Reglas de Derivación

La derivación es un proceso que usa diferentes métodos para llegar a la derivada de una función; varios de ellos son los que corresponden a reglas para: funciones que se dividen entre ellas, funciones que se multiplican entre ellas o funciones compuestas. Estas componen algunas de las reglas de derivación más importantes.

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Índice de temas
    • En primer lugar aprenderemos los nombres de las tres reglas básicas de derivación.
    • Luego aprenderemos la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
    • Después veremos algunos ejemplos usando estas reglas de derivación.
    • Por último, tendremos una tabla con las reglas de derivación a modo de formulario.

    Reglas básicas de derivación

    Hay muchas reglas diferentes que se pueden utilizar al diferenciar, y cada regla se puede utilizar por una razón específica. Hay tres reglas diferentes que necesitarás conocer en este artículo:

    • Regla del producto: que corresponde a cuando se tiene dos funciones del tipo \(f(x) \cdot g(x) \).

    • Regla del cociente: se refiere a la división de funciones, donde ambas pueden ser polinomios u otro tipo de función como \(\frac{f(x)}{g(x)}\).

    Es importante tener en cuenta que no todas las fórmulas que aparecen a continuación están escritas en el cuaderno de fórmulas proporcionado y tendrás que memorizarlas para tu examen. Estas reglas y fórmulas serán introducidas a continuación.

    Reglas de la derivación: la regla de la cadena

    La regla de la cadena puede utilizarse cuando se diferencia una función compuesta, que también se conoce como función de una función. La fórmula de esta regla es la siguiente:

    \[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]

    Esto es cuando y es una función de \(u\) y \(u\) es una función de \(x\):

    Veamos un ejemplo de ello:

    Usando la regla de la cadena, diferencia la siguiente función: \(y=(2x^3+x)^6\).

    Primero, puedes empezar reescribiendo en términos:

    \[u=2x^3+x\]

    \[y(u)=u^6\]

    Ahora, puedes encontrar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena, diferenciando: \(y'(u)=6u^5\).

    A continuación, puedes encontrar la segunda parte de la fórmula de la regla de la cadena, diferenciando:

    \[\dfrac{du}{dx}=6x^2+1\]

    Ahora que has encontrado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas, para encontrar:

    \[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]

    \[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 \times (6x^2 +1)\]

    \[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 (6x^2+1)\]

    Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de \(x\), y para ello puedes utilizar: \(u=2x^3+x\).

    Con lo cual tienes: \(\dfrac{dy}{dx}= 6 (2x^3+x)^5 (6x^2+1)\).

    La regla de la cadena también se puede escribir en forma de notación, lo que te permite diferenciar una función compuesta.

    Si la función es \(y=f(g(x))\), entonces su derivada es \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).

    Reglas de derivación: la regla del producto

    La regla del producto se utiliza cuando se diferencia el producto de dos funciones.

    El producto de una función puede definirse como la multiplicación de dos funciones.

    Cuando se utiliza esta regla, hay que asegurarse de que se trata del producto de dos funciones y no de una función de una función, ya que se pueden confundir.

    Si tenemos la siguiente función que, es la multiplicación de dos funciones: \(y=u \cdot v\).

    Entonces, la derivada de la función es: \(y'=u'v+uv'\).

    Es decir: \(y=uv\), \(v=f(x), u=h(x)\).

    Esta función también se puede escribir en notación de función:

    \[f(x)=g(x)h(x)\]

    \[f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\]

    Si se tiene \(y=2xe^2\), encuentra la derivada.

    Para ello, puedes empezar por mirar la fórmula e identificar lo que necesitas:

    \[y'=u'v+uv'\]

    \[u=2x\]

    \[v=e^2\]

    Ahora, puedes diferenciar ambas funciones para encontrar sus derivadas:

    \[u'=2\]

    \[v'=0\]

    Introduce toda la información en la fórmula, para encontrar:

    \[y'=(2x)(0)+(e^2)(2)\]

    \[y'=2e^2\]

    Reglas de derivación, división de funciones o cocientes

    La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones; es decir, cuando una función se divide por otra. La fórmula utilizada para esta regla es la siguiente, esto es cuando se tiene:

    \[y=\dfrac{u}{v}\]

    y por lo tanto: \(y'=\dfrac{u'v+uv'}{v^2}\).

    Esto también se puede escribir en notación de funciones como:

    \[f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\]

    \[f'(x)=\dfrac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\]

    Si se tiene \(y=\frac{2x}{3x+4}\), encuentra la derivada.

    En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:

    \[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

    \[u=2x\]

    \[u'=2\]

    \[v=3x+4\]

    \[v'=3\]

    Ahora, simplemente sustituyes:

    \[y'=\dfrac{(3x+4) \cdot (2) - (2x) \cdot 3 }{(3x+4)^2}\]

    \[y'=\dfrac{8}{(3x+4)^2}\]

    Algunos ejemplos usando reglas de derivación

    Regla del cociente

    Un caso muy especial es cuando se tiene una función trigonométrica, por ejemplo:

    Deriva la siguiente función: \(f(x)=\dfrac{ \cos(x)}{ \sin(x)}\).

    En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:

    \[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

    \[u= \cos(x)\]

    \[u'= - \sin(x)\]

    \[v= \sin(x)\]

    \[v= \sin(x)\]

    \[v'=\cos(x)\]

    Si sustituimos cada término de regreso, tenemos:

    \[y'=\dfrac{\sin(x) \cdot (- \sin(x)) - \cos(x) \cdot (\cos(x)) }{ \sin^2(x)}\]

    Y, simplificando:

    \[y'=\dfrac{- \sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)}=- \dfrac{1}{ \sin^2(x)}\]

    Regla del producto

    Hagamos algunos ejemplos de las regla del producto.

    Deriva \(y=\sin(x) \cdot x^2\)

    Aquí las funciones son:

    \[u=\sin(x)\]

    \[v=x^2\]

    Si aplicamos la fórmula, obtenemos: \(y'=(\cos(x)) \cdot x^2 + 2x \cdot (\sin(x))\).

    Deriva \(y=e^{2x}\sin^2(x)\)

    Aquí las funciones son:

    \[u=e^{2x}\]

    \[v=sin^2(x)\]

    Este es un caso especial, ya que también debes usar la fórmula de la cadena, puesto que la función seno está elevada al cuadrado.

    \[u'=2e^{2x}\]

    \[v'=2 \sin(x) \cos(x)\]

    Sustituyendo de regreso, tenemos:

    \[y'=2e^{2x} \sin^2(x) + e^{2x} 2 \sin(x) \cos(x)\]

    Regla de la cadena

    Encuentra la derivada de \(y=e^{\sin^2 (x)}\) .

    Aquí debemos identificar la funciones, en términos de la otra.

    Primero, la exponencial está en términos de un seno al cuadrado, por lo que esto se puede escribir como: \(y=e^u\).

    y la otra función es: \(u=\sin^2(x)\).

    Si aplicamos la regla de la cadena, \(\dfrac{dy}{du}=e^u du\).

    Pero, la derivada de la nueva función \(u\) es: \(du=2 \sin(x) \cos(x)\).

    Así que se tiene: \(y'=2 \sin(x) \cos(x)e^{\sin^2 (x)}\).

    Tabla con las reglas de la derivación

    Para que te sea más sencillo, podríamos introducir una tabla con las formulas principales que usarás en tus exámenes y ejercicios:

    ReglaFórmula
    Cadena\[y=f(g(x)), y'=f'(g(x))g'(x)\]
    Producto\[y=f(x)g(x), y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\]
    Cociente\[\dfrac{f(x)}{g(x)},y'=\dfrac{f(x)g'(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\]

    Tabla 1: Reglas de la cadena, multiplicación y cociente para derivadas.

    Reglas de Derivación - Puntos clave

    • Hay tres reglas de diferenciación principales: la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
    • Cada regla se usa por una razón diferente y tiene una fórmula diferente.
    • La regla de la cadena se utiliza cuando estás diferenciando una función compuesta: \[y=f(g(x)), y'=f'(g(x))g'(x)\]
    • La regla del producto se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones: \[y=f(x)g(x), y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\]
    • La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones: \[\dfrac{f(x)}{g(x)},y'=\dfrac{f(x)g'(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\]
    Preguntas frecuentes sobre Reglas de Derivación

    ¿Cuál es la regla de derivación más importante?

    No hay una regla más importante a la hora de derivar; en general, cada regla se utiliza cuando es necesario, dependiendo de si la función a derivar es un producto de funciones, un cociente de funciones o una función compuesta.

    ¿Cuáles son las reglas de las derivadas?

    Hay tres reglas importantes para calcular las derivadas, que son:

    • La regla de cociente:  f'(x)=(u'v-uv')/v2
    • La regla del producto:  f'(x)=u'v+uv'
    • La regla de la cadena:  f'(x)=(g(h(x))'=g'(x)h'(x)

    ¿Qué es la derivada?

    La derivada de una función que proporciona el valor de la pendiente de la curva en cada punto de la función original. 

    ¿Cuántas son las reglas de derivación?

    Las reglas de derivación son tres:

    La regla del producto

    La regla del cociente

    La regla de la cadena.

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    ¿Qué tipo de funciones se pueden resolver con las regla de la cadena?

    ¿Cuál es el tipo de funciones que se pueden resolver con la regla de producto?

    ¿Cuál es el tipo de funciones que se pueden resolver con la regla de cociente?

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