Las gráficas lineales son representaciones gráficas de ecuaciones lineales en las que la mayor potencia de la variable es 1.
Su forma es una línea recta, y la pendiente es constante a lo largo de la línea.
Recta
Una recta es una línea que no tiene curvatura; es decir, que no es curva.
Una recta puede ser horizontal, vertical o tener cualquier dirección.
En caso de ser horizontal en un plano: corresponde a un valor de \(y\), que es constante para todas las \(x\) o \(x=a\) —donde \(a\) es una constante—.
En el caso de que sea una recta vertical: corresponde a un solo valor de \(x\), que tiene varios valores de \(y\).
Para los casos donde es una recta diagonal: esta es una función matemática, que se escribe como \(y=mx+b\) y se conoce como función lineal.
Cabe aclarar que el caso de una función de \(x\) con varios valores de \(y\) no es una función.
La función lineal
Una función lineal como \(y=x\) es donde el valor de entrada y salida se corresponden proporcionalmente. En una relación lineal, el valor de \(y\) es igual al valor de \(x\). En estos casos, si se representa gráficamente la función, se tiene una recta con una inclinación de \(45º\). Veamos un ejemplo:
Se tiene una relación lineal de \(x\) y \(y\). Representa gráficamente la función \(f(x)\) para los valores de \(x=(-2,-1,0,1,2)\).
Solución:
La función es \(y=x\); así que, si sustituimos los valores de x, obtenemos:
\[y=-2\]
\[y=-1\]
\[y=0\]
\[y=1\]
\[y=2\]
Por lo tanto, los puntos de la gráfica son \((-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2)\). Si los representamos, obtenemos la siguiente figura:
Fig. 1. Recta, a partir de puntos calculados por una relación lineal.
Rectas y gráficas de relaciones lineales
Una relación lineal se representa a través de una recta. Las rectas son unas de las gráficas más simples que existen; sin embargo, no pueden solo tener la forma \(f(x)=x\). Las rectas poseen una constante de proporcionalidad llamada pendiente y además pueden tener, sumadas, un valor constante \(b\).
Una relación entre dos variables, como \((x,y)\), también se conoce como correlación lineal.
La ecuación lineal punto-pendiente
Como ya mencionamos, todas las rectas que son una función pueden expresarse con el formato \(f(x)=mx+b\), donde:
- \(f(x)\) es el valor de la coordenada \(y\) de un punto de la recta.
- \(x\) es el valor de la coordenada \(x\) del mismo punto de la recta.
- \(b\) es el valor de la coordenada \(y\), cuando la recta se cruza con el eje \(y\); es decir, \((x = 0)\). Este punto recibe el nombre de ordenada en el origen.
- \(m\) es la pendiente de la gráfica de la recta, que se puede hallar mediante: \[m={{y_2-y_1}\over{x_2-x_1}}={{\delta y}\over{\delta x}}\]
La pendiente
La pendiente se define como la inclinación de la línea en un punto determinado.
La pendiente de la recta es muy importante para muchos problemas, en los que debe ser calculada. Resolvamos uno de estos.
Encuentra la ecuación de la recta entre los puntos \((-1, 2)\) y \((0, 8)\). Deja tu respuesta en la forma \(y=mx+b\).
Solución:
Sea \(A = (-1, 2)\) y \(C = (0, 8)\).
Se puede encontrar la pendiente, utilizando la ecuación y los puntos \(A = (-1, 2)\) y \(C = (0, 8)\).
La ecuación es, entonces: \[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{8-2}{0-(-1)}=\dfrac{6}{1}=6\]
La ecuación implícita de la recta
Podrías reescribir el ejemplo anterior en la forma \(y=mx+b\), usando el punto \(A (-1, 2)\) y \(m = 6\), como sigue: \[y-2=6(x-(-1))=y-2=6(x+1)\]
La ecuación también se puede escribir en la forma \(Ax+By+C=0\). Pero, a diferencia de las dos primeras ecuaciones, esta forma no se puede conseguir sustituyendo directamente los valores en la fórmula. En su lugar, debes encontrar la ecuación en una de las dos primeras ecuaciones y luego ordenarla en la forma \(Ax+By+C=0\). Esta forma es la ecuación implícita de la recta.
Una recta tiene una pendiente de \(\dfrac{1}{2}\) y pasa por el punto de \((0, 10)\).
Escribe la ecuación de esta recta en la forma \(Ax+By+C=0\).
Solución:
Primero, escribe la ecuación de la recta en una de las dos primeras formas, donde: \(m=\dfrac{1}{2}\) y \(b=10\):
\[y= \dfrac{1}{2}x +10\]
A continuación, \(A\), \(B\) y \(C\) deben ser números enteros; por esto, debes multiplicar ambos lados de la ecuación por dos, para eliminar la fracción:
\[2y= x +20\]
Por último, tienes que mover la \(x\) al otro lado, para que esté en la forma \(Ax+By+C=0\):
\[2y - x - 20=0\]
La forma paramétrica de la recta
La recta también tiene una forma paramétrica; en ese caso, la recta se representa por las ecuaciones:
\[x=x_0+ \lambda x_v\]
\[y=y_0+\lambda y_v\]
En estas ecuaciones, los valores de \(x\) y \(y\) son dados de manera independiente.
Aquí:
\((x_0,y_0)\) son las coordenadas de algún punto sobre la recta.
\((x_v, y_v)\) son las coordenadas de un vector director.
\(\lambda\) es un valor dado.
Un vector director es un vector que da tanto la dirección como la orientación de la recta. En este sentido, toda recta posee un vector director.
Por ejemplo, supongamos que se tiene el vector \(u=(3,5)\) y la recta \(y=x\). Se sabe que uno de los puntos de la recta es \((3,3)\):
Fig. 2. Gráfica del vector director y la recta.
Con esta información, podemos usar las fórmulas y obtener:
\[x=3+ \lambda 3\]
\[y=5+ \lambda 3\]
Probemos esto: usemos \(\lambda=1\). Cuando esto sucede:
\[x=3+ 3=6\]
\[y=5+ 3=8\]
Y, si regresamos a la gráfica, ese punto existe:
Fig. 3: Gráfica del vector director y la recta.
Encontrar las coordenadas mediante la ecuación de la recta
Es posible que te pidan que encuentres las coordenadas, mediante una ecuación lineal. Para hacerlo, sustituye uno de los valores en la ecuación lineal, y obtendrás el otro:
La recta \(A\) tiene la ecuación lineal de \(y=10x-4\).
¿Cuáles son la coordenada y el valor de la recta, cuando \(x=14\)?
Solución:
Como conoces el valor de \(x\), puedes sustituirlo en la ecuación.
\[y=10·14-4\]
\[y=136\]
Por tanto, la respuesta es \((14, 136)\).
La recta \(B\) tiene la ecuación lineal \(y=2x+7\).
¿Cuál es la coordenada x de la recta, cuando \(y = 17\)?
Solución:
Como conoces el valor de \(y\), puedes sustituirlo en la ecuación:
\[17-2x+7\]
\[10=2x\]
\[x=5\]
Por tanto, la coordenada es \((5, 17)\).
Es importante que des tu respuesta en la forma que se pide en la pregunta. Si te piden que des las coordenadas, asegúrate de que das tu respuesta en forma de coordenadas. Este es un error común, pero fácil de evitar.
¿Cómo se traza la gráfica de una línea recta?
Para trazar una gráfica de una línea recta, tienes que seguir los siguientes pasos:
Crear una tabla con los valores \(x\) y los valores \(y\).
Dibujar el eje en el papel cuadriculado y etiquetar el eje, si se aplica a una situación del mundo real.
Trazar los puntos dados en la gráfica.
Unir todos los puntos con una sola línea recta, utilizando una regla.
Dibuja la recta \(y=2x+1\).
Solución:
1. Crea una tabla con los valores de \(x\) e \(y\).
| \(x\) | \(y\) |
| -3 | -5 |
| -2 | -3 |
| -1 | -1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 7 |
Tabla 1. Valores de \(x\) y \(y\) de una función.
2. Dibuja el eje:
Fig. 4. trazado de una gráfica, empezando por dibujar los ejes.
3. Traza tus puntos:
Fig. 5. Trazado de una gráfica, representando los puntos.
4. Une todos los puntos con una línea recta:
Fig. 6. Trazado de una gráfica, conectando los puntos en una línea.
Características de las pendientes de las rectas
Conocer las características de las pendientes de las rectas te facilitará el cálculo en los problemas sobre ecuaciones de rectas más difíciles. Utilizando el ejemplo anterior \(y=6x+8\), vamos a repasar las características de otros tipos de pendientes.
Pendiente negativa
La gráfica ilustra las líneas \(y=-6x+8\) y \(y=6x+8\).
Fig. 7. Rectas con pendiente negativa.
Podemos hacer dos observaciones, a partir de esta gráfica sobre la pendiente negativa:
- La intersección en (0, 8) es la misma, tanto para la pendiente positiva como para la negativa. Por lo tanto, tener una pendiente negativa no tiene efecto en la intersección en \(y\).
- A medida que aumentamos la variable \(x\), la variable disminuye en \(y\); por tanto, la recta se desplaza en dirección diagonal, hacia abajo.
La pendiente de las rectas paralelas
Las líneas paralelas son líneas que existen en la misma gráfica, pero que no se encuentran. Por eso, mantienen continuamente la misma distancia.
El siguiente gráfico representa dos líneas paralelas: \(y=6x+8\) y \(y=6x+15\).
Fig. 8. Rectas paralelas.
Hay dos observaciones que se pueden hacer sobre las líneas paralelas:
Cuando dos líneas son paralelas, las pendientes son las mismas. En este ejemplo, ambas líneas tienen una pendiente de 6.
Las rectas tienen diferentes valores de \(b\) y, por tanto, diferentes intersecciones en \(y\).
La pendiente de las rectas perpendiculares
Las rectas perpendiculares son líneas que se cruzan entre sí, con un ángulo de \(90º\).
La siguiente gráfica muestra dos rectas perpendiculares: \(y=6x+8\) y \(y=-\frac{1}{6}x+8\).
Fig. 9. Rectas perpendiculares.
Hay dos observaciones importantes que se pueden hacer sobre los gradientes de las líneas perpendiculares:
Para que las rectas se intercepten entre sí, las pendientes de las dos rectas deben ser recíprocas negativas entre sí. El recíproco negativo de una pendiente viene dado por la fórmula \(-1/m\), donde \(m\) es la pendiente original. En este ejemplo, las pendientes de las dos rectas son \(6\) y \(-\dfrac{1}{6}\), por lo cual son recíprocas negativas entre sí.
La intersección con el eje \(y\) es la misma para ambas rectas, ya que el punto de intersección se encuentra en el eje \(y\). La intersección en \(y\) sería diferente para cada recta, si la línea de intersección no estuviera en el eje \(y\). Por ejemplo, si el punto de intersección fuera \((1, 14)\), entonces se sustituirá en la fórmula \(y=mx+b\).
Funciones de primer grado
Ya que te hemos explicado lo que es la pendiente de una recta y que las rectas son funciones lineales del tipo \(y=mx+b\), debemos aclarar que estas también son conocidas como funciones de primer grado.
Una función de primer grado es aquella cuya variable está elevada a una potencia no mayor que la unidad.
Un ejemplo puede ser: \(f(x)=3x+2\).
Se ha determinado que el precio de un artículo sube 2 euros por mes. Si se sabe que esta es una relación lineal entre precio y aumento durante 12 meses, ¿cuál es el precio en 5 meses, si el original es de 120 euros?
Solución:
En primer lugar, sabemos que esta es una función lineal del tipo \(y=mx+b\), lo que implica una relación lineal. Debido a esto, sabemos que la relación es:
\[\text{precio}=y\]
\[\text{mes}=x\]
Como el precio aumenta cada mes —es decir, que el precio depende del mes—, aquí el precio es la variable dependiente y el mes la variable independiente.
Si en el primer mes se tiene:
\[y=a\]
\[x=1\]
Y en el segundo:
\[y=2+a\]
\[x=2\]
La pendiente es:
\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{2+a-a}{2-(1)}=2\]
El valor original es de 120 euros, que corresponde a \(b\) cuando \(x=0\).
Por esto, la ecuación es:
\[y=2x+120\]
Si \(x=\text{meses}\), entonces, en 5 meses tendrás:
\[y=2·5+120=130\]
En una función expresada como \(f(x)\), esta es igual a \(f(x)=y\); con lo cual, reescribimos la ecuación de la recta como \(y=mx+b\).
Ecuaciones lineales y sistemas
Hay veces que puedes tener más de una recta, que es más de una ecuación lineal. En este caso tienes un sistema de ecuaciones lineales: estas pueden ser resueltas por métodos como el de sustitución o por métodos de matrices, usando determinantes.
Sin embargo, una de las maneras de resolver estos sistemas de ecuaciones es representando ambas rectas en el plano y determinando el punto (si es que existe) en el que se cortan. Estos sistemas pueden tener una solución, infinitas soluciones o ninguna; en el sentido geométrico, la solución del sistema anterior son las coordenadas \((x, y)\), donde estas líneas se cruzan.
Gráficas lineales - Puntos clave
- \(y=mx+b\) es la ecuación principal de la recta; pero, también, se pueden utilizar \(y_2-y_1=m(x_2-x_1)\) y \(Ax+by=C\).
- En la ecuación de una recta, \(m\) representa la pendiente (que se puede encontrar mediante la fórmula: \(y_2-y_1/x_2-x_1\)) y \(c\) es la intersección en y de la gráfica de la recta
- Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, mientras que las pendientes de las rectas perpendiculares son el recíproco negativo de cada una.
- La ecuación de una recta vertical es \(x = d\), donde \(d\) es la intersección con el eje \(x\).
- La ecuación de una recta horizontal es \(y = b\), donde \(b\) es la intersección con el eje \(y\).
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