La razón de cambio es un tema que verás durante muchos de tus cursos; en resumen, se refiere a cómo cambia un dato con respecto a otro.
Por ejemplo, si un automóvil en tres segundos avanza tres metros, su razón de cambio es cuánta distancia recorre entre el tiempo que le tomó recorrer esta distancia; esto es, la velocidad:
\[v=\dfrac{\Delta s}{ \Delta t}\]
Si haces esto, verás que tiene unidades \(\frac{m}{s}\). Esto significa que la velocidad es la razón de cambio entre la distancia y el tiempo.
La razón de cambio, en el sentido matemático, es la derivada; al igual que las razones de cambio de cantidades físicas tienen un significado físico, en matemáticas también tiene un sentido geométrico. Además la derivada y ciertos valores específicos tienen ciertos significados. En este artículo te enseñaremos acerca de estos.
Derivadas
Empecemos con una breve descripción de la derivada.
Recuerda pasar por nuestro artículo de derivadas, para leer más sobre esto.
Las derivadas se pueden definir desde el punto de vista de:
Una operación.
La razón de cambio.
La pendiente.
Puede parecer complicado; pero, no es así, ya que en realidad las tres están relacionadas. Veamos.
Operación
Las derivadas son operaciones, de cálculo o análisis, que tienen fórmulas bien definidas. Algunas de ellas son:
Función | Derivada |
Derivada de una constante | \[\dfrac{d}{dx}cte=0\] |
Derivada de una variable | \[\dfrac{d}{dx}x=1\] |
Derivada de una constante elevada a una potencia | \[\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}\] |
Derivada de una constante elevada a una función exponencial | \[\dfrac{d}{dx}e^x=e^x\] |
Hay muchas más de estas fórmulas y de otras técnicas para derivar, como:
¡Todas te dan como resultado una función!
La razón de cambio
Como ya mencionamos, la derivada también significa la razón de cambio. Esto es el cambio de una variable con respecto a la otra; se ve en la fórmula de la derivada como:
\[\dfrac{dy}{dx}\]
Donde \(y=f(x)\).
En estos casos, significa: “el cambio que resulta de sustituir dos puntos \(x\) en la función \(f(x)\)”.
Un ejemplo sencillo sería el siguiente:
¿Cuál es la razón de cambio de la función \(f(x)=x^2\) entre los puntos \(x_1=1\) y \(x_1=2\)?
Solución:
Para calcular esto debemos sustituir el valor de ambos puntos de \(x\) y restar el resultado; esto es:
\[\text{razón}=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{2^2-1^2}{2-1}\]
\[\dfrac{4-1}{2-1}=\dfrac{3}{1}=3\]
Esta razón de cambio entre dos puntos es, de hecho, una especie de promedio; pero:
Podemos acercar los dos puntos mucho hasta que sean casi idénticos, como \(x_2=2{,}0\) y \(x_1=1{,}999\).
Al hacer esto, se logra que la diferencia entre ambos puntos tienda hacia cero; esto es conocido como la razón de cambio instantáneo.
Esta razón de cambio es representada por un símbolo \(m\), que es —de hecho— la pendiente de una recta.
Al tener esta razón de cambio instantánea, se tiene la derivada de la función.
Si quieres saber más sobre esto no olvides leer nuestro artículo sobre las derivadas.
Pendiente
Ya mencionamos que cuando el cambio es instantáneo, la derivada se representa por un símbolo \(m\).
Veamos un poco más en detalle la fórmula:
\[m=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}\]
Si, como mencionamos \(f(x)=y\), tenemos:
\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2 - x_1}\]
Y si \(m\) es la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(x_2\) y \(x_1\), entonces lo que se tiene es una recta:
\[y=mx+b\]
En este caso, la pendiente pertenece la recta tangente a la función.
Tangente en un punto
Ya mencionamos que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Por ejemplo: si tenemos la función \(x^2\), la derivada es \(2x\). Pero, ¿en qué punto? Después de todo, la función \(x^2\) existe en todos los reales, como vemos en la gráfica siguiente.
Fig 1: Punto tangente a la curva \(x^2\).
En estos casos, podemos ser más específicos: podemos necesitar la recta tangente en un punto. Entonces, debemos sustituir el punto en la derivada de la función.
Veamos un ejemplo.
Se tiene la función \(f(x)=x^2+3x\). Calcula la derivada de la función y la pendiente de la recta tangente en el punto \(x=4\).
Solución:
Usando la regla de la potencia y al regla de la derivada de una variable, llegamos a:
\[f'(x)=2x+3\]
Esta es la función de la pendiente de la recta tangente a la curva \(f'(x)=x^2+3x\).
Aún nos falta por conocer el valor exacto de la pendiente en ese punto; queremos la razón de cambio cuando \(x=4\).
En este caso,, sustituyendo tenemos:
\[2·4+3=8+3=11\]
Como sabemos, esto es igual a \(f'(a)=m\).
Lo que esto significa que la pendiente de la recta en \(x=4\) es \(m=11\).
Fig. 2: Punto tangente a la curva en un sitio determinado \((x,y)\).
Derivada de una función en un punto
La derivada de la función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. De este modo, la derivada es, de hecho, lo mismo que la pendiente de la recta un punto específico.
Sin embargo, la derivada tiene propiedades importantes y ciertos valores que nos conviene saber qué significan.
Derivada igual a cero
Si la derivada de una función es la pendiente de una recta, la pregunta es: ¿qué pasa si la pendiente es cero? Esto significa que:
\[m=\dfrac{f(x_2)- f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{0}{x_2-x_1}\]
O, lo que es lo mismo:
\[f(x_2)- f(x_1)=y_2-y_1\]
El valor de \(y\) no cambia, o sea es constante, y esto solo pasa si se tiene una recta horizontal. En estos casos se dice que se tiene un punto crítico.
Un punto crítico puede ser un máximo o un mínimo, como se ve las siguientes gráficas:
Fig. 3. Mínimo de una función.
Fig. 4. Máximo de una función.
Debido a que la resta nunca puede ser exactamente cero, se dice que el valor tiende hacia cero.
Pero, también puede ser un punto de inflexión, que es donde la derivada cambia de signo. Esto se puede ver en la siguiente gráfica:
Fig. 5: Punto de inflexión de la función \(x^3\). Este punto no es ni máximo o mínimo, pero es un punto crítico.
Cambio de signo de la derivada
Debido a que podemos sustituir valores de \(x\) en la derivada, la función que obtenemos al aplicar las fórmulas de derivación también tiene un valor que puede ser negativo o positivo. Algo interesante es que este cambio de signo nos dice otra característica importante de la derivada que es su concavidad.
Si la derivada de una función cambia de positiva a negativa, esta es cóncava hacia abajo. Esto lo podemos ver en la gráfica siguiente:
Fig. 6. Cambio de signo en la pendiente de la derivada, de positivo a negativo.
Si la derivada de una función cambia de negativa a positiva, esta es cóncava hacia arriba. Esto lo podemos ver en la gráfica siguiente:
Fig. 7. Cambio de signo en la pendiente de la derivada, de negativo a positivo.
Sin embargo, hay otras implicaciones de esto:
El cambio de positivo a negativo, pasando por un punto crítico, significa que se tiene un máximo.
El cambio de negativo a positivo, pasando por un punto crítico, significa que se tiene un mínimo.
Interpretación geométrica de la derivada: ejemplos
Hagamos algunos ejemplos para ayudarte con esto:
Calcula el punto de la función donde la derivada es cero, si la función es \(2x^2+3x-2\).
Solución:
En este caso, debemos de derivar primero la función:
\[\dfrac{d}{dx}(2x^2+3x-2)=4x+3\]
Ahora, encontrar donde es cero; para ello, igualamos a cero:
\[4x+3=0\]
Y esto sucede cuando:
\[x=-\dfrac{3}{4}\]
Este es un punto crítico.
Encuentra el punto crítico de la función \(x^3-3x\) y decide si este es un máximo o un mínimo.
Solución:
Primero, debemos derivar la función:
\[ \dfrac {d}{dx}(x^3-3x)\].
Esto nos da:
\[3x^2-3\]
Para encontrar el punto crítico, debemos saber cuándo la derivada es cero; al igualar a cero:
\[3x^2-3=0\]
Despejando \(x\):
\[x^2=1\]
\[x_1=+1\]
\[x_2=-1\]
Ahora, tenemos dos candidatos a puntos críticos. En este caso, debemos evaluar antes y después de los puntos para obtener el signo de la derivada.
Por ejemplo, a la izquierda y derecha de \(x=1\).
\[3·(0{,}5)^2-3=-2{,}5\]
\[3·(1{,}5)^2-3=3{,}75\]
La derivada cambia de negativo a positivo, por lo cual se tiene un mínimo.
Ahora a la izquierda y derecha de \(x=-1\)].
\[3·(-1{,}5)^2-3=3{,}75\]
\[3·(-0{,}5)^2-3=-2{,}25\]
En este caso la derivada cambia de positivo a negativo, por lo que se tiene un máximo.
El máximo y el mínimo se pueden ver en la siguiente gráfica:
Fig. 8: Máximo y mínimo de la función \(3x^3-3x\).
Calcula la pendiente de la recta tangente a la función \(4x^2-2x\) en el punto \(x=0\).
Solución:
Lo que debemos hacer primero es derivar la función; esto nos da:
\[\dfrac{d}{dx}(4x^2-2x)=8x-2\]
Esta función, de hecho, es la recta tangente a la función original en cualquier punto.
Ahora, debemos sustituir \(x=0\):
\[8·0-2=-2\]
Debido a que la derivada es:
\[\dfrac{dy}{dx}=m\]
La pendiente es, entonces:
\[m=-2\]
Interpretación de la derivada - Puntos clave
- Las derivadas se pueden definir desde el punto de vista de:
- Una operación.
- La razón de cambio.
- La pendiente.
- La razón de es el cambio de una variable con respecto a la otra.
- La derivada es una operación de cálculo o análisis. Estas tienen fórmulas bien definidas.
- La derivada también es la pendiente de la recta tangente en un punto específico de la función.
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