Hasta el momento, has visto lo que es una integral y una derivada. También, sabes de antemano que, al derivar o integrar una función, obtienes otra función. Es curioso, ¿no? Aunque, no tanto, ya que si ambas operaciones te dan una función, entonces las funciones de la integral y la derivada se deduce que están relacionadas entre sí. De hecho, la derivación es el proceso inverso de la integración.
Estas operaciones se enlazan por un teorema conocido como: teorema fundamental del cálculo. El primer uso rudimentario de este fue por el matemático y astrónomo escocés James Gregory. Pero, veamos qué es este teorema, su relación con la continuidad, qué dice y por qué es útil.
Continuidad y el teorema fundamental del cálculo
Primero, y antes de nada, el teorema fundamental del cálculo necesita que la función que analizas sea continua.
Por ejemplo, no puedes aplicar al teorema fundamental del cálculo a una función con una discontinuidad.
Esto se debe a que, para poder relacionar una función \(f(x)\) con una función que define una integral \(F(x)\) (también conocida como antiderivada), \(f(x)\) debe ser continua.
Veámoslo en la siguiente figura:
Fig. 1. Función con una discontinuidad.
Debido a que la función no es continua, ya que \(h(x)\) está compuesta por dos funciones que podemos nombrar \(g(x)\) y \(f(x)\), no puede existir una única función \(H(x)\) que nos de el área bajo las curvas de \(g(x)\) y \(f(x)\). En este caso, se deben definir dos funciones: una para la curva \(g(x)\), que será \(G(x)\), y otra para la curva \(f(x)\), que será \(F(x)\).
Fig. 2. Función con discontinuidad y su área bajo la curva.
Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo nos dice, en su primera parte:
- Si \(f(x)\) es una función continua en un intervalo cerrado \([a, b]\), existe una función \(F\) en el mismo intervalo, que es el resultado de:
\[F(x)={\int f(x) dx }\]
Básicamente, esto nos dice que el resultado de integrar la función \(f(x)\) es la función \(F(x)\), también conocida como la antiderivada de la función original.
De hecho, cuando observas tu tablas de integrales, lo que ves son las antiderivadas de las funciones que se integran.
Segundo teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental tiene una segunda parte, que relaciona el resultado de la integración, las antiderivadas y el valor del área bajo la curva. ¡Veamos cómo funciona esto!
Digamos que se tiene la siguiente función que es \(x^2\). El área bajo la curva se puede calcular de varias formas; la clásica es usando rectángulos pequeños bajo la curva, como se ve en la siguiente figura:
Fig. 3. Función y su área bajo la curva, usando rectángulos.
Pero, hay un problema: estos rectángulos no son exactos; ya que, como la función es una curva, hay un exceso que no se puede calcular. Podrías pensar en hacer los rectángulos muy pequeños; pero, entonces, tendrías que calcular muchas más áreas y sumarlas para poder obtener una medida aproximada del área bajo la curva.
Esto es, sin duda, mucho trabajo. Sin embargo, el segundo teorema fundamental del cálculo nos dice que esta área es igual a la antiderivada evaluada en los extremos de la función; esto se conoce como el segundo teorema fundamental del cálculo integral.
Segundo teorema fundamental del cálculo integral
El segundo teorema fundamental del cálculo integral nos dice, formalmente, que el área bajo la curva de la función \(f(x)\) es la antiderivada \(F(x)\) evaluada en los extremos \(a\) y \(b\).
- Esto se traduce como: \[Área={\int_a^b f(x) dx }=F(b)-F(a)\]
Esto simplifica gran parte del trabajo matemático, ya que no hay que hacer larguísimas sumas. Solo necesitas ver tu tabla de integrales o antiderivadas, evaluarlas en los puntos extremos de la función y proceder a calcular el área bajo la curva.
Ejercicios resueltos del teorema fundamental del cálculo Integral
Ahora, hagamos algunos ejercicios bastante simples usando el teorema fundamental del cálculo:
Encuentra al área de la siguiente función en el dominio \([0, 5]\):
Fig. 4. Área bajo la curva de una función.
Solución
Claramente se puede ver un triángulo rectángulo, así que puedes obtener el área de dos formas: calculando la base por la altura o integrando y evaluando los límites para aplicar la idea del teorema fundamental del cálculo.
Veamos la primera opción:
La base del triángulo es \(b=5\) y la altura es también \(a=5\)
Por lo cual el cálculo es:
\[Área={{b·a}\over{2}}\]
Esto nos da:
\[Área=12,5\]
Ahora, apliquemos la idea detrás del teorema fundamental del cálculo:
\[F(x)={\int_a^b x dx }=F(b)-F(a)\]
En este caso, la integral de \(x\) es \({{x^2}\over{2}}\).
Sustituyendo los límites, que son \(x=0\) y \(x=5\):
\[Área={{(5)^2}\over{2}}-{{(0)^2}\over{2}}=0-{{25}\over{2}}=12,5\]
Como puedes ver, ¡nos da el mismo resultado!
Encuentra el área bajo la curva de la función por partes siguiente: \(h(x)\).
\[h(x)=f(x)=x,x{\in}[0,3]\]
\[h(x)=g(x)=3,x{\in}[3,5]\]
Fig 5. Área bajo la curva de una función.
Solución
La función aquí está definida, nuevamente, como un rectángulo y como un triángulo.
- El triángulo está definido por: \(Area={{a·b}\over{2}}\).
- Y el rectángulo: \(Área={a·b}\).
En este caso, para el triángulo: \(Área={{3·3}\over{2}}=4,5\).
En este caso, para el rectángulo: \(Área={3·2}=6\).
Esto nos da: \(Área_{total}=10,5\)
Ahora, calculamos las integrales de ambas funciones:
\[F(x)={\int x dx }={{x^2}\over{2}}\]
\[F(x)={\int 3 dx }={3x}\]
Si evaluamos ambas en los límites correspondientes:
\[{{3^2}\over{2}}-\{{0^2}\over{2}}=4,5]
\[{3·2}-{3·0}=6\]
Sumándolos:
\[Área_{total}=6+4,5=10,5\]
Podemos ver que es la misma área.
Esto se puede hacer con funciones mucho más complejas como el \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\), aunque requerirían la suma de muchos rectángulos infinitamente pequeños. Esto se debe, precisamente, a que muchas áreas que no son regulares son difíciles de calcular; por eso, el teorema fundamental del cálculo es importante.
Teorema fundamental del cálculo - Puntos clave
- El teorema fundamental del cálculo necesita que la función que analizas sea continua.
- El resultado de integrar la función \(f(x)\) es la función \(F(x)\), también conocida como la antiderivada de la función original.
- El segundo teorema fundamental del cálculo integral nos dice formalmente que el área bajo la curva de la función \(f(x)\) es la antiderivada \(F(x)\) evaluada en los extremos \(a\) y \(b\).
- Este teorema facilita el cálculo matemático de las áreas.
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