Gráficas de funciones habituales

Las gráficas de funciones habituales son representaciones gráficas de las funciones que se utilizan con frecuencia en matemáticas.

Recuerda que:

Por eso se dice que las funciones representan la relación entre una variable independiente \(x\) y una variable dependiente \(y\), como puedes ver en la siguiente figura.

Fig. 1. Representación de una función.

Gráficas de polinomios

Como ya sabes, los polinomios son funciones elementales muy sencillas, en las que la incógnita —usualmente \(x\)— puede estar elevada a un grado \(n\). La forma típica de un polinomio es:

\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...a_0\]

• Donde: \(n\) indica el grado máximo del polinomio y \(a_k\) son los coeficientes de cada término del polinomio.

Las funciones polinómicas son continuas en todo \(\mathbb R\) y no tienen asíntotas.

• Las rectas son funciones polinómicas de primer grado, con forma \(f(x)=mx+n\).
• Las funciones polinómicas de segundo grado son de las más estudiadas. Como seguramente sabes, estas funciones corresponden a la de una parábola, y tienen la forma: \(f(x)=ax^2+bx+c\)

A la hora de representar una función polinómica, debemos tener en cuenta su grado y, a partir de ahí, ver qué características puede tener:

• Una función de grado \(n\) tiene, como máximo, \(n\) raíces reales. Debido a esto, la gráfica de esta función cortará, como máximo, \(n\) con el eje de abscisas.

• Una función de grado \(n\) tiene, como máximo, \(n-1\) extremos relativos. Por esto, la gráfica de la función puede tener, como máximo, \(n-1\) número de máximos y mínimos.

Una recta —por ejemplo— como es de primer grado, solo puede cortar como máximo una vez con el eje de abscisas y no puede tener máximos ni mínimos.

Fig. 2. Representación de una función polinómica de primer grado; es decir, una recta.

Sabemos que las funciones polinómicas de segundo grado pueden tener:

• Dos puntos de corte, como máximo, con el eje de abscisas.
• Un punto máximo o un punto mínimo, como máximo, también.

Fig. 3. Representación de una función polinómica de segundo grado.

Lo mismo ocurre para cualquier otro grado \(n\) del polinomio. Como último ejemplo, haremos la representación de una función polinómica de cuarto grado:

Fig. 4. Representación de una función polinómica de cuarto grado.

Como puedes reconocer, esta función en concreto \(f(x)=x^4+x^3-6x^2+2\) cumple con lo que dijimos anteriormente: corta con el eje de abscisas 4 veces y tiene 3 extremos relativos —dos mínimos y un máximo—.

Gráficas de funciones racionales

Una función racional es aquella que está formada por la división de dos funciones:

\[f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\]

• Siendo el grado de \(Q(x)\) mayor o igual a 1.

Para representar funciones racionales, lo primero que hay que hacer es determinar su dominio. En estas funciones, el dominio está formado por todo \(\mathbb R\) menos los puntos que anulan el denominador. Además, las funciones racionales pueden presentar asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.

Vemos que esta función no toma el valor \(x=0\), por lo que no forma parte del dominio. Además, tiene asíntotas horizontales en \(y=0\) y verticales en \(x=0\), como se puede ver en la fig. 5.

Fig. 5. Representación de la función racional \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).

Gráficas de funciones exponenciales

Este tipo de funciones representa fenómenos de crecimiento (como en las colonias de bacterias) y de decrecimiento (como en la desintegración radiactiva).

El dominio de estas funciones es todo \(\mathbb R\), donde —en su totalidad— son continuas. Además, no cortan el eje de abscisas, porque no tienen ninguna raíz —es decir, \(a^x=0\) no tiene ninguna solución— y suelen tener una asíntota horizontal.

La función exponencial más habitual es \(f(x)=e^x\); la puedes observar en la fig. 6:

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones logarítmicas son las funciones inversas de las exponenciales; toman la forma:

\[f(x)=\log_ax\]

• Esto se lee como logaritmo de \(x\) en base \(a\).

El dominio de estas funciones depende del argumento de la función logarítmica, ya que este nunca puede ser igual o menor que \(0\). Cuando el argumento de la función logarítmica se acerca a \(0\), esta tiende a \(-\infty\), por lo que encontramos una asíntota vertical. Las funciones logarítmicas cortan el eje de abscisas cuando el argumento es igual a \(1\).

La función del logaritmo neperiano o natural corresponde a la función del logaritmo, cuya base es el número \(e\). Esta es la función la más habitual, y la puedes ver representada en la fig. 7.

Fig. 7. Representación de la función logaritmo neperiano.

Gráficas de funciones trigonométricas

De este modo, encontramos la funciones seno, coseno y tangente. Si además calculamos sus recíprocas, obtenemos la cosecante, secante y cotangente. Todas estas funciones tienen algo en común: son periódicas.

La función seno

La función seno es periódica, con periodo igual a \(2\pi\). Se escribe como \(f(x)=\sin(x)\) y su dominio es todo \(\mathbb R\). Se trata de una función muy habitual, por lo que resulta conveniente aprenderse sus características.

Fig. 8: Función seno.

Función coseno

Al igual que ocurre con la función seno, la función coseno es una función muy habitual. Se escribe como \(f(x)=\cos(x)\), su periodo es de \(2\pi\) y su dominio también es todo \(\mathbb R\).

Fig. 9: Función coseno.

Función tangente

La función tangente es la división entre el seno y el coseno. También es una función periódica, con periodo igual a \(\pi\). Su dominio es todo \(\mathbb R\) menos los puntos en los que \(\cos(x)=0\). En estos puntos la función presenta asíntotas verticales.

Fig. 10: Función tangente.