Hay algunas ideas en la rama de análisis matemático (también conocida como cálculo) que pueden parecer bastante obvias; estas ideas después son explicadas de manera matemática.
Pongamos un ejemplo de la vida cotidiana:
Supongamos que sales de tu casa para dar un paseo. Tras el paseo, vuelves a casa. Podemos asegurar que, en algún punto, tú has dado la vuelta y regresado a tu casa; pudiste tomar muchas rutas o parar muchas veces, pero debiste haber regresado.
En matemáticas, ideas como estas deben ser explicadas de manera formal a modo de teoremas. Estos teoremas son importantes, ya que: si un objeto, digamos una función \(f(x)\) no las cumple, esto tiene un significado. Uno de estos teoremas es el teorema de Rolle.
- En este artículo aprenderemos en primer lugar sobre intervalos y sus tipos: abiertos y cerrados.
- Sabiendo ya sobre intervalos podremos explicar el teorema de Rolle y las tres condiciones para poder aplicarlo a una función.
- A continuación veremos la relación del teorema de Rolle con el teorema del valor medio.
- Después, pasaremos a demostrar el teorema de Rolle por medio de dos casos y un procedimiento paso a paso.
- Por último, mostraremos algunos ejemplos del teorema de Rolle.
Intervalos
Antes de explicar lo que es el teorema de Rolle, explicaremos lo que es un intervalo:
Digamos que se tiene una función \(f(x)\) y esta función tiene un dominio \(D\), donde viven los valores que la función \(f(x)\) puede tomar. Un intervalo es una parte del dominio de la función.
Expliquemos más detenidamente con un ejemplo:
Digamos que la función \(f(x)\) es igual a \(x^2+3x\). El dominio de la función es \(x\in(-\infty, +\infty)\), puesto que esta función no tiene ninguna discontinuidad.
Podemos crear, entonces, un intervalo dentro del dominio de esta función; como, por ejemplo: \([-2, 2]]\).
Esto significa que puede tomar cualquier valor entre ambos extremos; por ejemplo, puede tomar el valor de \(x=1.5\).
\[(1.5)^2+3(1.5)=6.75\]
Definir bien el intervalo es importante, ya que en este intervalo puede haber máximos, mínimos y discontinuidades. Hay maneras en que puedes relacionar el comportamiento de una función y un intervalo de esta para obtener ciertas conclusiones, como predecir si existen máximos o mínimos; esto lo veremos más adelante.
Ahora te explicaremos un poco sobre qué es un intervalo cerrado y un intervalo abierto.
Intervalos cerrados
Un intervalo cerrado se da cuando una función que existe sobre un dominio, toma los valores extremos de ese intervalo.
Por ejemplo, si el intervalo elegido de una función es \(x\in[3, 6]\) la función puede tomar cualquier valor entre \(3\) y \(6\). Pero, además, puede tomar los valores exactos de \(3\) y \(6\).
Para representar que el extremo pertenece al intervalo, se utilizan los corchetes.
Intervalos abiertos
Un intervalo abierto se da cuando una función que existe sobre un dominio no toma los valores extremos de ese intervalo.
Por ejemplo, si el intervalo elegido de una función es \(x\in(-10, 10)\), la función puede tomar cualquier valor entre \(-10\) y \(10\); pero, no puede tomar los valores de \(-10\) y \(10\).
Para representar que el extremo no pertenece al intervalo se utilizan los paréntesis.
También cabe decir que una función puede tener un intervalo que es abierto en un extremo y cerrado en otro; por ejemplo, el intervalo \(x\in(-10, 10]\). Estos intervalos se conocen como intervalos semiabiertos o semicerrados.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle nos dice que si una función \(f(x)\) es derivable en un intervalo abierto \((a,b)\) y su continuidad se ha asegurado en el intervalo cerrado \([a,b]\) —ya que no posee saltos o discontinuidades y, además, las imágenes de los extremos del intervalo son iguales \(f(a)=f(b)\)—, entonces debe haber un punto medio donde la pendiente de la recta tangente a la curva es cero \(x=0\).
Desglosemos la idea un poco:
Hay una función que es continua; es decir, sabes que todos los valores de \(x\) dentro del intervalo \([a,b]\) existen.
La función es derivable en todo el intervalo abierto \((a,b)\).
Las imágenes de los extremos son iguales \(f(a)=f(b)\).
Si una función cumple estos tres puntos, cumple el teorema de Rolle, y podemos decir que existe al menos un punto \(c\) en el intervalo \((a,b)\) con \(f'(c)=0\).
¿Recuerdas la condición de que la función fuese continua y derivable? Esto es importante, debido a que el punto máximo o mínimo podría ser una discontinuidad o, como en el caso de la función \(|x|\) donde la función es continua pero la derivada, no existe en \(x=0\).
Tres hipótesis (o condiciones) del Teorema de Rolle
Geométricamente hablando, si una función cumple los requisitos anteriores, entonces existe un punto de la función en el que la pendiente de la recta tangente es 0 (la recta tangente es horizontal).
Una función continua y diferenciable \(f(x)\), que tiene puntos \(a\) y \(b\) tales que \(f(a)=f(b)\), tiene al menos un punto \(c\) donde la pendiente de la recta tangente es \(0\).
Fig. 1. Los puntos \(A\) y \(B\) son puntos donde la función \(f(a)=f(b)\), debido a esto hay un punto donde la derivada de la recta tangente es \(0\) y este es \(c\).
En nuestro ejemplo inicial sobre caminar, el Teorema de Rolle dice que como empezamos y terminamos en el mismo lugar, debe haber habido un movimiento en el que hicimos un giro (la derivada es 0).
Teorema de Rolle y el teorema del valor medio
El teorema del valor medio afirma que, si una función \(f\) es:
Continua en el intervalo abierto \((a, b)\)
Diferenciable en el intervalo cerrado \([a, b]\)
. Entonces, existe un número \(c\) dentro de \((a,b)\), tal que \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
Geométricamente, esto significa que existe un punto \(c\) dentro de \((a,b)\) en el que la tangente a la curva es paralela a la recta que une los puntos \((a,f(a))\) con \((b,f(b))\).
Fig. 2. Visualización del teorema del valor medio donde se observa que la recta tangente al punto \(c\), es paralela a la recta que pasa por los puntos \(a\) y \(b\).
El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio. El Teorema de Rolle dice que si se cumplen los requisitos y hay puntos \(a\) y \(b\), tales que \(f(a)=f(b)\), o \(f(b)-f(a)=0\), entonces hay un punto \(c\) donde \(f'(c)=0\) . Si introducimos \(f(b)-f(a)\), la ecuación del teorema del valor medio para \(f'(c)\), obtenemos \(f'(c)\). Por tanto, el teorema de Rolle es el caso del teorema del valor medio donde \(f(b)=f(a)\).
Demostración del Teorema de Rolle
Supongamos que una función \(f(x)\) es continua en el intervalo \([a, b]\), diferenciable en el intervalo \((a, b)\) y \(f(a)=f(b)\). Por tanto, se cumplen los requisitos del Teorema de Rolle.
Debemos demostrar que la función \(f(x)\) tiene un punto donde \(f'(c)=0\). En otras palabras, el punto donde \(f'(c)=0\) ocurre es un valor máximo o mínimo (extremo) en el intervalo.
Sabemos que nuestra función \(f(x)\) tendrá extremos; por el teorema del valor extremo, que dice que si una función es continua, se garantiza que tiene un valor máximo y un valor mínimo en el intervalo.
Hay dos casos:
- La función es un valor constante (un segmento de línea horizontal).
- La función no es un valor constante.
Caso 1: La función es un valor constante
Esta función, que cumple los requisitos del Teorema de Rolle, tiene una derivada de 0 en todos los puntos.
Fig. 3. En una función constante el teorema de Rolle es siempre cierto, ya que la derivada será siempre igual a \(0\) y todos los puntos son iguales entre sí.
Todos los puntos de la función cumplen los requisitos del teorema de Rolle como \(f'(c)=0\) en todos los puntos.
Caso 2: La función no es un valor constante
Como la función no es un valor constante, debe cambiar de dirección para empezar y terminar en el mismo valor de la función. Por tanto, en algún lugar de la gráfica la función tendrá un mínimo, un máximo o ambos.
Fig. 4. En una función no constante, como el coseno, el teorema de Rolle es cierto si se escoge el dominio adecuado, ya que la derivada será siempre igual a 0 en sus máximos y mínimos.
Debemos demostrar que el mínimo o el máximo (o ambos) se producen cuando la derivada es igual a \(0\).
Los extremos no pueden ocurrir cuando \(f'(x)>0\), porque cuando \(f'(x)>0\), la función es creciente. En un valor extremo, la función no puede ser creciente.
- En un punto máximo, la función no puede ser creciente porque ya estamos en el valor máximo.
- En un punto mínimo, la función no puede ser creciente porque la función era un poco más pequeña a la izquierda de donde estamos ahora.
Como estamos en el valor mínimo, \(f'(x)\) no puede ser más pequeña que ahora.
El extremo no puede ocurrir cuando \(f'(x)<0\), porque la función es decreciente. En un valor extremo, la función no puede ser decreciente.
- En un valor máximo, la función no puede ser creciente porque lo que significa fue mayor un poco a la izquierda de donde estamos ahora. Como estamos en el valor máximo, no puede ser más grande de lo que es ahora.
- En un punto mínimo, la función no puede ser decreciente porque ya estamos en el valor mínimo.
Como \(f'(x)\) no es menor que 0 ni mayor que 0, \(f'(x)\) debe ser igual a 0.
Teorema de Rolle. Procedimiento paso a paso
Aunque no hay una fórmula explícita asociada al Teorema de Rolle, existe un proceso paso a paso para encontrar el punto \(c\).
- Asegúrate de que la función cumple el Teorema de Rolle: es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\) y diferenciable en el intervalo abierto \((a, b)\).
- Introduce \(a\) y \(b\) en la función para garantizar que \(f(a)=f(b)\).
- Si la función cumple todos los requisitos del Teorema de Rolle, entonces sabemos que tenemos garantizado al menos un punto \(c\) donde \(f'(c)=0\).
- Para encontrar \(c\), podemos fijar la primera derivada igual a 0 y resolver para \(x\).
Teorema de Rolle Ejemplos
Demuestra mediante el teorema de Rolle que \(f(x)=\cos(x)+2\) sobre \([0,2\pi]\) tiene al menos un valor tal que \(f'(c)=0\). A continuación, encuentra el valor máximo o mínimo de la función sobre el intervalo.
Solución
Paso 1: Asegurar que \(f(x)\) cumple los requisitos del teorema de Rolle.
Por naturaleza, sabemos que la función coseno es continua y diferenciable en todas partes.
Paso 2: Comprobar que \(f(a)=f(b)\).
Introduciendo \(x=0\) y \(x=2\pi\) en \(f(x)\).
\[\cos(0)+2=\cos(2\pi)+2\]
\[1+2=1+2\]
\[3=3\]
Como \(f(a)=f(b)=3\), podemos aplicar el teorema de Rolle.
Paso 3: Poner \(f'(x)=0\) para resolver \(x\).
Por el teorema de Rolle, tenemos garantizado al menos un punto donde \(f'(x)=0\). Así que podemos encontrarlo y hacerlo igual a \(0\).
\[f'(x)=-\sin(x)=0\]
\[\sin(x)=0\]
Utilizando nuestros conocimientos de trigonometría y de la circunferencia unitaria, sabemos que la función \(\sin(x)\) es igual a \(0\) cuando es \(x=0\) y es múltiplo de \(\pi\) . Sin embargo, el único múltiplo de \(\pi\) dentro de nuestro intervalo es \(\pi\).
Paso 4: Introducir los valores de \(c\) en \(f(x)\) para encontrar los valores máximos o mínimos de la función.
\[f(\pi)=\cos(\pi)+2=-1+2=1\]
\(f(x)\) tiene un punto crítico que es un mínimo en \(x=\pi\).
Si:
\[f(x)=x^3-x\]
¿El teorema de Rolle garantiza un valor \(c\) donde \(f'(x)=0\) en el intervalo \([-1, 1]\)? Justifica tu respuesta.
Solución
Para comprobar si podemos aplicar el Teorema de Rolle, debemos asegurarnos de que se cumplen los requisitos.
Paso 1: Comprobar si \(f(x)\) es continua y diferenciable.
Sabemos que \(f(x)\) es continua sobre el intervalo, dado que \(f(x)\) es un polinomio. También sabemos que es diferenciable sobre el intervalo, debido a que la función es derivable en todo su dominio.
Paso 2: Comprobar si \(f(-1)=f(1)\).
Cuando introducimos \(f(-1)\), obtenemos \(f(-1)=(-1)^3-(-1)=0\). Cuando introducimos \(f(1)\), obtenemos \(f(1)=1^3-1=0\).
Paso 3: aplicar el teorema de Rolle.
Como \(f(x)\), es continua sobre\([-1, 1]\), diferenciable sobre \((-1, 1)\) y \(f(-1)=f(1)=0\), entonces el teorema de Rolle nos dice que existe un número \(c\) tal que \(f'(c)=0\).
Teorema de Rolle - Puntos clave
- El Teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio en el que \(f(a)=f(b)\).
- El Teorema de Rolle afirma que si una función \(f(x)\):
- es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\),
- diferenciable en el intervalo abierto \((a,b)\),
- \(f(a)=f(b)\),
- entonces, existe al menos un número \(c\) tal que \(f'(c)=0\)
- Para aplicar el Teorema de Rolle:
- comprobar que se cumplen los requisitos de continuidad y derivabilidad,
- comprobar que los puntos extremos tienen la misma imagen,
- si los puntos anteriores se cumplen, podemos decir que se puede aplicar el teorema de Rolle.
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