¿Alguna vez has pensado en esa persona que te parece totalmente extraña —en cómo piensa y las decisiones que toma—? Esas personas que eligen bebidas calientes en un día caluroso, por ejemplo. No todo el mundo es racional y lo mismo ocurre con las funciones. Pero, si te encuentras con una de estas funciones, en este artículo te explicamos lo que debes saber para poder manejarlas. ¡Seamos racionales!
- En este artículo veremos en primer lugar las características de las funciones racionales.
- Después pasaremos a estudiar los dominios de funciones racionales.
- A continuación, te enseñamos a encontrar la inversa de una función racional.
- Luego, estudiaremos las asíntotas de funciones racionales: asíntotas verticales, asíntotas horizontales y asíntotas oblicuas.
- Por último, veremos la representación gráfica de funciones racionales.
Características de las funciones racionales
Una función racional es una función formada por dos polinomios, uno dividido por el otro. Su fórmula general es:
\[f(x)=\dfrac{Q(x)}{P(x)}\]
En otras palabras, una función racional es cualquier función que puede expresarse como una fracción, en la que el numerador y el denominador son polinomios y el denominador es distinto de 0.
- El denominador \(Q(x)\) debe ser al menos de grado uno. Esto significa que \(Q(x)\) no puede ser solo una constante, sino que debe incluir una variable.
Por ejemplo, \(f(x)=\dfrac{2+x^{2}}{x}\) es una función racional, mientras que \(g(x)=\dfrac{2+x^2}{5}\) no es una función racional.
Recuerda que el grado de un polinomio en una variable es el mayor exponente de las potencias que lo componen. Cuando no hay un exponente declarado en la variable, entonces el exponente es 1; y si un polinomio es igual a una constante, su grado es 0.
Dominios de funciones racionales
Puede haber valores de \(x\) para los que el denominador de una función racional \(Q(x) = 0\). Como la división por cero conduce a una expresión indefinida, la función racional no está definida en ese punto. Por lo tanto, el dominio de las funciones racionales depende del punto o puntos en los que el denominador se anula.
Consideremos la función: \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x-3}\):
En este ejemplo de función racional, el denominador \(Q(x) = x-3\) se convierte en \(0\) cuando \(x = 3\). Por tanto, esta función racional no está definida para \(x=3\) y su dominio es \(x\in \mathbb R -\{3\}\).
Un ejemplo importante de función racional es \(y=\dfrac{1}{x}\), que es la función racional principal.
La gráfica de esta función racional se llama hipérbola, y consta de dos partes simétricas llamadas ramas (tal como se muestra a continuación). Las rectas representan las asíntotas de la función.
Fig. 1. Gráfica de la función racional \(y=\frac{1}{x}\).
¿Cómo se encuentra la inversa de una función racional?
Antes de seguir los pasos para hallar la inversa de una función racional, repasemos qué es una función inversa.
Una función inversa \(f^{-1}(x)\) invierte las entradas y salidas de la función original \(f(x)\).
Esto es cierto para cualquier función, por lo que no solo se aplica a las racionales.
Para encontrar la inversa de una función racional \(f(x)\) hay que seguir los siguientes pasos:
Sustituimos \(f(x)\) por \(y\).
Despejamos \(x\) en la función y la dejamos en función de \(y\).
Por último:
Practiquemos:
Obtén la función inversa de la función racional:
$$f(x)=\frac{x-8}{x-11}$$
Solución:
1. Tenemos que sustituir \(f(x)\) por \(y\):
$$y=\frac{x-8}{x-11}$$
2. Ahora, despejamos \(x\) en función de \(y\). Esto nos llevará unos cuantos pasos, ya que no es algo que podamos completar de una sola vez:
$$y(x-11)=x-8$$
Luego distribuimos \(y\) en el lado derecho:
$$yx-11y=x-8$$
$$yx-x=11y-8$$
$$x(y-1)=11y-8$$
$$x=\dfrac{11y-8}{y-1}$$
3. Lo último que tenemos que hacer es sustituir \(x\) por \(f^{-1}(x)\), que indica el hecho de que es la inversa de la función racional original \(f(x)\).
También sustituimos \(y\) por \(x\) y obtenemos:
$$f^{-1}(x)=\dfrac{11x-8}{x-1}$$
Para comprobar si la respuesta obtenida es correcta o no, podemos tomar un valor de \(x\) y evaluarlo en \(f(x)\):
$$f(0)=\frac{0-8}{0-11}=\frac{8}{11}$$
Ahora sabemos que \(f(0)=\frac{8}{11}\), así que tenemos que comprobar si obtenemos \(f^{-1}(\frac{8}{11})=0\) de nuestra ecuación inversa:
$$f^{-1}\left(\frac{8}{11}\right)=\frac{11 \left( \frac{8}{11} \right)-8}{\frac{8}{11}-1}=0$$
Por tanto, nuestra respuesta es correcta.
Asíntotas de funciones racionales
Puedes encontrar detalles sobre las asíntotas en nuestro artículo al respecto. Por ahora, a modo de resumen:
Una asíntota es una línea recta que se aproxima a una curva, pero la curva nunca la cruza ni la toca.
Las funciones racionales pueden tener tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblicuas. Aunque la curva de una función racional nunca entrará en contacto con sus asíntotas, son útiles porque nos ayudan a predecir cómo se comportará la gráfica en los valores extremos de \(x\).
Asíntotas verticales
Una función racional tiene una asíntota vertical en cualquier punto en el que su denominador sea igual a \(0\). Como el denominador es un polinomio \(Q(x)\), una función racional puede tener múltiples asíntotas verticales. Por eso, tampoco podemos tener una función racional en la que el denominador sea siempre igual a \(0\): ¡no existiría la gráfica!
Asíntotas horizontales
Las funciones racionales solo pueden tener una o ninguna asíntota horizontal.
Hay que comprobar tres cosas para determinar si la función racional tiene o no una asíntota horizontal:
Si el grado del polinomio del numerador \(P(x)\) es mayor que el grado del polinomio del denominador \(Q(x)\), entonces la función no tiene asíntota horizontal.
Si el grado del numerador es menor que el del denominador, entonces hay una asíntota horizontal en \(y=0\). Es decir, el eje x es la asíntota horizontal.
Si los grados de ambos polinomios son iguales, la función racional tiene una asíntota horizontal y su ecuación viene determinada por los coeficientes principales de los polinomios:$$y=\dfrac{\text{coeficiente principal de P(x)}}{\text{coeficiente principal de Q(x)}}$$
Recuerda que el coeficiente principal se refiere al número que multiplica la variable \(x\) por el mayor exponente de los términos que forman el polinomio. Si no hay ningún número delante de la variable, entonces el coeficiente es 1.
Asíntotas oblicuas
Una asíntota oblicua se refiere a una asíntota que está inclinada. Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en uno, entonces hay una asíntota oblicua. Observa que las condiciones para tener una asíntota horizontal y una oblicua se excluyen mutuamente. Por tanto, una función racional no puede tener tanto una asíntota horizontal como una oblicua, sólo una u otra.
Si la función racional tiene una asíntota oblicua, podemos encontrar su ecuación dividiendo el numerador por el denominador mediante la división de polinomios. Como la asíntota es una recta, será de la forma \(y=mx+b\); solo tenemos que identificar la parte del cociente que tiene esta forma.
Funciones racionales: representación gráfica
Para representar gráficamente las funciones racionales hay que seguir los siguientes pasos:
En primer lugar, tenemos que determinar el dominio de la función. Las funciones racionales existen en todo \(\mathbb R\) menos en los puntos en los que se anula el denominador.
A continuación, calculamos los puntos de corte con los ejes. Las raíces del numerador y denominador serán puntos de corte con el eje \(x\).
Buscamos asíntotas en la función:
Puede haber asíntotas verticales en los puntos en los que se anula el denominador.
Hay asíntotas horizontales si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador.
Las asíntotas oblicuas aparecen si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador.
Por último, podemos trazar la gráfica, usando la información que hemos obtenido.
Como puedes ver, la gráfica de las funciones racionales es similar a la de cualquier otra función. Lo único que necesitamos es averiguar las asíntotas, ya que contienen información importante sobre la función racional.
Hagámoslo:
Dibuja la gráfica de la siguiente función:
$$f(x)=\frac{2x^{2}+x+1}{x+1}$$
Solución:
1. Como \(Q(x)=x+1\) se convierte en \(0\) en \(x=-1\), podemos decir que habrá una asíntota vertical en ese valor de \(x\). Además, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador exactamente en uno. Por tanto, hay una asíntota oblicua y, en consecuencia, no hay asíntotas horizontales.
Polinomio | Grado |
\[P(x)=2x^{2}+x+1\] | \[2\] |
\[Q(x)=x^{1}+1\] | \[1\] |
Diferencia de grados: |
\[2-1=1\] |
Tabla 1. Polinomios y grados que forman la función \(f(x)\).
Para encontrar la ecuación de la asíntota oblicua, tenemos que hacer la división del polinomio:
$$\frac{2x^{2}+x+1}{x+1}=2x-1+\frac{2}{x+1}$$
Como la ecuación de la asíntota debe ser de la forma \(y=mx+b\), podemos identificar que la ecuación de la asíntota es \(2x-1\).
2. Dibujamos estas asíntotas en nuestro papel. En este caso, la línea vertical es nuestra asíntota vertical de \(x=-1\) y nuestra línea oblicua es nuestra asíntota oblicua de \(2x-1\):
Fig. 2. Gráfica de las asíntotas de la función racional \(f(x)\).
3. Para encontrar los puntos de corte, tenemos que calcular \(x=0\) y luego resolver \(y=0\).
En primer lugar, fijaremos \(x=0\):
$$\frac{2(0)^{2}+0+1}{0+1}$$
Esto se simplifica a \(\frac{0+0+1}{0+1}\).
Hay un punto de corte con el eje \(y\) en \(y = 1\); por tanto, hemos calculado el punto \(P(0,1)\). Ahora, calculamos \(y=0\), y obtenemos la ecuación:
$$0=\frac{2(x)^{2}+x+1}{x+1}$$
Podemos ignorar el denominador, lo que nos deja con:
\[2(x)^{2}+x+1=0\]
La razón por la que podemos eliminar el denominador es que, si multiplicamos ambos lados por él, la multiplicación por \(0\) lo hará desaparecer de todos modos.
Esta ecuación no tiene solución real. Esto implica que no hay ningún punto en el que la parábola de \(2(x)^{2}+x+1=0\) corte con el eje \(x\). Por tanto, no hay intersecciones en el eje \(x\).
Fig. 3. Gráfica que incluye las asíntotas y el punto de corte con el eje \(y\).
4. Ahora, calculamos los límites en la asíntota vertical, para ver en qué lado está la función:
$$\lim_{x\to -1^{-}} \dfrac{2x^{2}+x+1}{x+1}=\dfrac{2}{0^-}=-\infty$$
$$\lim_{x\to -1^{+}} \dfrac{2x^{2}+x+1}{x+1}=\dfrac{2}{0^+}=+\infty$$
Por tanto, vemos que la función tiende a \(-\infty\) cuando se acerca a \(x=-1\) por la izquierda y tiende a \(+\infty\) cuando se acerca a \(x=-1\) por la derecha.
5. Por último, utilizando toda la información obtenida, dibujamos nuestra gráfica final:
Fig. 4. Representación gráfica de la función racional \(f(x)\), después de haber calculado asíntotas, puntos de corte y límites.
Observa que la gráfica está dividida en dos partes diferentes. Esto ocurre esencialmente con todas las funciones racionales.
Funciones racionales - Puntos clave
- Una función racional es una función que puede representarse como el cociente de dos funciones polinómicas donde la función del denominador no es una constante.
- Lo primero que hay que hacer al enfrentarse a una función racional es simplificar la función al máximo.
- Una asíntota es una recta a la que se aproxima una curva.
- Las funciones racionales pueden tener tres tipos de asíntotas: horizontales, verticales u oblicuas.
- Una función racional solo puede tener una asíntota horizontal o una asíntota oblicua, pero no ambas.
- Una función racional puede tener como máximo una asíntota no vertical.
- Para dibujar la gráfica de una función racional, es importante conocer primero las ecuaciones de las asíntotas.
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