A lo largo de este curso y posteriores utilizarás con frecuencia las gráficas de muchas funciones puesto que representarán las soluciones de muchos problemas. Por esto, te resultará muy útil conocer las gráficas de las funciones más habituales. Conociendo estas gráficas podrás imaginarte fácilmente cómo será la gráfica de una función muy similar a esa.
- En este tema te mostraremos varios tipos de gráficas de funciones.
- Entre ellas veremos:
Tipos de gráficas de funciones
Las gráficas de funciones habituales son representaciones gráficas de las funciones que se utilizan con frecuencia en matemáticas.
Recuerda que:
Una función es una construcción matemática que toma valores de \(x\) como entrada y da valores de \(y\) como salida, en correspondencias de uno a uno o de muchos a uno.
Por eso se dice que las funciones representan la relación entre una variable independiente \(x\) y una variable dependiente \(y\), como puedes ver en la siguiente figura.
Fig. 1. Representación de una función.
Gráficas de polinomios
Como ya sabes, los polinomios son funciones elementales muy sencillas, en las que la incógnita —usualmente \(x\)— puede estar elevada a un grado \(n\). La forma típica de un polinomio es:
\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...a_0\]
- Donde: \(n\) indica el grado máximo del polinomio y \(a_k\) son los coeficientes de cada término del polinomio.
Las funciones polinómicas son continuas en todo \(\mathbb R\) y no tienen asíntotas.
- Las rectas son funciones polinómicas de primer grado, con forma \(f(x)=mx+n\).
- Las funciones polinómicas de segundo grado son de las más estudiadas. Como seguramente sabes, estas funciones corresponden a la de una parábola, y tienen la forma: \(f(x)=ax^2+bx+c\)
A la hora de representar una función polinómica, debemos tener en cuenta su grado y, a partir de ahí, ver qué características puede tener:
Una función de grado \(n\) tiene, como máximo, \(n\) raíces reales. Debido a esto, la gráfica de esta función cortará, como máximo, \(n\) con el eje de abscisas.
Una función de grado \(n\) tiene, como máximo, \(n-1\) extremos relativos. Por esto, la gráfica de la función puede tener, como máximo, \(n-1\) número de máximos y mínimos.
Una recta —por ejemplo— como es de primer grado, solo puede cortar como máximo una vez con el eje de abscisas y no puede tener máximos ni mínimos.
Fig. 2. Representación de una función polinómica de primer grado; es decir, una recta.
Sabemos que las funciones polinómicas de segundo grado pueden tener:
- Dos puntos de corte, como máximo, con el eje de abscisas.
- Un punto máximo o un punto mínimo, como máximo, también.
Fig. 3. Representación de una función polinómica de segundo grado.
Lo mismo ocurre para cualquier otro grado \(n\) del polinomio. Como último ejemplo, haremos la representación de una función polinómica de cuarto grado:
Fig. 4. Representación de una función polinómica de cuarto grado.
Como puedes reconocer, esta función en concreto \(f(x)=x^4+x^3-6x^2+2\) cumple con lo que dijimos anteriormente: corta con el eje de abscisas 4 veces y tiene 3 extremos relativos —dos mínimos y un máximo—.
Hay que reconocer una particularidad: las funciones de grado mayor que dos pueden no tener raíces. En esos casos:
- se tienen raíces imaginarias, que son parte de los números complejos.
- La función nunca cruza el eje de las \(x\).
Gráficas de funciones racionales
Una función racional es aquella que está formada por la división de dos funciones:
\[f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\]
- Siendo el grado de \(Q(x)\) mayor o igual a 1.
Para representar funciones racionales, lo primero que hay que hacer es determinar su dominio. En estas funciones, el dominio está formado por todo \(\mathbb R\) menos los puntos que anulan el denominador. Además, las funciones racionales pueden presentar asíntotas horizontales, verticales u oblicuas.
Un ejemplo de una función racional habitual es la función \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).
Vemos que esta función no toma el valor \(x=0\), por lo que no forma parte del dominio. Además, tiene asíntotas horizontales en \(y=0\) y verticales en \(x=0\), como se puede ver en la fig. 5.
Fig. 5. Representación de la función racional \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).
Gráficas de funciones exponenciales
Este tipo de funciones representa fenómenos de crecimiento (como en las colonias de bacterias) y de decrecimiento (como en la desintegración radiactiva).
El dominio de estas funciones es todo \(\mathbb R\), donde —en su totalidad— son continuas. Además, no cortan el eje de abscisas, porque no tienen ninguna raíz —es decir, \(a^x=0\) no tiene ninguna solución— y suelen tener una asíntota horizontal.
La función exponencial más habitual es \(f(x)=e^x\); la puedes observar en la fig. 6:
Fig. 6: Representación de una función exponencial.
Cabe decir que si la función tiene un exponencial negativo, esta no crecerá al infinito, sino que decrecerá del infinito hasta un valor cercano a cero. Estas funciones tienen asíntotas, tema que puedes explorar en nuestros artículos Límites infinitos y Límites y continuidad.
Gráficas de funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas son las funciones inversas de las exponenciales; toman la forma:
\[f(x)=\log_ax\]
- Esto se lee como logaritmo de \(x\) en base \(a\).
El dominio de estas funciones depende del argumento de la función logarítmica, ya que este nunca puede ser igual o menor que \(0\). Cuando el argumento de la función logarítmica se acerca a \(0\), esta tiende a \(-\infty\), por lo que encontramos una asíntota vertical. Las funciones logarítmicas cortan el eje de abscisas cuando el argumento es igual a \(1\).
La función del logaritmo neperiano o natural corresponde a la función del logaritmo, cuya base es el número \(e\). Esta es la función la más habitual, y la puedes ver representada en la fig. 7.
Fig. 7. Representación de la función logaritmo neperiano.
Al igual que las funciones exponenciales, su forma cambia si van precedidas de un signo negativo. No olvides leer los temas de funciones para poder saber más acerca de estas expresiones matemáticas.
Gráficas de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas son aquellas funciones que obtenemos a partir de la división de los lados de un triángulo rectángulo.
De este modo, encontramos la funciones seno, coseno y tangente. Si además calculamos sus recíprocas, obtenemos la cosecante, secante y cotangente. Todas estas funciones tienen algo en común: son periódicas.
La función seno
La función seno es periódica, con periodo igual a \(2\pi\). Se escribe como \(f(x)=\sin(x)\) y su dominio es todo \(\mathbb R\). Se trata de una función muy habitual, por lo que resulta conveniente aprenderse sus características.
Fig. 8: Función seno.
Función coseno
Al igual que ocurre con la función seno, la función coseno es una función muy habitual. Se escribe como \(f(x)=\cos(x)\), su periodo es de \(2\pi\) y su dominio también es todo \(\mathbb R\).
Fig. 9: Función coseno.
Función tangente
La función tangente es la división entre el seno y el coseno. También es una función periódica, con periodo igual a \(\pi\). Su dominio es todo \(\mathbb R\) menos los puntos en los que \(\cos(x)=0\). En estos puntos la función presenta asíntotas verticales.
Fig. 10: Función tangente.
Gráficas de funciones habituales - Puntos clave
- Las gráficas de funciones habituales son representaciones gráficas de las funciones que se utilizan con frecuencia en matemáticas.
- Una función polinómica de grado \(n\) tiene, como máximo \(n\) raíces reales,; y, como máximo, \(n-1\) extremos.
- Para representar una función racional hay que determinar el dominio, teniendo en cuenta los valores que anulan el denominador.
- Las funciones exponenciales no tienen raíces y nunca devuelven un resultado negativo.
- Las funciones logarítmicas cortan con el eje de abscisas cuando el argumento es igual a \(1\).
- Las funciones trigonométricas más habituales son el seno, el coseno y la tangente; son todas periódicas.
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