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Reglas de Derivación

Reglas de Derivación

La derivación es un proceso que usa diferentes métodos para llegar a la derivada de una función; varios de ellos son los que corresponden a reglas para: funciones que se dividen entre ellas, funciones que se multiplican entre ellas o funciones compuestas. Estas componen algunas de las reglas de derivación más importantes.

Reglas básicas de derivación

Hay muchas reglas diferentes que se pueden utilizar al diferenciar, y cada regla se puede utilizar por una razón específica. Hay tres reglas diferentes que necesitarás conocer en este artículo:

  • Regla de la cadena: la cual se refiere a funciones del tipo \(f(g(x))\).

  • Regla del producto: que corresponde a cuando se tiene dos funciones del tipo \(f(x) \cdot g(x) \).

  • Regla del cociente: se refiere a la división de funciones, donde ambas pueden ser polinomios u otro tipo de función como \(\frac{f(x)}{g(x)}\).

Es importante tener en cuenta que no todas las fórmulas que aparecen a continuación están escritas en el cuaderno de fórmulas proporcionado y tendrás que memorizarlas para tu examen. Estas reglas y fórmulas serán introducidas a continuación.

Reglas de la derivación: la regla de la cadena

La regla de la cadena puede utilizarse cuando se diferencia una función compuesta, que también se conoce como función de una función. La fórmula de esta regla es la siguiente:

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]

Esto es cuando y es una función de \(u\) y \(u\) es una función de \(x\):

Veamos un ejemplo de ello:

Usando la regla de la cadena, diferencia la siguiente función: \(y=(2x^3+x)^6\).

Primero, puedes empezar reescribiendo en términos:

\[u=2x^3+x\]

\[y(u)=u^6\]

Ahora, puedes encontrar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena, diferenciando: \(y'(u)=6u^5\)

A continuación, puedes encontrar la segunda parte de la fórmula de la regla de la cadena, diferenciando:

\[\dfrac{du}{dx}=6x^2+1\]

Ahora que has encontrado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas, para encontrar:

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]

\[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 \times (6x^2 +1)\]

\[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 (6x^2+1)\]

Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de \(x\), y para ello puedes utilizar: \(u=2x^3+x\)

Con lo cual tienes: \(\dfrac{dy}{dx}= 6 (2x^3+x)^5 (6x^2+1)\)

La regla de la cadena también se puede escribir en forma de notación, lo que te permite diferenciar una función de una función:

si: \(y=f(g(x))\)

entonces: \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\)

Reglas de derivación: la regla del producto

La regla del producto se utiliza cuando se diferencia el producto de dos funciones.

El producto de una función puede definirse como la multiplicación de dos funciones.

Cuando se utiliza esta regla, hay que asegurarse de que se trata del producto de dos funciones y no de una función de una función, ya que se pueden confundir.

Si tenemos la siguiente función que, es la multiplicación de dos funciones: \(y=u \cdot v\)

Entonces, la derivada de la función es: \(y'=u'v+uv'\)

es decir: \(y=uv\), \(v=f(x), u=h(x)\).

Esta función también se puede escribir en notación de función:

\[f(x)=g(x)h(x)\]

\[f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\]

Si se tiene \(y=2xe^2\), encuentra la derivada.

Para ello, puedes empezar por mirar la fórmula e identificar lo que necesitas:

\[y'=u'v+uv'\]

\[u=2x\]

\[v=e^2\]

Ahora, puedes diferenciar ambas funciones para encontrar sus derivadas:

\[u'=2\]

\[v'=0\]

Introduce toda la información en la fórmula, para encontrar:

\[y'=(2x)(0)+(e^2)(2)\]

\[y'=2e^2\]

Reglas de derivación, división de funciones o cocientes

La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones; es decir, cuando una función se divide por otra. La fórmula utilizada para esta regla es la siguiente, esto es cuando se tiene:

\[y=\dfrac{u}{v}\]

y por lo tanto: \(y'=\dfrac{u'v+uv'}{v^2}\).

Esto también se puede escribir en notación de funciones como:

\[f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\]

\[f'(x)=\dfrac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\]

Si se tiene \(y=\frac{2x}{3x+4}\), encuentra la derivada.

En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:

\[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

\[u=2x\]

\[u'=2\]

\[v=3x+4\]

\[v'=3\]

Ahora, simplemente sustituyes:

\[y'=\dfrac{(3x+4) \cdot (2) - (2x) \cdot 3 }{(3x+4)^2}\]

\[y'=\dfrac{8}{(3x+4)^2}\]

Algunos ejemplos usando reglas de derivación

Regla del cociente

Un caso muy especial es cuando se tiene una función trigonométrica, por ejemplo:

Deriva la siguiente función: \(f(x)=\dfrac{ \cos(x)}{ \sin(x)}\).

En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:

\[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]

\[u= \cos(x)\]

\[u'= - \sin(x)\]

\[v= \sin(x)\]

\[v= \sin(x)\]

\[v'=\cos(x)\]

Si sustituimos cada término de regreso, tenemos:

\[y'=\dfrac{\sin(x) \cdot (- \sin(x)) - \cos(x) \cdot (\cos(x)) }{ \sin^2(x)}\]

Y, simplificando: \(y'=\dfrac{- \sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)}=- \dfrac{1}{ \sin^2(x)}\)

Regla del producto

Hagamos algunos ejemplos de las regla del producto.

Deriva \(y=\sin(x) \cdot x^2\)

Aquí las funciones son:

\[u=\sin(x)\]

\[v=x^2\]

Si aplicamos la fórmula, obtenemos: \(y'=(\cos(x)) \cdot x^2 + 2x \cdot (\sin(x))\)

Deriva \(y=e^{2x}\sin^2(x)\)

Aquí las funciones son:

\[u=e^{2x}\]

\[v=sin^2(x)\]

Este es un caso especial, ya que también debes usar la fórmula de la cadena, puesto que la función seno está elevada al cuadrado.

\[u'=2e^{2x}\]

\[v'=2 \sin(x) \cos(x)\]

Sustituyendo de regreso, tenemos:

\[y'=2e^{2x} \sin^2(x) + e^{2x} 2 \sin(x) \cos(x)\]

Regla de la cadena

Encuentra la derivada de \(y=e^{\sin^2 (x)}\) .

Aquí debemos identificar la funciones, en términos de la otra.

Primero, la exponencial está en términos de un seno al cuadrado, por lo que esto se puede escribir como: \(y=e^u\).

y la otra función es: \(u=\sin^2(x)\).

Si aplicamos la regla de la cadena, \(\dfrac{dy}{du}=e^u du\).

Pero, la derivada de la nueva función \(u\) es: \(du=2 \sin(x) \cos(x)\).

Así que se tiene: \(y'=2 \sin(x) \cos(x)e^{\sin^2 (x)}\).

Tabla con las reglas de la derivación

Para que te sea más sencillo, podríamos introducir una tabla con las formulas principales que usarás en tus exámenes y ejercicios:

ReglaFórmula
Cadena\[y=f(g(x)), y'=f'(g(x))g'(x)\]
Producto\[y=f(x)g(x), y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\]
Cociente\[\dfrac{f(x)}{g(x)},y'=\dfrac{f(x)g'(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\]

Tabla 1: Reglas de la cadena, multiplicación y cociente para derivadas.

Reglas de Derivación - Puntos clave

  • Hay tres reglas de diferenciación principales: la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
  • Cada regla se usa por una razón diferente y tiene una fórmula diferente.
  • La regla de la cadena se utiliza cuando estás diferenciando una función compuesta: \[y=f(g(x)), y'=f'(g(x))g'(x)\]
  • La regla del producto se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones: \[y=f(x)g(x), y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\]
  • La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones: \[\dfrac{f(x)}{g(x)},y'=\dfrac{f(x)g'(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\]

Preguntas frecuentes sobre Reglas de Derivación

No hay una regla más importante a la hora de derivar; en general, cada regla se utiliza cuando es necesario, dependiendo de si la función a derivar es un producto de funciones, un cociente de funciones o una función compuesta.

Hay tres reglas importantes, que son:

  • La regla de cociente:  f'(x)=(u'v-uv')/v2
  • La regla del producto:  f'(x)=u'v+uv'
  • La regla de la cadena:  f'(x)=(g(h(x))'=g'(x)h'(x)

La derivada de una función que proporciona el valor de la pendiente de la curva en cada punto de la función original. 

Las reglas de derivación son tres:

La regla del producto

La regla del cociente

La regla de la cadena.

Cuestionario final de Reglas de Derivación

Pregunta

La regla de la cadena de una regla del producto. ¿Verdadero o falso?



Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

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Pregunta

La regla de la cadena de una regla de la suma. ¿Verdadero o falso?



Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

¿Qué tipo de funciones se pueden resolver con las regla de la cadena?



Mostrar respuesta

Answer

Ambas son correctas.


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Pregunta

Usando la regla de la cadena, deriva  la función: \((2x^2+3)^2\).

Mostrar respuesta

Answer

\(2(2x^2+3)(4x)\).

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Pregunta

Usando la regla de la cadena, deriva  la función: \(Sen(2x^2+3)\).

Mostrar respuesta

Answer

\( \cos (2x^2+3) \cdot 4x\).

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Pregunta

Usando la regla del producto, deriva la función: \(Sen(x)Cos(x)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(-Sen(x)Sen(x)+Cos(x)Cos(x)\).

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Pregunta

Usando la regla del producto y la de la cadena, deriva la función: \(x^2 Sen(2x)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(x^2 Cos(2x)(2)-2xSen(2x)\).

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Pregunta

La regla del cociente es una regla de derivación. ¿Verdadero o falso?



Mostrar respuesta

Answer

Verdadero

Show question

Pregunta

¿Cuál es el tipo de funciones que se pueden resolver con la regla de producto?



Mostrar respuesta

Answer

\(f(x)g(x)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el tipo de funciones que se pueden resolver con la regla de cociente?



Mostrar respuesta

Answer

\(f(x)/g(x)\).

Show question

Pregunta

Usando la regla del producto, deriva la función \(-Sen(x) (-Cos(x))\).

Mostrar respuesta

Answer

\(-Cos^2(x)-Sen^2(x)\).

Show question

Pregunta

¿Qué es la regla de la cadena?


Mostrar respuesta

Answer

La regla de la cadena es una de las reglas utilizadas en la diferenciación; puede utilizarse para diferenciar una función compuesta.

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Pregunta

¿Qué es una función compuesta?


Mostrar respuesta

Answer

Es una función que se compone de otras funciones.

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Pregunta


La función \(Sen(ln(x))\) es una función compuesta. ¿Verdadero o falso?.

   


Mostrar respuesta

Answer

 Verdadero.

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Pregunta

La regla de la cadena genera:


Mostrar respuesta

Answer

Producto de las derivadas.

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Pregunta


Resuelve la derivada de \(Sen(x^2)\). 


Recuerda que cualquier término dentro de \(Sen()\) puede ser indicado como \(Sen(u)\).


Mostrar respuesta

Answer

\( 2x(Cos(x^2)) \)

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Pregunta

Resuelve la derivada de \(Cos(x^2+x)\)


Recuerda que cualquier término dentro de \(Cos()\) puede ser indicado como \(Cos(u)\) incluso sumas, así que \(ax+b=u\).


Mostrar respuesta

Answer

\(-sen(x^2+x)(2x+1)\)

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Pregunta

Resuelve la integral de \((9x^2)e^{x^3}\), apoyándote en la regla de la cadena.








Mostrar respuesta

Answer

La integral es:


\[3e^{x^3}\]

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Pregunta

Resuelve la derivada siguiente: \(Tan(x^5)\).


Mostrar respuesta

Answer

\(-sec^2(x^5)(5x^4)\)

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Pregunta

La función \(3x^2\) es una función compuesta. ¿Verdadero o falso?


Mostrar respuesta

Answer

Falso.

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Pregunta


La función \(ln(x^2+Sen(x))\) es una función compuesta. ¿Verdadero o falso?


Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

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Pregunta


La regla de la cadena es una regla para derivar funciones más complejas. ¿Verdadero o falso?


Mostrar respuesta

Answer

Verdadero: nos permite derivar funciones compuestas.

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Pregunta

¿Qué es la regla del cociente?

Mostrar respuesta

Answer

La regla del cociente es una regla que se utiliza cuando se diferencia una función cociente.

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula de la regla del cociente?

Mostrar respuesta

Answer

\[\left({{f(x)}\over{g(x)}}\right)'={{f’(x)g(x)-f(x)g’(x)}\over{g^2(x)}}\]

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Pregunta

Un ejemplo de un cociente de funciones es:

Mostrar respuesta

Answer

\(x^2\).

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Pregunta

¿Es la función \(h(x)={{f(x)}\over{g(x)}}\) un cociente de funciones?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, aquí \(f(x)\) y \(g(x)\) son cualquier función distinta de 0

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Pregunta

¿Es la función \(h(x)={{1}\over{x^2}}\) un cociente de funciones?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, una función es \(f(x)=1\) y la otra es \(g(x)=x^2\).

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Pregunta

Escribe la forma común de la fórmula del cociente.

Mostrar respuesta

Answer

\[\left({{u}\over{v}}\right)={{u’v-uv’}\over{v^2}}\]

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Pregunta

¿Se puede llegar a la fórmula del cociente desde la fórmula del producto? 

¿Escoge sí o no? y explica por qué. 

Mostrar respuesta

Answer

Sí, ya que el cociente de dos funciones puede ser expresado como el producto de una función inversa y una función normal.

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Pregunta

Encuentra la de derivada de \(h(x)={{x^2+x}\over{\cos(x)}}\).

Mostrar respuesta

Answer

\[\dfrac{2x\cos(x)+\cos(x)+x^2\sin(x)+x\sin(x)}{\cos^2(x)}\]

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Pregunta

Encuentra la de derivada de \(h(x)={{3x^2}\over{\sin(x)}}\).

Mostrar respuesta

Answer

\[\dfrac{6x\sin(x)-3x^2\cos(x)}{\sin^2(x)}\]

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Pregunta

¿Podrías encontrar la derivada de \(\tan(x)\) usando la regla del cociente?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, ya que la función \(\tan(x)\) es igual a \({{\sin(x)}\over{\cos(x)}}\)

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Pregunta

¿Podrías encontrar la derivada de \(\sec(x)\) usando la regla del cociente?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, ya que la función \(\sec(x)\) es igual a \({{1}\over{\cos(x)}}\)

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Pregunta

Supón por un momento que posees polinomios en forma de un cociente, ¿qué podría simplificar tu derivación?

Mostrar respuesta

Answer

Una posible factorización que reduzca las funciones.

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Pregunta

¿Podrías encontrar la derivada de \(x^{-5}\) usando la regla del cociente?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, ya que la función es puede ser expresada como \(h(x)={{1}\over{x^{5}}}\) , siendo el resultado \(\dfrac{-5}{x^6}\)

Show question

Pregunta

¿Podrías encontrar la derivada de \(\csc(x)\) usando la regla del cociente?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, ya que la función \(\csc(x)\) es igual a \({{1}\over{\sin(x)}}\) , siendo el resultado \(\dfrac{-\cos(x)}{\sin^2(x)}\).

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Pregunta

¿Qué método crees que podría ser útil para encontrar la siguiente derivada \(h(x)={\cos(x)}\over{\sin(x)}\) ?

Mostrar respuesta

Answer

Sustitución directa de la derivada de \(\cot(x)\).

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Pregunta

La regla del producto se aplica cuando:

Mostrar respuesta

Answer

Se tiene un producto de dos funciones.

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Pregunta

La regla de producto es igual a \( {{d}\over{dx}}(f(x)g(x))=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \). ¿Falso o verdadero?

Mostrar respuesta

Answer

Falso.

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Pregunta

¿Cuál es la regla del producto?

Mostrar respuesta

Answer

\( {{d}\over{dx}}f(x)g(x)=f’(x)g(x)-f(x)g’(x) \).

Show question

Pregunta

Si se tienen dos polinomios multiplicándose, ¿qué métodos puedes aplicar para obtener su derivada?

Mostrar respuesta

Answer

Expandirlos y obtener la derivada del polinomio resultante.

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Pregunta

¿Se puede aplicar la regla del producto entre funciones que no son polinomios?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, cualesquiera funciones.

Show question

Pregunta

¿Se puede aplicar la regla del producto en el siguiente caso: \(f(x)=ln(x)\) y \(g(x)=x^2+\sin(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí.

Show question

Pregunta

Obtén los términos para la regla del producto de las siguientes funciones:

\(f(x)={{1}\over{x^2}}\)  y  \(g(x)=\cos(x)\)

Mostrar respuesta

Answer

\(g’(x)=-\sin(x), f’(x)= {{-2}\over{x^3}}\)

Show question

Pregunta

Obtén los términos para la regla del producto de las siguientes funciones:

\(f(x)=x^3+2x+3\)  y \(g(x)=ln(x)\)

Mostrar respuesta

Answer

\(g’(x)={{1}\over{x}}, f’(x)= 3x^2+2\)

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Pregunta

¿Se podría aplicar la regla del producto a las funciones: \(g(x)={{1}\over{x^5}}\) y \(f(x)=\tan(x)\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, si se toma la función \(g(x)={{1}\over{x^5}}\) como \(g(x)=x^{-5}\).

Show question

Pregunta

Deriva las siguientes funciones: \(f(x)=x^4+2x+x^3\) por \(g(x)=ln(x)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(2 + x^2 + x^3 + (2 + 3 x^2 + 4 x^3) \ln(x)\)

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Pregunta

¿Podrías decir que el método del producto es más fácil que la multiplicación?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que es más ordenado.

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Pregunta

¿Se puede obtener la derivada de \(\tan(x)\) usando la regla de producto?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que \(\tan(x)\) es igual a \({{\sin(x)}\over{\cos(x)}}=\sin(x)\cos^{-1}(x)\).

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Pregunta

Escribe la forma general de la regla del producto

Mostrar respuesta

Answer

\((uv)'=u'v+uv'\)

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