Las sucesiones numéricas y series pueden parecer conceptos idénticos, pero como objetos matemáticos están definidas de distinta manera. Analicemos, entonces, sus características básicas y sus definiciones para entender sus diferencias.
Sucesión numérica
Una sucesión numérica puede ser descrita como una lista de números (conocidos como términos) que siguen una regla. Las reglas que siguen conforman un patrón matemático.
Primero veamos algunos ejemplos de sucesiones y sus reglas explicadas:
\(3, 9, 15, 21, 27, 33\): La sucesión comienza con el número \(3\) y cada número siguiente supone un incremento de \(6\) respecto del anterior.
\(72, 64, 56, 48, 40, 32\): La sucesión comienza con el número \(72\) y cada número siguiente supone una disminución de \(8\) respecto del anterior.
\(5, 10, 20, 40, 80, 160\): La sucesión comienza con el número \(5\) y cada número siguiente es igual al anterior multiplicado por dos.
Las sucesiones pueden ser finitas (como en los ejemplos anteriores) o infinitas, que significa que no tienen un elemento final. Una sucesión numérica infinita generalmente se denota con el símbolo de puntos suspensivos “...”.
Algunos ejemplos son:
\(1, 2, 3, 4, 5, 6...\):
\(4, 7, 10, 13, 16,... \):
Debido a que estas sucesiones son infinitas, es normal utilizar la expresión matemática que las define para caracterizarlas y obtener sus propiedades y términos concretos. Trataremos algunas de estas sucesiones infinitas más adelante en el artículo.
Tipos de sucesiones numéricas
Hay dos tipos de sucesiones principales:
Sucesiones aritméticas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante sumas o restas de una cantidad fija. Esta cantidad se llama diferencia y se denota, habitualmente, por la letra \(d\).
Sucesiones geométricas: en este tipo de sucesiones, los términos incrementan o disminuyen respecto de los anteriores mediante multiplicaciones o divisiones por una cantidad fija. Esta cantidad se llama razón y se denota, habitualmente, por la letra \(r\).
Series en matemáticas
Una serie es la suma de todos los términos (o solo de una parte de ellos) de una sucesión.
Ejemplos de series asociadas a sucesiones son:
\(3, 9, 15, 21, 27, 33\) es una sucesión aritmética finita de diferencia \(6\); podemos calcular su serie como: \(3 + 9 + 15 + 21 + 27 + 33=108\).
\(72, 64, 56, 48, 40, 32\) es una sucesión aritmética finita de diferencia; su serie se puede calcular como: \(72 + 64 + 56 + 48 + 40 + 32=312\).
Fórmulas que definen los términos de una sucesión
Cuando trabajes con sucesiones y series, puede ocurrir que necesites un término específico de estas. Para ello, es útil utilizar las fórmulas matemáticas que las caracterizan.
Fórmulas para sucesiones
Hay una fórmula que define ambos tipos de secuencias. Estas son usadas para encontrar el término enésimo de las mismas.
Cuando nos referimos al término enésimo estamos hablando de un término en concreto que se encuentra en la posición "\(n\)", que será arbitraria. Por tanto, será el término que nos interese calcular.
\[u_n=a+(n-1)d\]
Aquí \(u_n\) es el enésimo de la lista, \(a\) es el primer término y\(d\) es la diferencia.
Utilicemos esto en algunos ejemplos y ejercicios:
Ejercicios de sucesiones
Encontremos el decimoquinto término de la sucesión aritmética infinita: \(5, 12, 19, 26, 33, 40...\).
Solución
Puesto que aquí \(u_n\) es el decimoquinto término,\(n\) es igual a \(15\).
El primer término (\(5\), en este caso) siempre se corresponde con \(a\).
La diferencia común entre todos los términos es de\(7\) \(u_1-a=12-5=7, u_2-u_1=19-12=7\), y así sucesivamente).
\[u_{15}=5+(15-1)7\]
\[u_{15}=103\]
Cuando se necesite encontrar el enésimo término en una sucesión geométrica, usaremos la siguiente fórmula:
\[u_n=ar^{n-1}\]
Entonces, usemos esta fórmula para encontrar el enésimo término en una serie geométrica:
Encontremos el vigésimo cuarto término de la sucesión \(6, 12, 24, 48, 96...\).
Solución
El término de interés es el vigésimo cuarto, por lo tanto, \(n\) es igual a \(24\). El primer término, que siempre se corresponde con \(a\), en este caso es igual a \(6\).
La razón \(r\) de esta sucesión es \(r=2\), ya que cada término se corresponde con el doble del anterior \(\frac{u_1}{a}=2, \frac{u_2}{u_1}=2\) y así sucesivamente).
\[u_24=(6)2^{24-1}\]
\[u_24=50 331 648\]
Fórmulas para series
En el caso de series aritméticas, la expresión usada para encontrar la suma de los \(n\) primeros términos (para \(n\) no infinito) es:
\[S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)\]
\(S_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos, \(a\) es el primer término y \(d\) es la diferencia común.
Veamos un ejemplo de aplicación de esta fórmula:
Encuentra la suma de los primeros 35 términos de la serie \(2, 8, 14, 20, 26, 32, ...\).
Solución
\(S_n\) es la suma de los \(35\) primeros términos, por lo tanto \(n=35\).
El primer término siempre se corresponde con \(a\), que en este caso es \(2\). La diferencia en este caso es \(6\).
\[S_n=\dfrac{35}{2} (2(2)+(35-1)6)=3640\]
La fórmula para obtener la suma de los primeros \(n\) términos de una sucesión geométrica es la siguiente:
\[S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\]
Observa que para \(r=1\) la fórmula no está bien definida, ya que el denominador es igual a cero. En este caso, \(r=1\) implica que la sucesión está formada por el mismo número, una y otra vez, puesto que se está multiplicando por uno (sería un caso equivalente a una serie aritmética en la que la diferencia es \(0\)).
Con esta noción, podemos utilizar la fórmula de los primeros \(n\) términos de una serie aritmética con \(d=0\) o utilizar el sentido común para ver que estamos sumando el mismo término (igual al primer término \(a\)) un número \(a\) de veces:
\[r=1\]
\[S_n=a(n)\]
Usemos esto en un ejemplo:
Encuentra la suma de los primeros cincuenta términos de la siguiente serie \((4,12, 36, 108...)\).
Solución
\(S_n\) es la suma de los cincuenta primeros términos, por lo tanto \(n=50\).
El primer término se corresponde con\(a\), que en este caso es\(4\), y la razón es \(r=3\). Por tanto, la suma de los primeros cincuenta términos es:
\[S_{50}=\dfrac{4(30^{50}-1)}{3-1}=1,436(10^24)\]
Notación sigma
La letra sigma \(\Sigma\) es usada para identificar sumas en series. En este caso, se utiliza junto con límites que representan el inicio de la suma, el final de la suma y la variable sobre la que se realiza la suma.
Un ejemplo de esto es: \(\Sigma^6_{r=1} (2r+4)\).
En esta suma se indica que \(r\) es la variable sobre la cual se hace la suma, y el valor de \(r\) incrementa en cada sumando, de uno en uno, desde uno a seis. En este caso la suma sería:
\[\Sigma^6_{r=1}= (2r+4)=(2(1)+4)+(2(2)+4)+(2(3)+4)+(2(4)+4)+(2(5)+4)+(2(6)+4)\]
Algunas aplicaciones donde podemos encontrar series y sucesiones
Las sucesiones y series se pueden encontrar en multitud de situaciones de la vida real, así como también en algunos problemas que incluyan modelado matemático. Algunos ejemplos los podemos encontrar en finanzas; uno clásico sería el que se muestra a continuación:
David deposita diez euros en el banco en el primer mes y en el segundo mes deposita el doble ( veinte euros). David continúa haciendo esto durante doce meses. ¿Cuánto dinero tendrá David depositado al cabo de estos doce meses?
Solución
La cantidad de dinero que David introduce cada mes es el doble de la anterior, lo que indica que estamos tratando con una serie geométrica con una razón \(r=2\). El primer término, \(a=10\), corresponde a la cantidad que David deposita el primer mes. El número \(n\) de meses, cuya suma nos interesa es en este caso, es \(12\).
Por tanto, sustituyendo estos datos en la fórmula de la suma de \(n\) términos de una serie geométrica se obtiene lo siguiente:
\[S_n=\dfrac{a(r^n - 1)}{r-1}\]
\[S_n=\dfrac{10(2^12 - 1)}{2-1}\]
\[S_n=\dfrac{10(4096 - 1)}{2-1}\]
\[S_n=\dfrac{10(4096 - 1)}{1}=40950\]
Esto significa que David tendrá \(40.950\) euros en su cuenta al final de los \(12\) meses.
Otra razón importante para poder calcular los términos de una sucesión es si esta sirve para modelar algún fenómeno físico. Una sucesión, en estos casos, es el resultado de una función matemática. Si cada término corresponde a un paso (por ejemplo, un paso en el tiempo), se puede calcular fácilmente lo que pasaría en un tiempo \(n\), que sería el \(n\) término de la sucesión.
Sucesiones y series en cálculo
Las series y sucesiones también son importantes para otros temas en matemáticas; uno de ellos es el cálculo. Algunos de los problemas que pueden ser resueltos con series y sucesiones son:
Funciones en las que no se sabe su expresión algebraica o esta es muy complicada: estas funciones pueden ser aproximadas por una serie de funciones, una suma de funciones más simples.
Análisis de señales: hay un método muy famoso que posiblemente aprenderás en la universidad llamado transformada de Fourier. Este método transforma una señal \(F\) en una serie de funciones más simples \(f\) que, al ser sumadas, representan una aproximación a la función original \(f\).
\[F=f_1+f_2+f_3+f_4...f_n\]
Generalmente, cuantas más funciones simples tengas, más exacta es tu aproximación. Estas funciones más simples son funciones sinusoidales, que las conoces por funciones seno y coseno. Lo puedes ver en la imagen a continuación:
Fig. 1. La transformada de Fourier usa funciones senos y coseno como una suma de funciones como las mostradas aqui para crear una función más compleja como la que se muestra debajo.
Fig. 2. La transformada de Fourier usa funciones senos y coseno como una suma de funciones como las mostradas aqui para crear una función más compleja como la que se muestra arriba
Límites: este es un tema que verás en bachillerato. Los límites numéricos son los valores a los cuales una función se acerca, o el valor de \(y\) al cual se acerca mientras se acerca al valor de \(x\). Hay funciones que se acercan a un valor definido, cuanto más avanzan, y hay otras que nunca lo hacen; esto es el límite de una serie.
El límite de una serie
Cuando los valores de una serie crecen, \(n\) tiende hacia \(\infty\). Las series, en este caso, pueden converger o divergir.
- Divergencia se refiere a series que crecen conforme \(n\) crece, en este caso el valor de la serie sigue creciendo constantemente.
- Convergencia se refiere a la serie que a medida que crece el número \(n\), esta se acerca a un valor determinado.
Este fenómeno se conoce como el límite de una serie.
Sucesiones y series - Puntos clave
- Una sucesión numérica es una lista de números que siguen un patrón matemático.
- Hay dos tipos de sucesiones numéricas: aritméticas y geométricas.
- Una serie es la suma de n términos de una sucesión.
- Puedes identificar una serie cuando observas la letra sigma antes de una función algebraica como: \(\Sigma^{x=m}_{i=0} f(x)\).
- Las series son usadas en cálculo para aproximar funciones, una de las herramientas más famosas para hacer esto es la transformada de Fourier.
- Una serie numérica puede converger o divergir; divergencia es cuando crece sin acercarse a ningún número, convergencia es cuando la suma de esta serie se acerca a un valor determinado.
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