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La derivación es un proceso que usa diferentes métodos para llegar a la derivada de una función; varios de ellos son los que corresponden a reglas para: funciones que se dividen entre ellas, funciones que se multiplican entre ellas o funciones compuestas. Estas componen algunas de las reglas de derivación…
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Jetzt kostenlos anmeldenLa derivación es un proceso que usa diferentes métodos para llegar a la derivada de una función; varios de ellos son los que corresponden a reglas para: funciones que se dividen entre ellas, funciones que se multiplican entre ellas o funciones compuestas. Estas componen algunas de las reglas de derivación más importantes.
Hay muchas reglas diferentes que se pueden utilizar al diferenciar, y cada regla se puede utilizar por una razón específica. Hay tres reglas diferentes que necesitarás conocer en este artículo:
Regla de la Cadena: la cual se refiere a funciones del tipo \(f(g(x))\).
Regla del producto: que corresponde a cuando se tiene dos funciones del tipo \(f(x) \cdot g(x) \).
Regla del Cociente: se refiere a la división de funciones, donde ambas pueden ser polinomios u otro tipo de función como \(\frac{f(x)}{g(x)}\).
Es importante tener en cuenta que no todas las fórmulas que aparecen a continuación están escritas en el cuaderno de fórmulas proporcionado y tendrás que memorizarlas para tu examen. Estas reglas y fórmulas serán introducidas a continuación.
La regla de la cadena puede utilizarse cuando se diferencia una función compuesta, que también se conoce como función de una función. La fórmula de esta regla es la siguiente:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]
Esto es cuando y es una función de \(u\) y \(u\) es una función de \(x\):
Veamos un ejemplo de ello:
Usando la regla de la cadena, diferencia la siguiente función: \(y=(2x^3+x)^6\).
Primero, puedes empezar reescribiendo en términos:
\[u=2x^3+x\]
\[y(u)=u^6\]
Ahora, puedes encontrar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena, diferenciando: \(y'(u)=6u^5\).
A continuación, puedes encontrar la segunda parte de la fórmula de la regla de la cadena, diferenciando:
\[\dfrac{du}{dx}=6x^2+1\]
Ahora que has encontrado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas, para encontrar:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]
\[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 \times (6x^2 +1)\]
\[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 (6x^2+1)\]
Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de \(x\), y para ello puedes utilizar: \(u=2x^3+x\).
Con lo cual tienes: \(\dfrac{dy}{dx}= 6 (2x^3+x)^5 (6x^2+1)\).
La regla de la cadena también se puede escribir en forma de notación, lo que te permite diferenciar una función compuesta.
Si la función es \(y=f(g(x))\), entonces su derivada es \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).
La regla del producto se utiliza cuando se diferencia el producto de dos funciones.
El producto de una función puede definirse como la multiplicación de dos funciones.
Cuando se utiliza esta regla, hay que asegurarse de que se trata del producto de dos funciones y no de una función de una función, ya que se pueden confundir.
Si tenemos la siguiente función que, es la multiplicación de dos funciones: \(y=u \cdot v\).
Entonces, la derivada de la función es: \(y'=u'v+uv'\).
Es decir: \(y=uv\), \(v=f(x), u=h(x)\).
Esta función también se puede escribir en notación de función:
\[f(x)=g(x)h(x)\]
\[f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\]
Si se tiene \(y=2xe^2\), encuentra la derivada.
Para ello, puedes empezar por mirar la fórmula e identificar lo que necesitas:
\[y'=u'v+uv'\]
\[u=2x\]
\[v=e^2\]
Ahora, puedes diferenciar ambas funciones para encontrar sus Derivadas:
\[u'=2\]
\[v'=0\]
Introduce toda la información en la fórmula, para encontrar:
\[y'=(2x)(0)+(e^2)(2)\]
\[y'=2e^2\]
La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones; es decir, cuando una función se divide por otra. La fórmula utilizada para esta regla es la siguiente, esto es cuando se tiene:
\[y=\dfrac{u}{v}\]
y por lo tanto: \(y'=\dfrac{u'v+uv'}{v^2}\).
Esto también se puede escribir en notación de funciones como:
\[f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\]
\[f'(x)=\dfrac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\]
Si se tiene \(y=\frac{2x}{3x+4}\), encuentra la derivada.
En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:
\[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]
\[u=2x\]
\[u'=2\]
\[v=3x+4\]
\[v'=3\]
Ahora, simplemente sustituyes:
\[y'=\dfrac{(3x+4) \cdot (2) - (2x) \cdot 3 }{(3x+4)^2}\]
\[y'=\dfrac{8}{(3x+4)^2}\]
Un caso muy especial es cuando se tiene una función trigonométrica, por ejemplo:
Deriva la siguiente función: \(f(x)=\dfrac{ \cos(x)}{ \sin(x)}\).
En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:
\[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]
\[u= \cos(x)\]
\[u'= - \sin(x)\]
\[v= \sin(x)\]
\[v= \sin(x)\]
\[v'=\cos(x)\]
Si sustituimos cada término de regreso, tenemos:
\[y'=\dfrac{\sin(x) \cdot (- \sin(x)) - \cos(x) \cdot (\cos(x)) }{ \sin^2(x)}\]
Y, simplificando:
\[y'=\dfrac{- \sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)}=- \dfrac{1}{ \sin^2(x)}\]
Hagamos algunos ejemplos de las regla del producto.
Deriva \(y=\sin(x) \cdot x^2\)
Aquí las funciones son:
\[u=\sin(x)\]
\[v=x^2\]
Si aplicamos la fórmula, obtenemos: \(y'=(\cos(x)) \cdot x^2 + 2x \cdot (\sin(x))\).
Deriva \(y=e^{2x}\sin^2(x)\)
Aquí las funciones son:
\[u=e^{2x}\]
\[v=sin^2(x)\]
Este es un caso especial, ya que también debes usar la fórmula de la cadena, puesto que la función seno está elevada al cuadrado.
\[u'=2e^{2x}\]
\[v'=2 \sin(x) \cos(x)\]
Sustituyendo de regreso, tenemos:
\[y'=2e^{2x} \sin^2(x) + e^{2x} 2 \sin(x) \cos(x)\]
Encuentra la derivada de \(y=e^{\sin^2 (x)}\) .
Aquí debemos identificar la funciones, en términos de la otra.
Primero, la exponencial está en términos de un seno al cuadrado, por lo que esto se puede escribir como: \(y=e^u\).
y la otra función es: \(u=\sin^2(x)\).
Si aplicamos la regla de la cadena, \(\dfrac{dy}{du}=e^u du\).
Pero, la derivada de la nueva función \(u\) es: \(du=2 \sin(x) \cos(x)\).
Así que se tiene: \(y'=2 \sin(x) \cos(x)e^{\sin^2 (x)}\).
Para que te sea más sencillo, podríamos introducir una tabla con las formulas principales que usarás en tus exámenes y ejercicios:
Regla | Fórmula |
Cadena | \[y=f(g(x)), y'=f'(g(x))g'(x)\] |
Producto | \[y=f(x)g(x), y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\] |
Cociente | \[\dfrac{f(x)}{g(x)},y'=\dfrac{f(x)g'(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\] |
Tabla 1: Reglas de la cadena, multiplicación y cociente para Derivadas.
No hay una regla más importante a la hora de derivar; en general, cada regla se utiliza cuando es necesario, dependiendo de si la función a derivar es un producto de funciones, un cociente de funciones o una función compuesta.
Hay tres reglas importantes para calcular las derivadas, que son:
La derivada de una función que proporciona el valor de la pendiente de la curva en cada punto de la función original.
Las reglas de derivación son tres:
La regla del producto
La regla del cociente
La regla de la cadena.
Tarjetas en Reglas de Derivación50+
Empieza a aprenderLa regla de la cadena de una regla del producto. ¿Verdadero o falso?
Verdadero.
La regla de la cadena de una regla de la suma. ¿Verdadero o falso?
Falso.
¿Qué tipo de funciones se pueden resolver con las regla de la cadena?
Ambas son correctas.
Usando la regla de la cadena, deriva la función: \((2x^2+3)^2\).
\(2(2x^2+3)(4x)\).
Usando la regla de la cadena, deriva la función: \(Sen(2x^2+3)\).
\( \cos (2x^2+3) \cdot 4x\).
Usando la regla del producto, deriva la función: \(Sen(x)Cos(x)\).
\(-Sen(x)Sen(x)+Cos(x)Cos(x)\).
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