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Regístrate gratisSea \(f(x)\) una función diferenciable. Para hallar la derivada de su inversa, también necesitas que sea una(n) función _______.
La regla para hallar la derivada de la inversa de una función es:
La siguiente expresión denota la derivada de la inversa de una función:
El último paso para hallar la derivada de la inversa de una función es tomar la _________ de \(f'\left(f^{-1}(x)\right) \).
Una función compuesta con su inversa, es decir, \( f\left( f^{-1}(x)\right) \), es igual a:
Supón que una función es invertible pero no diferenciable. ¿Puedes hallar la derivada de su inversa?
Sea \(f(x)\) una función arbitraria. La expresión \(\frac{1}{f(x)}\) denota su ________.
Sea \(f(x)\) una función arbitraria. La expresión \(f^{-1}(x)\) denota su ________.
¿Puedes utilizar la regla de la derivada de la inversa de una función si no conoces la derivada de la función original?
Sea \(f(x)\) una función diferenciable. Para hallar la derivada de su inversa, también necesitas que sea una(n) función _______.
La regla para hallar la derivada de la inversa de una función es:
La siguiente expresión denota la derivada de la inversa de una función:
El último paso para hallar la derivada de la inversa de una función es tomar la _________ de \(f'\left(f^{-1}(x)\right) \).
Una función compuesta con su inversa, es decir, \( f\left( f^{-1}(x)\right) \), es igual a:
Supón que una función es invertible pero no diferenciable. ¿Puedes hallar la derivada de su inversa?
Sea \(f(x)\) una función arbitraria. La expresión \(\frac{1}{f(x)}\) denota su ________.
Sea \(f(x)\) una función arbitraria. La expresión \(f^{-1}(x)\) denota su ________.
¿Puedes utilizar la regla de la derivada de la inversa de una función si no conoces la derivada de la función original?
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La pantalla de un electrocardiograma
La información recogida por un aparato se transforma primero mediante una función, para que pueda ser procesada. Una vez hecho esto, es necesario deshacer la transformación utilizando una función inversa. Este procesamiento puede consistir en hallar una derivada, ¡y a veces incluso es posible trabajar con la derivada de la propia función inversa! En este artículo veremos cómo se hace.
Si conoces la derivada de una función, puedes hallar la derivada de su inversa sin utilizar la definición de derivada. A continuación te explicamos cómo puedes hacerlo.
Sea \( f(x) \) una función invertible y diferenciable, y sea \( f^{-1}(x) \) su inversa. Si \( f^{-1}(x) \) es diferenciable, su derivada viene dada por la siguiente fórmula:
$$\left( f^{-1}(x) \right)' (x) = \frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}.$$
Esto significa que tienes que hallar la derivada de \( f(x) \) y hallar su composición con \( f^{-1}(x). \) Suponiendo que se conoce \( f^{-1}(x) \), este procedimiento puede resumirse en los siguientes pasos:
Halla la derivada de \( f(x) \), es decir, halla \( f'(x). \)
Halla la composición \( f' \izquierda( f^{-1}(x) \derecha). \)
Toma el recíproco de \( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
Esto se entiende mejor viendo algunos ejemplos.
Hay una gran variedad de funciones invertibles que podemos diferenciar, así que veamos algunos ejemplos.
Las funciones de raíz cuadrada y las funciones cuadráticas son inversas entre sí. Puedes hallar la derivada de una función cuadrática utilizando la regla de potencias y, a continuación, utilizar este resultado para hallar la derivada de una función de raíz cuadrada.
Considera la función \( f(x)=x^2. \) Su inversa es la función raíz cuadrada \( f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \) Halla la derivada de la función raíz cuadrada.
Responde:
1. Halla la derivada de \( f(x).\)
Para utilizar la fórmula de la derivada de una función inversa, primero tienes que hallar la derivada de \( f(x). \) En este caso puedes utilizar la Regla de Potencia, así
$$f'(x)=2x.$$
2. Encuentra la composición \( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
Puedes hallar la composición utilizando \( f^{-1}(x) \) como entrada de \( f'(x). \) Toma la derivada
$$f'(x)=2x,$$
y sustituye \(x \) por \(\sqrt{x},\), lo que te da
$$f' \left( f^{-1}(x) \right) = 2\sqrt{x}.$$
3. Toma el recíproco de \$( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
El último paso consiste en tomar el recíproco de la expresión que acabas de obtener en el último paso, de modo que
$$\left( f^{-1}\right)' (x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
Veamos ahora un ejemplo de función cúbica.
Considera la función \( g(x)=x^3. \) Su inversa es la función raíz cúbica \( g^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}.\) Halla la derivada de la función raíz cúbica.
Responde:
Puedes hallar la derivada de la función raíz cúbica siguiendo un procedimiento similar.
1. Halla la derivada de \( g(x).\)
Puedes utilizar la Regla de Potencia para hallar la derivada de \( g(x), \)
$$g'(x)=3x^2.$$
2. Halla la composición \( g' \izquierda( g^{-1}(x) \derecha ). \)
A continuación, debes hallar la composición de la derivada anterior con la función raíz cúbica, de modo que
$$\begin{align}$g' \left( g^{-1}(x) \right) &= 3\left( \sqrt[3]{x}\right)^2 \\[0,5em] &=3x^{^2/_3}. \fin{align}$$
3.Toma el recíproco de \( g' \left( g^{-1}(x) \right). \)
Por último, toma el recíproco de la expresión que has obtenido en el paso anterior, que puede reescribirse utilizando las propiedades de los exponentes
$$\begin{align}\left( g^{-1}\right)' (x) &= \frac{1}{3x^{^2/_3}} |[0,5em] &= \frac{1}{3}x^{^-2}/_3}.\final{align}$$
Aunque puedes hallar la derivada de funciones logarítmicas utilizando la definición de derivada, también puedes utilizar el hecho de que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
Sea \( f(x)=e^x.\) La inversa de la función exponencial es la función logaritmo natural, es decir \( f^{-1}(x)=\ln{x}.\) Hallamos la derivada de la función logaritmo natural.
Contesta:
1. Halla la derivada de \( f(x).\)
Empieza por hallar la derivada de la función exponencial, que es ella misma, es decir
$$f'(x)=e^x.$$
2. Halla la composición \( f' \izquierda( f^{-1}(x) \derecha). \ )
Que la derivada de una función exponencial sea ella misma facilita bastante la composición, ya que una función compuesta con su inversa es igual a \( x, \) es decir
$$\begin{align}f' \left( f^{-1}(x) \right) &= e^{\ln{x}} \[0,5em] &= x. \fin{align}$$
3.Toma el recíproco de \( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
Por último, toma el recíproco de la expresión del paso anterior para obtener la derivada de la función logarítmica natural
$$\left( f^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{x}.$$
¡Este procedimiento es una excelente alternativa para hallar la derivada de la función logarítmica natural utilizando la definición de derivada!
Hay dos errores comunes al hallar la derivada de una función inversa.
Hacer la composición en el orden incorrecto.
Olvidar tomar el recíproco de la composición.
Veamos cada uno de ellos.
Un error frecuente es hacer la composición en el orden equivocado. Recuerda que, en general
$$f'\left( f^{-1}(x)\right) \neq f^{-1}\left( f'(x) \right).$$
Veamos un ejemplo de composición realizada en el orden incorrecto.
Volvamos al ejemplo de la función cuadrática \( f(x)=x^2. \) Has encontrado que su derivada es \(f'(x)=2x\) y su inversa es \( f^{-1}(x)=\sqrt{x}.\) ¿Qué ocurre si haces la composición en el orden incorrecto? Tendrías
$$f^{-1}\left( f'(x) \right) = \sqrt{2x},$$
que tiene una \(2\) dentro de la raíz cuadrada, en lugar de fuera de ella, como hemos visto antes. Ni siquiera necesitas tomar el recíproco, ¡esto ya te dará un resultado distinto!
Otro error frecuente es olvidarse de tomar el recíproco después de hallar la composición. Es decir
izquierda( f^{-1}(x)\derecha) ' (x) \neq f'izquierda( f^{-1}(x)\derecha),$$$
así que recuerda siempre tomar el recíproco de la composición
Izquierda( f^{-1}(x)\derecha) ' (x) = \frac{1}{f'\izquierda( f^{-1}(x)\derecha)}.$$
Las funciones inversas de las funciones trigonométricas suelen llamarse simplemente funciones trigonométricas inversas. También se conocen como funciones de arco. Puedes utilizar la Fórmula de la derivada de una función inversa para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
Sea \( f(x)=\sin{x}.\) La función seno inversa es \( f^{-1}(x)=\arcsin{x}.\)
Halla la derivada de la función seno inversa.
Contesta:
1. Halla la derivada de \( f(x).\)
En primer lugar, necesitas la derivada de la función seno (echa un vistazo a nuestras Derivadas de funciones trigonométricas si necesitas un repaso)
$$f'(x)=\cos{x}.$$
2. Encuentra la composición \( f' \izquierda( f^{-1}(x) \derecha). \ )
Si intentas hacer la composición ahora mismo, sería un poco complicado. En su lugar, puedes utilizar la identidad pitagórica
$$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$$
para reescribir \( f'(x) \) en términos de la función seno, es decir
$$f'(x)=\sqrt{1-\sin^2{x}}.$$
De este modo, al componer el seno y el seno inverso obtendrás \( x,\) por lo que la composición viene dada por
$$\begin{align} f' \left( f^{-1}(x) \right) &= \sqrt{1-\left( \sin{ \left( \arcsin{x} \right) } \derecha)^2} \[0,5em]&= \sqrt{1-x^2}.\end{align}$$
3.Toma el recíproco de \( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
Como de costumbre, el último paso consiste en tomar el recíproco de la expresión anterior
$$\left( f^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
lo que te da la derivada de la función seno inversa.
Se puede utilizar un procedimiento similar para hallar la derivada de la función tangente inversa. Veamos el siguiente ejemplo.
Sea \( g(x)=\tan{x}.\) La función tangente inversa es \( g^{-1}(x)=\arctan{x}.\) Halla la derivada de la función tangente inversa.
Contesta:
1. Halla la derivada de \( g(x).\)
Empieza por hallar la derivada de la función tangente, es decir
$$g'(x)=\sec^2{x}.$$
2. Encuentra la composición \( g' \izquierda( g^{-1}(x) \derecha). \ )
Al igual que en la derivada del seno inverso, tienes que escribirla en términos de la función tangente. Esta vez la identidad pitagórica
$$\tan^2{x}+1=\sec^2{x}$$
hace el trabajo. De este modo, la derivada de la función tangente es
$$g'(x)=\tan^2{x}+1.$$
Esto hace que la composición sea bastante más sencilla, así
g' \left( f^{-1}(x) \right) &= \left( \tan{ \left( \arctan{x} \right) } \right)^2+1 \[0.5em]&= x^2+1,\end{align}$$
3.Toma el recíproco de \( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
Por último, toma el recíproco de la expresión obtenida en el paso anterior para obtener
$$\left( g^{-1} \right)'(x)=\frac{1}{x^2+1}.$$
Las funciones pueden representarse de muchas formas. Tomemos por ejemplo una tabla de valores
| \( x \) | \( f(x)=x^2 \) |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
Puedes utilizar la tabla anterior para hallar la pendiente de una recta secante a la función tomando dos puntos y aplicando la fórmula de la pendiente
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]
como se muestra en la siguiente imagen.
Fig. 1. Gráfica de una recta secante a la función en dos puntos.
En la imagen anterior, los puntos \( (1,f(1)) \) y \( (2,f(2)) \) sirven para la recta secante, por lo que su pendiente es
\[ \begin{align} m &= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} &= \frac{4-1}{1} \\ &= 3. \fin \]
Cambiando los valores de la tabla puedes obtener la inversa de la función original, en este caso obtendrás la función raíz cuadrada.
| \( x \) | \( f^{-1}(x) \) |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
También puedes encontrar una recta secante a la función raíz cuadrada utilizando dos puntos. El primer punto puede seguir siendo el mismo, ya que lo comparten ambas funciones. Para el segundo punto, en lugar de utilizar \( (2,f^{-1}(2)) \) tienes que componer la función, es decir, tienes que utilizar \( (f(2),f^{-1}(f(2))).\) Por tanto, la secante correspondiente utiliza \( (1,f^{-1}(1)) \) y \( (4,f^{-1}(4)) \) en su lugar, como se muestra en la siguiente imagen.
Fig. 2. Gráfica de una recta secante a la función inversa en dos puntos.
Esta vez los puntos \( (1,f^{-1}(1)) \) y \( (4,f^{-1}(4)) \) se utilizan para la recta secante, por lo que su pendiente es
\m &= \frac{f^{-1}(4)-f^{-1}(1)}{4-1} &= \frac{2-1}{3} \\ &= \frac{1}{3}. \fin{align} \]
Observa que la pendiente de la secante de la función inversa es la recíproca de la pendiente de la recta secante a la función original. Además, necesitas componer la función y la inversa para hallar la pendiente anterior. ¿Te suenan estos pasos?
La pendiente de las rectas secantes se relaciona con las derivadas mediante un límite. El razonamiento anterior sigue funcionando a medida que tomas intervalos más pequeños, conectando con la fórmula de la derivada de una función inversa.
La demostración de la derivada de una función inversa utiliza el hecho de que la composición de una función y su inversa es igual a la función identidad, es decir
$$f\left(f^{-1}(x)\right)=x.$$
A continuación, diferencia ambos lados de la ecuación. Utiliza la regla de potencias para diferenciar el lado derecho de la ecuación, de modo que
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\left(f^{-1}(x)\right) = 1.$$
El lado izquierdo de la ecuación se puede diferenciar mediante la regla de la cadena, con lo que se obtiene
$$f'\left(f^{-1}(x)\right) \left( f^{-1} \right) ' (x)=1,$$
y, por último, puedes aislar la derivada de la función inversa
$$\left( f^{-1}(x) \right)'(x)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(x) \right)}.$$
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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