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Así, por ejemplo, si una función tomara un número del conjunto A al B y otra función tomara un número del conjunto B al C, la compuesta tomaría un número del conjunto A directamente al C.
Aquí tienes un diagrama que muestra cómo las funciones f(x) y g(x) pueden transformar una entrada en una salida.
Una imagen que ilustra las funciones compuestas
Los valores de los conjuntos se pueden asignar a otros conjuntos mediante funciones compuestas.
Propiedades de las funciones compuestas
Hay propiedades importantes de las funciones compuestas que debemos recordar:
| Nombre de la propiedad | Definición |
| Asociativa | Si las funciones son componibles, siempre son asociativas. Esto significa que no importa dónde estén situados los paréntesis en una función, no hay diferencia en el resultado global de la función. Por tanto, si f, g, h son componibles, entonces \(f(gh(x)) = (fg)h(x)\). |
| Conmutativo | Si las funciones son componibles significa que no son necesariamente conmutativas. La conmutatividad se da cuando intercambiar el orden de composición de la función, no la afecta, por ejemplo (ab=ba). |
| Uno a uno | Una función compuesta uno a uno es aquella en la que hay una única salida por cada entrada. También existe una función muchos-a-uno, en la que muchas entradas pueden dar la misma salida. En la definición de una función, ninguna función compuesta puede ser de uno a muchos. |
| Inversa | En una función compuesta debe existir una inversa, por lo que no puede haber una salida para la que no exista una entrada. |
¿Cómo encontramos una función compuesta?
Esencialmente, estamos realizando una función de una función. Digamos que intentamos hallar \(h(x) = fg(x)\).
Primero tomaríamos g(x) (la salida de x) y luego la utilizaríamos como entrada en f(x), obteniendo así fg(x). Veamos un ejemplo práctico.
Ejemplos de funciones compuestas
\(f(x) = 3x + 2\) y \(g(x) = 5x -1\). Si \(h(x) = fg(x)\), halla el valor de h(2).
Pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(2) = fg(2)\) |
Paso 2: Halla primero la salida de la función interior. | \(g(2) = 5(2) - 1 = 9\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(f(9) = 3(9) + 2 = 29\) |
| RESPUESTA FINAL | \(h(2) = 29\) |
Pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(x) = fg(x)\) |
Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior. | \(g(x) = 5x -1\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(f(5x-1) = 3(5x-1) +2 = 15x - 3 + 2 = 15x -1\) |
| RESPUESTA FINAL | \(h(x) = 15x -1\) |
\(f(x) = 3x +2\). Halla \(f^2(x)\).
Pasos | Ejemplo |
Paso 1: reescribe \(f^2(x)\). | \(f^2(x) = ff(x)\) |
Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior. | \(f(x) = 3x +2\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(f(3x +2) = 3(3x+2) + 2 = 9x + 6 + 2 = 9x+8\) |
| RESPUESTA FINAL | \(f^2(x) = 9x+8\) |
¿Cuáles son algunas funciones compuestas más difíciles?
A veces pueden entrar en juego funciones cuadráticas, trigonométricas y recíprocas, pero la lógica es exactamente la misma que con los ejemplos lineales más fáciles que hemos visto antes. Veamos algunos ejemplos más trabajados.
\(f(x) = \cos(x), \espacio g(x) = 3x -2. \espacio h(x) = gf(x)\). Halla el valor de h(90).
pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(90) = gf(90)\) |
Paso 2: Halla primero la salida de la función interior. | \(f(90) = \cos(90) = 0\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(g(0) = 3(0) - 2 = 0-2 = -2\) |
| RESPUESTA FINAL | \(g(0) = -2\) |
\(f(x) = \tan^{-1}(x)\), con \(0 \leq tan^{-1}(x) \leq 2 \pi\ ), \(g(x) = x^2 + 6x -8\). \(h(x) = gf(x)\). Halla el valor de h(1).
pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(1) = gf(1)\) |
Paso 2: Halla primero la salida de la función interior. | \(\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}\) |
Paso 3: Sustituye el resultado obtenido por la entrada de la función externa. | \(\frac{\pi}{4} \big)^2 + 6 \big( \frac{\pi}{4} \big) - 8 = -2,67076074455\) |
| RESPUESTA FINAL | \(h(1) = -2.67076074455\) |
\(f(x) = \tan^{-1}(x), \espacio g(x) = 3-x^2. \espacio h(x) = gf^{-1}(x)\). Halla \(h(x)\)
pasos | Ejemplo |
Paso 1: Reescribe h (x). | \(h(x) = gf^{-1}(x)\) |
Paso 2: Encuentra primero la salida de la función interior. | \(f^{-1}(x) = \tan(x)\) |
Paso 3: Sustituye esta salida recién hallada como entrada en la función exterior. | \(g(\tan(x)) = 2 -\tan^2(x)\) |
| RESPUESTA FINAL | \(h(x) = 3 - \tan^2(x)\) |
Funciones compuestas - Puntos clave
- Se habla de funciones compuestas cuando se realiza una combinación de funciones para obtener un resultado común.
- Realiza siempre primero la función interior antes de introducir este valor en la función exterior.
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