Uno de los primeros pasos que se realizan cuando se estudia una función es la determinación de los puntos de corte, el signo de la función y la simetría que esta presenta. Esto es porque son cualidades de la función fáciles de calcular y que aportan una valiosa información.
En este tema vamos a explicarte cómo determinar estas características de las funciones. Estos conocimientos te ayudarán, por ejemplo, a representar gráficamente la función. ¡Vamos a por ello!
Puntos de corte de una función
Una de las primeras cosas que tienes que hacer al empezar con el estudio de una función es calcular los puntos de corte con los ejes. Esta información te dice en qué puntos corta la función con el eje de abscisas y con el eje de ordenadas.
Dada la función \(f(x)\), para calcular el punto de corte con el eje de ordenadas —es decir, con el eje de las \(y\)— solo tienes que sustituir \(x=0\), lo que es \(f(0)\). El punto de corte con el eje \(y\) es, entonces, \((0,f(0))\). Solo puede haber un punto de corte con este eje.
Calcula el punto de corte con el eje \(y\) de la función: \[f(x)=\dfrac{x^2-3}{e^x+2}\]
Solución
Como hemos dicho, el punto de corte con el eje \(y\) se calcula haciendo: \[f(0)=\dfrac{0-3}{1+2}=-1\]
Por tanto, el punto de corte con el eje \(y\) es \((0,-1)\).
Por otro lado, para calcular los puntos de corte con el eje de abscisas —el eje de las \(x\)—, lo que tenemos que hacer es igualar la función a cero: \[f(x)=0\]
Entonces, se resuelve la ecuación formada para obtener el punto \(x\) donde la función corta con el eje de abscisas. Como puedes observar: puede haber ninguno, uno o más puntos de corte con este eje. Estos puntos también se conocen como raíces de la función.
Como te pedirán resolver este tipo de ejercicios y problemas en varias ocasiones, ¡empezamos a practicar!
Calcula las raíces de la función: \[f(x)=3x+2\]
Solución:
Para calcular las raíces de la función, lo que hacemos es igualar a cero y resolver la ecuación formada:
\[f(x)=0\]
\[3x-2=0\]
\[x=\dfrac{2}{3}\]
Por tanto, la raíz de esta función es \(x=\dfrac{2}{3}\) y el punto de corte con el eje de las \(x\) es \((\frac{2}{3},0)\).
Signo de funciones
Otra característica muy fácil de calcular —y que te puede ayudar para representar gráficamente una función— es su signo. Se trata de ver dónde la función está por encima o por debajo del \(x\); esto es lo que se denomina determinar el signo de la función. Para ello, debes resolver la inecuación:
\[f(x)>0\]
y
\[f(x)<0\]
Al hacer esto, puedes ver en qué intervalos la función está por encima y por debajo del eje \(x\). Cuando la función está por encima del eje \(x\) se dice que la función es positiva \(+\) y cuando está por debajo, se dice que es negativa \(-\).
Normalmente, los puntos donde la función puede cambiar de signo es en las raíces y en los puntos críticos de la función. Así que, para calcular el signo, es recomendable haber calculado primero estos puntos. Veamos:
Calcula las raíces y el signo de la función: \[f(x)=x^2-4\]
Solución
Para calcular las raíces igualamos la función a cero:
\[f(x)=0\]
\[x^2-4=0\]
\[x^2=4\]
\[x=\pm 2\]
Las raíces de la función son \(x=-2\) y \(x=2\).
Como ya tenemos las raíces y esta función no presenta puntos críticos, el signo de la función puede cambiar en los intervalos definidos por los puntos. El signo se encuentra viendo números menores, mayores e intermedios a las dos raíces:
Valor | \(x<-2\) | \(x\in (-2,2)\) | \(x>2\) |
Signo de \(f(x)\) | + | - | + |
Tabla 1. Signo de la función \(f(x)\).
De acuerdo con esto: la función es positiva para valores menores a \(-2\), negativa entre \(-2\) y \(2\) y positiva (de nuevo) para valores de \(x\) mayor que \(2\). Esto mismo, gráficamente, se vería así:
Fig. 1. Representación gráfica de la función \(f(x)\).Se puede apreciar el signo de la función: la función es positiva para \(x<-2\), negativa para \(x\in [-2,2]\) y positiva (de nuevo) para \(x>2\).
Determina el signo de la siguiente función: \[f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\]
Solución
Para determinar el signo de la función, debemos definir las raíces y los puntos críticos de la función. Las raíces se calculan haciendo:
\[f(x)=0\]
\[\dfrac{x+1}{x-2}=0\Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1\]
Por tanto, la raíz de esta función está en \(x=-1\) y los puntos críticos son aquellos que anulan el denominador:
\[x-2=0\Rightarrow x=2\]
Entonces, tenemos dos puntos en los que el signo de la función puede cambiar. Como en el ejemplo anterior, hacemos una tabla en la que determinamos el signo, introduciendo valores en cada uno de los intervalos y viendo si la función es positiva o negativa:
| Valor | \(<-1\) | \((-1,2)\) | \(>2\) |
| Signo de \(x+1\) | - | + | + |
| Signo de \(x-2\) | - | - | + |
| Signo de \(f(x)\) | + | - | + |
Tabla 2. Signo de la función \(f(x)=\frac{x+1}{x-2}\).
Observa que, para determinar el signo de la función, hemos calculado el signo para cada una de las partes que la forman. En este caso, hemos evaluado puntos en cada una de estas partes, para ver si el resultado es positivo o negativo.
Después de esto, se realiza la operación que relaciona estas partes; en este caso, una división:
- El signo positivo, en el primer tramo, se obtiene al dividir un número negativo entre otro negativo; lo que resulta en un número positivo.
- En el segundo tramo, se trata de un número positivo entre uno negativo; lo que resulta en un número negativo.
- En el último, nos encontramos con un número positivo entre un número positivo; lo que da como resultado un número negativo.
Simetría de funciones
Otra de las características que pueden ayudarnos mucho a representar una función es saber si presentan simetría. Si la función presenta alguna simetría, solo bastará con estudiar, entonces, la mitad de la función; la otra mitad ya se conoce, debido a la simetría. La simetría se considera, siempre, con respecto a uno de los ejes principales.
Eje de simetría de una función
Puede darse que la función sea simétrica con respecto al eje \(y\) en su dominio. Entonces, se cumple que: \[f(x)=f(-x)\]
Si una función presenta este tipo de simetría, se dice que la función presenta simetría par.
Un ejemplo típico de función con simetría par es la función \(f(x)=\cos(x)\).
Esta cumple: \[\cos(x)=\cos(-x)\]
Por tanto, esta función es simétrica con respecto al eje \(y\); lo que hace que todos los puntos de la forma \((f(a),a\) tengan un simétrico, que es \((-a,f(a))\). Este es el caso del punto \((\pi,0)\), que tiene su simétrico en \((-\pi,0)\).
Lo puedes comprobar en la siguiente gráfica de esta función:
Fig. 2: Ejemplo de función con simetría par. La función \(f(x)=\cos(x)\) presenta simetría par, donde un punto de la forma \((a,f(a))\) presenta un punto simétrico de coordenadas \((-a,f(a))\).
El otro tipo de simetría que puede presentar una función es con respecto al eje \(x\). Se dice que este tipo de funciones presentan una simetría impar. Si una función tiene simetría impar, se cumple que: \[f(x)=-f(-x)\]
Al igual que con la simetría par, con las funciones que tienen simetría impar, es suficiente con estudiar la mitad de la función; para la otra mitad solo hay que tener en cuenta el signo negativo.
Una función con simetría impar es por ejemplo: \[f(x)=x^3\]
Si tomas valores de esta función, puedes ver que se cumple lo que hemos mencionado antes.
Por ejemplo:
\[f(2)=8\]
\[f(-2)=-8=-f(2)\]
Por tanto, esta función presenta simetría impar; para un punto de la forma \((a,f(a))\) tiene un simétrico con respecto al eje \(x\) de la forma \(-a,-f(a))\). Esto puedes observarlo en la gráfica de la función del ejemplo:
Fig. 3: Ejemplo de función con simetría impar. La función \(f(x)=x^3\) presenta simetría impar; un punto de la forma \((a,f(a))\) tiene un punto simétrico con respecto al eje \(x\), con coordenadas \((-a,-f(a))\).
Eje de simetría de una función cuadrática
Las funciones cuadráticas son aquellas del tipo \(f(x)=ax^2\), donde \(a\) es un número real. Vamos a ver qué tipo de simetría tiene esta función, simplemente metiendo valores.
Por ejemplo, tomamos la función \(f(x)=x^2\) y la evaluamos en \(x=2\):
\[f(2)=4\]
\[f(-2)=4\]
Como vemos, se cumple que \(f(x)=f(-x)\); por tanto, la función presenta simetría par y es simétrica con respecto al eje \(y\).
Cortes, signo y simetrías de funciones - Puntos clave
- Dada la función \(f(x)\), para calcular el punto de corte con el eje de ordenadas —es decir, con el eje de las \(y\)— solo tienes que sustituir \(x=0\); lo que es \(f(0)\).
- El signo de una función es ver si la función está por encima o por debajo del eje \(x\); para ello, hay que resolver la inecuación \(f(x)>0\) y \(f(x)<0\).
- Las funciones pueden presentar una simetría con respecto a uno de los ejes. Si una función es simétrica con respecto al eje \(y\), se dice que la función presenta simetría par y se cumple que \(f(x)=f(-x)\). Si una función es simétrica con respecto al eje \(x\), se dice que la función presenta simetría impar y se cumple que \(f(x)=-f(-x)\).
- Las funciones cuadráticas que son de la forma \(f(x)=ax^2\) presentan simetría par.
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