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Métodos de integración

Métodos de integración

La integración directa de funciones es muy fácil, solo debes encontrar una primitiva en una tabla. Por ejemplo, integrar las función \(\sin(x)\) es sencillo ya que se tiene una fórmula directa, lo mismo para funciones sencillas como \(1/x^n\) o polinomios, pero qué pasa cuando se tiene algo como \(f(x)=e^x\cos(x)\). Podrías buscarlo en tus tablas y no encontrarás ninguna fórmula directa, esto es porque es una función más compleja y requiere un método de integración.

Primitiva de una función

La primitiva de una función es la antiderivada, esto es, la función que se obtiene cuando se hace la operación contraria a la derivada que es la integración.

Una primitiva se encuentra usando tablas, por ejemplo las primitivas de las dos funciones trigonométricas básicas son:

\[\int \sin(x)dx=\cos(x)\]

\[\int \cos(x)dx=-\sin(x)\]

Pero, ¿qué pasa con la función \(\tan(x)\)? Esta también tiene una fórmula pero no es una función básica si no que está formada por el cociente de dos funciones que son \(\sin\) y \(\cos\):

\[\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\]

En este caso podemos hacer algo interesante. Sabemos que la función \(-\sin(x)\) es la primitiva de \(\cos(x)\), en este caso si \(\cos(x)\) es la función, su derivada es \(-\sin(x)\). Por lo que podemos hacer un cambio de variable para simplificar todo esto, haciendo que \(\cos(x)=u\). Ahora nuestra variable es \(u\) y entonces buscamos su diferencial derivando en ambos lados de la ecuación anterior lo que queda como: \(-\sin(x)dx=du\Rightarrow dx=\dfrac{du}{-\sin(x)}\). Entonces tenemos:

\[\int \tan(x)dx=\int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=\int \dfrac{\sin(x)}{u}\dfrac{du}{-\sin(x)}\]

Simplificando, esto es:

\[-\int \dfrac{du}{u}\]

Y esta integral es:

\[-\int \dfrac{du}{u}=-\ln|u|+c|\]

Y si regresamos al valor original de \(u\), tenemos:

\[\int \tan(x)dx=\int \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\ln|\cos(x)|+c\]

Este resultado existe como una fórmula de hecho, pero el método que usamos usando primitivas y cambiando una variable se conoce como método por sustitución o cambio de variable y es junto con otros métodos una parte integral de los métodos de integración que te permitirá integrar funciones más complejas. Ahora veremos un poco más de estos métodos.

Integrales por cambio de variable

El primer método de integración que veremos es conocido como cambio de variable, este método de integración te permite convertir una expresión más compleja en una variable más sencilla. Veamos una lista rápida:

Si \( u=\cos(x)\), \(du=-\sin(x)dx\)

Si \( u=\sin(x)\), \(du=\cos(x)dx\)

Si \( u=e^{nx}\), \(du=ne^{x(n-1)}dx\)

Esto lo puedes ver más detenidamente y con muchos ejemplos en nuestro tema sobre Integración por cambio de variable. En todos estos casos lo que se busca es hacer la función a integrar más sencilla, veamos un ejemplo rápido.

Se tiene la siguiente integral:

\[\int{4e^{4x+3}dx}\]

Podríamos hacer esta integral directa, pero podemos hacerlo más sencillo usando:

\[u=(4x+3)\]

\[du=4dx\]

Despejando \(du\) tenemos:

\[dx=\dfrac{du}{4}\]

Si sustituimos esto en la función original:

\[\int 4e^{u}\dfrac{du}{4}\]

Esto se simplifica a:

\[\int e^{u}du\]

Y esta integral es simplemente \(e^u+c\), con lo cual queda:

\[\int e^{u}du=e^u\]

Si regresamos al valor original de \(u=(4x+3)\), tenemos:

\[\int 4e^{4x+3}dx=e^{4x+3}\]

Si bien es cierto el método parece largo, cuando puedes identificar las funciones rápidamente y las sustituciones esto es una herramienta muy poderosa.

Volvamos a una función trigonométrica, en este caso la cotangente.

Integra la función \(f(x)=\cot(x)\).

Solución:

Esto lo puedes hacer de una manera larga, pero podemos rápidamente ver que la cotangente es igual a:

\[\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\]

Sabemos que la derivada del \(\sin(x)\) es el \(\cos(x)dx\), así que se tiene:

\[u=\sin(x)\]

\[du=\cos(x)dx\]

\[\int \cot(x)dx=\int\dfrac{\cos(x)dx}{\sin(x)}=\int\dfrac{du}{u}\]

Y esta integral en sencillamente:

\[\int\dfrac{du}{u}=\ln|u|+c\]

Y si regresamos a la variable original \(u=\sin(x)\).

\[\int \cot(x)=\ln|\sin(x)|+c\]

Nuevamente esto es probablemente tardado pero no hay un método sencillo de saber esta integral si no tienes tablas completas de primitivas.

Cuando identificamos las variables y derivadas rápidamente, estas integrales son tan rápidas como dos líneas, será la práctica la que te haga más rápido con estos métodos de integración.

Integración de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas que conoces como seno, coseno y tangente tienen también integrales directas. Además de tener integrales directas, estas funciones tienen propiedades interesantes al integrarse que veremos a continuación.

Primero, las integrales directas de las funciones trigonométricas son las siguientes:

\[\int \sin(x)dx=-\cos(x)+c\]

\[\int \cos(x)dx=\sin(x)+c\]

\[\int \tan(x)dx=\ln|\cos(x)|+c\]

En el caso que el argumento que es \(x\) sea multiplicado por una constante como en \(\cos(2x)\), las integrales de estas son:

\[\int \sin(ax)dx=\dfrac{-\cos(ax)}{a}+c\]

\[\int \cos(ax)dx=\dfrac{\sin(ax)}{a}+c\]

\[\int \tan(ax)dx=-\dfrac{1}{a}\ln|\cos(x)|+c\]

Recurrencia de las integrales trigonométricas

Una propiedad importante de estas integrales será una que es usada ampliamente en los métodos de integración como el método de sustitución o el método de integración por partes es que estas son cíclicas o recurrentes.

Al decir cíclicas nos referimos a que las integrales de la función seno y coseno son la integral de la otra función. Hagamos un ejemplo de esto.

Integral la función \(f(x)=\sin(x)\) dos veces.

Solución:

Primero la integramos una vez, esto es:

\[\int\sin(x)dx=\cos(x)+c\]

Si integramos nuevamente ahora el coseno sin tomar en cuenta la constante resultante tenemos:

\[\int-\cos(x)dx=-\int\cos(x)=-\sin(x)+c\]

Efectivamente la segunda integral de la función seno es la misma función pero con diferente signo o:

\[\int f(x) \rightarrow \int g(x) \rightarrow -\int f(x)\]

Esta recurrencia también es explotada al hacer cambios de variable como ya mencionamos, donde:

\[u=\sin(x)\]

\[du=\cos(x)\]

Lo cual lleva a integrales del tipo:

\[\int a\sin(x)\cos(x)dx\]

A ser expresadas como:

\[\int a u\,du \]

La recurrencia de estas integrales además su relación con la función exponenciales es muy poderosa para resolver problemas más complejos en otros cursos más avanzados. Si quieres saber más acerca de la relación entre la exponencial y las funciones trigonométricas no olvides leer nuestro artículo sobre Integrales de funciones exponenciales.

Integrales de funciones racionales

Otro tipo de integral que encontrarás muy a menudo son las integrales de funciones racionales. Estas integrales son el resultado de tener dos funciones dividiendo, esto se define como:

\[\int \dfrac{f(x)}{g(x)}dx\]

Hay varios métodos importantes para poder descomponer estas integrales en otras más sencillas, de momento nos centraremos en lo siguiente:

  • Tanto \(g(x)\) como \(f(x)\) deben ser polinomios.

  • El grado de \(g(x)\) debe ser menor o igual que el grado de \(f(x)\). Por ejemplo:

\[\dfrac{x^2+3x-2}{x-1}\]

  • Se procede a hacer una división larga o factorización para reducir la expresión a una forma más sencilla para obtener una forma del tipo:

\[\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}\]

Esta forma puede variar y tener más términos, pero en general se busca reducir la expresión para que las integrales resultantes sean fáciles de calcular. El método se conoce comúnmente como método de fracciones parciales.

El método de fracciones parciales se basa en la idea que dos funciones son equivalentes si la segunda es una factorización de la primera, de este modo si ambas expresiones son iguales como:

\[F(f(x))\rightarrow g(x)+h(x)+i(x)...\]

Entonces las integrales deben dar el mismo resultado:

\[\int f(x)=\int g(x)+\int h(x)+\int i(x)...\]

Integración por partes

Un método que es muy útil para integrar funciones complejas, es la integración por partes, este método tiene una fórmula bien definida que es:

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

En este caso \(u\) y \(v\) son funciones de \(x\) o \(f(x)\) y \(g(x)\). Este método será muy útil cuando se tienen funciones cíclicas como \(e^x\) y las funciones trigonométricas \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\). Puedes ver más ejemplos y una explicación más detallada en nuestro artículo de Integración por partes.

Veamos un ejemplo sencillo.

Se tiene la función \(xe^x\), encuentra la integral de la función.

Solución:

En primer lugar, lo que se debe hacer es identificar cuál función se debe reducir y cual es cíclica. En este caso la función que debemos reducir es \(x\). Así que elegimos para que esta sea \(u\) para que en la siguiente integral sea \(du=dx\). Si hacemos esto tenemos:

\[u=x\Rightarrow du=dx\]

\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]

Si sustituimos esto en la fórmula tenemos:

\[\int xe^x dx=xe^x-\int e^xdx\]

Donde esta última integral es directa, por lo que:

\[\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)\]

Es cierto que el ejemplo es un poco largo pero es muy importante que lo tengas en cuenta ya que es muy útil. También hay funciones cíclicas del tipo \(e^x(\cos(x))\) que pueden ser resueltas fácilmente con este método.

Métodos de integración ejemplos

Veamos tres ejemplos sencillos usando los métodos de integración que viste en esta lección.

Se tiene la función \(\dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\), ¡integrémosla por cambio de variable!

Solución:

En primer lugar debemos saber que la función \(\cos(x)\) es la derivada de la función \(\sin(x)\), así que podemos hacer:

\[u=\sin(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx\]

Así que tenemos:

\[\int \dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}dx=\int\dfrac{du}{u^2}\]

Esta integral es igual a:

\[\int u^{-2}du\]

Integrando esto, obtenemos:

\[\int u^{-2}du=\dfrac{-1}{u}+c\]

Si regresamos a nuestra expresión original tenemos:

\[\int \dfrac{\cos(x)}{\sin^2(x)}dx=\dfrac{-1}{\sin(x)}+c\]

Usa el método de integración por partes para resolver la integral cíclica: \(\int e^x\sin(x)dx\).

Solución:

Aquí debemos usar el hecho de que al derivar e integrar \(\sin(x)\) varias veces regresamos a la función \(\sin(x)\).

Primero hacemos:

\[u=\sin(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx\]

\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]

Así que podemos usar:

\[\int udv = vu - \int vdu\]

Sustituyendo por los valores que acabamos de calcular:

\[\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) - \int e^x \cos(x)dx\]

La última integral la podemos hacer por partes:

\[u=\cos(x)\Rightarrow du=-\sin(x)dx\]

\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]

Con lo cual tenemos:

\[\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) - \int e^x \cos(x)dx=e^x\sin(x)-e^x\cos(x)-\int e^x \sin(x)dx \]

Si observas bien, esta última integral es la misma con la cual iniciamos, así que si sustituimos todo:

\[\int \sin(x)e^x dx= e^x\sin(x) -e^x\cos(x)-\int e^x\sin(x) dx\]

Pasamos la última integral al lado izquierdo de la igualdad:

\[2\int \sin(x)e^xdx = e^x\sin(x) -e^x\cos(x)\]

Pasamos el \(2\) dividiendo al otro lado de la igualdad por lo que la integral es igual a:

\[\int \sin(x)e^xdx= \dfrac{e^x\sin(x) -e^x\cos(x)}{2}\]

Métodos de integración - Puntos clave

  • La integración directa de funciones es muy fácil, solo debes encontrar una primitiva en una tabla.
  • La primitiva de una función es la antiderivada, esto es la función que se obtiene cuando se hace la operación contraria a la derivada que es la integración.
  • Los métodos de integración que te permitirán integrar funciones más complejas, los métodos más usados son:
    • Cambio de variable.
    • Sustitución trigonométrica.
    • Por partes.
  • La integración por partes es útil cuando intentas reducir una función en un producto del tipo \(f(x)\) por \(g(x)\) o cuando se tienen funciones cíclicas como \(e^x\cos(x)\).
  • La integración por sustitución trigonométrica es útil cuando se tienen formas del tipo:
    • \(a^2+b^2\).
    • \(a^2-b^2\).
    • \(-a^2+b^2\).
  • El cambio de variable te permite convertir una expresión más compleja en una variable más sencilla.

Preguntas frecuentes sobre Métodos de integración

Para encontrar  la primitiva de una función solo debes buscar en una tabla o aplicar un método de integración.

Los cuatro métodos de integración más comunes son:

  • Integración por cambio de variable.
  • Integración por partes.
  • Integración de funciones racionales.
  • Integración de funciones trigonométricas.

La integración por partes es útil cuando intentas reducir una función en un producto del tipo f(x) por g(x) o cuando se tienen funciones cíclicas como excos(x). La fórmula de integración por partes es:

∫udv=uv-∫vdu

Para integrar por sustitución tienes que buscar la función que quieres sustituir, por ejemplo, u=cos(x). Después, obtienes los diferenciales de cada lado, por ejemplo, du=-sen(x). Entonces sustituyes esto en la integral, la cual debería ser más sencilla de resolver. No te olvides de deshacer la sustitución para llegar al resultado final.

Para integrar por cambio de variable tienes que buscar la función que quieres sustituir, por ejemplo, u=cos(x). Después, obtienes los diferenciales de cada lado, por ejemplo, du=-sen(x). Entonces sustituyes esto en la integral, la cual debería ser más sencilla de resolver. No te olvides de deshacer el cambio de variable para llegar al resultado final.

Cuestionario final de Métodos de integración

Pregunta

¿Cuál es el primer paso para usar la integración por partes?

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Answer

Identificar las dos funciones y calcular cuál se quiere integrar y cuál diferenciar. Marcar la función a diferenciar y la función a integrar, que son \(u\) y \(dv\).

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Pregunta

¿Cuál es el segundo paso para usar la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

A partir de ambas, encontrar \(du\) y \(v\).

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Pregunta

¿Cuál es el último paso para usar la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

Sustituir los valores de \(du\), \(v\), \(dv\) y \(u\) para resolver las integrales.

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Pregunta

La integración por partes es la inversa de, ¿qué método de derivación?

Mostrar respuesta

Answer

La regla del producto.

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Pregunta

Si se tiene la integral \(\displaystyle \int x\cos(x)dx\) y se planea usar integración por partes, ¿qué término sería \(u\) y cuál \(dv\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(u=x\)

\(dv=\cos(x)dx\).

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Pregunta

Si se tiene la integral \(\displaystyle\int xe^xdx\) y se planea usar integración por partes, ¿qué término sería \(u\) y cuál \(dv\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(u=x\)

\(dv=e^xdx\).

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Pregunta

Resuelve la integral usando la integración por partes: \(\displaystyle\int 4x\cos(2x+1)dx\).

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Answer

\(\displaystyle\int 4x\cos(2x+1)dx=-8x\sin(2x+1)+8\cos(2x+1)\).

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Pregunta

Resuelve la integral por partes: \(\displaystyle \int xe^{2x}dx\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle \int xe^{2x}dx=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}\).

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Pregunta

Si tienes la siguiente integral \(\displaystyle\int x^3\cos(3x+4)dx\), ¿aplicarías la integración por partes más de una vez? Explica tu respuesta.

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que la integral del coseno es cíclica y a que la integral de \(x^3\) debe reducirse hasta que sea igual a \(f(x)=6\).

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Pregunta

¿Qué le pasa a la función \(e^x\) en la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

No es alterada.

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Pregunta

¿Qué le pasa a la función \(\sin(x)\) o \(\cos(x)\) en la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

Son funciones cíclicas que, al integrarse o derivarse, se transforman en la otra.

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Pregunta

Resuelve \(\displaystyle \int e^x\cos(x)dx\), ¿qué pasa?

Mostrar respuesta

Answer

La integral es cíclica y hay que aplicar 2 veces la integración por partes hasta llegar a la función original.

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Pregunta

¿Cuáles son los términos habituales para nombrar las funciones a integrar en la integración por partes?

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Answer

\(u\) y \(v\).

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Pregunta

¿Qué le sucede al término \(dv\) durante la integración por partes?

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Answer

Se integra para convertirse en \(v\).

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Pregunta

¿Qué le sucede al término \(u\) durante la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

Se deriva para convertirse en \(du\).

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Pregunta

¿Qué es el método de cambio de variable?

Mostrar respuesta

Answer

Ambas respuestas con correctas.

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Pregunta

¿Cuál es el otro nombre por el cual se conoce al método de cambio de variable?

Mostrar respuesta

Answer

Método por sustitución.

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Pregunta

¿Qué método de integración se usa para demostrar el resultado de cambio de variable?

Mostrar respuesta

Answer

Integración por partes.


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Pregunta

El cambio de variable busca hacer que la integral....

Mostrar respuesta

Answer

sea más fácil de integrar.

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Pregunta

Se tiene la función \(e^{2x+3}\),  ¿cuál sería un buen cambio de variable?

Mostrar respuesta

Answer

\(u=2x+3\).

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Pregunta


El argumento de una integral es \(2e^{(x+3)}dx\). Si el cambio de variable es igual a \(u=x+3\), ¿cuál es el nuevo argumento de la integral?






Mostrar respuesta

Answer

\( (2e^u)du\)

Show question

Pregunta


El argumento de una integral es \(2e^{x^{2}+3}dx\). Si el cambio de variable es igual a \(u=x^2+3\), ¿cuál es la integral resultante?






Mostrar respuesta

Answer

Si \(u=(x^2+3)\), \(du=2xdx\); pero, \(u=x^2+3\), por lo que \(\int 2e^udu\) pero despejando \(dx\) de \(du=2xdx\) tenemos \(dx={\dfrac{du}{2x}}\).

Despejando \(x\) de \(u=(x^2+3)\), tenemos: \(x=\sqrt{u-3}\), asi que sustituyendo este valor de \(x\) en \(dx\), \(dx=\dfrac{du}{2\sqrt{u-3}}\), por lo que \(\int 2e^{x^{2}+3}dx = 2e^u \dfrac{du}{2\sqrt{u-3}} \)

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Pregunta


Si se tiene la función \(cos(4x+5)dx\), ¿cuál es una buena sustitución?



Mostrar respuesta

Answer

\(u=4x\)


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Pregunta


Las integrales por cambio de variable y las relaciones trigonométricas están relacionadas. ¿Verdadero o falso?



Mostrar respuesta

Answer

Verdadero

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Pregunta


Se puede usar el cambio de variable con una integral definida. ¿Verdadero o falso?.



Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

Show question

Pregunta


¿Se debe usar un cambio de variable en los límites cuando se integre por cambio de variable una integral definida?


Mostrar respuesta

Answer

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Pregunta


Resuelve la siguiente integral por cambio de variable: \(\int\dfrac{dx}{\sqrt{x+1}} \)






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Answer

Paso 1: \(u=x+1\), \(dx=du\) 


Paso 2: sustituyendo, se tiene  \(\int\dfrac{du}{\sqrt{u}} \)


Paso 3: esto es \(\int u^{\frac{1}{2}}du \)

Paso 4: resolviendo \(2u^{1/2}+c\)


Paso 5: deshaciendo la sustitución  \(2\sqrt{x+1}+c\)

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Pregunta


Resuelve la siguiente integral por cambio de variable:  \(\int(2x+3)^3 dx \)






Mostrar respuesta

Answer

Paso 1: usa las sustituciones \(u=2x+3\) \(du=2dx\), entonces \(\frac{du}{2}=dx\).


Paso 2: sustituye en la integral original \(\int \frac{1}{2}u^3 du \).


Paso 3: resuelve la integral \(\int \frac{1}{2}u^3 du = \frac{1}{2} \frac{1}{4}u^4=\frac{1}{8}u^4\).


Paso 4: sustituye de regreso \(\frac{1}{8}u^4=\frac{1}{8}(2x+3)^4\).

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Pregunta


Resuelve la siguiente integral por cambio de variable:  \(\int \dfrac{1 dx}{(x+5)^2} \)



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Answer

\( \dfrac{-1}{(x+5)} \)



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Pregunta

¿Es la primitiva de una función una función?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que la integral es una operación que da como resultado una función.

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Pregunta

¿Es la primitiva de una función lo mismo que la antiderivada?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, son sinónimos.

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