Momentos y Equilibrio

Relación entre momento y equilibrio

Si coges el dedo meñique e intentas cerrar con él una puerta abierta colocando el dedo cerca del picaporte, la puerta se cerrará fácilmente. Ahora vuelve a intentar cerrar la puerta con el dedo meñique, pero esta vez intenta empujar la puerta colocando el dedo cerca de la bisagra. ¿Se cierra la puerta tan fácilmente como cuando acercaste el dedo meñique a la manilla?

Sería mucho más difícil cerrar la puerta con el dedo colocado cerca de la bisagra. ¿Por qué? La distancia, o concretamente la distancia perpendicular, entre la bisagra y la manilla de la puerta es mayor, por lo que la fuerza generada para producir el efecto de giro también es mayor.

Fig. 2: La distancia \(d_2\) generaría una fuerza de giro mayor que \(d_1\).

A menudo utilizamos fuerzas para hacer girar un objeto, es decir, necesitamos fuerzas para crear un momento. Un momento también puede explicar por qué es más fácil utilizar una llave más larga que una más corta.

La fuerza en el punto A generaría un efecto de giro menor en comparación con la fuerza en el punto B. Wikimedia

Momento de una fuerza

Podemos calcular el momento de una fuerza mediante la ecuación

\[M=Fd\]

Donde $\mathrm{M}$ es el momento en Nm, $\mathrm{F}$ es la fuerza en Newtons, y $\mathrm{d}$ es la distancia a lo largo de la normal a la fuerza en m. Algo importante a tener en cuenta en la ecuación anterior es que la distancia $\mathrm{d}$ es la distancia perpendicular de la línea de acción de la fuerza al pivote. Por tanto, es necesario aplicar una fuerza mayor lejos del punto de pivote para obtener un momento mayor.

Por distancia perpendicular se entiende una distancia en ángulo recto. En la figura siguiente, la distancia perpendicular es desde el punto en el que actúa la fuerza aplicada A hasta el pivote B (centro de la tuerca), ya que la fuerza y la distancia al pivote forman ángulos rectos entre sí.

La fuerza aplicada forma un ángulo recto con la distancia al pivote. Adaptado de Wikimedia.

Si resulta que la fuerza aplicada no está en ángulo recto, como se muestra en la figura siguiente, el momento producido a su vez también será menor. La distancia desde el pivote B a la fuerza aplicada A no es perpendicular en la figura de abajo; pero no hay por qué preocuparse, ya que la distancia perpendicular vendrá dada en cualquier problema que se te pida resolver.

La fuerza aplicada en ángulo a la distancia del pivote no cuenta como distancia perpendicular. Adaptado de Wikimedia.

Observa que un momento puede ser en el sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo) o en el sentido de las agujas del reloj (sentido negativo), ya que se trata esencialmente de una rotación que puede ser en cualquier sentido dependiendo de la distancia y del sentido de la fuerza aplicada. Ahora bien, por supuesto, también puede haber más de un momento actuando sobre un objeto, por ejemplo, dos personas en un balancín. Pero, las direcciones horaria y antihoraria y los momentos múltiples conducen a un concepto importante en física conocido como principio de equilibrio de un momento o, simplemente, principio del momento.

El principio de momento y equilibrio

Una balanza de medición mecánica como la de la figura siguiente demuestra el principio de momento y equilibrio. Utilizamos balanzas para comparar el peso de dos cuerpos.

Las balanzas se utilizan para comparar la diferencia de masa entre dos objetos. Wikimedia.

Cuando los pesos están desequilibrados, el instrumento se inclina de modo que la balanza con el objeto más pesado baja y la balanza con el objeto más ligero sube. Esta "inclinación" es el momento contrario a las agujas del reloj o a las agujas del reloj que se produce debido al desequilibrio de las fuerzas descendentes en ambos lados. Como la longitud de cada brazo del que cuelgan las balanzas es la misma, si queremos equilibrar el instrumento, el peso de los objetos de ambos lados debe ser el mismo. Esto hará que el momento horario y el momento antihorario sean iguales y, por tanto, el cuerpo estará en equilibrio.

Una balanza está en equilibrio si el momento horario y el momento antihorario se igualan. Adaptado de Wikimedia.

Ejemplos de momentos y equilibrio

Supongamos que Juan está sentado en el lado derecho del balancín respecto a nosotros. La Fuerza debida a su peso es $600\mathrm{N}$ y está sentado a una distancia $2\mathrm{m}$ distancia del pivote. Como ya se ha dicho, los momentos pueden ser en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, y en el caso de Juan, el momento producido sería en el sentido de las agujas del reloj. El momento en el sentido de las agujas del reloj para el caso de Juan sería:

$$\begin{gathered} \mathrm{M}=\mathrm{Fd} \\ \mathrm{M}=600\mathrm{N}\times 2\mathrm{m} \\ \mathrm{M}=1200\mathrm{N}\mathrm{m} \end{gathered}$$

En este diagrama, el momento total que actúa sobre el balancín es en el sentido de las agujas del reloj (negativo) porque hay un momento que actúa en el sentido de las agujas del reloj debido al peso de la persona sentada en el balancín.

Poco después, Pedro se une a Juan en el balancín, lo que crearía un momento en sentido contrario a las agujas del reloj. Si tuviéramos que calcular el momento total del balancín, tendríamos que tener en cuenta tanto el momento en el sentido de las agujas del reloj como el momento en sentido contrario, y luego ver qué momento es mayor que el otro.

El balancín genera un momento en el sentido de las agujas del reloj y otro en sentido contrario, como resultado de dos fuerzas que actúan en la misma dirección en extremos opuestos. Adaptado de Wikimedia.

Si de algún modo los dos momentos se igualaran, es decir, si el momento contrario a las agujas del reloj fuera igual al momento de las agujas del reloj, el balancín no giraría. En otras palabras, si los momentos se igualaran, el balancín estaría en equilibrio, que es lo que establece el principio del momento.

Momentos y ecuación de equilibrio

En la situación de Pedro y Juan, ¿cuál es la distancia desde el equilibrio a la que tendría que sentarse Pedro para que el balancín alcanzara el equilibrio? Hemos calculado el momento generado por la fuerza de Juan, por lo que el momento de Pedro tiene que ser igual al momento de Juan. Sabemos que la fuerza sobre el extremo de Pedro es $800\mathrm{N}$ por lo que podemos escribir

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{clockwise}\mathrm{moments}& =& \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{anticlockwise}\mathrm{moments}\\ {\mathrm{F}}_1{\mathrm{d}}_1& =& {\mathrm{F}}_2{\mathrm{d}}_2\\ 600\mathrm{N}\times 2\mathrm{m}& =& 800\mathrm{N}\times {\mathrm{d}}_2\\ {\mathrm{d}}_2& =& \frac{600\mathrm{N}\times 2\mathrm{m}}{800\mathrm{N}}\\ {\mathrm{d}}_2& =& 1.5\mathrm{m}\end{array}$

Así que Pedro tendría que sentarse a una $1.5\mathrm{m}$ distancia del pivote para que el balancín estuviera equilibrado.

Aplicaciones de los momentos y equilibrios

Hay una serie de aplicaciones de los momentos y equilibrios que utilizamos en nuestra vida cotidiana. Aquí enumeraremos y comentaremos algunos ejemplos como una forma divertida de terminar este artículo.

Un ejemplo clásico que ya hemos considerado es el balancín. Esta sencilla pero divertida pieza de juego no podría funcionar sin los principios de los momentos. El momento de en cada extremo de un balancín es suministrado por la acción de patada de las personas sentadas en cualquiera de los brazos del balancín, o por ellas inclinándose hacia atrás para cambiar su centro de masa de modo que esté más lejos del pivote.

Otra aplicación que hemos estudiado es el ejemplo de las balanzas. Las balanzas funcionan según el principio de que los momentos equilibrados en sentido horario y antihorario hacen que el sistema considerado se encuentre en estado de equilibrio, es decir, no hay movimiento neto porque el momento neto es igual a cero. Podemos equilibrar un objeto en un lado de la balanza e ir añadiendo pesos de masa conocida en el otro lado de la balanza hasta que la balanza esté equilibrada. Sumando la masa de las pesas necesarias para equilibrar la balanza obtendremos la masa total del objeto que se pesa.