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Gráficas de funciones habituales

Gráficas de funciones habituales

Las gráficas de funciones habituales son representaciones gráficas de las funciones que se utilizan con frecuencia en matemáticas.

Recuerda que:

Una función es una construcción matemática que toma valores de \(x\) como entrada y da valores de \(y\) como salida, en correspondencias de uno a uno o de muchos a uno.

Por eso se dice que las funciones representan la relación entre una variable independiente \(x\) y una variable dependiente \(y\), como puedes ver en la siguiente figura.

Gráficas de funciones habituales, esquema de la relación que produce una función, StudySmarterFig. 1. Representación de una función.

Gráficas de polinomios

Como ya sabes, los polinomios son funciones elementales muy sencillas, en las que la incógnita —usualmente \(x\)— puede estar elevada a un grado \(n\). La forma típica de un polinomio es:

\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...a_0\]

  • Donde: \(n\) indica el grado máximo del polinomio y \(a_k\) son los coeficientes de cada término del polinomio.

Las funciones polinómicas son continuas en todo \(\mathbb R\) y no tienen asíntotas.

  • Las rectas son funciones polinómicas de primer grado, con forma \(f(x)=mx+n\).
  • Las funciones polinómicas de segundo grado son de las más estudiadas. Como seguramente sabes, estas funciones corresponden a la de una parábola, y tienen la forma:
  • \[f(x)=ax^2+bx+c\]

A la hora de representar una función polinómica, debemos tener en cuenta su grado y, a partir de ahí, ver qué características puede tener:

  • Una función de grado \(n\) tiene, como máximo, \(n\) raíces reales. Debido a esto, la gráfica de esta función cortará, como máximo, \(n\) con el eje de abscisas.

  • Una función de grado \(n\) tiene, como máximo, \(n-1\) extremos relativos. Por esto, la gráfica de la función puede tener, como máximo, \(n-1\) número de máximos y mínimos.

Una recta —por ejemplo— como es de primer grado, solo puede cortar como máximo una vez con el eje de abscisas y no puede tener máximos ni mínimos.

Gráficas de funciones habituales, representación de una función polinómica de primer grado, StudySmarterFig. 2. Representación de una función polinómica de primer grado; es decir, una recta.

Sabemos que las funciones polinómicas de segundo grado pueden tener:

  • Dos puntos de corte, como máximo, con el eje de abscisas.
  • Un punto máximo o un punto mínimo, como máximo, también.

Gráficas de funciones habituales, representación de una función polinómica de segundo grado, StudySmarterFig. 3. Representación de una función polinómica de segundo grado.

Lo mismo ocurre para cualquier otro grado \(n\) del polinomio. Como último ejemplo, haremos la representación de una función polinómica de cuarto grado:

Gráficas de funciones habituales, representación de una función polinómica de cuarto grado, StudySmarterFig. 4. Representación de una función polinómica de cuarto grado.

Como puedes reconocer, esta función en concreto \(f(x)=x^4+x^3-6x^2+2\) cumple con lo que dijimos anteriormente: corta con el eje de abscisas 4 veces y tiene 3 extremos relativos —dos mínimos y un máximo—.

Hay que reconocer una particularidad: las funciones de grado mayor que dos pueden no tener raíces. En esos casos:

  • se tienen raíces imaginarias, que son parte de los números complejos.
  • La función nunca cruza el eje de las \(x\).

Gráficas de funciones racionales

Una función racional es aquella que está formada por la división de dos funciones:

\[f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\]

  • Siendo el grado de \(Q(x)\) mayor o igual a 1.

Para representar funciones racionales, lo primero que hay que hacer es determinar su dominio. En estas funciones, el dominio está formado por todo \(\mathbb R\) menos los puntos que anulan el denominador. Además, las funciones racionales pueden presentar asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.

Un ejemplo de una función racional habitual es la función \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).

Vemos que esta función no toma el valor \(x=0\), por lo que no forma parte del dominio. Además, tiene asíntotas horizontales en \(y=0\) y verticales en \(x=0\), como se puede ver en la fig. 5.

Gráficas de funciones habituales, representación de una función racional, StudySmarterFig. 5. Representación de la función racional \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).

Gráficas de funciones exponenciales

Este tipo de funciones representa fenómenos de crecimiento (como en las colonias de bacterias) y de decrecimiento (como en la desintegración radiactiva).

Las funciones exponenciales tienen la forma:

\[f(x)=a^x\]

  • Siendo \(a\) un número positivo distinto de la unidad.

El dominio de estas funciones es todo \(\mathbb R\), donde —en su totalidad— son continuas. Además, no cortan el eje de abscisas, porque no tienen ninguna raíz —es decir, \(a^x=0\) no tiene ninguna solución— y suelen tener una asíntota horizontal.

La función exponencial más habitual es \(f(x)=e^x\); la puedes observar en la fig. 6:

Gráficas de funciones habituales, representación de una función exponencial, StudySmarterFig. 6: Representación de una función exponencial.

Cabe decir que si la función tiene un exponencial negativo, esta no crecerá al infinito, sino que decrecerá del infinito hasta un valor cercano a cero. Estas funciones tienen asíntotas, tema que puedes explorar en nuestros artículos Límites infinitos y Límites y continuidad.

Gráficas de funciones logarítmicas

Las funciones logarítmicas son las funciones inversas de las exponenciales; toman la forma:

\[f(x)=\log_ax\]

  • Esto se lee como logaritmo de \(x\) en base \(a\).

El dominio de estas funciones depende del argumento de la función logarítmica, ya que este nunca puede ser igual o menor que \(0\). Cuando el argumento de la función logarítmica se acerca a \(0\), esta tiende a \(-\infty\), por lo que encontramos una asíntota vertical. Las funciones logarítmicas cortan el eje de abscisas cuando el argumento es igual a \(1\).

La función del logaritmo neperiano o natural corresponde a la función del logaritmo, cuya base es el número \(e\). Esta es la función la más habitual, y la puedes ver representada en la fig. 7.

Gráficas de funciones habituales, representación de una función logarítmica, StudySmarterFig. 7. Representación de la función logaritmo neperiano.

Al igual que las funciones exponenciales, su forma cambia si van precedidas de un signo negativo. No olvides leer los temas de funciones para poder saber más acerca de estas expresiones matemáticas.

Gráficas de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son aquellas funciones que obtenemos a partir de la división de los lados de un triángulo rectángulo.

De este modo, encontramos la funciones seno, coseno y tangente. Si además calculamos sus recíprocas, obtenemos la cosecante, secante y cotangente. Todas estas funciones tienen algo en común: son periódicas.

La función seno

La función seno es periódica, con periodo igual a \(2\pi\). Se escribe como \(f(x)=\sin(x)\) y su dominio es todo \(\mathbb R\). Se trata de una función muy habitual, por lo que resulta conveniente aprenderse sus características.

Gráficas de funciones habituales, función seno, StudySmarterFig. 8: Función seno.

Función coseno

Al igual que ocurre con la función seno, la función coseno es una función muy habitual. Se escribe como \(f(x)=\cos(x)\), su periodo es de \(2\pi\) y su dominio también es todo \(\mathbb R\).

Gráficas de funciones habituales, función coseno, StudySmarterFig. 9: Función coseno.

Función tangente

La función tangente es la división entre el seno y el coseno. También es una función periódica, con periodo igual a \(\pi\). Su dominio es todo \(\mathbb R\) menos los puntos en los que \(\cos(x)=0\). En estos puntos la función presenta asíntotas verticales.

Gráficas de funciones habituales, función tangente, StudySmarterFig. 10: Función tangente.

Gráficas de funciones habituales - Puntos clave

  • Las gráficas de funciones habituales son representaciones gráficas de las funciones que se utilizan con frecuencia en matemáticas.
  • Una función polinómica de grado \(n\) tiene, como máximo \(n\) raíces reales,; y, como máximo, \(n-1\) extremos.
  • Para representar una función racional hay que determinar el dominio, teniendo en cuenta los valores que anulan el denominador.
  • Las funciones exponenciales no tienen raíces y nunca devuelven un resultado negativo.
  • Las funciones logarítmicas cortan con el eje de abscisas cuando el argumento es igual a \(1\).
  • Las funciones trigonométricas más habituales son el seno, el coseno y la tangente; son todas periódicas.

Preguntas frecuentes sobre Gráficas de funciones habituales

Una función da un valor de y para cada valor de x. Esto se puede graficar en un eje cartesiano de dos dimensiones (x,y). Por cada valor de x que tomes, la función dará un valor y, lo único que debes hacer es marcar cada punto (x,y) de manera sucesiva.

Para representar gráficamente un polinomio debemos determinar, primero, su grado n; es decir, el máximo exponente de la x. Después, podemos observar que tendrá como máximo n raíces reales y n-1 extremos.

Las funciones exponenciales tienen la característica de que no cortan con el eje de abscisas y, además, suelen tener una asíntota horizontal.

Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de la división de los lados de un triángulo rectángulo; las tres funciones principales: seno, coseno y tangente.


Estas funciones son, todas, periódicas. Las funciones seno y coseno tienen un periodo de 2π y la tangente de π.

Una función logarítmica es inversa a una función exponencial. Por esto, el argumento de la función logarítmica tiene que ser mayor de 0. Además, esta función corta con el eje de abscisas cuando el argumento es igual a 1.

Cuestionario final de Gráficas de funciones habituales

Pregunta

¿Que es una funcion?

Mostrar respuesta

Answer

Las funciones son expresiones matematicas que toman un valor x como entrada y producen un valor y de salida. Generalmente las mas sencillas usan el valor \(y\) para la variable dependiente y \(x\) para la variable independiente.

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Pregunta

¿Cuales son las graficas de las funcionas mas habituales?

Mostrar respuesta

Answer

Las graficas de la funciones mas habituales incluyen:

  • la recta.
  • el valor absoluto.
  • la parabola.
  • la funcion cubica. 

Estas son las funciones mas habituales que veras en tus cursos.

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Pregunta

¿Que tipo de test usas para detemrinnar que una grafica es una funcion?

Mostrar respuesta

Answer

El test de la linea vertical

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Pregunta

¿Que tipo de test usas para determinar que una funcion es uno a uno?

Mostrar respuesta

Answer

El test de la recta horizontal.

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Pregunta

Sin representar la función, ¿cuántos puntos extremos puede tener como máximo la función \(f(x)=4x^2+x^3-2\)?

Mostrar respuesta

Answer

Como es de grado 3, puede tener como máximo 2 puntos extremos.

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Pregunta

Sin representar la función, ¿cuántas raíces puede tener como máximo la función \(f(x)=2x-\dfrac{1}{x}+3x^2-5\)?

Mostrar respuesta

Answer

Uno de los términos es una función racional, no podemos saber cuántas raíces puede tener esta función sin analizarla, puesto que no es un polinomio.

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Pregunta

¿Una función polinómica puede presentar una asíntota oblicua?

Mostrar respuesta

Answer

No.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el dominio de una función polinómica cualquiera?

Mostrar respuesta

Answer

Todo \(\mathbb R\).

Show question

Pregunta

¿Qué elementos forman una función racional?

Mostrar respuesta

Answer

Numerador.

Show question

Pregunta

¿Cómo calculamos el dominio de una función racional?

Mostrar respuesta

Answer

Igualando el denominador a 0.

Show question

Pregunta

¿Las funciones racionales pueden presentar asíntotas verticales?

Mostrar respuesta

Answer

Sí.

Show question

Pregunta

¿Las funciones racionales pueden presentar asíntotas oblicuas?

Mostrar respuesta

Answer

Sí.

Show question

Pregunta

Las funciones exponenciales nunca devuelven números negativos.

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

Las funciones exponenciales tienen tantas raíces como el número de la base.

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

Las funciones logarítmicas tienen una raíz cuando el argumento es igual a \(1\).

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta

La función seno tiene un periodo de:

Mostrar respuesta

Answer

\(\pi\).

Show question

Pregunta

La función coseno tiene un periodo de:

Mostrar respuesta

Answer

\(2\pi\).

Show question

Pregunta

La función tangente tiene un periodo de:

Mostrar respuesta

Answer

\(\pi\).

Show question

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