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La regla del cociente es una regla que se utiliza cuando se diferencia una función cociente. Una función cociente puede describirse como una función dividida entre otra función.
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Regístrate gratisUn ejemplo de un cociente de funciones es:
¿Es la función \(h(x)={{1}\over{x^2}}\) un cociente de funciones?
Supón por un momento que posees polinomios en forma de un cociente, ¿qué podría simplificar tu derivación?
¿Qué método crees que podría ser útil para encontrar la siguiente derivada \(h(x)={\cos(x)}\over{\sin(x)}\) ?
Un ejemplo de un cociente de funciones es:
¿Es la función \(h(x)={{1}\over{x^2}}\) un cociente de funciones?
Supón por un momento que posees polinomios en forma de un cociente, ¿qué podría simplificar tu derivación?
¿Qué método crees que podría ser útil para encontrar la siguiente derivada \(h(x)={\cos(x)}\over{\sin(x)}\) ?
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Enviar comentariosUn ejemplo de función cociente es:
\[f(x)={{x^2}\over{\sin(x)+1}}\]
Empecemos por definir la derivada del producto desde cero. El cociente de dos funciones se podría tomar como una derivada de un producto.
Veamos esto en un pequeño ejemplo, donde se tienen dos funciones: \(a\) y \(b\).
\[{{d}\over{dx}}f(x)={{d}\over{dx}} ({{a}\over{b}})={{d}\over{dx}}( a·{{1}\over{b}})\]
Encontremos la derivada de estas.
Solución
Si interpretamos la función inversa como:
\[{{1}\over{b}}=b^{-1}\]
Se tiene que la derivada de esta fórmula sería:
\[{{d}\over{dx}}( a·{{1}\over{b}})={b^{-1}} a'-{b^{-2}}{b^{-1}}'a\]
Si reacomodamos la expresión, obtenemos:
\[ {{a'}\over{b}}-{{b'a}\over{b^{-2}}} \]
Si, ahora, restamos las fracciones:
\[{{a'b^{2}-bb'a}\over{b^2b}} \]
Y si eliminamos una \(b\):
\[{{a'b-b'a}\over{b^2}} \]
Esta es la derivada de un cociente, donde \(b'\) y \(a'\) representan las derivadas de las funciones \(a\) y \(b\).
Si \(a\) y \(b\) son funciones \(g(x)\) y \(f(x)\), esto significa que, si lo cambiamos a notación de funciones, tenemos:
\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]
Aquí \(f(x)\) y \(g(x)\) son cualquier función.
Otra forma en la que puedes expresar la fórmula del cociente es usando la notación \(v\) y \(u\). Si haces esto, lo que se tiene es la siguiente fórmula:
\[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]
Aquí, nuevamente, \(u\) y \(v\) son cualquier función.
Veamos algunos ejemplos de el uso de esta fórmula.
Encuentra al derivada de \(h(x)\):
\[h(x)={{2x^2}\over{2x+2}}\]
Solución
Para empezar, puedes mirar la fórmula y encontrar cada parte que necesites:
\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]
Aquí \(f(x)=2x+2\) y \(g(x)=2x^2\), con lo cual:
\[f'(x)=2\]
\[g'(x)=4x\]
A continuación, puedes sustituir en la fórmula cada una de las variables que has encontrado:
\[ {{d}\over{dx}}h(x)={{d}\over{dx}}{{2x^2}\over{2x+2}}=\frac{(2x+2)(4x)-(2x^2(2))}{(2x+2)^2}\]
Ahora, puedes simplificar:
\[ {{(2x+2)(4x)-(2x^2(2))}\over{(2x+2)^2} } = {{(8x^2+8x)-(4x^2)}\over{(2x+2)^2}} \]
\[ {{(8x^2+8x)-(4x^2)}\over{(2x+2)^2}} = {{(4x^2+8x)}\over{(2x+2)^2}}\]
Encuentra al derivada de \(h(x)\):
\[h(x)={{\sin(x)}\over{3x+5}}\]
Solución
Para empezar, puedes mirar la fórmula y encontrar cada parte que necesites:
\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]
Aquí \(f(x)=3x+5\) y \(g(x)=\sin(x)\), con lo cual:
\[f'(x)=3\]
\[g'(x)=\cos(x)\]
A continuación, puedes sustituir en la fórmula cada una de las variables que has encontrado:
\[ {{d}\over{dx}}h(x)={{d}\over{dx}}{{\sin(x)}\over{3x+5}}= {{(3x+5)(\cos(x))-(\sin(x)(3))}\over{(3x+5)^2}} \]
Ahora, puedes simplificar:
\[ {{(3x+5)(\cos(x))-(\sin(x)(3))}\over{(3x+5)^2}}= {{3x\cos(x)+5\cos(x)-3\sin(x)}\over{(3x+5)^2}} \]
Encuentra al derivada de \(h(x)\):
\[h(x)={{3x^3+2x^2}\over{\cos(x)+x}}\]
Solución
Para empezar, puedes mirar la fórmula y encontrar cada parte que necesites:
\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]
Aquí \(f(x)=\cos(x)+x\) y \(g(x)=3x^3+2x^2\), con lo cual:
\[f'(x)=-\sin(x)+1\]
\[g'(x)=9x^2+4x\]
A continuación, puedes sustituir en la fórmula cada una de las variables que has encontrado:
\[ {{d}\over{dx}}h(x)={{d}\over{dx}}{{3x^3+2x^2}\over{\cos(x)+x}}={{(\cos(x)+x)(9x^2+4x)-(-\sin(x)+1(3x^3+2x^2))}\over{(\cos(x)+x)^2}} \]
Veamos un ejemplo curioso: sabemos la derivada de dos funciones trigonométricas, que se podrían calcular con una fórmula inmediata, en este caso la función \(tangente\), que es igual al cociente de la funciones \(seno\) y \(coseno\).
Encuentra al derivada de \(h(x)\):
\[h(x)={{\sin(x)}\over{\cos(x))}}\]
Solución
Para empezar, puedes mirar la fórmula y encontrar cada parte que necesites:
\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]
Aquí \(f(x)=\cos(x)\) y \(g(x)=\sin(x)\), con lo cual:
\[f'(x)=-\sin(x)\]
\[g'(x)=\cos(x)\]
A continuación, puedes sustituir en la fórmula cada una de las variables que has encontrado:
\[ {{d}\over{dx}}h(x)={{d}\over{dx}}{{\sin(x)}\over{\cos(x)}}= {{(\cos(x))(-\cos(x))-(\sin(x)(\sin(x)))}\over{(\cos^2(x))}} \]
Esto se puede simplificar como:
\[{{(\cos(x))(-\cos(x))-(\sin(x)(\sin(x)))}\over{(\cos(x))^2}} = {{(-\cos^2(x)-\sin^2(x))}\over{\cos^2(x)}} \]
Y si aplicamos la identidad \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\):
\[{{(-\cos^2(x)-\sin^2(x))}\over{\cos^2(x)}}={{-1}\over{\cos^2(x)}} \]
Pero el inverso del coseno es la función secante, por lo cual se tiene:
\[ {{-1}\over{\cos^2(x)}}=-\sec^2(x)\]
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¿Cuál es la regla del cociente?
La regla del cociente es una regla que se utiliza cuando se diferencia una función cociente.
¿Cómo es el paso a paso para la solución de derivadas de un cociente?
El paso a paso para la solución de derivadas de un cociente es así:
¿Cómo derivar un cociente con raíz?
Si el cociente posee una raíz, este puede ser definido como: \(sqrt[n]{x}=x^{1/n}\). De este modo, la derivada de esta potencia sería la derivada de \(x^m\) con \(m=(1/n)\).
¿Cómo se define el cociente de funciones?
El cociente de funciones es la división de dos funciones, por ejemplo si \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=\sin(x)\), el cociente sería \({x^2}\over{\sin(x)}\)
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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