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Sucesiones y series

Sucesiones y series

Las sucesiones numéricas y series pueden parecer conceptos idénticos, pero como objetos matemáticos están definidas de distinta manera. Analicemos, entonces, sus características básicas y sus definiciones para entender sus diferencias.

Sucesión numérica

Una sucesión numérica puede ser descrita como una lista de números (conocidos como términos) que siguen una regla. Las reglas que siguen conforman un patrón matemático.

Primero veamos algunos ejemplos de sucesiones y sus reglas explicadas:

  • \(3, 9, 15, 21, 27, 33\): La sucesión comienza con el número \(3\) y cada número siguiente supone un incremento de \(6\) respecto del anterior.

  • \(72, 64, 56, 48, 40, 32\): La sucesión comienza con el número \(72\) y cada número siguiente supone una disminución de \(8\) respecto del anterior.

  • \(5, 10, 20, 40, 80, 160\): La sucesión comienza con el número \(5\) y cada número siguiente es igual al anterior multiplicado por dos.

Las sucesiones pueden ser finitas (como en los ejemplos anteriores) o infinitas, que significa que no tienen un elemento final. Una sucesión numérica infinita generalmente se denota con el símbolo de puntos suspensivos “...”.

Algunos ejemplos son:

  • \(1, 2, 3, 4, 5, 6...\):

  • \(4, 7, 10, 13, 16,... \):

Debido a que estas sucesiones son infinitas, es normal utilizar la expresión matemática que las define para caracterizarlas y obtener sus propiedades y términos concretos. Trataremos algunas de estas sucesiones infinitas más adelante en el artículo.

Tipos de sucesiones numéricas

Hay dos tipos de sucesiones principales:

  • Sucesiones aritméticas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una cantidad fija. Esta cantidad se llama diferencia y se denota, habitualmente, por la letra \(d\).

  • Sucesiones geométricas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante multiplicaciones o divisiones por una cantidad fija. Esta cantidad se llama razón y se denota, habitualmente, por la letra \(r\).

Series en matemáticas

Una serie es la suma de todos los términos (o solo de una parte de ellos) de una sucesión.

Ejemplos de series asociadas a sucesiones son:

  • \(3, 9, 15, 21, 27, 33\) es una sucesión aritmética finita de diferencia \(6\); podemos calcular su serie como: \(3 + 9 + 15 + 21 + 27 + 33=108\).

  • \(72, 64, 56, 48, 40, 32\) es una sucesión aritmética finita de diferencia; su serie se puede calcular como: \(72 + 64 + 56 + 48 + 40 + 32=312\).

Fórmulas que definen los términos de una sucesión

Cuando trabajes con sucesiones y series, puede ocurrir que necesites un término específico de estas. Para ello, es útil utilizar las fórmulas matemáticas que las caracterizan.

Fórmulas para sucesiones

Hay una fórmula que define ambos tipos de secuencias. Estas son usadas para encontrar el término enésimo de las mismas.

Cuando nos referimos al término enésimo estamos hablando de un término en concreto que se encuentra en la posición "\(n\)", que será arbitraria. Por tanto, será el término que nos interese calcular.

\[u_n=a+(n-1)d\]

Aquí \(u_n\) es el enésimo de la lista, \(a\) es el primer término y\(d\) es la diferencia.

Utilicemos esto en algunos ejemplos y ejercicios:

Ejercicios de sucesiones

Encontremos el decimoquinto término de la sucesión aritmética infinita: \(5, 12, 19, 26, 33, 40...\).

Solución

Puesto que aquí \(u_n\) es el decimoquinto término,\(n\) es igual a \(15\).

El primer término (\(5\), en este caso) siempre se corresponde con \(a\).

La diferencia común entre todos los términos es de\(7\) \(u_1-a=12-5=7, u_2-u_1=19-12=7\), y así sucesivamente).

\[u_{15}=5+(15-1)7\]

\[u_{15}=103\]

Cuando se necesite encontrar el enésimo término en una sucesión geométrica, usaremos la siguiente fórmula:

\[u_n=ar^{n-1}\]

Entonces, usemos esta fórmula para encontrar el enésimo término en una serie geométrica:

Encontremos el vigésimo cuarto término de la sucesión \(6, 12, 24, 48, 96...\).

Solución

El término de interés es el vigésimo cuarto, por lo tanto, \(n\) es igual a \(24\). El primer término, que siempre se corresponde con \(a\), en este caso es igual a \(6\).

La razón \(r\) de esta sucesión es \(r=2\), ya que cada término se corresponde con el doble del anterior \(\frac{u_1}{a}=2, \frac{u_2}{u_1}=2\) y así sucesivamente).

\[u_24=(6)2^{24-1}\]

\[u_24=50 331 648\]

Fórmulas para series

En el caso de series aritméticas, la expresión usada para encontrar la suma de los \(n\) primeros términos (para \(n\) no infinito) es:

\[S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)\]

\(S_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos, \(a\) es el primer término y \(d\) es la diferencia común.

Veamos un ejemplo de aplicación de esta fórmula:

Encuentra la suma de los primeros 35 términos de la serie \(2, 8, 14, 20, 26, 32, ...\).

Solución

\(S_n\) es la suma de los \(35\) primeros términos, por lo tanto \(n=35\).

El primer término siempre se corresponde con \(a\), que en este caso es \(2\). La diferencia en este caso es \(6\).

\[S_n=\dfrac{35}{2} (2(2)+(35-1)6)=3640\]

La fórmula para obtener la suma de los primeros \(n\) términos de una sucesión geométrica es la siguiente:

\[S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\]

Observa que para \(r=1\) la fórmula no está bien definida, ya que el denominador es igual a cero. En este caso, \(r=1\) implica que la sucesión está formada por el mismo número, una y otra vez, puesto que se está multiplicando por uno (sería un caso equivalente a una serie aritmética en la que la diferencia es \(0\)).

Con esta noción, podemos utilizar la fórmula de los primeros \(n\) términos de una serie aritmética con \(d=0\) o utilizar el sentido común para ver que estamos sumando el mismo término (igual al primer término \(a\)) un número \(a\) de veces:

\[r=1\]

\[S_n=a(n)\]

Usemos esto en un ejemplo:

Encuentra la suma de los primeros cincuenta términos de la siguiente serie \((4,12, 36, 108...)\).

Solución

\(S_n\) es la suma de los cincuenta primeros términos, por lo tanto \(n=50\).

El primer término se corresponde con\(a\), que en este caso es\(4\), y la razón es \(r=3\). Por tanto, la suma de los primeros cincuenta términos es:

\[S_{50}=\dfrac{4(30^{50}-1)}{3-1}=1,436(10^24)\]

Notación sigma

La letra sigma \(\Sigma\) es usada para identificar sumas en series. En este caso, se utiliza junto con límites que representan el inicio de la suma, el final de la suma y la variable sobre la que se realiza la suma.

Un ejemplo de esto es: \(\Sigma^6_{r=1} (2r+4)\).

En esta suma se indica que \(r\) es la variable sobre la cual se hace la suma, y el valor de \(r\) incrementa en cada sumando, de uno en uno, desde uno a seis. En este caso la suma sería:

\[\Sigma^6_{r=1}= (2r+4)=(2(1)+4)+(2(2)+4)+(2(3)+4)+(2(4)+4)+(2(5)+4)+(2(6)+4)\]

Algunas aplicaciones donde podemos encontrar series y sucesiones

Las sucesiones y series se pueden encontrar en multitud de situaciones de la vida real, así como también en algunos problemas que incluyan modelado matemático. Algunos ejemplos los podemos encontrar en finanzas; uno clásico sería el que se muestra a continuación:

David deposita diez euros en el banco en el primer mes y en el segundo mes deposita el doble ( veinte euros). David continúa haciendo esto durante doce meses. ¿Cuánto dinero tendrá David depositado al cabo de estos doce meses?

Solución

La cantidad de dinero que David introduce cada mes es el doble de la anterior, lo que indica que estamos tratando con una serie geométrica con una razón \(r=2\). El primer término, \(a=10\), corresponde a la cantidad que David deposita el primer mes. El número \(n\) de meses, cuya suma nos interesa es en este caso, es \(12\).

Por tanto, sustituyendo estos datos en la fórmula de la suma de \(n\) términos de una serie geométrica se obtiene lo siguiente:

\[S_n=\dfrac{a(r^n - 1)}{r-1}\]

\[S_n=\dfrac{10(2^12 - 1)}{2-1}\]

\[S_n=\dfrac{10(4096 - 1)}{2-1}\]

\[S_n=\dfrac{10(4096 - 1)}{1}=40950\]

Esto significa que David tendrá \(40.950\) euros en su cuenta al final de los \(12\) meses.

Otra razón importante para poder calcular los términos de una sucesión es si esta sirve para modelar algún fenómeno físico. Una sucesión, en estos casos, es el resultado de una función matemática. Si cada término corresponde a un paso (por ejemplo, un paso en el tiempo), se puede calcular fácilmente lo que pasaría en un tiempo \(n\), que sería el \(n\) término de la sucesión.

Sucesiones y series en cálculo

Las series y sucesiones también son importantes para otros temas en matemáticas; uno de ellos es el cálculo. Algunos de los problemas que pueden ser resueltos con series y sucesiones son:

  • Funciones en las que no se sabe su expresión algebraica o esta es muy complicada: estas funciones pueden ser aproximadas por una serie de funciones, una suma de funciones más simples.

  • Análisis de señales: hay un método muy famoso que posiblemente aprenderás en la universidad llamado transformada de Fourier. Este método transforma una señal \(F\) en una serie de funciones más simples \(f\) que, al ser sumadas, representan una aproximación a la función original \(f\).

\[F=f_1+f_2+f_3+f_4...f_n\]

Generalmente, cuantas más funciones simples tengas, más exacta es tu aproximación. Estas funciones más simples son funciones sinusoidales, que las conoces por funciones seno y coseno. Lo puedes ver en la imagen a continuación:

Sucesiones y series sucesiones y series calculo StudySmarterFig. 1. La transformada de Fourier usa funciones senos y coseno como una suma de funciones como las mostradas aqui para crear una función más compleja como la que se muestra debajo.

Sucesiones y series sucesiones y series calculo StudySmarterFig. 2. La transformada de Fourier usa funciones senos y coseno como una suma de funciones como las mostradas aqui para crear una función más compleja como la que se muestra arriba

  • Límites: este es un tema que verás en bachillerato. Los límites numéricos son los valores a los cuales una función se acerca, o el valor de \(y\) al cual se acerca mientras se acerca al valor de \(x\). Hay funciones que se acercan a un valor definido, cuanto más avanzan, y hay otras que nunca lo hacen; esto es el límite de una serie.

El límite de una serie

Cuando los valores de una serie crecen, \(n\) tiende hacia \(\infty\). Las series, en este caso, pueden converger o divergir.

  • Divergencia se refiere a series que crecen conforme \(n\) crece, en este caso el valor de la serie sigue creciendo constantemente.
  • Convergencia se refiere a la serie que a medida que crece el número \(n\), esta se acerca a un valor determinado.

Este fenómeno se conoce como el límite de una serie.

Sucesiones y series - Puntos clave

  • Una sucesión numérica es una lista de números que siguen un patrón matemático.
  • Hay dos tipos de sucesiones numéricas: aritméticas y geométricas.
  • Una serie es la suma de n términos de una sucesión.
  • Puedes identificar una serie cuando observas la letra sigma antes de una función algebraica como: \(\Sigma^{x=m}_{i=0} f(x)\).
  • Las series son usadas en cálculo para aproximar funciones, una de las herramientas más famosas para hacer esto es la transformada de Fourier.
  • Una serie numérica puede converger o divergir; divergencia es cuando crece sin acercarse a ningún número, convergencia es cuando la suma de esta serie se acerca a un valor determinado.

Preguntas frecuentes sobre Sucesiones y series

Una sucesión es un grupo ordenado de números que siguen un patrón matemático. Una serie es la suma de algunos términos de la sucesión.

La diferencia entre ambas es que la sucesión es un conjunto ordenado de números, mientras que una serie es una suma de un cierto subconjunto de números de una sucesión.

Hay fórmulas que se pueden usar para caracterizar las sucesiones y las series. Con estas se pueden encontrar términos arbitrarios o sumas de un subconjunto arbitrario de términos.

Si la sucesión o serie es el resultado de una función matemática que modela cierto comportamiento; se puede encontrar, entonces, el resultado de esta función en el tiempo o paso n.


Es el valor al cual la serie se aproxima conforme los términos se incrementan o n tiende a ∞. Cuando una serie se acerca a un valor en concreto, decimos que la serie converge; si sigue creciendo, la serie diverge. 

Cuestionario final de Sucesiones y series

Pregunta

¿Qué es una sucesión?

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Answer

Una sucesión es un conjunto ordenado de números que siguen un patrón matemático.

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Pregunta

¿Qué es una serie?

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Answer

Una serie es la suma de un conjunto arbitrario de términos de una sucesión.

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Pregunta

¿Cuáles son los dos tipos de sucesiones?

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Answer

Aritméticas y geométricas.

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula para encontrar la suma de una serie geométrica?


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Answer

 \(S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\) o \(S_n=a(n)\) si \(r=1\)

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Pregunta

¿Cuándo se utiliza la notación sigma?

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Answer

La notación sigma se utiliza para expresar de forma compacta la suma de un conjunto arbitrario de términos. Las series se expresan habitualmente haciendo uso de la notación sigma.

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula para encontrar el término vigésimo quinto de la siguiente sucesión?: \((72, 68, 64, 60,...)\).

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Answer

 \(u_n=a+(n-1)d, u_{25}=25+(25-1)4=121 \)

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Pregunta

 ¿Cuál es la fórmula para calcular la suma de los primeros 40 términos de la siguiente serie: \((7,14, 28, 56, 112…)\)?

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Answer

 \(S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}, S_{40}=\dfrac{7(2^{40}-1)}{2-1}\approx 7,697(10^12)\)

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Pregunta

¿Qué es una sucesión aritmética?

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Answer

En este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una cantidad fija llamada diferencia.

Show question

Pregunta

¿Qué es una sucesión geométrica?

Mostrar respuesta

Answer

En este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante multiplicaciones o divisiones por una cantidad fija llamada razón.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el símbolo para la razón en la sucesión geométrica?

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Answer

\(r\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el símbolo para la diferencia en la sucesión aritmética?

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Answer

\(d\).

Show question

Pregunta

¿Es la siguiente lista una sucesión?: \(3, 9, 15, 21, 27, 35\).

Mostrar respuesta

Answer

No, ya que el último número no pertenece a la sucesión: su diferencia es mayor que el resto.

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Pregunta

¿Es la siguiente lista una sucesión?: \(2, 8, 14, 20, 26, 32\).

Mostrar respuesta

Answer

Sí, su diferencia es de \(6\).

Show question

Pregunta

¿Qué significa que una serie diverja al infinito?

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Answer

Que los valores de la serie crecen conforme más términos aparecen.

Show question

Pregunta

¿Qué es un binomio?



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Answer

Definición: Un binomio es una expresión que tiene dos términos elevados a una potencia 

n.


Show question

Pregunta

¿Es la siguiente expresión un binomio?: \((7x^2+4)^2\).

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que posee dos términos.

Show question

Pregunta

¿Es la siguiente expresión un binomio?: \((7x+4x+6y)^2\).

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que se puede reducir a \((11x+6y)^2\) al sumar los términos con \(x\).

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Pregunta

¿Es la siguiente expresión un binomio?: \((10x+xy+y)^2\)?

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Answer

No, es un trinomio; ya que posee tres términos.

Show question

Pregunta

¿Cuántos términos tiene, después de su expansión, un binomio a la potencia \(n=2\) como \((x+y)^2\)?

Mostrar respuesta

Answer

2.

Show question

Pregunta

Expande el binomio al cuadrado \((3x+4)^2\).

Mostrar respuesta

Answer

\(9x^2+24x+16\).

Show question

Pregunta

Expande el binomio al cubo \((x+3y)^3\).

Mostrar respuesta

Answer

\(x^3+9yx^2+27y^2x+9y^3\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el resultado del coeficiente binomial \(\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\)?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el resultado del coeficiente binomial \(\begin{pmatrix} 4\\0 \end{pmatrix}\)?

Mostrar respuesta

Answer

1.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula para calcular el coeficiente binomial?

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Answer

\({{n!}\over{k!(n-k)!}}\).

Show question

Pregunta

Usando la fórmula del coeficiente binomial, calcula \(\begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix}\).

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Answer

6.

Show question

Pregunta

¿Qué otro nombre recibe el triángulo de Tartaglia?


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Answer

Triángulo de Pascal.

Show question

Pregunta

El triángulo de pascal es útil para:

Mostrar respuesta

Answer

Obtener los coeficientes binomiales.

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Pregunta

Calcula el factorial de cinco.

Mostrar respuesta

Answer

120.

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