Funciones polinómicas

Seguro que has visto lo que es una función lineal: una función donde las variables tienen una potencia elevada a \(1\), como \(y=3x+2\). Pero, también has visto funciones que tienen más de dos términos, como la función de define una parábola conocida como función cuadrática \(ax^2+bx+c\). Estas funciones con más de dos términos tienen un nombre especial, se denominan polinomios.

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    Trinomios, binomios y monomios

    Cuando se tiene una expresión algebraica, esta se puede nombrar de acuerdo con los miembros que posea; por ejemplo, una expresión con un miembro, dos, tres o muchos. En los siguientes puntos profundizaremos en esto.

    Monomios

    Si un polinomio es una expresión algebraica que contiene más de un término de los cuales, al menos uno, contiene una variable \(x\) elevada a un exponente distinto que \(0\), una expresión que contiene un solo término se denomina un monomio.

    Se puede decir, con cierta generalidad, que un polinomio está formado por monomios. Podemos ver esto a continuación:

    • \(3x^5+2x^2+x-2\) es un polinomio.

    • \(3x^5\) es un monomio.

    • \(2x^2\) es un monomio.

    • \(x\) es un monomio.

    • \(2\) es una constante.

    Binomios

    Otro término importante es un binomio. Se da cuando la expresión algebraica contiene dos términos.

    Algunos ejemplos son un binomio al cuadrado perfecto o un binomio al cubo:

    • \(3x^2+4\), que es un binomio de grado dos.
    • \(4y+7z^3\), que es un binomio de grado tres.

    Trinomios

    Una tercera clase de expresión importante que te encontrarás son los trinomios. De hecho, elevar un binomio al cuadrado producirá un trinomio.

    \((3x+8)^2\) nos dará \(9x^2+48x+64\), que es un trinomio.

    De manera general, cualquier función con más de tres términos algebraicos es considerada un polinomio.

    ¿Qué es una función polinómica?

    Las funciones polinómicas son expresiones con varios términos que contienen una variable elevada a una serie de exponentes enteros positivos.

    • Cada una de estas expresiones está multiplicada por coeficientes.
    • Los términos en los polinomios se suman o restan en una serie.

    La función cuadrática es un polinomio: \(f(x)=3x^2+2x+5\)

    Y es lo mismo que: \(f(x)=3x^2+2x^1+5x^0\)

    De las reglas de los exponentes, recuerda que:

    \[x^1=x\]

    \[x^0=1\]

    Las funciónes polinómicas siguen la forma estándar: \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x^1+a_0\)

    Observa que escribimos los términos de un polinomio en orden decreciente: del mayor exponente al menor.

    La mayor potencia o exponente presente en un polinomio se llama grado del polinomio.

    No todos los términos deben estar presentes en un polinomio. Si falta algún término, se puede asumir que tiene un coeficiente de cero (0).

    Si se tiene: \(4x^5-6x^3+3x^2+8=0\) es lo mismo que: \(4x^5-6x^3+3x^2+0x+8=0\).

    En este caso, el término faltante está multiplicado por un cero.

    Gráfica de una función polinómica

    Los polinomios, como todas las funciones, se pueden representar con una gráfica. Estas gráficas dependen del grado del polinomio.

    Las más características son (observa las figuras 1 y 2):

    • Las gráficas de una función cuadrática, que es un polinomio de grado dos.

    • La función cúbica, que es un polinomio de grado tres.

    Funciones polinómicas cuadrática StudySmarter

    Fig. 1: Gráfica de la función cuadrática: polinomio de grado dos.

    Funciones polinómicas cúbica StudySmarter

    Fig. 2: Gráfica de la función cúbica: polinomio de grado tres.

    Las funciones con potencias pares, como \(x^4\) o \(x^6\), tienen formas parecidas a la cuadrática. Las funciones con potencias impares, como \(x^3\) y \(x^5\), tienen formas parecidas a la función cúbica.

    No es del todo cierto que una función polinómica siempre se parezca a una cúbica o cuadrática; de hecho, una función general del tipo \(8x^7-3x^5+42x^2-2x-12\) podría tener cualquier forma. Por eso, la mejor manera de averiguar la forma de una función polinómica es representándola.

    Sin embargo, esto puede ser más complicado: para representar una función, hay que hacer un estudio de sus características como el dominio, el rango, los puntos de corte con los ejes, las simetrías, las asíntotas, los puntos críticos, el crecimiento y decrecimiento, etc.

    Por ejemplo, en la figura siguiente vemos la gráfica local de la función \(f(x)=-10x^8+8x^7+32x^3+22x^2\).

    Funciones polinómicas grado superior StudySmarterFig. 3: Gráfica de una función polinómica de grado ocho.

    Raíces de funciones polinómicas: punto de corte

    Las funciones polinómicas, al igual que cualquier función, pueden tener raíces. Hay métodos generales para encontrar las raíces de algunos polinomios.

    Raíces de polinomios cuadráticos

    Para averiguar las raíces de las funciones cuadráticas, debes usar la fórmula cuadrática. Dada un polinomio representado por una función de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), sus raíces se calculan como:

    \[x_{1,2}=\dfrac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

    El símbolo \(\pm\) indica que habrá dos raíces.

    Raíces de polinomios cúbicos y de orden superior

    No hay una manera específica para obtener las raíces de una función de orden mayor que dos, los métodos más usuales serán:

    1. Inspección: En este caso debes de encontrar la raíz, intentando averiguar qué valor de \(x\) te podría dar un cero.

    2. Factorización: Debes factorizar la función polinómica de su forma general \(ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}...zx^0\) a binomios que se multiplican entre sí: \((a+x)(b+x)(c+x)...(z+x)\).

    Ambos métodos son bastante complicados y largos, estos nos los verás normalmente en tus cursos básicos. Sin embargo, veremos dos ejemplos sencillos, para que lo comprendas mejor:

    Encuentra una de las raíces de la función \(f(x)=3x^3-2x^2+x-10\) por inspección.

    Solución:

    Primero, debemos saber en qué punto nuestra función cambia de signo:

    • Tomemos dos puntos: uno negativo y uno positivo \(x=5\) y \(x=5\).
    • En \(x=5\) \(f(x)=320\) y en \(x=-5\) \(f(x)=-420\), como podemos ver, hay un cambio de signo, lo cual significa que la función cruza el eje de las \(x\).

    Lo siguiente es probar a la mitad del rango en \(x=0\). En este caso, \(3(0)^3-2(0)^2+(0)-10\) nos da \(f(x)=-10\). Por lo cual el cambio de signo está entre \(x=5\) y \(x=0\).

    Probamos otra vez a la mitad del intervalo, que es \(x=2{,}5\), lo cual nos da \(f(x)=26{,}87\). Como puedes ver el signo cambia entre \(x=5\) y \(x=0\).

    Probamos, otra vez, a la mitad del intervalo, que es \(x=1{,}25\). Esto nos da \(y=-6{,}015\). Aquí puedes ver que el signo cambia entre \(x=2{,}5\) y \(x=1{,}25\).

    Volvemos a probar a la mitad del intervalo, que es \(x=1{,}875\), y nos da \(x=4{,}61\). Como puedes ver, el signo cambia entre \(x=1{,}25\) y \(x=1{,}875\).

    Podríamos seguir; pero, como notarás, parece ser que la raíz no es un número con pocos decimales. Puedes seguir este método hasta que encuentres el número más cercano a cero. Sin embargo, puede ser muy lento y largo.

    Encuentra una de las raíces del polinomio \(f(x)\) que te permita factorizar el polinomio y encontrar otras raíces:

    \[f(x)=x^3+3x^2-5x\]

    Solución:

    En este caso, se puede observar fácilmente que podemos extraer una \(x\) y obtener:

    \[f(x)=x(x^2+3x-5)\]

    Aquí puedes factorizar la parte cuadrática, usando la fórmula: \(x_{1,2}=\dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

    Esto nos da:

    \[x_1=1{,}193\]

    \[x_2=-4{,}193\]

    Las raíces también se conocen como los puntos de corte de una función; en este caso, los puntos donde corta el eje de las \(x\).

    Se espera que una función tenga el número de puntos de corte igual a su exponente mayor. Por ejemplo:

    • \(ax^1+b\): un punto de corte.
    • \(ax^2+bx+c\): dos puntos de corte.
    • \(ax^3+bx^2+cx+d\): tres puntos de corte.

    Sin embargo, esto no es siempre cierto, ya que una función con un exponente igual a cuatro podría tener solo dos raíces (dos puntos de corte) o, incluso, no tener ninguna (lo cual significa que tienes raíces imaginarias).

    Si quieres saber más sobre los números imaginarios, lee nuestro artículo sobre números complejos en la sección de números y álgebra.

    Derivada de una función polinómica

    Una característica importante de los polinomios es que son continuos, es decir, que no tienen puntos donde la función no existe. Esto significa que puedes sustituir cualquier número real en \(x\) y te dará un valor válido de \(f(x)\).

    Esto implica que:

    • Un polinomio siempre tiene una derivada.

    • El número de derivadas que se pueden obtener de un polinomio es igual al grado de polinomio.

    Para derivar un polinomio, se debe aplicar la siguiente fórmula a cada miembro de polinomio:

    \[f’(x)=\dfrac{d}{dx} ax^n=a(n)x^{n-1}\]

    En palabras muy sencillas: debes restar uno a la potencia a la cual la \(x\) está elevada y multiplicar la potencia original por la variable.

    Hagamos dos pequeños ejemplos.

    ¿Cuál es la derivada más grande que se puede obtener de la función \(f(x)=3x^4+2x^2-5\)?

    Solución:

    Debido a que el grado del polinomio es \(4\), la mayor derivada que se puede obtener es la cuarta derivada.

    Obtén la derivada del siguiente polinomio: \(f(x)=2x^3+4x^2+x-9\).

    Solución:

    Aplicamos la fórmula \(f’(x)=\dfrac{d}{dx} ax^n=a(n)x^{n-1}\) a cada parte del polinomio:

    \[f'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x^3+4x^2+x-9)=\dfrac{d}{dx}(2x^3)+\dfrac{d}{dx}(4x^2)+\dfrac{d}{dx}(x)-\dfrac{d}{dx}(9)\]

    Primero, bajamos las potencias como una constante:

    \[f'(x)=(3)2x^2+(2)4x^2+(1)x-(0)9\]

    Aquí debemos recordar que el término \(x\) está elevado a la potencia uno y el término constante es \(x^0\), por leyes de los exponentes.

    Ahora, restamos un uno a las potencias y multiplicamos las constantes:

    \[f'(x)=6x^2+8x^2+1\]

    Esta es la derivada del polinomio original.

    Si deseas saber más acerca de cómo derivar funciones y polinomios, recuerda leer sobre esto en nuestro artículo sobre derivadas y otros artículos relacionados.

    Polinomios - Puntos clave

    • Los polinomios son expresiones con múltiples términos, que contienen una variable elevada a una serie de exponentes enteros positivos; cada término puede ser multiplicado por coeficientes.
    • Los términos de un polinomio se escriben en orden decreciente de exponentes.
    • Para evaluar un polinomio, sustituye \(x\) por un número.
    • Las raíces de un polinomio se pueden encontrar por fórmula general como el caso de los polinomios de grados dos, o por factorización e inspección, en los polinomios de grado superior.

      Para derivar un polinomio debes aplicar la siguiente fórmula a cada término del polinomio:

    \[f’(x)=\dfrac{d}{dx} ax^n=a(n)x^{n-1}\]

    Preguntas frecuentes sobre Funciones polinómicas

    ¿Cómo graficar una función polinómica?

    Si quieres gráficas una función polinómica, lo mejor es sustituir puntos en x para obtener los valores de y.


    Después de obtener una lista de puntos, lo que se debe hacer es unir los puntos entre sí.


    Como recomendación: mientras más puntos se tengan, la gráfica será más fidedigna.

    ¿Qué son los puntos de corte en una función?

    Los puntos de corte de una función son los puntos donde la función cruza el eje de las x; estos también son llamados las raíces de la función.

    Puedes encontrar los puntos de corte igualando la función a cero y encontrando sus raíces.


    Para una función par, generalmente, esto se hace usando la fórmula cuadrática; para una función cúbica o superior no hay fórmula definida y se debe factorizar o conocer una raíz de antemano.


    También es probable que no puedas encontrar la raíz de manera analítica. En este caso, debes encontrarla mediante un método de sustitución en el cual se sabe que la raíz está dentro de un rango [a,b] y se sustituyen puntos en ese rango. Es probable que no se obtenga x=0 pero se para cuando se obtiene un valor lo suficientemente pequeño.


    ¿Qué son las funciones polinómicas?

    • Los polinomios son expresiones con múltiples términos que contienen una variable elevada a una serie de exponentes enteros positivos, y cada término puede ser multiplicado por coeficientes.

    ¿Cómo se clasifican los polinomios?

    Los polinomios se clasifican por el número de términos o por su coeficiente mayor.

    Si se clasifican por sus términos estos pueden ser:


    Monomios: un término.

    Binomios: dos términos.

    Trinomios: tres términos.

    Cuatrinomios: cuatro términos.

    Polinomios: muchos términos.


    ¿Qué es la segunda derivada de funciones polinómicas?

    La segunda derivada es el resultado de aplicar la derivada dos veces a un polinomio; por ejemplo la función: f(x)=2x2+3x


    Esta tienen como derivada la función: f’(x)= 4x+3


    Si aplicamos nuevamente la derivada, tienes: f’’(x)=4


    Esta última es la segunda derivada de la función original.


    Pon a prueba tus conocimientos con tarjetas de opción múltiple

    ¿De qué grado es el siguiente polinomio? \[p(x)=x^5-5x-10\]

    ¿Cuántos miembros tiene el siguiente polinomio?\[p(x)=3x^3+2x^2+7x\]

    ¿Cuál es la fórmula se usa para encontrar las raíces de un polinomio de grado dos?

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