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Regla del Cociente

La regla del cociente es una regla que se utiliza cuando se diferencia una función cociente. Una función cociente puede describirse como una función dividida entre otra función. 

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La regla del cociente es una regla que se utiliza cuando se diferencia una función cociente. Una función cociente puede describirse como una función dividida entre otra función.

Un ejemplo de función cociente es:

\[f(x)={{x^2}\over{\sin(x)+1}}\]

Derivada de un cociente

Empecemos por definir la derivada del producto desde cero. El cociente de dos funciones se podría tomar como una derivada de un producto.

Veamos esto en un pequeño ejemplo, donde se tienen dos funciones: \(a\) y \(b\).

\[{{d}\over{dx}}f(x)={{d}\over{dx}} ({{a}\over{b}})={{d}\over{dx}}( a·{{1}\over{b}})\]

Encontremos la derivada de estas.

Solución

Si interpretamos la función inversa como:

\[{{1}\over{b}}=b^{-1}\]

Se tiene que la derivada de esta fórmula sería:

\[{{d}\over{dx}}( a·{{1}\over{b}})={b^{-1}} a'-{b^{-2}}{b^{-1}}'a\]

Si reacomodamos la expresión, obtenemos:

\[ {{a'}\over{b}}-{{b'a}\over{b^{-2}}} \]

Si, ahora, restamos las fracciones:

\[{{a'b^{2}-bb'a}\over{b^2b}} \]

Y si eliminamos una \(b\):

\[{{a'b-b'a}\over{b^2}} \]

Esta es la derivada de un cociente, donde \(b'\) y \(a'\) representan las derivadas de las funciones \(a\) y \(b\).

Derivada de un cociente de dos funciones

Si \(a\) y \(b\) son funciones \(g(x)\) y \(f(x)\), esto significa que, si lo cambiamos a notación de funciones, tenemos:

\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]

Aquí \(f(x)\) y \(g(x)\) son cualquier función.

Fórmula de la derivada de un cociente

Otra forma en la que puedes expresar la fórmula del cociente es usando la notación \(v\) y \(u\). Si haces esto, lo que se tiene es la siguiente fórmula:

\[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]

Aquí, nuevamente, \(u\) y \(v\) son cualquier función.

Derivada de un cociente: ejemplos

Veamos algunos ejemplos de el uso de esta fórmula.

Encuentra al derivada de \(h(x)\):

\[h(x)={{2x^2}\over{2x+2}}\]

Solución

Para empezar, puedes mirar la fórmula y encontrar cada parte que necesites:

\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]

Aquí \(f(x)=2x+2\) y \(g(x)=2x^2\), con lo cual:

\[f'(x)=2\]

\[g'(x)=4x\]

A continuación, puedes sustituir en la fórmula cada una de las variables que has encontrado:

\[ {{d}\over{dx}}h(x)={{d}\over{dx}}{{2x^2}\over{2x+2}}=\frac{(2x+2)(4x)-(2x^2(2))}{(2x+2)^2}\]

Ahora, puedes simplificar:

\[ {{(2x+2)(4x)-(2x^2(2))}\over{(2x+2)^2} } = {{(8x^2+8x)-(4x^2)}\over{(2x+2)^2}} \]

\[ {{(8x^2+8x)-(4x^2)}\over{(2x+2)^2}} = {{(4x^2+8x)}\over{(2x+2)^2}}\]

Encuentra al derivada de \(h(x)\):

\[h(x)={{\sin(x)}\over{3x+5}}\]

Solución

Para empezar, puedes mirar la fórmula y encontrar cada parte que necesites:

\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]

Aquí \(f(x)=3x+5\) y \(g(x)=\sin(x)\), con lo cual:

\[f'(x)=3\]

\[g'(x)=\cos(x)\]

A continuación, puedes sustituir en la fórmula cada una de las variables que has encontrado:

\[ {{d}\over{dx}}h(x)={{d}\over{dx}}{{\sin(x)}\over{3x+5}}= {{(3x+5)(\cos(x))-(\sin(x)(3))}\over{(3x+5)^2}} \]

Ahora, puedes simplificar:

\[ {{(3x+5)(\cos(x))-(\sin(x)(3))}\over{(3x+5)^2}}= {{3x\cos(x)+5\cos(x)-3\sin(x)}\over{(3x+5)^2}} \]

Encuentra al derivada de \(h(x)\):

\[h(x)={{3x^3+2x^2}\over{\cos(x)+x}}\]

Solución

Para empezar, puedes mirar la fórmula y encontrar cada parte que necesites:

\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]

Aquí \(f(x)=\cos(x)+x\) y \(g(x)=3x^3+2x^2\), con lo cual:

\[f'(x)=-\sin(x)+1\]

\[g'(x)=9x^2+4x\]

A continuación, puedes sustituir en la fórmula cada una de las variables que has encontrado:

\[ {{d}\over{dx}}h(x)={{d}\over{dx}}{{3x^3+2x^2}\over{\cos(x)+x}}={{(\cos(x)+x)(9x^2+4x)-(-\sin(x)+1(3x^3+2x^2))}\over{(\cos(x)+x)^2}} \]

Veamos un ejemplo curioso: sabemos la derivada de dos funciones trigonométricas, que se podrían calcular con una fórmula inmediata, en este caso la función \(tangente\), que es igual al cociente de la funciones \(seno\) y \(coseno\).

Encuentra al derivada de \(h(x)\):

\[h(x)={{\sin(x)}\over{\cos(x))}}\]

Solución

Para empezar, puedes mirar la fórmula y encontrar cada parte que necesites:

\[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]

Aquí \(f(x)=\cos(x)\) y \(g(x)=\sin(x)\), con lo cual:

\[f'(x)=-\sin(x)\]

\[g'(x)=\cos(x)\]

A continuación, puedes sustituir en la fórmula cada una de las variables que has encontrado:

\[ {{d}\over{dx}}h(x)={{d}\over{dx}}{{\sin(x)}\over{\cos(x)}}= {{(\cos(x))(-\cos(x))-(\sin(x)(\sin(x)))}\over{(\cos^2(x))}} \]

Esto se puede simplificar como:

\[{{(\cos(x))(-\cos(x))-(\sin(x)(\sin(x)))}\over{(\cos(x))^2}} = {{(-\cos^2(x)-\sin^2(x))}\over{\cos^2(x)}} \]

Y si aplicamos la identidad \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\):

\[{{(-\cos^2(x)-\sin^2(x))}\over{\cos^2(x)}}={{-1}\over{\cos^2(x)}} \]

Pero el inverso del coseno es la función secante, por lo cual se tiene:

\[ {{-1}\over{\cos^2(x)}}=-\sec^2(x)\]

Regla del cociente - Puntos clave

  • La regla del cociente es una regla utilizada en la diferenciación.
  • Se utiliza cuando se está diferenciando un cociente, que es una función que está siendo dividida por otra función. La fórmula de la regla del cociente es igual a: \[\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]
  • La fórmula también se puede escribir en notación de funciones, siendo entonces: \[{{d}\over{dx}} \left( {{g(x)}\over{f(x)}} \right)={{g(x)'f(x)-f(x)'g(x)}\over{f(x)^2}} \]

Preguntas frecuentes sobre Regla del Cociente

La regla del cociente es una regla que se utiliza cuando se diferencia una función cociente.

El paso a paso para la solución de derivadas de un cociente es así:

  • Primero, se marcan cada parte de la función como \(h(x)={{f(x)}\over{g(x)}}\).
  • Segundo, se obtiene la derivada de las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) como \(f’(x)\) y \(g’(x)\) y se eleva \(g(x)\) al cuadrado. 
  • Tercero, se sustituye en la fórmula \({f’(x)g(x)-g’(x)f(x)}\over{g^2(x)}\)
  • Cuarto, se reduce usando álgebra


Si el cociente posee una raíz, este puede ser definido como: \(sqrt[n]{x}=x^{1/n}\). De este modo, la derivada de esta potencia sería la derivada de \(x^m\) con \(m=(1/n)\).

El cociente de funciones es la división de dos funciones, por ejemplo si \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=\sin(x)\), el cociente sería \({x^2}\over{\sin(x)}\)

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Un ejemplo de un cociente de funciones es:

¿Es la función \(h(x)={{1}\over{x^2}}\) un cociente de funciones?

Supón por un momento que posees polinomios en forma de un cociente, ¿qué podría simplificar tu derivación?

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