Tasa de cambio instantánea

Tasa de variación instantánea en un punto

En el artículo adjunto sobre la Tasa de variación media, se ha tratado cómo calcular la tasa de variación de una cantidad a lo largo de un intervalo considerable de otra cantidad, pero ¿qué ocurre con la tasa de variación en un momento concreto? En un sentido amplio, queremos saber cómo cambia una cantidad en un momento concreto y no a lo largo de una gran parte del mismo.

La Tasa de Cambio Instantánea en un punto es la pendiente de la curva en ese punto. Recuerda la definición de gradiente: el gradiente en un punto nos indica la tasa de cambio en ese punto.

La tangente en un punto significa su pendiente, StudySmarter Originals

En el diagrama anterior, supongamos que queremos conocer la Tasa de Cambio Instantánea en el punto A, entonces necesitamos hallar el gradiente de la curva en el punto A. Y el gradiente en ese punto es la pendiente en ese punto.

Para cualquier curva, variará de un punto a otro y la pendiente en ese punto debe calcularse individualmente.

Un caso especial e intrigante es una línea recta, en la que la pendiente en cada punto sería la misma y, por tanto, la tasa de variación instantánea sería igual a la tasa media en cualquier intervalo.

Tasa de variación instantánea mediante cálculo

Aquí resulta muy útil una importante herramienta del cálculo, la diferenciación . Recuerda que diferenciar una función es hallar la pendiente de la curva en ese punto. Pero la pendiente en ese punto, como hemos visto, es latasa de variación instantánea en ese punto. Por tanto, podemos utilizar el cálculo para hallar la tasa de variación.

Sea $y=f\left(x\right)$ una función que describe una curva y supongamos que la función es continua y diferenciable en el intervalo adecuado. Entonces la pendiente de la gráfica en un punto $\left(x_1,y_1\right)$ viene dada por:

$Slope=\frac{dy}{dx}$ $evaluatedat\left(x_1,y_1\right)$

Y ésta es la fórmula de la tasa de variación instantánea de y respecto a x en ese punto.

La tasa de variación instantánea en un punto, StudySmarter Originals

También podemos calcular la tasa de variación instantánea de x con respecto a y calculando $\frac{dx}{dy}$ en ese punto. Como la mayoría de las funciones se dan explícitamente en términos de x, podemos utilizar la siguiente identidad para hallar la tasa de variación instantánea de x respecto a y;

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$

Esto implica una propiedad muy crucial: la tasa de variación instantánea de y respecto a x es recíproca de la tasa de variación instantánea de x respecto a y.

Tasa de variación instantánea como límites

Ya hemos visto cómo podemos calcular la tasa de variación instantánea utilizando derivadas, pero ¿de dónde sale? ¿Cómo lo deducimos? Aquí exploraremos cómo ayudan los límites a relacionar la tasa de variación instantánea con las derivadas.

Recuerda que la tasa de variación media se toma a lo largo de un intervalo grande y viene dada por $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ para una función$y=f\left(x\right)$.

La tasa media de cambio en dos puntos, StudySmarter Originals

Si acercamos cada vez más los puntos A y B, acabarán convirtiéndose en un único punto. Esta es la razón por la que utilizamos la condición límite $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }$ y $\underset{\Delta y\to 0}{\lim }$ para evitar que ambos puntos se fusionen.

Observa ahora que a medida que A y B se acercan más y más, la distancia entre ellos es infinitesimalmente pequeña y la recta que trazamos a través de ellos se convierte en una recta tangente:

Dos puntos infinitesimalmente próximos, StudySmarter Originals

Como puede verse, a medida que la distancia entre los puntos se aproxima a 0, la recta secante se convierte en una recta tangente y la razón de cambio media se convierte en una razón de cambio instantánea en ese punto. Si hacemos zoom sobre los dos puntos, vemos que la curva se convierte en una recta y nuestra proposición de tangente queda geométricamente justificada:

Dos puntos infinitamente próximos que resultan en una tangente, StudySmarter Originals

Podemos nombrar las coordenadas en A como $\left(x,f\left(x\right)\right)$ y dejar las coordenadas del punto B como $(x+a,f\left(x+a\right))$ ya que los valores variarán muy poco al estar muy próximos entre sí. Por tanto, tenemos $x_1=x$, $x_2=x+a$ y $y_1=f\left(x\right)$, $y_2=f\left(x+a\right)$.

Utiliza ahora la fórmula de la pendiente:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+a\right)-f\left(x\right)}{x+a-x}$$=\frac{f\left(x+a\right)-f\left(x\right)}{a}$

Ahora, como los puntos están muy próximos, podemos utilizar la condición límite:

$\underset{a\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}$$=\underset{a\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+a\right)-f\left(x\right)}{a}$

Ahora recuerda de la definición de derivada que:

$\frac{dy}{dx}=\underset{a\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+a\right)-f\left(x\right)}{a}$

Esto nos da finalmente la fórmula de Tasa de variación instantánea en un punto, ya que A y B acaban fusionándose en un único punto bajo la condición límite.

Ejemplos de Tasa de Cambio Instantánea