Como es posible que ya sepas, o te suene:
Las asíntotas son esas líneas rectas que aparecen en las gráficas de funciones a las cuales se acerca —poco a poco— la función, pero que no llega a rebasar nunca.
En este artículo te explicaremos los distintos tipos de asíntotas que puede presentar una función, así como de qué manera se pueden calcular y representar.
Sin embargo, antes de adentrarnos en este tema, te aconsejamos echarle un vistazo a los artículos sobre cálculo de límites y la regla de L'Hôpital, que se necesita para calcular asíntotas en muchas funciones.
Asíntotas de una función
Hay muchas curvas que se acercan a un determinado valor de una función, pero nunca lo alcanzan. En otras palabras: la función converge a un determinado valor de \(y\), pero nunca lo alcanza, solo se acerca cada vez más. Algunos ejemplos típicos son las funciones exponencial y logarítmica. La recta que limita estas funciones se conoce como asíntotas.
Una asíntota se define rigurosamente como sigue:
Se conoce como asíntota a la recta que se aproxima constantemente a una curva y la limita virtualmente, pero que nunca se encuentra con ella.
Asimismo, la asíntota es la recta a la que la curva se aproxima y se desplaza hacia el infinito. Decimos que se desplaza porque la asíntota y la curva nunca se encuentran realmente, pero parece que lo hicieran en el infinito.
En términos matemáticos, el símbolo \(\infty\) significa un infinito positivo; un número infinitamente grande, tan grande que no podemos escribirlo numéricamente, que no tiene un valor determinado y no puede definirse rigurosamente. De ahí que, a menudo, se sustituya por "no definido". Del mismo modo, \(-\infty\) se refiere al infinito negativo: un número que está infinitamente lejos en la recta numérica en sentido negativo y que no puede escribirse cuantitativamente, por lo que también se suele sustituir por "no definido".
Existen tres tipos de asíntotas:
Horizontales.
Verticales.
Oblicuas.
Representación gráfica de las asíntotas
Una vez que hayas determinado si una función presenta asíntotas, puede que quieras representar la función o las asíntotas. Esto se puede lograr de manera muy sencilla:
Si has determinado que la función presenta una asíntota horizontal, represéntala como una línea horizontal que cruce con el eje \(y\) en el valor calculado \(b\).
Si has determinado que la función presenta una asíntota vertical, represéntala como una línea vertical que cruce con el eje \(x\) en el punto donde has calculado el límite (que es el punto de discontinuidad).
Si has determinado que la función presenta una asíntota oblicua, represéntala como una recta con la ecuación dada por los valores calculados: es decir, la pendiente y la ordenada en el origen.
Asíntota horizontal
Como su nombre indica, las asíntotas horizontales son horizontales; es decir, paralelas al eje x. La pendiente de cualquier recta horizontal es \(0\). Veamos, de nuevo, el ejemplo de una función decreciente:
Fig. 1: Asíntota horizontal con respecto a una función \(y=f(x)\).
Nota que la asíntota (la recta) nunca se encuentra con la curva, ni siquiera la toca. Puede parecer que se encuentran en algún punto, pero solo se acercan. A medida que el valor de \(x\) tiende a \(\infty\), la función tiende a un determinado valor.
Para una curva descrita por la función \(y=f(x)\), si esta tiende a un valor constante —concretamente \(b\)—, entonces la ecuación de la recta viene dada por \(y=b\), que es la asíntota de la curva dada. Dicho de otro modo: \(y=f(x)\to b\), a medida que \(x \to \infty\) (el símbolo \(\to\) denota que tiende; como frase, puede leerse "a medida que \(x\) tiene a \(\infty\)").
Como la curva solo se aproxima al valor, se puede expresar mediante un límite como:
\[\lim_{x\to\infty} f(x)=b\]
o
\[\lim_{x\to -\infty} f(x)=b\]
- Donde la asíntota es \(y=b\).
¿Cómo encontrar las asíntotas horizontales de una función?
Para calcular las asíntotas horizontales, lo que debemos hacer es tomar los límites en el infinito de la función. Es decir, calcular:
\[\lim_{x\to\pm\infty} f(x)\]
Si este límite da como resultado una constante, podemos afirmar que hay una asíntota horizontal. Naturalmente, cada límite puede dar un número distinto, por lo que puede ocurrir que solo haya una asíntota horizontal cuando \(x\to -\infty\), otra igual o distinta cuando \(x\to\infty\), o puede que no haya ninguna o solo una.
Si una función racional está formada por un polinomio tanto en el numerador como en el denominador, puedes encontrar las asíntotas según los siguientes pasos:
Ten en cuenta que el grado de un polinomio se define como la mayor potencia de la variable.
Si el grado del polinomio en el numerador es mayor que el grado del polinomio en el denominador, entonces no existe ninguna asíntota horizontal para esa curva.
Si el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, la ecuación de la horizontal es siempre \(y=0\).
Si el grado del numerador es igual al grado del polinomio del denominador, entonces divide el coeficiente principal (el número multiplicado por la variable de mayor grado) del numerador por el coeficiente principal del denominador. El cociente de estos coeficientes principales es el valor \(y\) de la asíntota horizontal.
Recuerda que :
Una función racional se define como una función que puede expresarse como cociente de dos funciones constitutivas; es decir, \(f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\).
Practiquemos con algunos ejemplos:
Encuentra la asíntota horizontal de la función \(f(x)=\dfrac{3x-2}{4x}\).
Solución:
Calculamos el límite al infinito de esta función para determinar si existen asíntotas horizontales:
\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x-2}{4x}=\dfrac{\infty}{\infty}\]
Aplicamos el teorema de L'Hôpital:
\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4}\]
Por tanto, existe una asíntota horizontal con ecuación \(y=\dfrac{3}{4}\), y podemos ver fácilmente que existe la misma asíntota cuando \(x\to -\infty\).
Encuentra las asíntotas horizontales de la curva definida por la función \(f(x)=\dfrac{2x}{-x^2+x+3}\).
Solución:
Como es una función racional, podemos aplicar las reglas que hemos explicado anteriormente (sin embargo, sabes que siempre puedes calcular los límites en \(\pm\infty\)).
Para el numerador, observa que la mayor potencia de \(x\) es \(1\) y, por tanto, el grado del numerador es \(1\). Ahora, para el denominador se observa que la mayor potencia de \(x\) es \(2\); las potencias inferiores no cuentan para el grado.
Como el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal de esta curva es \(y=0\).
Encuentra la asíntota horizontal de la curva definida por la función \(f(x)=xe^{-x}\).
Solución:
Para determinar las asíntotas, calculamos los límites de la función cuando \(x\to\pm\infty\).
Por tanto:
\[\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=\infty · 0\]
Por la regla de L'Hôpital sabemos que esto es una indeterminación, pero que se puede reescribir así:
\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x}=\dfrac{\infty}{\infty}\]
Ahora, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:
\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{e^x}=\dfrac{1}{\infty}=0\]
Por tanto, esta función presenta una asíntota horizontal con ecuación \(y=0\) cuando \(x\to\infty\).
Entonces, vemos qué ocurre cuando \(x\to -\infty\):
\[\lim_{x\to -\infty}xe^{-x}=\infty·\infty=\infty\]
En este caso, cuando \(x\to -\infty\) no hay asíntota horizontal.
Puedes ver cómo esta es una función en la que existe una asíntota por un lado, pero no por el otro.
Asíntota vertical
Las asíntotas verticales son rectas verticales; es decir, paralelas al eje \(y\). En este caso, para un valor finito de \(x\), la función es indefinida. Puedes ver esto en la figura continuación.
Fig. 2. Función que presenta una asíntota vertical en \(x=a\).
Aquí, la función tiende a infinito cuando \(x\) se aproxima a cierto valor \(a\). Por tanto, la línea vertical es una asíntota vertical. Si la función tiende hacia \(\pm\infty\) cuando esta se acerca a un número real \(a\) por la izquierda o por la derecha, entonces en este punto hay una asíntota vertical. La ecuación de la asíntota es, entonces, \(x=a\) cuando se cumple:
\[\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty\]
o
\[\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\]
¿Cómo encontrar las asíntotas verticales de una función?
Las asíntotas verticales se encuentran en los puntos de discontinuidad de las funciones. Por tanto, para calcular las asíntotas verticales de una función, lo primero que debes determinar es el dominio de la función.
De este modo, puedes calcular los límites en estos puntos de discontinuidad, para encontrar las asíntotas verticales. Esto implica que si una función es continua en todo \(\mathbb R\), la función no presenta ninguna asíntota vertical.
Veamos:
Encuentra las asíntotas verticales de la función \(f(x)=\dfrac{x+6}{2x+4}\).
Solución:
Como esta es una función racional, sabemos que el dominio de la función presenta discontinuidades en los puntos en los que el denominador se anula. Para calcular estos puntos, igualamos el denominador a cero:
\[2x+4=0\Rightarrow x=-2\]
Ahora debemos calcular los límites al infinito de la función cuando \(x\) tiene a \(-2\), tanto por la derecha como por la izquierda. Para esto, recuerda que el límite por la izquierda es tomar valores a la izquierda del número; en este caso, valores menores pero cercanos a \(-2\). El límite por la derecha es tomar valores a la derecha del número; en este caso, valores mayores pero cercanos a \(-2\):
\[\lim_{x\to -2^-}\dfrac{x+6}{2x+4}=\dfrac{4}{0^-}=-\infty\]
\[\lim_{x\to -2^+}\dfrac{x+6}{2x+4}=\dfrac{4}{0^+}=\infty\]
Por tanto, vemos que en \(x=-2\) existe una asíntota vertical a la que la función se acerca tanto por la izquierda como por la derecha de la asíntota.
Asíntota oblicua
Las asíntotas no siempre tienen que ser exactamente horizontales o verticales, sino que pueden estar en cualquier dirección. Las que forman un ángulo con el eje \(x\) se conocen como asíntotas oblicuas.
Fig. 3: Asíntota oblicua de una función.
Se dice que una función presenta una asíntota oblicua si se cumple una o dos de las siguientes condiciones:
\[\lim_{x\to\infty}(f(x)-(mx+n))=0\]
o
\[\lim_{x\to -\infty}(f(x)-(mx+n))=0\]
Siendo, entonces, la ecuación de la asíntota oblicua \(y=mx+n\).
Si comparamos los tres tipos de asíntotas anteriores, podemos observar que las asíntotas verticales y horizontales son solo casos específicos de asíntotas inclinadas.
¿Cómo calcular las asíntotas oblicuas de una función?
A partir de lo anterior, podemos demostrar que para calcular los coeficientes de la recta, que es la asíntota oblicua, podemos hacer:
\[m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\]
Una vez calculada la pendiente de la asíntota, podemos calcular la ordenada en el origen como:
\[n=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)\]
Demuestra que la curva definida por la función \(f(x)=\dfrac{x-2}{2x+1}\) no tiene asíntotas oblicuas.
Solución:
En primer lugar, calculamos la pendiente de la que sería la asíntota oblicua, haciendo el límite al infinito de:
\[m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}\dfrac{x-2}{2x+1}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x-2}{2x^2-x}=0\]
Como la pendiente es \(m=0\), esta recta es horizontal y, por tanto, se trata de una asíntota horizontal. Para calcular su ecuación, hacemos el límite:
\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{x-2}{2x+1}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\]
En consecuencia, la asíntota horizontal tiene la ecuación \(y=\dfrac{1}{2}\).
Podemos deducir, a partir del ejemplo anterior, que las asíntotas oblicuas se presentan principalmente en funciones racionales en las que el numerador es de solo un grado superior al grado del denominador.
Determina si la función \(f(x)=\dfrac{2x^2-1}{x+2}\) tiene alguna asíntota oblicua. En caso afirmativo, calcula su ecuación.
Solución:
Para determinar si la función tiene una asíntota oblicua, debemos tomar el límite:
\[m=\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x}\dfrac{2x^2-1}{x+2}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-1}{x^2+2x}\]
Luego, tenemos que aplicar L'Hôpital:
\[m=\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x}{2x+2}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{4}{2}=2\]
Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua con pendiente \(m=2\).
Ahora calculamos la ordenada en el origen:
\[n=\lim_{x\to\infty}(\dfrac{2x^2-1}{x+2}-2x)=\lim_{x\to\infty}-\dfrac{4x+1}{x+2}=-4\]
Por tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es:
\[y=2x-4\]
También habría que determinar estos mismos límites cuando \(x\to -\infty\). En este caso, obtenemos los mismos resultados; es decir, que la función tiene una única asíntota oblicua a la cual se acerca tanto en el \(-\infty\) como en el \(+\infty\).
Por último, es posible que te hayas dado cuenta de que, al tratarse de una función racional, es probable que haya puntos de discontinuidad y, por tanto, puede haber asíntotas verticales. Efectivamente, esta función presenta una discontinuidad en \(x=-2\).
Si calculamos los límites por la derecha y por la izquierda del \(-2\) vemos que la función tiende a infinito; por tanto, \(x=-2\) es una asíntota vertical de esta misma función.
Fig. 4: Ejemplo de una función que presenta una asíntota oblicua y una asíntota vertical.
Asíntotas - Puntos clave
- Las asíntotas son rectas en una gráfica a las que la curva se aproxima, que limitan una curva de tal manera que mientras la curva se estira hasta el infinito, nunca llega a alcanzarlo.
- Hay tres tipos de asíntotas: asíntotas horizontales, asíntotas verticales y asíntotas oblicuas.
- Las asíntotas horizontales son paralelas al eje \(x\) y su pendiente es \(0\); cuando \(x\to\pm\infty\), el valor que alcanza \(y\) es la ecuación de la asíntota horizontal.
- Las asíntotas verticales son paralelas al eje \(y\) y su pendiente es indefinida. Si se cumple \(\displaystyle\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)=\pm\infty\), entonces \(x=a\) es una asíntota vertical de la curva.
- Las asíntotas oblicuas son asíntotas que forman un ángulo con el eje \(x\). Una curva tiene una asíntota oblicua de la forma \(y=mx+b\).
- La pendiente de las asíntotas oblicuas se calcula como: \(m=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\). La ordenada en el origen se calcula como: \(n=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)\).
- Las asíntotas oblicuas se encuentran en funciones racionales, cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.
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