La derivación es un proceso que usa diferentes métodos para llegar a la derivada de una función; varios de ellos son los que corresponden a reglas para: funciones que se dividen entre ellas, funciones que se multiplican entre ellas o funciones compuestas. Estas componen algunas de las reglas de derivación más importantes.
- En primer lugar aprenderemos los nombres de las tres reglas básicas de derivación.
- Luego aprenderemos la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
- Después veremos algunos ejemplos usando estas reglas de derivación.
- Por último, tendremos una tabla con las reglas de derivación a modo de formulario.
Reglas básicas de derivación
Hay muchas reglas diferentes que se pueden utilizar al diferenciar, y cada regla se puede utilizar por una razón específica. Hay tres reglas diferentes que necesitarás conocer en este artículo:
Es importante tener en cuenta que no todas las fórmulas que aparecen a continuación están escritas en el cuaderno de fórmulas proporcionado y tendrás que memorizarlas para tu examen. Estas reglas y fórmulas serán introducidas a continuación.
Reglas de la derivación: la regla de la cadena
La regla de la cadena puede utilizarse cuando se diferencia una función compuesta, que también se conoce como función de una función. La fórmula de esta regla es la siguiente:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]
Esto es cuando y es una función de \(u\) y \(u\) es una función de \(x\):
Veamos un ejemplo de ello:
Usando la regla de la cadena, diferencia la siguiente función: \(y=(2x^3+x)^6\).
Primero, puedes empezar reescribiendo en términos:
\[u=2x^3+x\]
\[y(u)=u^6\]
Ahora, puedes encontrar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena, diferenciando: \(y'(u)=6u^5\).
A continuación, puedes encontrar la segunda parte de la fórmula de la regla de la cadena, diferenciando:
\[\dfrac{du}{dx}=6x^2+1\]
Ahora que has encontrado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas, para encontrar:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \times \dfrac{du}{dx}\]
\[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 \times (6x^2 +1)\]
\[\dfrac{dy}{dx}= 6u^5 (6x^2+1)\]
Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de \(x\), y para ello puedes utilizar: \(u=2x^3+x\).
Con lo cual tienes: \(\dfrac{dy}{dx}= 6 (2x^3+x)^5 (6x^2+1)\).
La regla de la cadena también se puede escribir en forma de notación, lo que te permite diferenciar una función compuesta.
Si la función es \(y=f(g(x))\), entonces su derivada es \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).
Reglas de derivación: la regla del producto
La regla del producto se utiliza cuando se diferencia el producto de dos funciones.
El producto de una función puede definirse como la multiplicación de dos funciones.
Cuando se utiliza esta regla, hay que asegurarse de que se trata del producto de dos funciones y no de una función de una función, ya que se pueden confundir.
Si tenemos la siguiente función que, es la multiplicación de dos funciones: \(y=u \cdot v\).
Entonces, la derivada de la función es: \(y'=u'v+uv'\).
Es decir: \(y=uv\), \(v=f(x), u=h(x)\).
Esta función también se puede escribir en notación de función:
\[f(x)=g(x)h(x)\]
\[f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\]
Si se tiene \(y=2xe^2\), encuentra la derivada.
Para ello, puedes empezar por mirar la fórmula e identificar lo que necesitas:
\[y'=u'v+uv'\]
\[u=2x\]
\[v=e^2\]
Ahora, puedes diferenciar ambas funciones para encontrar sus derivadas:
\[u'=2\]
\[v'=0\]
Introduce toda la información en la fórmula, para encontrar:
\[y'=(2x)(0)+(e^2)(2)\]
\[y'=2e^2\]
Reglas de derivación, división de funciones o cocientes
La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones; es decir, cuando una función se divide por otra. La fórmula utilizada para esta regla es la siguiente, esto es cuando se tiene:
\[y=\dfrac{u}{v}\]
y por lo tanto: \(y'=\dfrac{u'v+uv'}{v^2}\).
Esto también se puede escribir en notación de funciones como:
\[f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}\]
\[f'(x)=\dfrac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\]
Si se tiene \(y=\frac{2x}{3x+4}\), encuentra la derivada.
En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:
\[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]
\[u=2x\]
\[u'=2\]
\[v=3x+4\]
\[v'=3\]
Ahora, simplemente sustituyes:
\[y'=\dfrac{(3x+4) \cdot (2) - (2x) \cdot 3 }{(3x+4)^2}\]
\[y'=\dfrac{8}{(3x+4)^2}\]
Algunos ejemplos usando reglas de derivación
Regla del cociente
Un caso muy especial es cuando se tiene una función trigonométrica, por ejemplo:
Deriva la siguiente función: \(f(x)=\dfrac{ \cos(x)}{ \sin(x)}\).
En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y encontrar cada parte de ella:
\[y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\]
\[u= \cos(x)\]
\[u'= - \sin(x)\]
\[v= \sin(x)\]
\[v= \sin(x)\]
\[v'=\cos(x)\]
Si sustituimos cada término de regreso, tenemos:
\[y'=\dfrac{\sin(x) \cdot (- \sin(x)) - \cos(x) \cdot (\cos(x)) }{ \sin^2(x)}\]
Y, simplificando:
\[y'=\dfrac{- \sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)}=- \dfrac{1}{ \sin^2(x)}\]
Regla del producto
Hagamos algunos ejemplos de las regla del producto.
Deriva \(y=\sin(x) \cdot x^2\)
Aquí las funciones son:
\[u=\sin(x)\]
\[v=x^2\]
Si aplicamos la fórmula, obtenemos: \(y'=(\cos(x)) \cdot x^2 + 2x \cdot (\sin(x))\).
Deriva \(y=e^{2x}\sin^2(x)\)
Aquí las funciones son:
\[u=e^{2x}\]
\[v=sin^2(x)\]
Este es un caso especial, ya que también debes usar la fórmula de la cadena, puesto que la función seno está elevada al cuadrado.
\[u'=2e^{2x}\]
\[v'=2 \sin(x) \cos(x)\]
Sustituyendo de regreso, tenemos:
\[y'=2e^{2x} \sin^2(x) + e^{2x} 2 \sin(x) \cos(x)\]
Regla de la cadena
Encuentra la derivada de \(y=e^{\sin^2 (x)}\) .
Aquí debemos identificar la funciones, en términos de la otra.
Primero, la exponencial está en términos de un seno al cuadrado, por lo que esto se puede escribir como: \(y=e^u\).
y la otra función es: \(u=\sin^2(x)\).
Si aplicamos la regla de la cadena, \(\dfrac{dy}{du}=e^u du\).
Pero, la derivada de la nueva función \(u\) es: \(du=2 \sin(x) \cos(x)\).
Así que se tiene: \(y'=2 \sin(x) \cos(x)e^{\sin^2 (x)}\).
Tabla con las reglas de la derivación
Para que te sea más sencillo, podríamos introducir una tabla con las formulas principales que usarás en tus exámenes y ejercicios:
| Regla | Fórmula |
| Cadena | \[y=f(g(x)), y'=f'(g(x))g'(x)\] |
| Producto | \[y=f(x)g(x), y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\] |
| Cociente | \[\dfrac{f(x)}{g(x)},y'=\dfrac{f(x)g'(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\] |
Tabla 1: Reglas de la cadena, multiplicación y cociente para derivadas.
Reglas de Derivación - Puntos clave
- Hay tres reglas de diferenciación principales: la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
- Cada regla se usa por una razón diferente y tiene una fórmula diferente.
- La regla de la cadena se utiliza cuando estás diferenciando una función compuesta: \[y=f(g(x)), y'=f'(g(x))g'(x)\]
- La regla del producto se utiliza cuando se diferencian los productos de dos funciones: \[y=f(x)g(x), y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\]
- La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones: \[\dfrac{f(x)}{g(x)},y'=\dfrac{f(x)g'(x)-g'(x)f(x)}{(g(x))^2}\]
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