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Teorema fundamental del cálculo

Teorema fundamental del cálculo

Hasta el momento, has visto lo que es una integral y una derivada. También, sabes de antemano que, al derivar o integrar una función, obtienes otra función. Es curioso, ¿no? Aunque, no tanto, ya que si ambas operaciones te dan una función, entonces las funciones de la integral y la derivada se deduce que están relacionadas entre sí. De hecho, la derivación es el proceso inverso de la integración.

Estas operaciones se enlazan por un teorema conocido como: teorema fundamental del cálculo. El primer uso rudimentario de este fue por el matemático y astrónomo escocés James Gregory. Pero, veamos qué es este teorema, su relación con la continuidad, qué dice y por qué es útil.

Continuidad y el teorema fundamental del cálculo

Primero, y antes de nada, el teorema fundamental del cálculo necesita que la función que analizas sea continua.

Por ejemplo, no puedes aplicar al teorema fundamental del cálculo a una función con una discontinuidad.

Esto se debe a que, para poder relacionar una función \(f(x)\) con una función que define una integral \(F(x)\) (también conocida como antiderivada), \(f(x)\) debe ser continua.

Veámoslo en la siguiente figura:

Teorema fundamental del cálculo función discontinuidad StudySmarterFig. 1. Función con una discontinuidad.

Debido a que la función no es continua, ya que \(h(x)\) está compuesta por dos funciones que podemos nombrar \(g(x)\) y \(f(x)\), no puede existir una única función \(H(x)\) que nos de el área bajo las curvas de \(g(x)\) y \(f(x)\). En este caso, se deben definir dos funciones: una para la curva \(g(x)\), que será \(G(x)\), y otra para la curva \(f(x)\), que será \(F(x)\).

Teorema fundamental del cálculo discontinuidad área bajo la curva StudySmarterFig. 2. Función con discontinuidad y su área bajo la curva.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo nos dice, en su primera parte:

  • Si \(f(x)\) es una función continua en un intervalo cerrado \([a, b]\), existe una función \(F\) en el mismo intervalo, que es el resultado de:

\[F(x)={\int f(x) dx }\]

Básicamente, esto nos dice que el resultado de integrar la función \(f(x)\) es la función \(F(x)\), también conocida como la antiderivada de la función original.

De hecho, cuando observas tu tablas de integrales, lo que ves son las antiderivadas de las funciones que se integran.

Segundo teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental tiene una segunda parte, que relaciona el resultado de la integración, las antiderivadas y el valor del área bajo la curva. ¡Veamos cómo funciona esto!

Digamos que se tiene la siguiente función que es \(x^2\). El área bajo la curva se puede calcular de varias formas; la clásica es usando rectángulos pequeños bajo la curva, como se ve en la siguiente figura:

Teorema fundamental del cálculo  área bajo la curva rectángulos StudySmarterFig. 3. Función y su área bajo la curva, usando rectángulos.

Pero, hay un problema: estos rectángulos no son exactos; ya que, como la función es una curva, hay un exceso que no se puede calcular. Podrías pensar en hacer los rectángulos muy pequeños; pero, entonces, tendrías que calcular muchas más áreas y sumarlas para poder obtener una medida aproximada del área bajo la curva.

Esto es, sin duda, mucho trabajo. Sin embargo, el segundo teorema fundamental del cálculo nos dice que esta área es igual a la antiderivada evaluada en los extremos de la función; esto se conoce como el segundo teorema fundamental del cálculo integral.

Segundo teorema fundamental del cálculo integral

El segundo teorema fundamental del cálculo integral nos dice, formalmente, que el área bajo la curva de la función \(f(x)\) es la antiderivada \(F(x)\) evaluada en los extremos \(a\) y \(b\).

  • Esto se traduce como: \[Área={\int_a^b f(x) dx }=F(b)-F(a)\]

Esto simplifica gran parte del trabajo matemático, ya que no hay que hacer larguísimas sumas. Solo necesitas ver tu tabla de integrales o antiderivadas, evaluarlas en los puntos extremos de la función y proceder a calcular el área bajo la curva.

Ejercicios resueltos del teorema fundamental del cálculo Integral

Ahora, hagamos algunos ejercicios bastante simples usando el teorema fundamental del cálculo:

Encuentra al área de la siguiente función en el dominio \([0, 5]\):

Teorema fundamental del cálculo área bajo la curva StudySmarterFig. 4. Área bajo la curva de una función.

Solución

Claramente se puede ver un triángulo rectángulo, así que puedes obtener el área de dos formas: calculando la base por la altura o integrando y evaluando los límites para aplicar la idea del teorema fundamental del cálculo.

Veamos la primera opción:

La base del triángulo es \(b=5\) y la altura es también \(a=5\)

Por lo cual el cálculo es:

\[Área={{b·a}\over{2}}\]

Esto nos da:

\[Área=12,5\]

Ahora, apliquemos la idea detrás del teorema fundamental del cálculo:

\[F(x)={\int_a^b x dx }=F(b)-F(a)\]

En este caso, la integral de \(x\) es \({{x^2}\over{2}}\).

Sustituyendo los límites, que son \(x=0\) y \(x=5\):

\[Área={{(5)^2}\over{2}}-{{(0)^2}\over{2}}=0-{{25}\over{2}}=12,5\]

Como puedes ver, ¡nos da el mismo resultado!

Encuentra el área bajo la curva de la función por partes siguiente: \(h(x)\).

\[h(x)=f(x)=x,x{\in}[0,3]\]

\[h(x)=g(x)=3,x{\in}[3,5]\]

Teorema fundamental del cálculo área bajo la curva StudySmarterFig 5. Área bajo la curva de una función.

Solución

La función aquí está definida, nuevamente, como un rectángulo y como un triángulo.

  • El triángulo está definido por: \(Area={{a·b}\over{2}}\).
  • Y el rectángulo: \(Área={a·b}\).

En este caso, para el triángulo: \(Área={{3·3}\over{2}}=4,5\).

En este caso, para el rectángulo: \(Área={3·2}=6\).

Esto nos da: \(Área_{total}=10,5\)

Ahora, calculamos las integrales de ambas funciones:

\[F(x)={\int x dx }={{x^2}\over{2}}\]

\[F(x)={\int 3 dx }={3x}\]

Si evaluamos ambas en los límites correspondientes:

\[{{3^2}\over{2}}-\{{0^2}\over{2}}=4,5]

\[{3·2}-{3·0}=6\]

Sumándolos:

\[Área_{total}=6+4,5=10,5\]

Podemos ver que es la misma área.

Esto se puede hacer con funciones mucho más complejas como el \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\), aunque requerirían la suma de muchos rectángulos infinitamente pequeños. Esto se debe, precisamente, a que muchas áreas que no son regulares son difíciles de calcular; por eso, el teorema fundamental del cálculo es importante.

Teorema fundamental del cálculo - Puntos clave

  • El teorema fundamental del cálculo necesita que la función que analizas sea continua.
  • El resultado de integrar la función \(f(x)\) es la función \(F(x)\), también conocida como la antiderivada de la función original.
  • El segundo teorema fundamental del cálculo integral nos dice formalmente que el área bajo la curva de la función \(f(x)\) es la antiderivada \(F(x)\) evaluada en los extremos \(a\) y \(b\).
  • Este teorema facilita el cálculo matemático de las áreas.

Preguntas frecuentes sobre Teorema fundamental del cálculo

Es el teorema que relaciona la operación derivada con la integración.

Es el teorema que nos dice que una función es continua, solo si existe para todos los puntos x en el dominio.

Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], existe una función F en el mismo intervalo, que es el resultado de integrar f(x).

Relaciona el resultado de la integración, las antiderivadas y el valor del área bajo la curva.

El teorema fundamental del cálculo no se puede calcular, es simplemente una relación entre una función, su continuidad y la integral de una región cerrada.

Cuestionario final de Teorema fundamental del cálculo

Pregunta

¿Quién fue el primer científico que usó el teorema fundamental del cálculo?

Mostrar respuesta

Answer

Charles Darwin.

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Pregunta

¿Qué se requiere para que se cumpla el teorema fundamental del cálculo?

Mostrar respuesta

Answer

Que la función sea continua.

Show question

Pregunta

Si la función \(f(x)\) tiene el dominio \(x\in[-3; 3]\) y \(x\in(3; 7]\), ¿se podría decir, a primera vista, que esta función es continua?

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Answer

Sí, ya que los dos dominios juntos es \(x\in[-3; 7]\)

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Pregunta

Si la función \(g(x)\) tiene el dominio \(x \in R \) , pero en el punto \(x=a\) su valor es \(f(a)=b\) y para el primer punto después \(x>a\) \(f(x>a)=-b\), ¿esta es continua?

Mostrar respuesta

Answer

No, debido a que posee un salto

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Pregunta

Si una función tiene un salto, ¿esto anula el teorema del cálculo?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, ya que es discontinua.

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Pregunta

El punto donde existe un máximo o un mínimo tiene una pendiente \(y\) igual a:

Mostrar respuesta

Answer

\(1\).

Show question

Pregunta

Una función con un salto:

Mostrar respuesta

Answer

Posee una discontinuidad.

Show question

Pregunta

Supongamos que se tiene la función \(h(x)=x\). 

¿Esta satisface el teorema fundamental del cálculo? ¿Por qué sí o por qué no?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, porque es una función continua en todo su dominio

Show question

Pregunta

Supongamos que se tiene la función \(f(x)=x^2\), pero los extremos donde está definida son \(x=2\) y \(x=-3\). Y, además, es continúa en el intervalo \(x=\in[-3; 2]\) 

¿Cumple el teorema fundamental del cálculo, aunque sus extremos sean distintos?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, la función solo debe ser continua en el intervalo de dominio.

Show question

Pregunta

Se tiene una función cúbica cuyo dominio es \(x\in[-\infty; \infty]\). ¿Podrías decir si esta cumple el teorema fundamental del cálculo?

Mostrar respuesta

Answer

Si no posee discontinuidades y saltos, sí.

Show question

Pregunta

¿Cuál es una aplicación del teorema fundamental del cálculo?

Mostrar respuesta

Answer

El cálculo del área bajo la curva

Show question

Pregunta

¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo?

Mostrar respuesta

Answer

Es el teorema que relaciona la derivada con la integral de una función. Si se hace la integral de una derivada, se obtiene la función original.

Show question

Pregunta

¿Qué requisito es necesario para poder aplicar el teorema fundamental del cálculo?

Mostrar respuesta

Answer

Que la función sea continua en el intervalo cerrado de integración.

Show question

Pregunta

Dada la antiderivada \(F(t)=t+4\), ¿cuál es el área bajo la curva en el intervalo \([0,5]\)?

Mostrar respuesta

Answer

Usando la segunda parte del Teorema fundamental del cálculo, la respuesta sería:

\[F(5)-F(0)=(5+4)-(0+4)=5\]

Show question

Pregunta

¿Cuál es la derivada de \(g(x)=\int_1^{x} \dfrac{1}{1+t^2}dt\)?

Mostrar respuesta

Answer

Según el teorema fundamental del cálculo, la derivada es:

\[g'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\]

Show question

Pregunta

¿Qué es el dominio de una función?

Mostrar respuesta

Answer

Los valores que se pueden introducir en \(f(x)\).

Show question

Pregunta

¿Con qué letra se representa el dominio de \(f(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

D.

Show question

Pregunta

Si una función es continua y existe en el intervalo \((-3,10)\), ¿cuál es el dominio de la función?


Mostrar respuesta

Answer

No se puede saber solo conociendo un intervalo en el que existe la función.

Show question

Pregunta

¿Qué cosas pueden ocurrir en un intervalo de \(f(x)\), si se cumple el teorema de Rolle?

Mostrar respuesta

Answer

Puede haber discontinuidades.

Show question

Pregunta

¿Qué es un intervalo cerrado?

Mostrar respuesta

Answer

Un intervalo cerrado se da cuando una función que existe sobre un dominio toma los valores extremos de ese intervalo.

Show question

Pregunta

¿Qué es un intervalo abierto?

Mostrar respuesta

Answer

Un intervalo abierto se da cuando una función que existe sobre un dominio no toma los valores extremos de ese intervalo.

Show question

Pregunta

¿El intervalo \([3,10]\) es abierto o cerrado?

Mostrar respuesta

Answer

Cerrado.

Show question

Pregunta

¿El intervalo \((3,8)\) es abierto o cerrado?

Mostrar respuesta

Answer

Abierto.

Show question

Pregunta

 ¿Cuáles son las tres condiciones que se deben dar para que se cumpla el teorema de Rolle?

Mostrar respuesta

Answer

  1. La función debe ser continua en el intervalo cerrado \([a, b]\).

  2. La función debe ser derivable en el intervalo abierto \((a,b)\).

  3.  Las imágenes de los extremos deben ser iguales \(f(a)=f(b)\).

Show question

Pregunta

¿La función \(f(x)=x^4\) en el intervalo \([-3, 3]\) cumple el teorema de Rolle?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, sí lo cumple, ya que \(f(x)\) es continua, es derivable en el intervalo y \(f(-3)=f(3)\).

Show question

Pregunta

¿La función \(f(x)=x^2+x+3\) en el intervalo \([-35, 48]\) cumple el teorema de Rolle, aunque su intervalo final e inicial no sean iguales?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, sí lo cumple, ya que \(f(x)\) es continua, derivable en todo su dominio y además dentro del intervalo hay dos puntos cuyas imágenes tienen el mismo valor; por ejemplo, f(-35)=f(34).

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Pregunta

¿Puede una recta cumplir el teorema de Rolle?

Mostrar respuesta

Answer

Si la recta es horizontal, entonces cumple el teorema de Rolle.

Show question

Pregunta

¿De qué teorema es el teorema de Rolle un caso especial?

Mostrar respuesta

Answer

Del teorema del valor medio.

Show question

Pregunta

Lista las dos condiciones para poder aplicar el teorema del valor medio.

Mostrar respuesta

Answer

  1. Continua en el intervalo cerrado \([a, b]\).

  2. Diferenciable en el intervalo abierto \((a, b)\).

Show question

Pregunta

¿La función \(1\over{\cos(x)}\) en el intervalo \([-\pi,\pi]\) cumple el teorema de Rolle y del valor medio?

Mostrar respuesta

Answer

No, debido a que tiene una discontinuidad en \(\cos(0)=1\).

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