Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

Función Logarítmica

Función Logarítmica

Seguro que conoces las funciones con exponenciales o funciones exponenciales. Un ejemplo es la función exponencial de base \(e\) escrita como \(e^x\). Pero, al igual que otras funciones, estas tienen una función inversa. La función inversa de los exponenciales son los logaritmos.

Una característica curiosa es que como las funciones con exponenciales crecen más rápido a medida que estas tienden al infinito, los logaritmos crecen más lento, conforme tienden al infinito. Profundizaremos en esto más adelante.

Las funciones logarítmicas

Las funciones logarítmicas se indican con el símbolo \(\log\), excepto en el caso especial de la función logaritmo natural, que es \(\ln\). Al igual que las funciones exponenciales, que tienen una base como \(a^x\) donde la base es \(a\), los logaritmos tienen una base que se indica como:

\[\log_{a}x\]

Aquí \(a\) es cualquier número real; por ejemplo, el logaritmo de base diez es:

\[\log_{10}x\]

Hay cuatro características importantes de las funciones logarítmicas (de las cuales ya te mencionamos dos):

  • Los logaritmos son el inverso de las funciones exponenciales; por ejemplo, la función \(f(x)=\log_2 x\) es la inversa de \(f(x)=2^x\).

  • Los logaritmos crecen muy lentamente, conforme se alejan al infinito; por ejemplo, \(\log_3(8)=1{,}89…\), \(\log_3 80=3{,}98…\), \(\log_3 800=6{,}084…\).

  • Los logaritmos tienen como dominio solo los reales positivos; esto, sin contar el cero.

  • Los logaritmos tienen como rango todos los reales.

  • Si la base del logaritmo es menor que \(1\), como en \(\log_{\frac{1}{2}}(x)\), la función decrece en lugar de crecer.

Cabe decir que la variable \(x\) se denomina el argumento de la función y puede ser más complicada que, simplemente, \(x\). Por tanto, la función podría ser algo como \(\log_{10} x^3+34\).

Hagamos un pequeño ejemplo donde veamos estas características:

Despeja la variable \(x\) de la función \(\log_4 x=1\), obtén su dominio y su rango.

Además, si tienes el valor de \(\log_4 1\), calcula el valor de (\log_4 x\), para el cual hay una distancia de \(x=10\).

Solución:

En primer lugar, se nos pide despejar \(x\). Si los exponenciales son la inversa de los logaritmos, esto significa que debemos aplicar el exponencial de base cuatro a ambos lados:

\[4^{\log_4(x)}=4^1\]

Al eliminar el exponencial y el logaritmo del lado izquierdo, obtenemos:

\[x=4\]

En segundo lugar, se nos pide el dominio y rango de la función. Sabemos que su dominio son los valores en el intervalo \((0, \infty)\) y el rango son todos los reales.

En tercer lugar, se nos pide que obtengamos un valor para el cual se cumple que:

\[\log_4 x-\log_4 1=10\]

Para esto, calculamos el \(\log_4 1\) que es cero; así, nos queda:

\[\log_4 x=10\]

Aplicando el exponencial de base cuatro en ambos lados:

\[x=4^{10}\]

Y resolviendo estos, nos da:

\[x=1.048.576\]

Como puedes observar, los logaritmos crecen muy lentamente, ya que debemos evaluar más de un millón de enteros para que el valor de \(y\) se acerque a diez.

Dominio de funciones logarítmicas

Hablemos un poco más en profundidad acerca del dominio y rango de las funciones logarítmicas. Si bien las funciones logarítmicas más básicas tienen un rango y dominio bastante sencillos, funciones en las que el argumento dentro del logaritmo es más complicado no tienen este comportamiento.

Funciones logarítmicas con argumentos cuadráticos

Como ya sabemos, una función cuadrática tiene raíces; por lo tanto, una función de tipo:

\[\log_d ax^2+bx+c\]

solo puede tomar valores cuando \(x^2+bx+c \geq 0\).

Hagamos un ejercicio:

¿Cuál es el dominio de la función \(\log_2 x^2-9\)?

Solución:

En este caso, debemos encontrar cuando el argumento es negativo, ya que en este intervalo la función logaritmo de base dos no existe.

Para ello, despejamos \(x^2-9)\, lo cual nos da:

\[x=±3\]

De este modo, encontramos que en el intervalo \([-3, 3]\) la función vale cero o menos que cero. Esto significa que el logaritmo existe en el intervalo:

\[(-\infty, 3),(3, \infty)\]

Si tuviésemos una función más complicada, como una cúbica, probablemente encontraríamos intervalos más complicados, ya que una cúbica puede tener tres raíces.

Gráfica de la función logarítmica

Sigamos con las gráficas de las funciones logarítmicas. Empecemos con las bases, cuyo valor es mayor que cero.

Gráficas de funciones logarítmicas del tipo \(\log_n ax\), donde \(n>1\)

En estas funciones, cuanto más alto sea el valor de \(n\), la función crecerá más lentamente. Esto lo podemos comprobar en la gráfica siguiente:

Funciones logarítmicas, gráficas de funciones logarítmicas con diferentes bases, StudySmarter

Fig. 1: Gráficas de funciones logarítmicas crecientes con incrementos de su base.

El valor de \(a\), en estos casos, hace que la función:

  • crezca más rápido, si es mayor que uno
  • menos rápido si es menor que uno.

Funciones logarítmicas crecimiento StudySmarterFig 2: Gráficas de logaritmos crecientes con incrementos de su constante.

Gráficas de logaritmos del tipo \(\log_n ax\), donde \(n<1\)

En estas funciones, cuanto más alto sea el valor de \(n\), la función decae más lentamente. Esto lo podemos comprobar en la gráfica que sigue:

Funciones logarítmicas decrecimiento StudySmarter

Fig. 3: Gráficas de funciones logarítmicas decrecientes con incrementos de su base.

El valor de \(a\), en estos casos hace, que la función:

  • Decaiga más rápido, si es mayor que uno.
  • Menos rápido, si es menor que uno.

Podemos verlo en la gráfica a continuación.

Funciones logarítmicas decrecimiento StudySmarterFig 4: Gráficas de logaritmos decrecientes con incrementos de su constante.

Asíntotas de las funciones logartímicas

Todas las funciones logarítmicas elementales (de la forma \(f(x)=\log_a x\)) tienen una asíntota vertical en \(x=0\), la única diferencia consiste en si estas tienen una base menor o mayor que uno.

Asíntotas de funciones logarítmicas del tipo \(log_n ax\), donde \(n>1\)

En estos casos, las funciones tienen asíntotas en \(x=0\); pero, según nos acercamos a \(x=0\) por la izquierda, la función tiende a \(-\infty\).

Funciones logarítmicas asíntotas al infinito StudySmarter

Fig. 5: Gráfica de una función logarítmica creciente y su asíntota.

Asíntotas de logaritmos del tipo \(\log_n ax\), donde \(n<1\)

En estos casos, las funciones tienen asíntotas en \(x=0\); pero, según nos acercamos a \(x=0\) por la izquierda, la función se mueve hacia \(\infty\).

Funciones logarítmicas asíntotas al infinito StudySmarter

Fig. 6: Gráfica de una función logarítmica decreciente y su asíntota.

Derivada de la función logarítmica

La función logarítmica también posee una derivada, al igual que otras funciones. La derivada de la función logarítmica de base \(e\) es:

\[\dfrac{d}{dx}\ln(f(x))=\dfrac{f’(x)}{f(x)}\]

Mientras que la derivada de la función logarítmica de base \(a\) tiene la siguiente fórmula, para logaritmos de base \(a\) donde éste es un número real cualquiera:

\[\dfrac{d}{dx}\log_a(f(x))=\dfrac{f'(x)}{x\ln(a)}\]

Funciones logarítmicas ejemplos y ejercicios

Hagamos algunos ejercicios y sigamos algunos ejemplos relacionados con lo que hemos aprendido.

¿Cuál es el dominio de la función siguiente?:

\[\log_3(3x^3-2x^2+3x)\]

Solución:

Debemos averiguar cuándo la función es cero o menor que cero, ya que ningún logaritmo existe cuando \(f(x)\leq 0\). Para esto, debemos encontrar las raíces de la función cúbica.

Podemos factorizar una \(x\), lo cual nos da:

\[x(3x^2-2x+3)\]

Ahora, debemos encontrar las raíces de la ecuación cuadrática; estas son:

\[x_1=\dfrac{1}{3}(1-2i\sqrt{2})\]

\[x_2=\dfrac{1}{3}(1+2i\sqrt{2})\]

Por lo que se puede ver, las raíces son imaginarias, así que el polinomio cuadrático del argumento es siempre positivo. De este modo, el dominio es el mismo que el de una función como \(\log_a(x)\), el intervalo de \((0, \infty)\).

¿Cuál función decrece más rápido: \(\log_{\frac{1}{5}}(x)\) o \(\log_\frac{1}{5}(5x)\)?

Solución:

Debido a que \(5x>x\) dentro del argumento de la función, esto significa que cuando la primera función está en \(x=1\), la segunda está en \(x=5\). Ambas funciones tienen la misma base y decrecen igual, pero la segunda está adelantada cinco unidades; por eso, esta decrece más rápido.

Despeja la función \(\log_10(x)=8\).

Solución:

Debemos aprovechar que las funciones exponenciales son la inversa de las funciones logarítmicas, así que aplicamos el exponencial de base diez a ambos lados:

\[10^{\log_10(x)}=10^8\]

Cancelando funciones del lado izquierdo y operando de lado derecho, obtenemos:

\[x=100.000.000\]

Deriva la función \(\f(x)=\ln(4x^2)+2\).

Solución:

Aplicamos la derivada a ambos miembros: La derivada del segundo término nos da un cero y podemos resolver la del primer término usando la siguiente fórmula:

\[\dfrac{d}{dx}ln(f(x))=\dfrac{f’(x)}{f(x)}\]

Esto nos da:

\[f'(x)=\dfrac{8x}{4x^2}=\dfrac{2}{x}\]

Funciones logarítmicas - Puntos clave

  • Las funciones logarítmicas son la función inversa de las funciones exponenciales; por ejemplo, \(f(x)=\log_a x\) es la inversa de \(g(x)=a^x\).

  • Las funciones logarítmicas crecen muy lentamente según se alejan al infinito.

  • Las funciones logarítmicas tienen como dominio solo los reales positivos; esto, sin contar el cero.

  • Las funciones logarítmicas tienen como rango todos los reales.

  • Si la base del logaritmo es menor que uno, como en \(f(x)=\log_{\dfrac{1}{2}} x\), la función decrece, en lugar de crecer.

  • La derivada de la función del logaritmo natural es:

    \[\dfrac{d}{dx}\ln(f(x))=\dfrac{f’(x)}{f(x)}\]

  • La derivada de la función del logaritmo de base \(a\) es:

    \[\dfrac{d}{dx}\log_a(f(x))=\dfrac{1}{x\ln(a)}\]

Preguntas frecuentes sobre Función Logarítmica

Las funciones logarítmicas son la función inversa de las funciones exponenciales; por ejemplo, loga x es la inversa de ax.

Para una función logarítmica elemental, su dominio es el intervalo (0,∞).

Por lo general, el rango de las funciones logaritmos más sencillas son todos los reales, mientras que su dominio es el intervalo de cero a infinito.


Si las funciones son más complejas, se debe hacer una inspección para buscar, por intervalos, dónde la función no existe o tiene discontinuidades.

Las funciones logarítmicas como log1/2x o log2x  tienen una sola asíntota en x=0.

Cuestionario final de Función Logarítmica

Pregunta

¿Cuál es la función inversa de \(f(x)=e^x\)?

Mostrar respuesta

Answer

Def: \(f(x)=\ln(x)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la función inversa de un exponencial?

Mostrar respuesta

Answer

La función logarítmica.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la inversa de la función \(f(x)=10^x\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(g(x)=\log_{10} x\).

Show question

Pregunta

¿Es la función \(f(x)=\log_3 x\) continua en todos los reales?

Mostrar respuesta

Answer

No, solo es continua en el intervalo \([0, \infty)\).

Show question

Pregunta

Encuentra el valor de \(x\) de la función \(\log_5 x=10\).


Mostrar respuesta

Answer

\(x=9765625\).

Show question

Pregunta

¿A qué valor tiende \(f(x)\) cuando nos acercamos a \(x=0\) por la izquierda si \(f(x)=\log_{\frac{1}{3}}x\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(\infty\).

Show question

Pregunta

¿A qué valor tiende \(f(x)\) cuando nos acercamos a \(x=0\) por la izquierda si \(f(x)=\log_{3}x\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(-\infty\).

Show question

Pregunta

¿Qué función crece más rápido \(f(x)=\log_3 x\) o \(g(x)=\log_2 x\)?

Mostrar respuesta

Answer

La primera función crece más rápido, ya que cuanto más grande sea la base del logaritmo, mayor es \(f(x)\).

Show question

Pregunta

¿Qué función crece más rápido, \(f(x)=\log_5 x\) o \(g(x)=\log_{\frac{1}{2}} x\).

Mostrar respuesta

Answer

Solo la primera función crece, la segunda debido a que tiene una base menor que uno decrece.

Show question

Pregunta

¿Cómo es la función \(f(x)=\log_a x\) si \(a\) es positivo y mayor que uno?

Mostrar respuesta

Answer

La función crece desde menos infinito hasta infinito.

Show question

Pregunta

¿Cómo es la función \(f(x)=\log_a x\) si \(a\) es positivo y menor que uno?

Mostrar respuesta

Answer

La función decrece desde infinito hasta menos infinito.

Show question

Pregunta

Obtén la derivada de la siguiente función logarítmica:

\[f(x)=\ln(3x^2)\]

Mostrar respuesta

Answer

\(f'(x)=\dfrac{2}{x}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula de la derivada para una función logarítmica de base \(a\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(f(x)=\log_a g(x) \Rightarrow f'(x)=\dfrac{g'(x)}{x\ln a}\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el dominio de la función \(f(x)=\log_2(2x^2-4)\)?

Mostrar respuesta

Answer

Los reales en el intervalo \((2, \infty)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el rango de las funciones logarítmicas más sencillas como \(f(x)=\ln x\) o \(g(x)=\log_a x\)?

Mostrar respuesta

Answer

Todos los reales.

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Función Logarítmica... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.