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Regla de L'Hopital

Regla de L'Hopital

En este artículo, aprenderemos sobre la regla de L'Hôpital. Guillaume de L'Hôpital fue un matemático francés que inventó esta regla. O, al menos, eso decía... En realidad, se cree que fue inventada por el matemático suizo Johann Bernoulli y robada por L'Hôpital. Astuto, ¿no? Esto ocurre una cantidad sorprendente de veces en la investigación.

De todas formas, independientemente de quién la escribiera, la regla es muy útil y puede ayudarnos mucho en nuestro estudio de los límites. Así que empecemos por recapitular lo que entendemos, exactamentem por un límite.

Límites e indeterminaciones

Supongamos que tenemos una función \(f(x)\); el límite es lo que le ocurre a la función cuando se acerca a un valor determinado.

Normalmente, podemos generalizar esto diciendo:

\[\lim_{x\rightarrow c} f(x)=f(c)\]

Veamos un caso de ejemplo:

¿Cuál es el límite de la función \(f(x)=2x\), a medida que \(x\) se acerca a cero?

Solución:

En este caso, tenemos

\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}2x=2\cdot0=0\]

Por tanto, el límite de esta función cuando \(x\) tiende a \(0\) es \(0\).

Límites indeterminados

A veces tenemos funciones que se acercan a un valor determinado, pero nunca lo alcanzan del todo, por lo que no está claro cuánto es \(f(c)\). Usemos \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) como ejemplo. Si tomamos el límite cuando \(x\) se aproxima a cero, no podemos utilizar la fórmula anterior; ya que \(f(0)=\dfrac{1}{0}\) y una división entre cero no es posible, el resultado es indeterminado.

Podemos considerar una función como una combinación de dos funciones de la forma \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\).

Por ejemplo, si tenemos la función \(\dfrac{x-4}{x^{2}+7}\), podemos escribirla como \(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)

  • donde \(f(x)=x-4\) y \(g(x)=x^{2}+7\).

En este caso, podemos obtener el límite calculando los límites de las dos funciones:

$$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \displaystyle \lim_{x \to c}f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}$$

$$\frac{\displaystyle \lim_{x \to 0}x-4}{\displaystyle \lim_{x \to 0} x^{2}+7}=\frac{0-4}{0+7}=\frac{-4}{7}$$

Así, el límite de la función cuando \(x\) tiende a cero es \(-4/7\).

Sin embargo, hay que tener en cuenta el problema que puede surgir cuando el límite de ambas funciones es cero.

Una indeterminación es aquella en la que la fórmula anterior arroja un resultado no posible, como

\(\dfrac{0}{0}\), \(\displaystyle \frac{±\infty}{±\infty}\), \(0\cdot\infty\).

En los siguientes límites tenemos formas indeterminadas:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin x}{\displaystyle \lim_{x \to 0}x} = \frac{0}{0}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x^2} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to \infty}x-1}{\displaystyle \lim_{x \to \infty}x^2} = \frac{\infty}{\infty}$$

$$\lim_{x \to 6} \frac{ x^2-36}{x-6} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to 6}x^2-36}{\displaystyle \lim_{x \to 6}x-6} = \frac{36-36}{6-6}=\frac{0}{0}$$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1-x} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to \infty}x}{\displaystyle \lim_{x \to \infty}1-x} =- \frac{\infty}{\infty}$$

Cuando tenemos una indeterminación, no podemos evaluar los límites tan fácilmente. Sin embargo, por suerte, tenemos una solución al problema: ¡la regla de L'Hôpital!

Calcular límites con la regla de L'Hôpital

Ahora, la parte que estabas esperando: la regla de L'Hôpital. Esta nos permite encontrar los límites de las indeterminaciones de la forma \(\dfrac{0}{0}\), \(\displaystyle \frac{±\infty}{±\infty}\), \(0\cdot\infty\). El redoble de tambor, por favor...

La regla de L'Hôpital

Si \( \displaystyle \lim_{x \to c} f(x)\) y \( \displaystyle \lim_{x \to c} g(x)=f(c)\) son ambos \(0\) o \(\pm\infty\), entonces:

$$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Es decir, basta con hacer la derivada de cada función y, entonces, aplicar el límite.

Ahora hagamos algunos ejemplos para ver cómo funciona.

Límite de un cociente

Apliquemos la regla de L'Hôpital para hallar el límite de un cociente de funciones.

Determina \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}\).

Solución:

Sea \(f(x)=\sin(x)\) y \(g(x)= x\).

Claramente, \(\displaystyle \lim_{x \to 0}\sin (x)=0\) y \(\displaystyle \lim_{x \to 0}x=0\) y, por lo tanto, podemos utilizar la regla de L'Hôpital.

Ahora, \(f'(x)=\cos (x)\) y \(g'(x)=1\); por tanto \(\displaystyle \lim_{x \to 0}f'(x)=1\) y \(\displaystyle \lim_{x \to 0}g'(x)=1\). Entonces,

$$\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=1$$

Y, así, por la regla de L'Hôpital:

\[\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1\]

En la siguiente figura puedes observar la gráfica de la función \(\dfrac{\sin(x)}{x}\) y ver que en \(x=0\) la función se acerca al \(1\) (aunque este valor no pertenece al dominio de la función).

Regla de L'Hôpital, ejemplo de función, StudySmarterFig. 1. Gráfica de la función \(\dfrac{\sin(x)}{x}\).

Determina \( \displaystyle \lim_{x \to 49}\frac{x-49}{\sqrt{x}-7}\).

Solución:

Sea \(f(x)=x-49\) y \(g(x)= \sqrt{x} - 7\).

Ahora, \(\displaystyle \lim_{x \to 49}x-49=0\) y \(\displaystyle \lim_{x \to 49} \sqrt{x} - 7=0\) y, por tanto, podemos utilizar la regla de L'Hôpital.

Ahora, \(f'(x)=1\) y \(g'(x)= \dfrac{x^{-1/2}}{2}\) y, así, \(\displaystyle \lim_{x \to 49}f'( x)=1\) y \(\displaystyle \lim_{x \to 49}g'(x)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{1}{14}\).

Entonces, \(\displaystyle \lim_{x \to 49}\frac{f'(x)}{g'(x)}= 14\) y, por la regla de L'Hôpital:

\[\displaystyle \lim_{x \to 49}\frac{x-49}{\sqrt{x}-7}=14\]

En la siguiente figura puedes observar la gráfica de la función \( \dfrac{x-49}{\sqrt{x}-7}\) y ver que la función se acerca al valor que hemos calculado para el límite cuando \(x=49\).

Regla de L'Hôpital, ejemplo de función, StudySmarterFig. 2. Gráfica de la función \(\dfrac{x-49}{\sqrt{x}-7}\).

Ejemplos de la regla de L'Hôpital

Supongamos que diferenciamos \(f(x)\) y \(g(x)\) una vez y seguimos obteniendo \(\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{0}{0}\). En este caso, puedes seguir diferenciando mientras sigas trabajando con una función en forma indeterminada (es decir, \(f^{(k)}(x)=0\) y \(g^{(k)}(x)=0\), donde \(k\) representa el número de veces que se ha diferenciado la función).

Determina: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}= \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{2\sin x-\sin(2x)}{x-\sin x} \right)\).

Solución:

Sea \(f(x)=2\sin(x) - \sin(2x)\) y \(g(x)=x- \sin x\).

Diferenciando, obtenemos: \(f'(x)=2\cos(x) - 2\cos(2x)\) y \(g'(x)=1-\cos(x)\).

Utilizando la regla de L'Hôpital:

$$ \lim_{x \to 0}=\frac{f'(x)}{g'(x)}= \frac{2-2}{1-1}=\frac{0}{0}$$

Volviendo a utilizar la regla:

$$f''(x)= -2 \sin x +4 \sin(2x) \space$$

$$g''(x)=\sin x$$

\[\displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{f''(x)}{g''(x)}=\frac{0}{0}\]

Usando, de nuevo, la regla de L'Hôpital:

$$f'''(x)= -2\cos x+8\cos(2x)$$

$$g'''(x)=\cos x$$

$$\lim_{x \to 0}\left( \frac{f'''(x)}{g'''(x)} \right)= \frac{-2+8}{1}=6$$

Por lo tanto:

\[\displaystyle \lim_{x \to 0}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)=\lim_{x \to 0}\left( \frac{f'''(x)}{g'''(x)} \right)=6\]

Límites al infinito

Hasta ahora hemos hecho muchos ejemplos utilizando \( \displaystyle \frac{0}{0}\). Sin embargo, la regla de L'Hôpital también funciona para indeterminaciones de la forma \(\displaystyle \frac{±\infty}{±\infty}\).

Estos tipos de límites te pueden aparecer cuando estás determinando si una función tiene alguna asíntota. Puedes leer más sobre esto en nuestro artículo de Límites infinitos.

Calcula:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}+1}{6x^{2}-3}$$

Solución:

El límite es:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}+1}{6x^{2}-3}=\dfrac{\infty}{\infty}$$

Por lo tanto, podemos utilizar la regla de L'Hôpital; derivando el numerador y el denominador:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{12x}=\dfrac{\infty}{\infty}$$

Ahora, tenemos que volver a utilizar la regla de L'Hôpital; volviendo a derivar el numerador y el denominador:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$$

Podemos decir, entonces, que el límite es:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{2}+1}{6x^{2}-3}=\dfrac{1}{3}$$

Demostración de la regla de L'Hôpital

La demostración de la regla de L'Hôpital para el caso general es algo complicada. Sin embargo, si suponemos que las derivadas de las funciones son continuas en el intervalo en el que derivamos (esto se cumple en la gran mayoría de los casos), entonces la demostración se vuelve mucho más sencilla.

Empezamos con la premisa:

\[\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{0}{0}\]

Como hemos dicho, tenemos \(f'(x)\) y \(g'(x)\) que son continuas; por tanto, existen \(f'(c)\) y \(g'(c)\), y como \(\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)=0\) y \(\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)=0\), entonces \(f(c)=0\) y \(g(c)=0\).

Por tanto, podemos restar estas imágenes en el numerador y en el denominador del límite, sin alterar el resultado:

\[\displaystyle \lim_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}\]

Ahora, podemos dividir en el numerador y en el denominador entre \(x-c\):

\[\displaystyle \lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}=\lim_{x\to c}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}\]

Entonces, tanto en el numerador como en el denominador está la definición de la derivada de cada función en el punto \(c\) que, a su vez, es el límite de la función cuando \(x\) tiende a \(c\):

\[\displaystyle \lim_{x\to c}\dfrac{\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to c}f'(x)}{\displaystyle\lim_{x \to c}g'(x)}=\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\]

Así, ya hemos demostrado la regla de L'Hôpital cuando se produce la indeterminación de tipo \(\dfrac{0}{0}\).

Suposición de la regla de L'Hôpital

Hasta ahora, hemos supuesto que la regla de L'Hôpital siempre funciona. Ocasionalmente, la regla de L'Hôpital fallará y las derivadas caerán a un bucle infinito.

Add your text here...

Por ejemplo, \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\).

Por la regla de L'Hôpital,

$$\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{-1/2}2x}{1}=\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$$

Si volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)^{-1/2}2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$$

Esto es exactamente lo que teníamos que diferenciar en primer lugar, por lo que diferenciar de nuevo producirá el mismo resultado una y otra vez. Por lo tanto, en esta ocasión, la regla de L'Hôpital no funcionará y habrá que encontrar el límite reescribiendo

\(\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\) como

\(\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}\) y aplicando después el límite:

$$\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\lim_{x \to \infty}\sqrt{\dfrac{x^{2}+1}{x^2}}=\lim_{x \to \infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}=\sqrt{1+0}=1$$

Regla de L'Hopital - Puntos clave

  • Un límite es un valor al que se acerca una función a medida que la entrada se aproxima a algún valor.
  • A menudo, podemos calcular los límites mediante cocientes; es decir, \(\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)}{\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)}=\frac{f(c)}{g(c)}\)
  • A veces, \(\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) da como resultado una indeterminación, lo que lo hace más difícil.
  • Las indeterminaciones son \(\frac{0}{0}\), \(\frac{±\infty}{±\infty}\) y \(±\infty\cdot 0\).
  • Cuando \(\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}\) da una indeterminación, podemos utilizar la regla de L'Hôpital.
  • La regla de L'Hôpital dice que si \(\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)\) y \(\displaystyle \lim_{x \to c}g(x)\) son ambos \(0\) o ambos \(\pm\infty\), entonces:

\[\displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

  • Si la función sigue proporcionando una indeterminación después de aplicar la regla de L'Hôpital una vez, podemos diferenciar una y otra vez hasta que la función deje de proporcionar una indeterminación. Sin embargo, si acabamos en un bucle sin fin, en el que la derivada acaba siendo la misma cada vez, la regla de L'Hôpital falla.

Preguntas frecuentes sobre Regla de L'Hopital

Aunque esta regla recibe el nombre del marqués de L'Hopital, realmente su descubridor fue el matemático suizo John Bernoulli con quien el marqués había llegado a un acuerdo de que a cambio de un salario mensual, Bernoulli le proporcionaría al marqués sus resultados para que éste hiciera lo que quisiera con ellos.

La regla de L'Hopital se puede hacer tantas veces como sea necesario para simplificar el límite. Sin embargo, puede ocurrir que se caiga en un bucle infinito, es decir, que después de derivar, se obtenga el mismo límite que al principio. En estos casos, es necesario recurrir a otros métodos para calcular el límite.

La regla de L'Hôpital se demuestra con la premisa de que las derivadas de las funciones son continuas en el intervalo en el que se deriva. Sin esta premisa, no podríamos demostrar esta regla.

Para aplicar la regla de L'Hôpital debes calcular la derivada de la función del numerador y la derivada de la función del denominador. Después de esto, calcula el límite de este cociente. Si fuera necesario, puedes volver a derivar las funciones para hallar el límite.

La regla de L'Hôpital nos dice que para calcular el límite de un cociente de funciones, podemos hacer el límite del cociente de las derivadas de estas funciones. Por ejemplo:

limx–>0(2x-1)/x=0/0

Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital, derivando el numerador y el denominador:

limx–>0(2)/1=2

Cuestionario final de Regla de L'Hopital

Pregunta

¿Cuál es la regla de L'Hôpital?

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Answer

La regla dice que para dos funciones en las que se indeterminadamente un limite debido a que se tiene: \( ({{0}\over{0}}, {{±\infty}\over{±\infty}}, 0\bullet \infty ) \), entonces:

\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\]

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Pregunta

¿Qué significa el límite de una función?

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Answer

El límite es lo que le ocurre a la función cuando se acerca a un valor determinado.

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Pregunta

¿Cuál es la fórmula del límite de una función?

Mostrar respuesta

Answer

Para una función, \(f(x)\), el límite es:

\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

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Pregunta

¿Cuáles son las indeterminaciones a las que puede aplicarse la regla de L'Hôpital?

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Answer

\(\dfrac{0}{0}\)

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Pregunta

Calcula:

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}x^2\)

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Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}x^2=1^2=1\)

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Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}3x^2-2x\)

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Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}3x^2-2x=3·0^2-2·0=0\)

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Pregunta

Calcula el límite: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2x-1}{x}\), aplicando la regla de L'Hôpital.

Mostrar respuesta

Answer

El límite da una indeterminación: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2x-1}{x}=\dfrac{0}{0}\)

Por tanto, aplicamos la regla de L'Hôpital:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}(2x-1)}{\dfrac{d}{dx}(x)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{2}{1}=2\)

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Pregunta

Calcula el límite: \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(e^{-x}\ln x)\).

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Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(e^{-x}\ln x)=0\cdot\infty\), lo cual es una indeterminación. Pero podemos reescribirlo como: \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{e^x}=\dfrac{0}{0}\). Aplicamos L'Hôpital:

\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1/x}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{xe^x}=\dfrac{1}{\infty}=0\)

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Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}\)

Mostrar respuesta

Answer

Es una indeterminación \(\dfrac{0}{0}\). Aplicamos L'Hôpital:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x+e^{-x}}{\cos x}=\dfrac{1+1}{1}=2\)

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Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}\)

Mostrar respuesta

Answer

Aplicamos L'Hôpital:

\[\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to 1}\dfrac{1/x}{1}=\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x}=1\]


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Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sin x}\right)\)

Mostrar respuesta

Answer

Reordenamos para obtener una indeterminación en la que se aplica L'Hopital:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sin x}\right)=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x-x}{x\sin x}=\dfrac{0}{0}\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x-1}{\sin x+x\cos x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{-\sin x}{\cos x+\cos x-x\sin x}=0\)

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Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan x-1)\sec 2x\)

Mostrar respuesta

Answer

El límite es: \(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan x-1)\sec 2x=(1-1)\infty=0\cdot\infty\)

Reorganizamos y aplicamos L'Hopital:

\(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan x-1)\sec 2x=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan x-1}{\cos 2x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{1+\tan^2 x}{-2\sin 2x}=-1\)

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Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2-3x}{2x^2-e^{-x}}\)

Mostrar respuesta

Answer

Aplicamos L'Hôpital:

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2-3x}{2x^2-e^{-x}}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\to \infty}\dfrac{2x-3}{4x+e^{-x}}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\to \infty}\dfrac{2}{4-e^{-x}}=\frac{1}{2}\)

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Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x^2-1}\)

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x^2-1}=\frac{0}{0}=\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{2x}=\frac{1}{2}\)

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Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{\sin x}\)

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{\sin x}=\frac{0}{0}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1+\tan^2 x}{\cos x}=1\)

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