Seguro en tus clases has visto una fórmula del tipo:
\[y=mx+b\]
"Esta es una recta", te han dicho; y, después, te han dado funciones más complejas como las cuadráticas:
\[y=x^2+x+1\]
Pero, una imagen vale más que mil palabras y sería más fácil si pudieses ver estas funciones, en lugar de solo observar las ecuaciones —que pueden ser bastante confusas por sí mismas—. En este artículo aprenderás cómo puedes obtener información útil que te ayude a ver cómo se comportan estas ecuaciones.
Características de funciones para su representación
La representación gráfica de una función es importante, ya que nos proporciona información acerca de la función. Pero, también podemos obtener información acerca de cómo se comporta una función, sin necesidad de dibujar la gráfica; de hecho, se puede obtener la gráfica aproximada de la función con esta información.
A continuación te explicamos los pasos para calcular las características principales de una función, lo que te ayudará a poder representarla gráficamente.
Dominio y rango
En primer lugar, debes determinar cuál es el dominio de la función que vas a tratar.
El dominio de una función es el conjunto de valores que pueden introducirse en la función y que proporcionan un resultado.
Es decir, el dominio son los valores que podemos introducir en una función para obtener el valor de la función en ese punto. Esto implica que en muchas funciones puede haber puntos o, incluso, tramos, que al introducirlos en la función no se llega a calcular el resultado. Por ejemplo, una función con radicales da problemas cuando en el denominador se introduce un cero, puesto que esto es una indeterminación. De manera similar, cuando hay logaritmos en una función, debemos tener en cuenta que no es posible realizar el logaritmo de un número negativo.
Pongamos como ejemplo la siguiente función:
\[f(x)=\dfrac{1}{x}\]
Si queremos calcular el valor de esta función en , vemos que el resultado es una indeterminación y, por tanto, la función en este punto no existe. Para el resto de valores vemos que la función sí que proporciona resultados. Por tanto, el dominio de esta función es:
\[D=\Re-{0}\]
Esto significa que el dominio de la función son todos los números reales menos el \(0\).
Con esto, puedes ver que el dominio es una característica importante de una función, porque nos dirá en qué puntos la función no va estar representada porque no existe.
Una característica complementaria al dominio es el rango de una función.
El rango de una función es el conjunto de valores que la función devuelve al introducir todos los valores del dominio.
Por tanto, el rango son todos los valores que puede devolver la función.
Vamos a determinar el rango de la función:
\[f(x)=3x\]
Solución
La función puede tomar todos los valores de \(x\) y devuelve estos mismos valores multiplicados por \(3\). Por tanto, el rango de la función es:
\[R=\Re\]
Entonces, el rango de \(f(x)\) son todos los números reales.
Vamos ahora a calcular el dominio y el rango de la siguiente función:
\[f(x)=x^2\]
Solución
El dominio son todos los valores que pueden introducirse en la función. Como vemos, esta función no tiene denominador, ni ningún otro punto en el que no pueda calcularse; podemos introducir números positivos, negativos, el cero... sin que se produzca ninguna indeterminación y obtener un resultado. Por tanto, el dominio de la función son todos los números reales.
\[D=\Re\]
Pero, ahora vamos a calcular el rango. El rango es el conjunto de valores que toma la función. Al ser una función cuadrática, observamos que esta función siempre va a devolver números positivos, incluso cuando introducimos números negativos. Por tanto, el rango de la función es:
\[R=[0,\infty)\]
Con este sencillo ejemplo, ya puedes ver que el dominio y el rango no tienen por qué ser el mismo conjunto de valores.
A la hora de representar una función, el dominio te ayudará a saber dónde hay puntos singulares, discontinuidades, etc.; es decir, te dice en qué valores del eje \(x\) existe la función. De manera similar, el rango también te ayuda a ver en qué valores del eje \(y\) existe la función. Por ejemplo, si calculas el dominio de una función y este es todo \(\Re\), al representar la función tienes que asegurarte de que la gráfica existe en los valores de \(x\), desde \(-\infty\) hasta \(+\infty\), sin ninguna discontinuidad.
Simetrías
Una función puede presentar simetría con respecto a un eje o un punto. La definición de simetría en una función es la siguiente:
Una función es simétrica con respecto al eje de ordenadas \(x\) cuando se cumple:
\[f(x)=f(-x)\]
Es decir que, al introducir un valor en la función, se obtiene el mismo resultado que si introducimos el mismo valor pero negativo. Un ejemplo de función simétrica es la función \(f(x)=x^2\), donde podemos ver fácilmente que, al introducir un número tanto en forma positiva como negativa, el resultado obtenido es el mismo en ambos casos, debido a las propiedades de los cuadrados. Otros ejemplos de funciones simétricas son la función \(Coseno\) y cualquier función donde hay un solo exponente elevado a una potencia par.
Una función es antisimétrica cuando se cumple:
\[f(-x)=-f(x)\]
Vamos a calcular la simetría de la función:
\[f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}\]
Solución
Si calculamos el valor de la función en \(3\), obtenemos:
\[f(3)=\dfrac{3}{3^2-1}=\dfrac{3}{8}\]
Si calculamos el valor de la función en \(-3\), obtenemos:
\[f(-3)=\dfrac{-3}{(-3)^2-1}=\dfrac{-3}{8}\]
Comprobamos, entonces, que \(f(x)=-f(-3)\) y, por tanto, la función es antisimétrica.
Puntos de corte con los ejes
Para ayudarte con la representación gráfica de una función, puedes calcular también los puntos de corte con los ejes. Con el eje de las \(y\), la función solo puede cortar una vez como máximo; pero, también, ninguna. Para obtener este punto de corte, se calcula \(f(0)\).
Los puntos de corte con el eje de abscisas son las raíces de la función; es decir, tienes que resolver \(f(x)=0\).
Puede haber uno, ninguno, varios o infinitos puntos de corte con el eje de abscisas.
Asíntotas
La asíntota es la línea recta que se aproxima a la función, pero nunca la toca. En este caso, la asíntota en funciones está relacionada con el concepto de límite. Se puede decir que, si existe un límite finito de una función conforme la función crece o decrece indefinidamente, este límite tiene una asíntota.
Los límites son los valores a los cuales una función se acerca conforme sus valores se acercan a cierto valor dado, esto se define como:
\[lim_{x \rightarrow a}f(x)=b\]
Asíntotas verticales
Las asíntotas verticales son rectas con la forma \(x=a\). Se dice que la función se acerca a una asíntota vertical cuando se cumple:
\[lim_{x \rightarrow a^+} f(x)=\pm \infty\]
\[lim_{x \rightarrow a^-} f(x)=\pm \infty\]
Esto significa que la función, según cada vez, se acerca más a la asíntota sin llegar nunca a tocarla y creciendo o decreciendo la función hasta el infinito. Para calcular las asíntotas, tienes que buscar los puntos críticos de la función y las discontinuidades.
Vamos a calcular las asíntotas de la función:
\[f(x)=\dfrac{x}{x-1}\]
Solución
De primeras, observamos que \(x=1\) es un punto crítico, porque la función produce una indeterminación. Por lo tanto, este punto no está en el dominio y hay una discontinuidad.
Para calcular las asíntotas, realizamos los límites en este punto acercándonos tanto por la derecha como por la izquierda:
\[lim_{x \rightarrow 1^+ } f(x)= lim_{x \rightarrow 1^+ } \dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{0^+}=+ \infty\]
\[lim_{x \rightarrow 1^- } f(x)= lim_{x \rightarrow 1^- } \dfrac{x}{x-1}=\dfrac{1}{0^-}=-\infty\]
Con estos resultados, podemos concluir que la función tiene una asíntota vertical en \(x=1\). Además, la función decrece a \(-\infty\) cuando nos acercamos al \(1\) por la izquierda, y crece a \(+\infty\) cuando nos acercamos al \(1\) por la derecha.
Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales presentan la forma \(y=b\); por tanto, son una recta horizontal a la cual se acerca la función sin llegar a tocarla nunca. Cuando una función presenta una asíntota horizontal, se cumple:
\[lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=b\]
Esto significa que, cuando los valores de \(x\) tienden al infinito (positivo o negativo), la función se acerca a una recta horizontal, que es la asíntota.
Por ejemplo, supongamos que se tiene la función siguiente:
\[f(x)=\dfrac{x}{x^2-1}\]
Solución
Para determinar la asíntota horizontal, calculamos el límite cuando \(x\) tiende al infinito:
\[lim_{x \rightarrow \infty } f(x)= lim_{x \rightarrow \infty } \dfrac{x}{x^2-1}=[LH]=lim_{x \rightarrow \infty } \dfrac{1}{2x}=0 \]
donde se ha aplicado la regla de L'Hopital para calcular el límite.
Recuerda también hacer el límite cuando \(x\) tiende a \(-\infty\); en este caso, el resultado es el mismo. Por tanto, podemos decir que hay una asíntota horizontal en \(y=1\).
Puedes observar este resultado en la siguiente figura:
Fig. 1. Imagen de la función \(f(x)\), donde la función se acerca al valor de \(y=1\) cuando crece. La recta \(g\) es la asíntota en ese caso.
Asíntotas oblicuas
Una función también puede acercarse a una asíntota oblicua, que es una recta que tiene una pendiente y una ordenada en el origen. Por tanto, la ecuación de la asíntota oblicua puede expresarse como:
\[y=mx+n\]
Para calcular la pendiente y la ordenada en el origen de la asíntota, debes calcular los siguientes límites:
\[lim_{x \rightarrow \pm \infty} \dfrac{f(x)}{x}=m\]
\[lim_{x \rightarrow \pm \infty} (f(x)-mx)=n\]
Después de obtener estos valores, puedes escribir la ecuación de la recta que representa la asíntota oblicua.
Crecimiento y puntos máximos y mínimos
La primera derivada de la función nos aporta información muy importante. Si la primera derivada de la función es positiva, esto significa que la función crece en el intervalo donde se está calculando. Por el contrario, si la primera derivada es negativa, indica que la función decrece en el intervalo.
Dicho esto, si al calcular la primera derivada de una función en un punto el resultado es positivo y en otro punto el resultado es negativo, esto implica que la función ha pasado de crecer a decrecer; es decir, la función tiene un máximo en el intervalo entre los dos puntos elegidos.
Para calcular máximos y mínimos de una función, lo que debes hacer es calcular las raíces de la primera derivada de la función. Después, para saber si el punto es un máximo o un mínimo, miramos el signo de la primera derivada de la función antes y después de este punto. Vamos a hacer un ejemplo para que entiendas mejor esto.
Tenemos la función:
\[f(x)=x^3+2x^2-1\]
Solución
Como es un polinomio, sabemos que su dominio son todos los números reales. La primera derivada de la función es:
\[f'(x)=3x^2+4x\]
Calculamos, ahora, las raíces de la primera derivada:
\[3x^2+4x=0 \rightarrow x=0, x=\dfrac{-4}{3}\]
Vemos, entonces, que la función tiene dos puntos en los que cambia el crecimiento.
Ahora, tenemos que determinar el crecimiento entre \(-\infty\) y \(\dfrac{-4}{3}\). Por ejemplo, podemos calcular el valor de la primera derivada de la función en \(-2\):
\[f'(-2)=5\]
Como obtenemos un valor positivo de la primera derivada, esto significa que la función crece desde \(-\infty\) hasta \(\dfrac{-4}{3}\).
A continuación, vamos a determinar el crecimiento entre \(\dfrac{-4}{3}\) y \(0\), calculando el valor de la primera derivada en un número dentro de este intervalo; por ejemplo, el \(-1\):
\[f'(-1)=-1\]
Lo que quiere decir que en este intervalo la función decrece.
Por último, vamos a determinar el crecimiento en el intervalo entre \(0\) y \(+ \infty\), hallando el valor de la primera derivada en un punto dentro de este intervalo; por ejemplo, el \(1\):
\[f'(1)=7\]
Por tanto, la función vuelve a crecer en este intervalo.
Con esto, puedes determinar los máximos y mínimos: si la función primero crece y luego decrece, el punto \(x=\dfrac{-4}{3}\) es un máximo; si después de este punto la función decrece y luego crece, el punto \(x=0\) es un mínimo.
Otro método para determinar si un punto crítico es un máximo o un mínimo es usando la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada de la función:
\[f''(x)=6x+4\]
Ahora, introducimos los puntos críticos que hemos calculado con la primera derivada; es decir, \(x=\dfrac{-4}{3}\) y \(x=0\):
\[f'' \left( \dfrac{-4}{3} \right) =(6)\dfrac{-4}{3}+4=-8\]
Como la segunda derivada en este punto crítico es negativa, el punto es un máximo relativo. Ahora, hacemos lo mismo con el segundo punto crítico:
\[f''(0)=6(0)+4=4\]
Como la segunda derivada en este punto crítico es positiva, el punto es un mínimo relativo.
Puntos de inflexión y curvatura
Los puntos de inflexión son puntos en los que la segunda derivada de la función es igual a cero. Es decir, se trata de puntos en los que la función cambia su curvatura. Esto está explicado de manera más amplia en el artículo de derivadas.
Lo que debes recordar es tomar la segunda derivada de la función y calcular sus raíces. Después determinamos la curvatura de la función en la cercanía de estos puntos. Cuando una función cambie de curvatura, pero el crecimiento (o decrecimiento) se mantenga alrededor del punto crítico, entonces este punto es un punto de inflexión. Para calcular la curvatura en el entorno del punto debemos calcular la imagen de la segunda derivada en un punto cercano \(a\). Es decir:
- La función es cóncava hacia arriba si: \(f''(a)>0\).
- La función es cóncava hacia abajo si: \(f''(a)<0\) .
Vamos a ver un ejemplo para entenderlo mejor:
Tenemos la función:
\[f(x)=x^3+3x^2-2\]
Solución
Ahora calculamos su primera y, después, su segunda derivada:
\[f'(x)=3x^2+6x\]
\[f''(x)=6x+6\]
Para hallar los puntos de inflexión, calculamos las raíces de la segunda derivada:
\[f''(x)=0 \rightarrow 6x+6 \rightarrow x=-1\]
Como sólo tenemos el punto \(x=-1\), los intervalos de curvatura serán de \(-\infty\) a \(-1\) y de \(-1\) a \(\infty\). Determinamos, entonces, la curvatura dentro de estos intervalos:
\[f''(-2)=-6<0\]
\[f''(0)=6>0\]
Con estos resultados podemos decir que la función es cóncava hacia abajo de \(-\infty\) a \(-1\), y es cóncava hacia arriba de \(-1\) a \(\infty\). Esto puede observarse en la gráfica de la función a continuación.
Ejemplo de representación gráfica de funciones
Después de haber realizado todo el estudio anterior sobre la función, ya puedes representarla gráficamente. A continuación, vamos a hacer el estudio completo de una función para que veas un ejemplo y puedas entender los pasos a realizar.
Queremos representar gráficamente la siguiente función:
\[f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-2}\]
Solución
Lo primero que debemos buscar es el dominio de la función. Para esto, buscamos puntos en los que la función es discontinua. En este caso, al haber un denominador, la función será discontinua cuando este es igual a cero:
\[x^2-2=0 \rightarrow x = \pm \sqrt{2}\]
Vemos que en \(x=\pm \sqrt{2}\) la función no existe. Por lo que el dominio de la función es:
\[D=\Re-{-\sqrt{2}, \sqrt{2}}\]
Ahora, vamos a determinar si la función presenta alguna simetría. Para ello, calculamos:
\[f(-x)=\dfrac{-x^3}{x^2-2}=-f(x)\]
Esto implica que la función presenta simetría con respecto al origen de coordenadas. Ahora, calculamos puntos de corte con los ejes:
\[f(x)=0 \rightarrow \dfrac{x^3}{x^2-x}=0 \rightarrow x =0\]
Por tanto, la función corta con los ejes en. A continuación, determinamos el signo de la función en los intervalos entre los puntos hallados:
\[(-\infty, -\sqrt{2})\] | \[( -\sqrt{2},0)\] | \[(0, \sqrt{2})\] | \[ (\sqrt{2},\infty)\] |
\[f(x)<0\] | \[f(x)>0\] | \[f(x)<0\] | \[f(x)>0\] |
Tabla 1. Signo de \(f(x)\).
Como vemos, hay un cambio de signo en los puntos donde anteriormente hemos dicho que había una discontinuidad en el dominio. Esto suele indicar que hay asíntotas. Vamos a calcularlas:
\[lim_{x \rightarrow -\sqrt{2}^-} \dfrac{x^3}{x^2-2}=[lim_{x \rightarrow -\sqrt{2}^-} \dfrac{x^3}{2-2}=\dfrac{(-\sqrt{2})^3}{0^-}=-\infty\]
\[lim_{x \rightarrow -\sqrt{2}^+} \dfrac{x^3}{x^2-2}=[lim_{x \rightarrow -\sqrt{2}^+} \dfrac{x^3}{2-2}=\dfrac{(-\sqrt{2})^3}{0^+}=+\infty\]
Por tanto, hay una asíntota vertical en \(x=-\sqrt{2}\) ; vemos que la función se va a \(-\infty\) cuando se acerca a \(-\sqrt{2}\) por la izquierda y se va a \(+\infty\) cuando se acerca a \(-\sqrt{2}\) por la derecha.
Ahora, calculamos los límites en el otro punto de \(\sqrt{2}\) discontinuidad:
\[lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^-} \dfrac{x^3}{x^2-2}=[lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^-} \dfrac{x^3}{2-2}=\dfrac{(-\sqrt{2})^3}{0^-}=-\infty\]
\[lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^+} \dfrac{x^3}{x^2-2}=[lim_{x \rightarrow \sqrt{2}^+} \dfrac{x^3}{2-2}=\dfrac{(\sqrt{2})^3}{0^+}=+\infty\]
En el otro punto de discontinuidad también hay una asíntota vertical en la que se cumple lo mismo que en el otro punto. Esto era de esperar, debido a la simetría que hemos determinado antes. Por tanto, tenemos dos asíntotas verticales en \(x=-\sqrt{2}\) y \(x=\sqrt{2}\). Ahora, viendo que el denominador es de un grado menor que el numerador, cabe esperar que haya una asíntota oblicua:
\[m=lim_{x \rightarrow \pm \infty } \dfrac{f(x)}{x}= lim_{x \rightarrow \pm \infty } \dfrac{x^3}{x^2-2x}=\dfrac{\infty}{\infty}=lim_{x \rightarrow \pm \infty } \dfrac{1}{1-\dfrac{2x}{x^3}}=1 \]
La pendiente de la asíntota oblicua es \(1\). Ahora, vemos si tiene ordenada en el origen:
\[n=lim_{x \rightarrow \pm \infty } f(x)-mx= lim_{x \rightarrow \pm \infty } \dfrac{x^3}{x^2-2}=lim_{x \rightarrow \pm \infty } \dfrac{-2x}{x^2-2}=0 \]
Por lo tanto, la asíntota oblicua tiene la forma \(y=x\).
Ahora vamos a determinar el crecimiento y los puntos críticos (máximos y mínimos). Para ello, calculamos la primera derivada de la función:
\[f'(x)=\dfrac{x^4-6x^2}{(x^2-2)^2}\]
Y calculamos raíces de la primera derivada:
\[f'(x)=0 \rightarrow x^4-6x^2=0 \rightarrow x = (-\sqrt{6},0, \sqrt{6})\]
Ahora determinamos el signo de la primera derivada en los intervalos necesarios:
\[(-\infty, -\sqrt{6})\] | \[(-\sqrt{6}, -\sqrt{2})\] | \[(-\sqrt{2},0)\] | \[(0, \sqrt{2})\] | \[(\sqrt{2},\sqrt{6})\] | \[(\sqrt{6}, \infty)\] |
\[f'(x)>0\] | \[f'(x)<0\] | \[f'(x)<0\] | \[f'(x)<0\] | \[f'(x)<0\] | \[f'(x)>0\] |
Tabla 2. Signo de la primera derivada de la función.
Viendo la tabla anterior, podemos decir que si la derivada primero es positiva y luego es negativa, en el punto \(x=-\sqrt{6}\) hay un máximo. Lo contrario ocurre para \(x=\sqrt{6}\). En cambio, en \(x=0\) la derivada no cambia de signo, por lo que no es ni un máximo ni un mínimo.
- Máximo en: \left( -\sqrt{6}, \dfrac{-3}{2}\sqrt{6} \right)
- Mínimo en: \left( \sqrt{6}, \dfrac{3}{2}\sqrt{6} \right)
Ahora, vamos a determinar la curvatura y si hay algún punto de inflexión. Para esto, hallamos la segunda derivada y buscamos sus raíces:
\[f''(x)=\dfrac{4x^3+24x}{(x^2-2)^3}\]
\[f''(x)=0 \rightarrow x =0\]
Vemos que sólo hay un punto. Entonces, determinamos la curvatura de la función observando el signo de la segunda derivada:
\[(-\infty, -\sqrt{2})\] | \[(-\sqrt{2},0)\] | \[(0, \sqrt{2})\] | \[(\sqrt{2}, \infty)\] |
\[f''(x)<0\] | \[f''(x)>0\] | \[f''(x)<0\] | \[f''(x)>0\] |
Tabla 3. Signo de la segunda derivada.
Como antes hemos determinado que hay asíntotas verticales en \(x=\pm \sqrt{2}\), sabemos que estos puntos no existen en la función y, por tanto, no pueden ser puntos de inflexión. En cambio, para \(x=0\) es un punto de inflexión, por ser su segunda derivada igual a cero y cambiar la curvatura alrededor de él.
Con toda esta información, ya podemos representar nuestra función:
Fig. 2. Representación gráfica de una función.
Gráficas y derivación - Puntos clave
La representación gráfica de una función implica el estudio de sus características. Por tanto, tienes que calcular:
El dominio de la función (y el rango, para que te resulte más claro en qué zonas tienes que representar la función).
Si la función presenta algún tipo de simetría.
Los puntos de corte con los ejes.
Las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas. Recuerda que las verticales se dan en puntos de discontinuidad de la función, cuando las funciones son división de polinomios; las horizontales se dan cuando el denominador tiene un grado superior al numerador; y las oblicuas se dan cuando el numerador tiene un grado superior al denominador.
El crecimiento y los puntos críticos de la función, calculando la primera derivada. Si la primera derivada es positiva y luego negativa, en ese punto hay un máximo. Si la primera derivada es negativa y luego positiva, en ese punto hay un mínimo.
La curvatura y los puntos de inflexión, calculando la segunda derivada. Si la segunda derivada es positiva, la función es cóncava hacia arriba; si es negativa, la función es cóncava hacia abajo.
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