La función más conocida en cálculo es la siguiente: \(x^n\). Seguro que la has visto más de una vez; se trata de una variable elevada a una potencia que no se conoce.
Esta función se puede encontrar en muchos problemas prácticos, que van desde calcular velocidades, hasta estimación de poblaciones. Por esto mismo, es una de las funciones más importantes que debes saber integrar y derivar. En los siguientes párrafos te explicaremos cómo integrar estas funciones, no solo cuando tienes \(x^n\), sino también cuando \(x\) es una función propia \(f(x)\) o alguna función trigonométrica.
- En este artículo veremos en primer lugar los monomios.
- Después, explicaremos la integral de un monomio.
- A continuación, estudiaremos los binomios elevados a una potencia.
- Luego, realizaremos la integral de un binomio elevado a una potencia.
- A continuación, realizaremos la integral de un binomio al cuadrado.
- Por último, estudiaremos las integrales trigonométricas con potencias.
Monomios
Lo primero que debes saber es que, en las funciones, un único término es considerado un monomio.
Por ejemplo, los siguientes son monomios:
Un monomio es un término algebraico que consiste en una única expresión: no tiene sumas, restas ni divisiones.
Integral de un monomio
La integral de un monomio, si el término es \(x\), es:
\[\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\]
Veamos un ejemplo muy sencillo.
Integra la función \(f(x)=2x^6\).
Solución:
Si aplicamos la fórmula anterior, llegamos a:
\[F(x)=\int 2x^6 dx= 2\dfrac{x^{6+1}}{6+1}=2\dfrac{x^7}{7}\]
Para comprobar, podemos derivar esto, y obtendremos la función original:
\[F'(x)=2\dfrac{7x^{7-1}}{7}=2x^6=f(x)\]
Esta es la integral más básica que existe, sin contar la integral de una constante.
La integral de una constante podría ser interpretada como la integral de la siguiente función:
\[f(x)=\text{cte}· x^0\]
Debido a que \(x^0=1\), esto significa que la función es:
\[f(x)=\text{cte}\]
La integral, es en este caso, si usamos la fórmula original para \(x^n\):
\[\int \text{cte} \,dx=\dfrac{x^{0+1}}{1+1}=x\]
Lo cual tiene sentido.
También existen términos de potencias que no son monomios y que pueden ser interpretados como uno. Esto se debe a métodos de integración más avanzados, como los cambios de variables y la sustitución. Aquí introduciremos un poco estos.
Binomios elevados a una potencia
Supongamos tienes no un monomio, si no algo más complejo como \((x+1)^2\). Esta función podrás expandirla como \(x^2+2x+1\) y, después, integrar término por término; pero, esto sería muy complicado y largo. En primer lugar, a estos términos se les conoce como binomios, ya que poseen dos monomios.
Un binomio es una expresión que se compone solo de dos términos unidos por una suma o resta.
Ejemplos de binomios son los siguientes:
- \((a+b)^2\)
- \((3x+7)\)
\((2x+y)^3\)
La integral de términos como \(3x+1\) es muy sencilla, ya que este binomio se puede integrar fácilmente: una integral de un binomio como este es igual a la suma de las integrales de cada monomio. Veamos:
\[\int (3x+1)dx=\int 3x\,dx+\int 1\,dx\]
Sin embargo, las cosas cambian si se tiene algo del tipo \((2x+6)^2\), ya que la \(x\) forma parte de una función dentro de una función. Para calcular esta integral tendremos que hacer más cálculos.
A las expresiones con más de dos términos se les conoce como polinomios.
Integral de un binomio elevado a una potencia
En general, puedes tener que integrar funciones como \(f(x)=(2x-1)^2\) o \(g(x)=(x^2+3)^2\).
Como recuerdas del tema de derivadas, para derivar una función compuesta hay que derivar la función más exterior y multiplicar por la derivada de la función interior.
Esto quiere decir:
\[f(x)=(2x+3)^2\]
Por lo tanto, al derivarlo, obtenemos:
\[f'(x)=2(2x+3)·2\]
Donde el último \(2\) corresponde a la derivada de la función interior \(2x\). La razón es que, cuando integramos, tenemos que hacer el proceso contrario: dividir por la derivada de la función interior.
La fórmula general para integración de un binomio es, entonces,
\[\int (ax+b)^ndx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}\dfrac{1}{a}\]
Dividimos entre \(a\) porque es la derivada de la función interior \(ax\).
Observemos un ejemplo:
Calcula la siguiente integral:
\[\int (3x-2)^2\,dx\]
Solución:
Aplicamos la fórmula anterior:
\[\int (3x-2)^2dx=\dfrac{(3x-2)^3}{3}\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9}(3x-2)^3\]
Si quieres, puedes derivar esta función, para ver que da el mismo resultado que la función original:
\[\left(\dfrac{1}{9}(3x-2)^3\right)'=\dfrac{1}{9}3(3x-2)^2·3=(3x-2)^2\]
Integral de binomio al cuadrado
Una manera de explicar el porqué de la fórmula anterior puede ser demostrando el caso de cuando se tiene \(n=2\). En estos casos, el binomio es:
\[f(x)=(ax+b)^2\]
Para ello, se aplica un método conocido como cambio de variable: el término \(ax+n\) pasa a ser una nueva variable conocida como \(u\).
Así que se tiene:
\[ax+b=u\]
Sustituyendo, llegamos a:
\[(ax+b)^2=u^2\]
y
\[du=a·dx\]
Esto se debe a que \(\dfrac{d}{dx}(ax+b)=\dfrac{d}{du}u\), lo cual es:
\[a·dx=du\Rightarrow dx=\dfrac{du}{a}\]
Así, se convierte la integral en:
\[\int(ax+b)^2 dx=\int u^2 \dfrac{du}{a}\]
Si \(u\) es la nueva variable, e integramos, se tiene:
\[\int u^2 \dfrac{du}{a}=\dfrac{1}{a}\dfrac{u^{2+1}}{2+1}=\dfrac{1}{a}\dfrac{u^3}{3}\]
Ahora, regresamos a la variable original:
\[\dfrac{1}{a}\dfrac{u^3}{3}=\dfrac{1}{a}\dfrac{(ax+b)^3}{3}\]
Cuando tienes más experiencia, estas integrales son muy rápidas.
Lo demostraremos con el siguiente ejemplo.
Realiza la integral de \((3x+4)^2\).
Solución:
En este caso \(u=3x+4\), y sabemos que \(du=a·dx\).
Por tanto,
\[\int (3x+4)^2 dx=\dfrac{1}{3}\int u^2 du\]
Esta integral de una variable a una potencia es:
\[\dfrac{1}{3}\int u^2 du=\dfrac{1}{3}\dfrac{u^3}{3}\]
Al regresar a la variable original, llegaremos a:
\[\dfrac{(3x+4)^3}{9}\]
Integrales trigonométricas con potencias
Hay otras funciones que se pueden componer de un solo término elevado a una potencia; esta integración no es sencilla ya estas funciones (en análisis) son las funciones trigonométricas. Sabes muy bien que la integral del \(\sin(x)\) es el \(\cos(x)\). Sin embargo, términos como \(\sin^2(x)\) requieren más trabajo.
Las integrales de una función trigonométrica con potencias se pueden resolver usando varios métodos. Algunos de ellos son:
Los dos primeros métodos son muy complejos, pero tienen sus propios artículos que puedes consultar. Por eso, ahra nos enfocaremos en el último:
Supongamos que tienes la siguiente integral:
\[\int \sin^2(x) dx\]
No es sencillo resolverla, ¿no es así?
Para lograrlo, deberás hacer uso de la identidades trigonométricas, utilizando la siguiente:
\[\sin^(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\cos(2\theta)}{2}\]
De este modo, la integral es:
\[\int \sin^2(x) dx= \int \dfrac{1}{2}-\dfrac{\cos(2x)}{2}\]
Como puedes ver, esta integral es mucho más sencilla, ya que puedes integrar el primer término directamente:
\[\int \dfrac{1}{2} dx=\dfrac{x}{2}\]
La segunda integral se puede resolver con un cambio de variable, en el cual \(u=2x\); así que \(du=2dx\).
De esta manera, nos queda:
\[\int \dfrac{\cos(2x)}{2} dx=\int \dfrac{\cos(u)}{4} du\]
Esta integral es:
\[\int \dfrac{\cos(u)}{4} du=\dfrac{-\sin(u)}{4}\]
Regresando a la variable original, tenemos
\[\dfrac{-\sin(u)}{4}=\dfrac{-\sin(2x)}{4}\]
y, sumando ambas:
\[\int \sin^2(x) dx= \dfrac{x}{2}-\dfrac{-\sin(2x)}{4}\]
Integrales de una potencia - Puntos claves
La integral más sencilla es \(\int x^n dx\).
Un solo término algebraico es llamado un monomio.
Dos términos algebraicos son considerados un binomio.
Una integral del tipo \((ax+b)^n\) se puede resolver con un cambio de variable, donde \(u=(ax+b)\) y \(a·dx=du\).
Integrales trigonométricas de los tipos \(\sin^2(x)\) o \(\cos^2(x)\) se pueden resolver usando identidades trigonométricas.
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