Simetría y signo de funciones

Calcula el punto de corte con el eje \(y\) de la función: \[f(x)=\dfrac{x^2-3}{e^x+2}\]

Solución

Como hemos dicho, el punto de corte con el eje \(y\) se calcula haciendo: \[f(0)=\dfrac{0-3}{1+2}=-1\]

Por tanto, el punto de corte con el eje \(y\) es \((0,-1)\).

Calcula las raíces de la función: \[f(x)=3x+2\]

Solución:

Para calcular las raíces de la función, lo que hacemos es igualar a cero y resolver la ecuación formada:

\[f(x)=0\]

\[3x-2=0\]

\[x=\dfrac{2}{3}\]

Por tanto, la raíz de esta función es \(x=\dfrac{2}{3}\) y el punto de corte con el eje de las \(x\) es \((\frac{2}{3},0)\).

Calcula las raíces y el signo de la función: \[f(x)=x^2-4\]

Solución

Para calcular las raíces igualamos la función a cero:

\[f(x)=0\]

\[x^2-4=0\]

\[x^2=4\]

\[x=\pm 2\]

Las raíces de la función son \(x=-2\) y \(x=2\).

Como ya tenemos las raíces y esta función no presenta puntos críticos, el signo de la función puede cambiar en los intervalos definidos por los puntos. El signo se encuentra viendo números menores, mayores e intermedios a las dos raíces:

Tabla 1. Signo de la función \(f(x)\).

De acuerdo con esto: la función es positiva para valores menores a \(-2\), negativa entre \(-2\) y \(2\) y positiva (de nuevo) para valores de \(x\) mayor que \(2\). Esto mismo, gráficamente, se vería así:

Fig. 1. Representación gráfica de la función \(f(x)\).Se puede apreciar el signo de la función: la función es positiva para \(x<-2\), negativa para \(x\in [-2,2]\) y positiva (de nuevo) para \(x>2\).

Determina el signo de la siguiente función: \[f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}\]

Solución

Para determinar el signo de la función, debemos definir las raíces y los puntos críticos de la función. Las raíces se calculan haciendo:

\[f(x)=0\]

\[\dfrac{x+1}{x-2}=0\Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1\]

Por tanto, la raíz de esta función está en \(x=-1\) y los puntos críticos son aquellos que anulan el denominador:

\[x-2=0\Rightarrow x=2\]

Entonces, tenemos dos puntos en los que el signo de la función puede cambiar. Como en el ejemplo anterior, hacemos una tabla en la que determinamos el signo, introduciendo valores en cada uno de los intervalos y viendo si la función es positiva o negativa:

Tabla 2. Signo de la función \(f(x)=\frac{x+1}{x-2}\).

Observa que, para determinar el signo de la función, hemos calculado el signo para cada una de las partes que la forman. En este caso, hemos evaluado puntos en cada una de estas partes, para ver si el resultado es positivo o negativo.

Después de esto, se realiza la operación que relaciona estas partes; en este caso, una división:

• El signo positivo, en el primer tramo, se obtiene al dividir un número negativo entre otro negativo; lo que resulta en un número positivo.
• En el segundo tramo, se trata de un número positivo entre uno negativo; lo que resulta en un número negativo.
• En el último, nos encontramos con un número positivo entre un número positivo; lo que da como resultado un número negativo.

Un ejemplo típico de función con simetría par es la función \(f(x)=\cos(x)\).

Esta cumple: \[\cos(x)=\cos(-x)\]

Por tanto, esta función es simétrica con respecto al eje \(y\); lo que hace que todos los puntos de la forma \((f(a),a\) tengan un simétrico, que es \((-a,f(a))\). Este es el caso del punto \((\pi,0)\), que tiene su simétrico en \((-\pi,0)\).

Lo puedes comprobar en la siguiente gráfica de esta función:

Fig. 2: Ejemplo de función con simetría par. La función \(f(x)=\cos(x)\) presenta simetría par, donde un punto de la forma \((a,f(a))\) presenta un punto simétrico de coordenadas \((-a,f(a))\).

Una función con simetría impar es por ejemplo: \[f(x)=x^3\]

Si tomas valores de esta función, puedes ver que se cumple lo que hemos mencionado antes.

Por ejemplo:

\[f(2)=8\]

\[f(-2)=-8=-f(2)\]

Por tanto, esta función presenta simetría impar; para un punto de la forma \((a,f(a))\) tiene un simétrico con respecto al eje \(x\) de la forma \(-a,-f(a))\). Esto puedes observarlo en la gráfica de la función del ejemplo:

Fig. 3: Ejemplo de función con simetría impar. La función \(f(x)=x^3\) presenta simetría impar; un punto de la forma \((a,f(a))\) tiene un punto simétrico con respecto al eje \(x\), con coordenadas \((-a,-f(a))\).

Por ejemplo, tomamos la función \(f(x)=x^2\) y la evaluamos en \(x=2\):

\[f(2)=4\]

\[f(-2)=4\]