencial No Homogénea

Ecuación diferencial homogénea frente a no homogénea

De la lectura sobre ecuaciones diferenciales, ya sabes que hay varias formas de clasificarlas. Una muy útil es la de homogéneas frente a no homogéneas.

Por ejemplo, la ecuación diferencial

\[ y'' + 2y' - 3xy = 0\]

es una ecuación diferencial homogénea. Se puede escribir con todas las funciones que implican a la variable dependiente en un lado de la ecuación, y cero en el otro lado.

Por el contrario, la ecuación diferencial

\[ y'' + 2y' - 3xy = \sin x\]]

es una ecuación diferencial no homogénea. Tiene una función de la variable independiente, \(x\), en un lado de la ecuación en lugar del cero que tenía el ejemplo anterior.

Es importante señalar que el hecho de que una ecuación diferencial sea homogénea o no homogénea ¡no tiene nada que ver con el orden de la ecuación ni con el hecho de que sea lineal o no!

¿Qué es una ecuación diferencial lineal no homogénea?

Ahora que sabes que una ecuación diferencial puede ser tanto lineal como no homogénea, no tiene por qué ser tanto lineal como no homogénea, veamos el caso en que sí lo es.

Recuerda las propiedades de una ecuación diferencial lineal:

• cada variable dependiente aparece de forma lineal;

• la variable dependiente y/o sus derivadas están todas elevadas a la potencia de \(1\);

• ninguna de las variables dependientes y/o sus derivadas se multiplican entre sí;

• la variable dependiente y/o sus derivadas no pueden formar parte de una función especial, como una función trigonométrica o la función exponencial; y

• la variable independiente puede ser no lineal (elevada a una potencia, parte de una función especial, etc.).

He aquí algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales:

• \( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0\);

• \( t^2\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} +t\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+4y=e^t\); and

• \( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\left(\cos{t}\right)y=t^2\).

De las ecuaciones anteriores, sólo

\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0\]

es una ecuación homogénea. Las otras dos son no homogéneas. Por tanto, aunque una ecuación diferencial puede ser lineal y no homogénea, no tiene por qué serlo.

La forma de resolver una ecuación lineal no homogénea varía en función de si es o no de primer orden. Sigue leyendo para conocer las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas de primer orden.

Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes

Empecemos por el caso de coeficiente constante. Una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden con coeficientes constantes tiene la forma

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=f(x),\]

aunque esto se escribe más comúnmente como

\[y'+ay=f(x).\]

La idea es utilizar un factor integrador para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales separables. Las ecuaciones lineales de coeficiente constante de primer orden son especialmente bonitas, ya que el factor integrador para este tipo de ecuaciones es

\[ h(x) = e^{ax}.\\]

Entonces multiplicarías ambos lados de la ecuación por el factor integrador, e integrarías, lo que te daría

\[ \int (e^{ax}y)'\, \mathrm{d}x = \int e^{ax} f(x) \, \mathrm{d}x ,\]

así que

\[ e^{ax}y(x) = \int e^{ax} f(x) \, \mathrm{d}x ,\]

o

\[y(x) = e^{-ax} \int e^{ax} f(x) \, \mathrm{d}x .\]

Así que poder encontrar una solución explícita a este tipo de ecuaciones depende realmente de si puedes o no integrar \(e^{ax} f(x) \). Veamos un ejemplo rápido.

A continuación, echemos un vistazo a una ecuación no homogénea de primer orden más general.

Solución de una ecuación diferencial de primer orden no homogénea

Una ecuación diferencial general lineal de primer orden no homogénea con coeficientes constantes tiene la forma

\[y'+a(x)y=f(x).\]

Este tipo de ecuación se sigue resolviendo mediante un factor integrador. Aquí el factor integrador es

\[ h(x) = e^{int a(x)\,\mathrm{d} x},\}]

y la solución de la ecuación diferencial es

\[y(x) = e^{-int a(x)\,\mathrm{d} x} \int e^{int a(x)\,\mathrm{d} x} f(x) \, \mathrm{d}x .\]

¡Eso significa que encontrar una solución explícita sigue dependiendo de poder encontrar una integral de forma cerrada!

Veamos un ejemplo.

¡Siempre vienen bien más ejemplos!

Ejemplos de ecuaciones lineales no homogéneas

Veamos algunos ejemplos más.

Veamos otro ejemplo.