Puntos de inflexión

En inglés, la expresión "reached its turning point" significa que algo ha experimentado un cambio significativo. El mismo concepto puede aplicarse también a las Matemáticas.

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Índice de temas

    Recordemos la gráfica de una función cuadrática. ¿Recuerdas el nombre de la curva en forma de U que produce? ¡Pues sí! Se llama parábola.

    Ejemplo de parábola, StudySmarter OriginalsEjemplo de parábola, StudySmarter Originals

    Ejemplo de parábola, StudySmarter Originals

    Ahora, fíjate en cómo la gráfica se curva hacia abajo y llega a un punto en el que luego se curva hacia arriba. Vemos que la parábola encuentra un cambio de dirección al llegar a este punto exacto. Esto se llama punto de inflexión.

    En esta lección estudiaremos la idea de punto de inflexión y presentaremos varios métodos que podemos utilizar para determinar el punto de inflexión de una función dada. A lo largo de este tema, sólo nos centraremos en hallar el punto de inflexión de una función cuadrática de la forma ,

    y=ax2+bx+c.

    Significado de un punto de inflexión

    Como se introdujo al principio de este artículo, el punto de inflexión de una gráfica es un punto en el que la curva se desvía de su trayectoria inicial. Es decir, si un coche estaba subiendo una colina y ha llegado a su punto álgido, entonces tendrá que bajar para llegar al otro lado de la colina. A continuación encontrarás una definición formal de punto de inflexión.

    El punto de inflexión de una gráfica es un punto en el que la curva cambia de dirección.

    En algunos libros de texto, un punto de inflexión también puede denominarse punto crítico.

    Un punto de inflexión en una gráfica

    El punto de inflexión de una curva está representado por un par de coordenadas x e y en el plano cartesiano y se denomina punto (x, y). A continuación se muestra un ejemplo del aspecto que puede tener un punto de inflexión cuando se representa en una gráfica.

    El punto de inflexión en el plano cartesiano, StudySmarter Originals

    El punto de inflexión en el plano cartesiano, StudySmarter Originals

    Tipos de puntos de inflexión

    Hay dos tipos de puntos de inflexión que debemos tener en cuenta al representar gráficamente funciones cuadráticas:

    • PuntoMínimo y

    • PuntoMáximo .

    Cada tipo tiene su propia orientación de curvatura y puede determinarse observando el valor del coeficiente principal de la función cuadrática, es decir, el coeficiente de x2. En la tabla siguiente se describen las características principales de estos dos casos, junto con su trazado general.

    Punto Mínimo

    Punto máximo

    El coeficiente de x2 es negativo, es decir, a < 0

    El coeficiente de x2 es positivo, es decir, a > 0

    El punto mínimo, StudySmarter Originals

    El punto mínimo, StudySmarter Originals

    El punto máximo, StudySmarter Originals

    El punto máximo, StudySmarter Originals

    La gráfica se curva hacia abajo alcanzando su mínimo y luego se curva hacia arriba

    La gráfica se curva hacia arriba alcanzando su máximo y luego se curva hacia abajo

    El punto de inflexión es el punto más bajo de la curva

    El punto de inflexión es el punto más alto de la curva

    El valor y del punto de inflexión es el menor valor posible de la función

    El valor y del punto de inflexión es el mayor valor posible de la función

    Fórmula del punto de inflexión

    El punto de inflexión de una ecuación cuadrática coincide con el vértice de su correspondiente parábola. Para determinar las coordenadas de su vértice, utilizaremos la Fórmula del Vértice o, en este caso, la Fórmula del Punto de Inflexión. Dada la forma estándar de una ecuación cuadrática

    y=ax2+bx+c

    la forma del vértice de esta ecuación cuadrática es

    y=a(x-h)2+k,

    donde (h, k) es el vértice o punto de inflexión de la parábola. Hay dos formas de determinar los valores de h y k.

    Método 1

    Evalúa h=-b2a y k=-D4a donde D es el discriminante y D=b2-4ac.

    Método 2

    Calcula h=-b2a y utiliza este resultado para hallar k sustituyendo este valor de h en y.

    Halla el punto de inflexión de la siguiente ecuación cuadrática.

    y=3x2-8x+1

    Solución

    Utilicemos el primer método de la fórmula del punto de inflexión para hallar los valores de h y k.

    Aquí, a = 3, b = -8 y c = 1. El valor de h viene dado por,

    h=-(-8)2(3)h=43

    El discriminante viene dado por,

    D=(-8)2-4(3)(1)D=52

    Por tanto, k viene dado por,

    k=-524(3)k=-133

    Por tanto, el punto de inflexión es 43, -133.

    Comprueba

    Comprobemos si nuestra solución es correcta utilizando el segundo método de la fórmula del punto de inflexión. Como antes, sabemos que

    h=-(-8)2(3)h=43

    Sustituyendo este valor de h en y, obtenemos

    k=y43k=3432-843+1k=-133

    Por tanto, nuestro punto de inflexión es 43, -133 como es debido.

    Ten en cuenta que esta fórmula sólo puede aplicarse a ecuaciones cuadráticas como las de la forma anterior. No es aplicable para encontrar puntos de inflexión de polinomios de grado superior y otras funciones complejas. Sin embargo, ¡aquí es donde tendrá relevancia el siguiente apartado! Aquí estudiaremos otras formas de localizar los puntos de inflexión de cualquier tipo de ecuación.

    Matemáticas para encontrar el punto de inflexión

    Para una función cuadrática dada, podemos localizar el punto de inflexión de la parábola utilizando cuatro métodos, a saber:

    1. Línea de simetría

    2. Factorización

    3. Completar el cuadrado

    4. Diferenciación

    En este segmento, proporcionaremos un proceso detallado, paso a paso, de cada una de las técnicas indicadas anteriormente, junto con varios ejemplos trabajados.

    Método de la recta de simetría

    Empezaremos observando un rasgo distintivo de una parábola que nos permite determinar su punto de inflexión. Esta propiedad se conoce como su recta de simetría. Recordemos que la recta de simetría es un segmento de recta que divide un objeto precisamente por la mitad.

    La gráfica de cualquier función cuadrática tiene una recta de simetría vertical que pasa por su punto de inflexión. Es decir, el punto de inflexión está situado exactamente en el centro de la parábola. Para identificar el punto de inflexión de una curva dada, podemos seguir los siguientes pasos.

    Paso 1: Determina si la gráfica es un mínimo o un máximo observando el coeficiente de x2;

    Paso 2: Identifica la ecuación de la recta de simetría mediante la fórmula

    x=-b2a.

    Esta es la coordenada x del punto de inflexión;

    Paso3 : Evalúa la coordenada y sustituyendo la coordenada x del Paso 3 en la función dada.

    A continuación se muestran dos ejemplos prácticos de aplicación de este método.

    Halla el punto de inflexión de la siguiente ecuación cuadrática utilizando el método de la recta de simetría.

    f(x)=2x2-3x-1

    Paso 1: Observando el coeficiente de x2, tenemos a = 2 > 0. Como a es positivo, el punto de inflexión de esta curva debe ser un mínimo.

    Paso2: La coordenada x del punto de inflexión viene dada por la ecuación de la recta de simetría. Aquí, a = 2 y b = -3. Entonces,

    x=-(-3)2(2)x=34

    Paso3 : Sustituyendo este valor de x en nuestra ecuación original, obtenemos nuestra coordenada y como

    f34=2342-334-1f34=-178

    Por tanto, el punto de inflexión es un punto mínimo dado por 34, -178. Como se trata de un punto mínimo, la gráfica se curva hacia abajo. Esto se muestra a continuación.

    Ejemplo 1, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 1, StudySmarter Originals

    Utilizando el método de la recta de simetría, identifica el punto de inflexión de la siguiente ecuación cuadrática.

    f(x)=-x2+4x-2

    Paso 1: Observando el coeficiente de x2, tenemos a = -1 < 0. Como a es negativo, el punto de inflexión de esta curva debe ser un máximo.

    Paso2: La coordenada x del punto de inflexión viene dada por la ecuación de la recta de simetría. Aquí, a = -1 y b = 4. Entonces,

    x=-42(-1)x=2

    Paso3 : Sustituyendo este valor de x en nuestra ecuación original, obtenemos nuestra coordenada y como

    f(2)=-(2)2+4(2)-2f(2)=2

    Así pues, el punto de inflexión es un punto máximo dado por 2, 2. Como se trata de un punto máximo, la gráfica se curva hacia arriba. Esto se muestra a continuación.

    Ejemplo 2, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 2, StudySmarter Originals

    Método de factorización

    Dado que una línea vertical de simetría corta la parábola en dos mitades iguales y atraviesa su punto de inflexión, podemos decir que la posición de su punto de inflexión está exactamente en el punto medio entre las (dos) intersecciones x de una función cuadrática. Teniendo esto en cuenta, podemos encontrar el punto de inflexión de una ecuación cuadrática con un método que implica la factorización. Este método consta de cinco pasos.

    Paso 1 : Determina si la gráfica es un mínimo o un máximo observando el coeficiente de x2;

    Paso 2: Factoriza la función cuadrática dada y ponla a cero;

    Paso 3: Identifica las raíces de la función;

    Paso 4: Localiza la coordenada x del punto de inflexión tomando el punto medio del par de raíces;

    Paso5 : Evalúa la coordenada y sustituyendo la coordenada x del Paso 4 en la función dada.

    Veamos ahora algunos ejemplos prácticos que demuestran esta técnica.

    Encuentra el punto de inflexión de la siguiente ecuación cuadrática utilizando el método de factorización.

    f(x)=-2x2-12x-10

    Paso 1: Observando el coeficiente de x2, tenemos a = -2 < 0. Como a es negativo, el punto de inflexión de esta curva debe ser un máximo.

    Paso 2: Factorizando la función cuadrática y poniéndola a cero, obtenemos

    f(x)=0-2x2-12x-10=0(-x-5)(2x+2)=0

    Paso3: Las raíces de la función vienen dadas por

    -x-5=0x=-5

    y

    2x+2=02x=-2x=-1

    Por tanto, las raíces son x = -1 y x = -5.

    Paso4: Para localizar el punto medio, M, de estas dos coordenadas x, simplemente hallamos su media

    M=-1+(-5)2M=-62M=-3

    La coordenada x de nuestro punto medio es M o x = -3.

    Paso5: Sustituyendo este valor de x en nuestra ecuación original, obtenemos nuestra coordenada y como

    f(-3)=-2(-3)2-12(-3)-10f(-3)=8

    Así pues, el punto de inflexión es un punto máximo dado por -3, 8. Como se trata de un punto máximo, la gráfica se curva hacia arriba. Esto se muestra a continuación.

    Ejemplo 3, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 3, StudySmarter Originals

    Utilizando el método de factorización, identifica el punto de inflexión de la siguiente ecuación cuadrática.

    f(x)=x2-3x-18

    Paso 1: Observando el coeficiente de x2, tenemos a = 1 > 0. Como a es positivo, el punto de inflexión de esta curva debe ser un mínimo.

    Paso 2: Factorizando la función cuadrática y poniéndola a cero, obtenemos

    f(x)=0x2-3x-18=0(x+3)(x-6)=0

    Paso3: Las raíces de la función vienen dadas por

    x+3=0x=-3

    y

    x-6=0x=6

    Por tanto, las raíces son x = -3 y x = 6.

    Paso4: Para localizar el punto medio, M, de estas dos coordenadas x, simplemente hallamos su media

    M=-3+62M=32

    Paso5: Sustituyendo este valor de x en nuestra ecuación original, obtenemos nuestra coordenada y como

    f32=322-332-18f32=-814

    Así pues, el punto de inflexión es un punto mínimo dado por 32, -814. Como se trata de un punto mínimo, la gráfica se curva hacia abajo. Esto se muestra a continuación.

    Ejemplo 4, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 4, StudySmarter Originals

    Método de completar el cuadrado

    A continuación, pasaremos a encontrar el punto de inflexión de una ecuación cuadrática utilizando un método llamado completar el cuadrado. Cuando completemos el cuadrado de una función cuadrática dada, ésta adoptará la forma,

    y=a(x-h)2+k

    Para recordar el proceso de este método, consulta el tema Completar el cuadrado. En este caso hay que tener en cuenta 3 pasos.

    Paso1 : Determina si la gráfica es un mínimo o un máximo observando el coeficiente de x2;

    Paso 2 : Completa el cuadrado de la función cuadrática dada de modo que quede como y=a(x-h)2+k;

    Paso3: Identifica las coordenadas x e y del punto de inflexión. El valor de h y k son las coordenadas x e y respectivamente.

    Ahora que hemos establecido los pasos anteriores, observemos dos ejemplos trabajados.

    Halla el punto de inflexión de la siguiente ecuación cuadrática utilizando el método de completar el cuadrado.

    f(x)=2x2+9x

    Paso 1: Observando el coeficiente de x2, tenemos a = 2 > 0. Como a es positivo, el punto de inflexión de esta curva debe ser un mínimo.

    Paso2 : Completando el cuadrado de la función cuadrática, obtenemos

    f(x)=2x2+9xf(x)=2x2+92xf(x)=2x+942-2942f(x)=2x+942-818

    Observa que tenemos que factorizar el coeficiente de x2, reducir a la mitad el coeficiente de x para completar el cuadrado y equilibrar la ecuación. Ahora nuestra función tiene la forma y=a(x-h)2+k.

    Paso 3: A partir de aquí h=-94 y k=-818. Los valores de h y k representan las coordenadas x e y del punto de inflexión, respectivamente.

    Por tanto, el punto de inflexión es un punto mínimo dado por -94, -818. Como se trata de un punto mínimo, la gráfica se curva hacia abajo. Esto se muestra a continuación.

    Ejemplo 5, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 5, StudySmarter Originals

    Utilizando el método de completar el cuadrado, identifica el punto de inflexión de la siguiente ecuación cuadrática.

    f(x)=-x2+7x+4

    Paso 1: Observando el coeficiente de x2, tenemos a = -1 < 0. Como a es negativo, el punto de inflexión de esta curva debe ser un máximo.

    Paso 2: Completar el cuadrado de la función cuadrática

    f(x)=-x2+7x+4f(x)=-x2-7x+4f(x)=-x-722+4+722f(x)=-x-722+654

    Observa que tenemos que factorizar el coeficiente de x2, reducir a la mitad el coeficiente de x para completar el cuadrado y equilibrar la ecuación. Ahora nuestra función tiene la forma y=a(x-h)2+k.

    Paso 3 : A partir de aquí h=72 y k=654. Los valores de h y k representan las coordenadas x e y del punto de inflexión, respectivamente.

    Así, el punto de inflexión es un punto máximo dado por 72, 654. Como se trata de un punto máximo, la gráfica se curva hacia arriba. Esto se muestra a continuación.

    Ejemplo 6, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 6, StudySmarter Originals

    Método de diferenciación

    Veamos ahora nuestro último método para localizar el punto de inflexión de una función cuadrática. Esta vez, utilizaremos una técnica muy utilizada en cálculo llamada diferenciación. Recordemos que la diferenciación es un método utilizado para determinar el gradiente de una curva en un punto concreto. Puedes encontrar una descripción más detallada de este tema aquí: Diferenciación.

    Para una función cuadrática de la formay=ax2+bx+cel gradiente de la curva en su punto de inflexión es igual a cero. Dicho de otro modo, dydx=0.

    Como ya hemos dicho, un punto de inflexión puede ser un mínimo o un máximo. Veamos cada caso por separado.

    Punto Mínimo

    Punto máximo

    El gradiente del punto mínimo, StudySmarter Originals

    El gradiente de un punto mínimo, StudySmarter Originals

    El gradiente de un punto máximo, StudySmarter Originals

    El gradiente de un punto máximo, StudySmarter Originals

    En un punto mínimo, el gradiente cambia de negativo a cero a positivo.

    En un punto máximo, el gradiente cambia de positivo a cero a negativo.

    Para localizar el punto de inflexión utilizando la diferenciación, simplemente calcula la primera derivada de la función dada y ponla a cero. Esto te dará la coordenada x del punto de inflexión. La coordenada y se halla sustituyendo este valor x hallado en la función cuadrática inicial.

    dydx=0 o f'(x)=0

    La naturaleza del punto de inflexión se halla calculando la segunda derivada de la función dada. Entonces,

    1. si d2yd2x>0 o f''(x)>0 entonces el punto de inflexión de nuestra función es un mínimo;

    2. si d2yd2x<0 o f''(x)<0 entonces el punto de inflexión de nuestra función es un máximo;

    3. si d2yd2x=0 o f''(x)=0 entonces el punto de inflexión de nuestra función es un punto de inflexión.

    Ten en cuenta que la tercera cláusula se tratará con más detalle en el tema de las funciones cúbicas y los polinomios de orden superior.

    Como ya tenemos cubiertos estos hechos, observemos ahora dos ejemplos.

    Utiliza la diferenciación para localizar los puntos de inflexión de la siguiente ecuación cuadrática.

    f(x)=-4x2-x

    Solución

    En primer lugar, localicemos los puntos de inflexión de la curva. Calculando la primera derivada de la función y poniéndola a cero, obtenemos

    f'(x)=0-8x-1=0-8x=1x=-18

    La coordenada y viene dada por

    f-18=-4-182--18f-18=116

    Por tanto, el punto de inflexión es -18, 116

    La naturaleza de este punto de inflexión viene dada por la segunda derivada.

    f''(x)=-8<0

    Como el valor de la segunda derivada es negativo, nuestro punto de inflexión es un máximo. Por tanto, la gráfica se curva hacia arriba. Esto se muestra a continuación.

    Ejemplo 7, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 7, StudySmarter Originals

    Dada la siguiente ecuación cuadrática, determina su punto de inflexión utilizando la diferenciación.

    f(x)=2x2+7x+9

    Solución

    En primer lugar, localicemos los puntos de inflexión de la curva. Calculando la primera derivada de la función y poniéndola a cero, obtenemos

    f'(x)=04x+7=04x=-7x=-74

    La coordenada y viene dada por

    f-74=2-742+7-74+9f-74=238

    Por tanto, el punto de inflexión es -74, 238 .

    La naturaleza de este punto de inflexión viene dada por la segunda derivada.

    f''(x)=4>0

    Como el valor de la segunda derivada es positivo, nuestro punto de inflexión es un mínimo. Por tanto, la gráfica se curva hacia abajo. Esto se muestra a continuación.

    Ejemplo 8, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 8, StudySmarter Originals

    Ejemplos de puntos de inflexión

    Para mejorar aún más nuestras habilidades para encontrar el punto de inflexión de una parábola, terminaremos nuestra discusión con dos ejemplos del mundo real que implican el concepto de punto de inflexión.

    La trayectoria de una pelota de tenis lanzada a través de una pista se modela mediante

    h(x)=-0.3x2-2.7x+1.8,

    donde h(x) representa la altura de la pelota desde el suelo en metros. ¿Cuál es la altura máxima que puede alcanzar la pelota según este modelo de proyectil?

    Ejemplo 9, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 9, StudySmarter Originals

    Solución

    Utilizaremos el método de diferenciación para resolver este problema. Como se menciona en la pregunta, buscamos un punto de inflexión máximo, que es el pico de la parábola. Efectivamente, se trata de un punto máximo, ya que el coeficiente de x2 es negativo, puesto que a = -0,3. Como hemos visto, nuestra parábola se curva hacia arriba, como es debido.

    Para localizar el punto de inflexión de esta curva, calcularemos primero la primera derivada del modelo dado y la pondremos a cero.

    h'(x)=0-0.6x-2.7=0

    Resolviendo esto, obtenemos

    -0.6x=2.7x=-9.2

    Esta coordenada x dicta la posición en la que la bola se encuentra en su punto más alto. Introduciendo ahora este valor de x en nuestra ecuación original, tenemos

    h(-9.2)=-0.3(-9.2)2-2.7(-9.2)+1.8h(-9.2)=7.875

    Por tanto, el punto más alto que puede alcanzar la pelota desde el suelo es de 7,875 metros.

    El movimiento de un péndulo sigue una curva parabólica modelada por

    p(x)=0.22x2+x-1.6,

    donde p(x) es la longitud del péndulo desde su punto de suspensión en centímetros. Determina la longitud del péndulo desde la barra cuando la cuerda del péndulo forma un ángulo recto con el punto de suspensión.

    Ejemplo 10, Originales de StudySmarter

    Ejemplo 10, StudySmarter Originals

    Solución

    Utilizaremos el método de la línea de simetría para abordar este problema. En primer lugar, observa que el coeficiente de x2 es a = 0,22 > 0. Como es positivo, nuestro punto de inflexión es un mínimo. Como puedes ver arriba, la parábola se curva hacia abajo, como es debido. Aquí, b = 1. Aplicando la fórmula de la ecuación de la recta de simetría, obtenemos

    x=-b2ax=-12(0.22)x=-2511

    Sustituyendo este valor de x en nuestra ecuación original obtenemos

    p2511=0.2225112+2511-1.6p2511=-301110p2511-2.74 (correct to 2 decimal places)

    Como se trata de longitudes, podemos tomar este valor como positivo, ya que no existe la distancia negativa. Por tanto, la longitud del péndulo desde la barra cuando la cuerda del péndulo se encuentra en ángulo recto respecto al punto de suspensión es de 2,74 centímetros.

    Inténtalo tú mismo: Intenta utilizar los otros métodos para hallar los puntos de inflexión de estas dos preguntas anteriores. ¿Te dan la misma respuesta?

    Puntos de inflexión - Puntos clave

    • El punto de inflexión de una gráfica es un punto en el que la curva cambia de dirección.
    • El punto de inflexión de una gráfica se denota mediante las coordenadas (x, y).
    • Para una función cuadrática de la forma y = ax2+ bx + c,
      • Si a < 0 el punto de inflexión es un mínimo y es el punto más bajo de la curva.
      • Si a > 0 el punto de inflexión es un máximo y es el punto más alto de la curva.
    • Métodos para hallar el punto de inflexión de una gráfica
      • Línea de simetría
      • Factorización
      • Completar el cuadrado
      • Diferenciación
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    Preguntas frecuentes sobre Puntos de inflexión
    ¿Qué es un punto de inflexión en matemáticas?
    Un punto de inflexión es donde una curva cambia su concavidad, pasando de cóncava a convexa o viceversa.
    ¿Cómo se identifica un punto de inflexión?
    Para identificar un punto de inflexión, se calcula la segunda derivada de una función y se busca donde cambia de signo.
    ¿Qué significa un punto de inflexión en una gráfica?
    Un punto de inflexión en una gráfica indica el lugar donde la pendiente cambia de aumentar a reducir o viceversa.
    ¿Es posible que una función no tenga puntos de inflexión?
    Sí, es posible que una función no tenga puntos de inflexión si su segunda derivada nunca cambia de signo.

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