Seguro que has visto lo que es una función lineal: una función donde las variables tienen una potencia elevada a \(1\), como \(y=3x+2\). Pero, también has visto funciones que tienen más de dos términos, como la función de define una parábola conocida como función cuadrática \(ax^2+bx+c\). Estas funciones con más de dos términos tienen un nombre especial, se denominan polinomios.
Trinomios, binomios y monomios
Cuando se tiene una expresión algebraica, esta se puede nombrar de acuerdo con los miembros que posea; por ejemplo, una expresión con un miembro, dos, tres o muchos. En los siguientes puntos profundizaremos en esto.
Monomios
Si un polinomio es una expresión algebraica que contiene más de un término de los cuales, al menos uno, contiene una variable \(x\) elevada a un exponente distinto que \(0\), una expresión que contiene un solo término se denomina un monomio.
Se puede decir, con cierta generalidad, que un polinomio está formado por monomios. Podemos ver esto a continuación:
Binomios
Otro término importante es un binomio. Se da cuando la expresión algebraica contiene dos términos.
Algunos ejemplos son un binomio al cuadrado perfecto o un binomio al cubo:
- \(3x^2+4\), que es un binomio de grado dos.
- \(4y+7z^3\), que es un binomio de grado tres.
Trinomios
Una tercera clase de expresión importante que te encontrarás son los trinomios. De hecho, elevar un binomio al cuadrado producirá un trinomio.
\((3x+8)^2\) nos dará \(9x^2+48x+64\), que es un trinomio.
De manera general, cualquier función con más de tres términos algebraicos es considerada un polinomio.
¿Qué es una función polinómica?
Las funciones polinómicas son expresiones con varios términos que contienen una variable elevada a una serie de exponentes enteros positivos.
- Cada una de estas expresiones está multiplicada por coeficientes.
- Los términos en los polinomios se suman o restan en una serie.
La función cuadrática es un polinomio: \(f(x)=3x^2+2x+5\)
Y es lo mismo que: \(f(x)=3x^2+2x^1+5x^0\)
De las reglas de los exponentes, recuerda que:
\[x^1=x\]
\[x^0=1\]
Las funciónes polinómicas siguen la forma estándar: \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x^1+a_0\)
Observa que escribimos los términos de un polinomio en orden decreciente: del mayor exponente al menor.
La mayor potencia o exponente presente en un polinomio se llama grado del polinomio.
No todos los términos deben estar presentes en un polinomio. Si falta algún término, se puede asumir que tiene un coeficiente de cero (0).
Si se tiene: \(4x^5-6x^3+3x^2+8=0\) es lo mismo que: \(4x^5-6x^3+3x^2+0x+8=0\).
En este caso, el término faltante está multiplicado por un cero.
Gráfica de una función polinómica
Los polinomios, como todas las funciones, se pueden representar con una gráfica. Estas gráficas dependen del grado del polinomio.
Las más características son (observa las figuras 1 y 2):
Las gráficas de una función cuadrática, que es un polinomio de grado dos.
La función cúbica, que es un polinomio de grado tres.
Fig. 1: Gráfica de la función cuadrática: polinomio de grado dos.
Fig. 2: Gráfica de la función cúbica: polinomio de grado tres.
Las funciones con potencias pares, como \(x^4\) o \(x^6\), tienen formas parecidas a la cuadrática. Las funciones con potencias impares, como \(x^3\) y \(x^5\), tienen formas parecidas a la función cúbica.
No es del todo cierto que una función polinómica siempre se parezca a una cúbica o cuadrática; de hecho, una función general del tipo \(8x^7-3x^5+42x^2-2x-12\) podría tener cualquier forma. Por eso, la mejor manera de averiguar la forma de una función polinómica es representándola.
Sin embargo, esto puede ser más complicado: para representar una función, hay que hacer un estudio de sus características como el dominio, el rango, los puntos de corte con los ejes, las simetrías, las asíntotas, los puntos críticos, el crecimiento y decrecimiento, etc.
Por ejemplo, en la figura siguiente vemos la gráfica local de la función \(f(x)=-10x^8+8x^7+32x^3+22x^2\).
Fig. 3: Gráfica de una función polinómica de grado ocho.
Raíces de funciones polinómicas: punto de corte
Las funciones polinómicas, al igual que cualquier función, pueden tener raíces. Hay métodos generales para encontrar las raíces de algunos polinomios.
Raíces de polinomios cuadráticos
Para averiguar las raíces de las funciones cuadráticas, debes usar la fórmula cuadrática. Dada un polinomio representado por una función de la forma \(f(x)=ax^2+bx+c\), sus raíces se calculan como:
\[x_{1,2}=\dfrac{\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
El símbolo \(\pm\) indica que habrá dos raíces.
Raíces de polinomios cúbicos y de orden superior
No hay una manera específica para obtener las raíces de una función de orden mayor que dos, los métodos más usuales serán:
Inspección: En este caso debes de encontrar la raíz, intentando averiguar qué valor de \(x\) te podría dar un cero.
Factorización: Debes factorizar la función polinómica de su forma general \(ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}...zx^0\) a binomios que se multiplican entre sí: \((a+x)(b+x)(c+x)...(z+x)\).
Ambos métodos son bastante complicados y largos, estos nos los verás normalmente en tus cursos básicos. Sin embargo, veremos dos ejemplos sencillos, para que lo comprendas mejor:
Encuentra una de las raíces de la función \(f(x)=3x^3-2x^2+x-10\) por inspección.
Solución:
Primero, debemos saber en qué punto nuestra función cambia de signo:
- Tomemos dos puntos: uno negativo y uno positivo \(x=5\) y \(x=5\).
- En \(x=5\) \(f(x)=320\) y en \(x=-5\) \(f(x)=-420\), como podemos ver, hay un cambio de signo, lo cual significa que la función cruza el eje de las \(x\).
Lo siguiente es probar a la mitad del rango en \(x=0\). En este caso, \(3(0)^3-2(0)^2+(0)-10\) nos da \(f(x)=-10\). Por lo cual el cambio de signo está entre \(x=5\) y \(x=0\).
Probamos otra vez a la mitad del intervalo, que es \(x=2{,}5\), lo cual nos da \(f(x)=26{,}87\). Como puedes ver el signo cambia entre \(x=5\) y \(x=0\).
Probamos, otra vez, a la mitad del intervalo, que es \(x=1{,}25\). Esto nos da \(y=-6{,}015\). Aquí puedes ver que el signo cambia entre \(x=2{,}5\) y \(x=1{,}25\).
Volvemos a probar a la mitad del intervalo, que es \(x=1{,}875\), y nos da \(x=4{,}61\). Como puedes ver, el signo cambia entre \(x=1{,}25\) y \(x=1{,}875\).
Podríamos seguir; pero, como notarás, parece ser que la raíz no es un número con pocos decimales. Puedes seguir este método hasta que encuentres el número más cercano a cero. Sin embargo, puede ser muy lento y largo.
Encuentra una de las raíces del polinomio \(f(x)\) que te permita factorizar el polinomio y encontrar otras raíces:
\[f(x)=x^3+3x^2-5x\]
Solución:
En este caso, se puede observar fácilmente que podemos extraer una \(x\) y obtener:
\[f(x)=x(x^2+3x-5)\]
Aquí puedes factorizar la parte cuadrática, usando la fórmula: \(x_{1,2}=\dfrac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).
Esto nos da:
\[x_1=1{,}193\]
\[x_2=-4{,}193\]
Las raíces también se conocen como los puntos de corte de una función; en este caso, los puntos donde corta el eje de las \(x\).
Se espera que una función tenga el número de puntos de corte igual a su exponente mayor. Por ejemplo:
- \(ax^1+b\): un punto de corte.
- \(ax^2+bx+c\): dos puntos de corte.
- \(ax^3+bx^2+cx+d\): tres puntos de corte.
Sin embargo, esto no es siempre cierto, ya que una función con un exponente igual a cuatro podría tener solo dos raíces (dos puntos de corte) o, incluso, no tener ninguna (lo cual significa que tienes raíces imaginarias).
Derivada de una función polinómica
Una característica importante de los polinomios es que son continuos, es decir, que no tienen puntos donde la función no existe. Esto significa que puedes sustituir cualquier número real en \(x\) y te dará un valor válido de \(f(x)\).
Esto implica que:
Para derivar un polinomio, se debe aplicar la siguiente fórmula a cada miembro de polinomio:
\[f’(x)=\dfrac{d}{dx} ax^n=a(n)x^{n-1}\]
En palabras muy sencillas: debes restar uno a la potencia a la cual la \(x\) está elevada y multiplicar la potencia original por la variable.
Hagamos dos pequeños ejemplos.
¿Cuál es la derivada más grande que se puede obtener de la función \(f(x)=3x^4+2x^2-5\)?
Solución:
Debido a que el grado del polinomio es \(4\), la mayor derivada que se puede obtener es la cuarta derivada.
Obtén la derivada del siguiente polinomio: \(f(x)=2x^3+4x^2+x-9\).
Solución:
Aplicamos la fórmula \(f’(x)=\dfrac{d}{dx} ax^n=a(n)x^{n-1}\) a cada parte del polinomio:
\[f'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x^3+4x^2+x-9)=\dfrac{d}{dx}(2x^3)+\dfrac{d}{dx}(4x^2)+\dfrac{d}{dx}(x)-\dfrac{d}{dx}(9)\]
Primero, bajamos las potencias como una constante:
\[f'(x)=(3)2x^2+(2)4x^2+(1)x-(0)9\]
Aquí debemos recordar que el término \(x\) está elevado a la potencia uno y el término constante es \(x^0\), por leyes de los exponentes.
Ahora, restamos un uno a las potencias y multiplicamos las constantes:
\[f'(x)=6x^2+8x^2+1\]
Esta es la derivada del polinomio original.
Si deseas saber más acerca de cómo derivar funciones y polinomios, recuerda leer sobre esto en nuestro artículo sobre derivadas y otros artículos relacionados.
Polinomios - Puntos clave
- Los polinomios son expresiones con múltiples términos, que contienen una variable elevada a una serie de exponentes enteros positivos; cada término puede ser multiplicado por coeficientes.
- Los términos de un polinomio se escriben en orden decreciente de exponentes.
- Para evaluar un polinomio, sustituye \(x\) por un número.
Las raíces de un polinomio se pueden encontrar por fórmula general como el caso de los polinomios de grados dos, o por factorización e inspección, en los polinomios de grado superior.
Para derivar un polinomio debes aplicar la siguiente fórmula a cada término del polinomio:
\[f’(x)=\dfrac{d}{dx} ax^n=a(n)x^{n-1}\]
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