La integración directa de funciones es muy fácil: solo debes encontrar una primitiva en una tabla. Por ejemplo, integrar las función \(\sin(x)\) es sencillo, ya que se tiene una fórmula directa; lo mismo para funciones sencillas como \(1/x^n\) o polinomios. Pero, ¿qué pasa cuando se tiene algo como \(f(x)=e^x\cos(x)\)? Podrías buscarlo en tus tablas y no encontrarás ninguna fórmula directa. Esto se debe a que es una función más compleja y requiere un método de integración.
- En este artículo estudiaremos en primer lugar las primitivas de una función.
- Después, veremos los métodos de integración más importantes:
- Por último, veremos algunos ejemplos de estos métodos de integración.
Primitiva de una función
La primitiva de una función es la antiderivada: la función que se obtiene cuando se hace la operación contraria a la derivada, que es la integración.
Una primitiva se encuentra usando tablas. Por ejemplo, las primitivas de las dos Funciones trigonométricas básicas son:
\[\int \sin(x)dx=\cos(x)\]
\[\int \cos(x)dx=-\sin(x)\]
Pero, ¿qué pasa con la función \(\tan(x)\)? Esta también tiene una fórmula, pero no es una función básica; sino que está formada por el cociente de dos funciones, que son \(\sin\) y \(\cos\):
\[\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\]
En este caso, podemos hacer algo interesante:
Sabemos que la función \(-\sin(x)\) es la primitiva de \(\cos(x)\); en este caso, si \(\cos(x)\) es la función, su derivada es \(-\sin(x)\). Por tanto, podemos hacer un cambio de variable para simplificar todo esto, haciendo que \(\cos(x)=u\).
Ahora, nuestra variable es \(u\); entonces buscamos su diferencial derivando en ambos lados de la ecuación anterior, lo que queda como: \(-\sin(x)dx=du\Rightarrow dx=\dfrac{du}{-\sin(x)}\).
Ahora tenemos:
\[\int \tan(x)dx=\int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=\int \dfrac{\sin(x)}{u}\dfrac{du}{-\sin(x)}\]
Simplificando, esto es:
\[-\int \dfrac{du}{u}\]
Y esta integral es:
\[-\int \dfrac{du}{u}=-\ln|u|+c|\]
Si regresamos al valor original de \(u\), tenemos:
\[\int \tan(x)dx=\int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\ln|\cos(x)|+c\]
Este resultado existe como una fórmula, pero el método que aplicamos usando primitivas y cambiando una variable se conoce como método por sustitución o cambio de variable.
Métodos de integración
El método anterior, junto con otros métodos, es una parte integral de los métodos de integración que te permitirán integrar funciones más complejas. Estos métodos son:
A continuación, veremos un poco más sobre estos métodos.
Integrales por cambio de variable
El primer método de integración que veremos es conocido como cambio de variable. Este método de integración te permite convertir una expresión más compleja en una variable más sencilla.
Hagamos una lista rápida:
Si \( u=\cos(x)\), \(du=-\sin(x)dx\)
Si \( u=\sin(x)\), \(du=\cos(x)dx\)
Si \( u=e^{nx}\), \(du=ne^{x(n-1)}dx\)
En todos estos casos, se busca hacer la función a integrar más sencilla.
Puedes ver esto, más detenidamente y con muchos ejemplos, en nuestro tema sobre Integración por cambio de variable.
Veamos de qué se trata, con un ejemplo:
Se tiene la siguiente integral:
\[\int{4e^{4x+3}dx}\]
Solución:
Podríamos hacer esta integral directa; pero, podemos hacerlo aún más sencillo usando:
\[u=(4x+3)\]
\[du=4dx\]
Despejando \(du\), tenemos:
\[dx=\dfrac{du}{4}\]
Si sustituimos esto en la función original:
\[\int 4e^{u}\dfrac{du}{4}\]
Lo que se simplifica a:
\[\int e^{u}du\]
Y esta integral es simplemente \(e^u+c\), con lo cual queda:
\[\int e^{u}du=e^u\]
Si regresamos al valor original de \(u=(4x+3)\), tenemos:
\[\int 4e^{4x+3}dx=e^{4x+3}\]
Si bien es cierto que el método parece largo, cuando puedes identificar las funciones y las sustituciones rápidamente, es una herramienta muy poderosa.
Volvamos a una función trigonométrica; en este caso, la cotangente.
Integra la función \(f(x)=\cot(x)\).
Solución:
Esto lo puedes hacer de una manera larga; pero, también podemos rápidamente ver que la cotangente es igual a:
\[\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\]
Sabemos que la derivada del \(\sin(x)\) es el \(\cos(x)dx\), así que se tiene:
\[u=\sin(x)\]
\[du=\cos(x)dx\]
\[\int \cot(x)dx=\int\dfrac{\cos(x)dx}{\sin(x)}=\int\dfrac{du}{u}\]
Y esta integral es, sencillamente:
\[\int\dfrac{du}{u}=\ln|u|+c\]
Si regresamos a la variable original \(u=\sin(x)\):
\[\int \cot(x)=\ln|\sin(x)|+c\]
Nuevamente, esto puede parecer dispendioso, pero no hay un método sencillo de saber esta integral si no tienes tablas completas de primitivas.
Cuando identificamos las variables y Derivadas rápidamente, estas Integrales son tan rápidas como dos líneas: la práctica te hará más rápido con estos métodos de integración.
Integración de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas que conoces —como seno, coseno y tangente— tienen también Integrales directas; además, estas tienen propiedades interesantes al integrarse que veremos a continuación.
Primero, las integrales directas de las funciones trigonométricas son las siguientes:
- \[\int \sin(x)dx=-\cos(x)+c\]
- \[\int \cos(x)dx=\sin(x)+c\]
- \[\int \tan(x)dx=\ln|\cos(x)|+c\]
En el caso de que el argumento \(x\) sea multiplicado por una constante como en \(\cos(2x)\), las integrales de estas son:
- \[\int \sin(ax)dx=\dfrac{-\cos(ax)}{a}+c\]
- \[\int \cos(ax)dx=\dfrac{\sin(ax)}{a}+c\]
- \[\int \tan(ax)dx=-\dfrac{1}{a}\ln|\cos(x)|+c\]
Recurrencia de las integrales trigonométricas
Una propiedad importante de estas integrales —que es usada ampliamente en métodos de integración como el método de sustitución o el método de integración por partes— es que estas son cíclicas o recurrentes.
Al decir cíclicas nos referimos a que las integrales de la función seno y coseno son la integral de la otra función.
Hagamos un ejemplo de esto:
Integra la función \(f(x)=\sin(x)\) dos veces.
Solución:
Primero, la integramos una vez:
\[\int\sin(x)dx=\cos(x)+c\]
Si integramos nuevamente el coseno, sin tomar en cuenta la constante resultante, tenemos:
\[\int-\cos(x)dx=-\int\cos(x)=-\sin(x)+c\]
Efectivamente, la segunda integral de la función seno es la misma función pero con diferente signo:
\[\int f(x) \rightarrow \int g(x) \rightarrow -\int f(x)\]
Esta recurrencia también es explotada al hacer cambios de variable, como ya mencionamos, en los que:
\[u=\sin(x)\]
\[du=\cos(x)\]
Lo cual lleva a integrales del tipo:
\[\int a\sin(x)\cos(x)dx\]
a ser expresadas como:
\[\int a u\,du \]
La recurrencia de estas integrales, además de su relación con las Funciones exponenciales, es muy poderosa para resolver problemas más complejos en otros cursos más avanzados.
Integrales de funciones racionales
Otro tipo de integral que encontrarás muy a menudo son las integrales de Funciones racionales. Estas integrales son el resultado de tener dos funciones dividiendo; esto se define como:
\[\int \dfrac{f(x)}{g(x)}dx\]
Hay varios métodos importantes para poder descomponer estas integrales en otras más sencillas; pero, de momento, nos centraremos en lo siguiente:
\[\dfrac{x^2+3x-2}{x-1}\]
\[\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}\]
Esta forma puede variar y tener más términos; pero, en general, se busca reducir la expresión para que las integrales resultantes sean fáciles de calcular. El método se conoce comúnmente como método de fracciones parciales.
El método de fracciones parciales se basa en la idea de que dos funciones son equivalentes si la segunda es una factorización de la primera. De este modo, si ambas expresiones son iguales, como:
\[F(f(x))\rightarrow g(x)+h(x)+i(x)...\]
entonces las integrales deben dar el mismo resultado:
\[\int f(x)=\int g(x)+\int h(x)+\int i(x)...\]
Integración por partes
Un método que es muy útil para integrar funciones complejas es la integración por partes. Este método tiene una fórmula bien definida, que es:
\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]
En este caso, \(u\) y \(v\) son funciones de \(x\) o \(f(x)\) y \(g(x)\).
Este método es muy útil cuando se tienen funciones cíclicas, como \(e^x\), y las funciones trigonométricas \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\).
Puedes ver más ejemplos y una explicación más detallada en nuestro artículo de Integración por partes.
Hagamos un ejercicio sencillo:
Se tiene la función \(xe^x\). Encuentra la integral de la función.
Solución:
En primer lugar, lo que se debe hacer es identificar cuál función se debe reducir y cual es cíclica.
En este caso la función que debemos reducir es \(x\). Así que elegimos, para que esta sea \(u\) y para que en la siguiente integral sea \(du=dx\).
Si hacemos esto, tenemos:
\[u=x\Rightarrow du=dx\]
\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]
Si sustituimos en la fórmula:
\[\int xe^x dx=xe^x-\int e^xdx\]
Aquí, esta última integral es directa, por lo que:
\[\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)\]
Es cierto que el ejemplo es un poco largo, pero es muy importante que lo tengas en cuenta, ya que es muy útil. También hay funciones cíclicas del tipo \(e^x(\cos(x))\) que pueden ser resueltas fácilmente con este método.
Métodos de integración: ejemplos
Veamos tres ejemplos sencillos usando los métodos de integración que aprendiste.
Se tiene la función \(\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\). ¡Integrémosla por cambio de variable!
Solución:
En primer lugar ,debemos saber que la función \(\cos(x)\) es la derivada de la función \(\sin(x)\); así que podemos hacer:
\[u=\sin(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx\]
Ahora tenemos:
\[\int \dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}dx=\int\dfrac{du}{u^2}\]
Esta integral es igual a:
\[\int u^{-2}du\]
Integrando esto, obtenemos:
\[\int u^{-2}du=\dfrac{-1}{u}+c\]
Si regresamos a nuestra expresión original, llegamos a:
\[\int \dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}dx=\dfrac{-1}{\sin(x)}+c\]
Usa el método de integración por partes para resolver la integral cíclica: \(\int e^x\sin(x)dx\).
Solución:
Aquí debemos tener en cuenta que, al derivar e integrar \(\sin(x)\) varias veces, regresamos a la función \(\sin(x)\).
Primero hacemos:
\[u=\sin(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx\]
\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]
Así que podemos usar:
\[\int udv = vu - \int vdu\]
Sustituyendo por los valores que acabamos de calcular:
\[\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) - \int e^x \cos(x)dx\]
Podemos hacer la última integral por partes:
\[u=\cos(x)\Rightarrow du=-\sin(x)dx\]
\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]
Con lo cual tenemos:
\[\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) - \int e^x \cos(x)dx=e^x\sin(x)-e^x\cos(x)-\int e^x \sin(x)dx \]
Si observas bien, esta última integral es la misma con la cual iniciamos; así que, si sustituimos todo:
\[\int \sin(x)e^x dx= e^x\sin(x) -e^x\cos(x)-\int e^x\sin(x) dx\]
Pasamos la última integral al lado izquierdo de la igualdad:
\[2\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) -e^x\cos(x)\]
Pasamos el \(2\) dividiendo al otro lado de la igualdad, por lo que la integral es igual a:
\[\int \sin(x)e^xdx= \dfrac{e^x\sin(x) -e^x\cos(x)}{2}\]
Métodos de integración - Puntos clave
- La integración directa de funciones es muy fácil, solo debes encontrar una primitiva en una tabla.
- La primitiva de una función es la antiderivada: función que se obtiene cuando se hace la operación contraria a la derivada, que es la integración.
- Los métodos de integración que te permitirán integrar funciones más complejas y los más usados son:
- Cambio de variable.
- Sustitución trigonométrica.
- Por partes.
- La integración por partes es útil cuando intentas reducir una función en un producto del tipo \(f(x)\) por \(g(x)\), o cuando se tienen funciones cíclicas como \(e^x\cos(x)\).
- La integración por sustitución trigonométrica es útil cuando se tienen formas del tipo:
- \(a^2+b^2\).
- \(a^2-b^2\).
- \(-a^2+b^2\).
- El cambio de variable te permite convertir una expresión más compleja en una variable más sencilla.
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