Seguro que conoces las funciones con exponenciales o funciones exponenciales. Un ejemplo es la función exponencial de base \(e\) escrita como \(e^x\). Pero, al igual que otras funciones, estas tienen una función inversa. La función inversa de los exponenciales son los logaritmos.
Una característica curiosa es que como las funciones con exponenciales crecen más rápido a medida que estas tienden al infinito, los logaritmos crecen más lento, conforme tienden al infinito. Profundizaremos en esto más adelante.
¿Qué son las funciones logarítmicas?
La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial. Las funciones logarítmicas se indican con el símbolo \(\log\), excepto en el caso especial de la función logaritmo natural, que es \(\ln\).
Fig. 1: Podemos ver como la función logarítmica es la función inversa de la función exponencial.
Al igual que las funciones exponenciales, que tienen una base como \(a^x\) donde la base es \(a\), los logaritmos tienen una base que se indica como:
\[\log_{a}x\]
Aquí \(a\) es cualquier número real; por ejemplo, el logaritmo de base diez es:
\[\log_{10}x\]
Hay cuatro características importantes de las funciones logarítmicas (de las cuales ya te mencionamos dos):
Los logaritmos son el inverso de las funciones exponenciales; por ejemplo, la función \(f(x)=\log_2 x\) es la inversa de \(f(x)=2^x\).
Los logaritmos crecen muy lentamente, conforme se alejan al infinito; por ejemplo, \(\log_3(8)=1{,}89…\), \(\log_3 80=3{,}98…\), \(\log_3 800=6{,}084…\).
Los logaritmos tienen como dominio solo los reales positivos; esto, sin contar el cero.
Los logaritmos tienen como rango todos los reales.
Si la base del logaritmo es menor que \(1\), como en \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\), la función decrece en lugar de crecer.
Cabe decir que la variable \(x\) se denomina el argumento de la función y puede ser más complicada que, simplemente, \(x\). Por tanto, la función podría ser algo como \(\log_{10} (x^3+34)\).
Hagamos un pequeño ejemplo donde veamos estas características:
Despeja la variable \(x\) de la función \(\log_4 x=1\), obtén su dominio y su rango.
Además, si tienes el valor de \(\log_4 1\), calcula el valor de \(\log_4\,x\), para el cual hay una distancia de \(x=10\).
Solución:
En primer lugar, se nos pide despejar \(x\). Si los exponenciales son la inversa de los logaritmos, esto significa que debemos aplicar el exponencial de base cuatro a ambos lados:
\[4^{\log_4(x)}=4^1\]
Al eliminar el exponencial y el logaritmo del lado izquierdo, obtenemos:
\[x=4\]
En segundo lugar, se nos pide el dominio y rango de la función. Sabemos que su dominio son los valores en el intervalo \((0, \infty)\) y el rango son todos los reales.
En tercer lugar, se nos pide que obtengamos un valor para el cual se cumple que:
\[\log_4 x-\log_4 1=10\]
Para esto, calculamos el \(\log_4 1\) que es cero; así, nos queda:
\[\log_4 x=10\]
Aplicando el exponencial de base cuatro en ambos lados:
\[x=4^{10}\]
Y resolviendo estos, nos da:
\[x=1.048.576\]
Como puedes observar, los logaritmos crecen muy lentamente, ya que debemos evaluar más de un millón de enteros para que el valor de \(y\) se acerque a diez.
Dominio de funciones logarítmicas
Recordemos que es el dominio de una función
El dominio de una función son todos aquellos valores que se pueden introducir en una función y que son aceptados por esta.
Hablemos un poco más en profundidad acerca del dominio y rango de las funciones logarítmicas. Si bien las funciones logarítmicas más básicas tienen un rango y dominio bastante sencillos, funciones en las que el argumento dentro del logaritmo es más complicado no tienen este comportamiento.
Funciones logarítmicas con argumentos cuadráticos
Como ya sabemos, una función cuadrática tiene raíces; por lo tanto, una función de tipo:
\[\log_d (ax^2+bx+c)\]
solo puede tomar valores cuando \(x^2+bx+c \geq 0\).
Hagamos un ejercicio.
¿Cuál es el dominio de la función \(\log_2 (x^2-9)\)?
Solución:
En este caso, debemos encontrar cuando el argumento es negativo, ya que en este intervalo la función logaritmo de base dos no existe.
Para ello, despejamos \(x^2-9\), lo cual nos da:
\[x=\pm3\]
De este modo, encontramos que en el intervalo \([-3, 3]\) la función vale cero o menos que cero. Esto significa que el logaritmo existe en el intervalo:
\[(-\infty, 3)\cup(3, \infty)\]
Si tuviésemos una función más complicada, como una cúbica, probablemente encontraríamos intervalos más complicados, ya que una cúbica puede tener tres raíces.
Gráfica de la función logarítmica
Sigamos con las gráficas de las funciones logarítmicas. Empecemos con las bases, cuyo valor es mayor que cero.
Gráficas de funciones logarítmicas del tipo \(\log_n ax\), donde \(n>1\)
En estas funciones, cuanto más alto sea el valor de \(n\), la función crecerá más lentamente. Esto lo podemos comprobar en la gráfica siguiente:
Fig. 2: Gráficas de funciones logarítmicas crecientes con incrementos de su base.
El valor de \(a\), en estos casos, hace que la función:
- crezca más rápido, si es mayor que uno
- menos rápido si es menor que uno.
Fig. 3: Gráficas de logaritmos crecientes con incrementos de su constante.
Gráficas de logaritmos del tipo \(\log_n ax\), donde \(n<1\)
En estas funciones, cuanto más alto sea el valor de \(n\), la función decae más lentamente. Esto lo podemos comprobar en la gráfica que sigue:
Fig. 4: Gráficas de funciones logarítmicas decrecientes con incrementos de su base.
El valor de \(a\), en estos casos hace, que la función:
- Decaiga más rápido, si es mayor que uno.
- Menos rápido, si es menor que uno.
Podemos verlo en la gráfica a continuación.
Fig 5: Gráficas de logaritmos decrecientes con incrementos de su constante.
Asíntotas de las funciones logartímicas
Todas las funciones logarítmicas elementales (de la forma \(f(x)=\log_a x\)) tienen una asíntota vertical en \(x=0\), la única diferencia consiste en si estas tienen una base menor o mayor que uno.
Asíntotas de funciones logarítmicas del tipo \(log_n ax\), donde \(n>1\)
En estos casos, las funciones tienen asíntotas en \(x=0\); pero, según nos acercamos a \(x=0\) por la izquierda, la función tiende a \(-\infty\).
Fig. 6: Gráfica de una función logarítmica creciente y su asíntota.
Asíntotas de logaritmos del tipo \(\log_n ax\), donde \(n<1\)
En estos casos, las funciones tienen asíntotas en \(x=0\); pero, según nos acercamos a \(x=0\) por la izquierda, la función se mueve hacia \(\infty\).
Fig. 7: Gráfica de una función logarítmica decreciente y su asíntota.
Derivada de la función logarítmica
La función logarítmica también posee una derivada, al igual que otras funciones. La derivada de la función logarítmica de base \(e\) es:
\[\dfrac{d}{dx}\ln(f(x))=\dfrac{f’(x)}{f(x)}\]
Mientras que la derivada de la función logarítmica de base \(a\) tiene la siguiente fórmula, para logaritmos de base \(a\) donde éste es un número real cualquiera:
\[\dfrac{d}{dx}\log_a(f(x))=\dfrac{f'(x)}{x\ln(a)}\]
Funciones logarítmicas ejemplos y ejercicios
Hagamos algunos ejercicios y sigamos algunos ejemplos relacionados con lo que hemos aprendido.
¿Cuál es el dominio de la función siguiente?:
\[\log_3(3x^3-2x^2+3x)\]
Solución:
Debemos averiguar cuándo la función es cero o menor que cero, ya que ningún logaritmo existe cuando \(f(x)\leq 0\). Para esto, debemos encontrar las raíces de la función cúbica.
Podemos factorizar una \(x\), lo cual nos da:
\[x(3x^2-2x+3)\]
Ahora, debemos encontrar las raíces de la ecuación cuadrática; estas son:
\[x_1=\dfrac{1}{3}(1-2i\sqrt{2})\]
\[x_2=\dfrac{1}{3}(1+2i\sqrt{2})\]
Por lo que se puede ver, las raíces son imaginarias, así que el polinomio cuadrático del argumento es siempre positivo. De este modo, el dominio es el mismo que el de una función como \(\log_a(x)\), el intervalo de \((0, \infty)\).
¿Cuál función decrece más rápido: \(\log_{\frac{1}{5}}(x)\) o \(\log_\frac{1}{5}(5x)\)?
Solución:
Debido a que \(5x>x\) dentro del argumento de la función, esto significa que cuando la primera función está en \(x=1\), la segunda está en \(x=5\). Ambas funciones tienen la misma base y decrecen igual, pero la segunda está adelantada cinco unidades; por eso, esta decrece más rápido.
Despeja la función \(\log_{10} x=8\).
Solución:
Debemos aprovechar que las funciones exponenciales son la inversa de las funciones logarítmicas, así que aplicamos el exponencial de base diez a ambos lados:
\[10^{\log_{10}x}=10^8\]
Cancelando funciones del lado izquierdo y operando de lado derecho, obtenemos:
\[x=100.000.000\]
Deriva la función \(f(x)=\ln(4x^2)+2\).
Solución:
Aplicamos la derivada a ambos miembros: La derivada del segundo término nos da un cero y podemos resolver la del primer término usando la siguiente fórmula:
\[\dfrac{d}{dx}\ln(f(x))=\dfrac{f’(x)}{f(x)}\]
Esto nos da:
\[f'(x)=\dfrac{8x}{4x^2}=\dfrac{2}{x}\]
Funciones logarítmicas - Puntos clave
Las funciones logarítmicas son la función inversa de las funciones exponenciales; por ejemplo, \(f(x)=\log_a x\) es la inversa de \(g(x)=a^x\).
Las funciones logarítmicas crecen muy lentamente según se alejan al infinito.
Las funciones logarítmicas tienen como dominio solo los reales positivos; esto, sin contar el cero.
Las funciones logarítmicas tienen como rango todos los reales.
Si la base del logaritmo es menor que uno, como en \(f(x)=\log_{\frac{1}{2}} x\), la función decrece, en lugar de crecer.
La derivada de la función del logaritmo natural es:
\[\dfrac{d}{dx}\ln(f(x))=\dfrac{f’(x)}{f(x)}\]
La derivada de la función del logaritmo de base \(a\) es:
\[\dfrac{d}{dx}\log_a(f(x))=\dfrac{1}{x\ln(a)}\]
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