Suele ser raro que haya una función que podamos integrar directamente, ya que para una función no básica es difícil hacer el cálculo inverso de una derivada en nuestra cabeza. Esto significa que tenemos que utilizar un método de integración: el de la integración por cambio de variable.
Integrales por cambio de variable o sustitución de variable
Las integrales por cambio de variable —también conocidas como integrales por sustitución de variable— se realizan introduciendo una nueva variable en la ecuación y utilizando esta elección de cambio para que la integral sea más fácil de resolver.
Siempre que hagamos una integral por cambio de variable, debemos cambiar, también, el diferencial en la integral; ya que ahora estaremos considerando el área con respecto a un cambio en una variable diferente. Esto lo hacemos diferenciando el cambio de variable y, luego, tratando el diferencial del cambio de variable (por ejemplo \(\dfrac{dy}{dx}\)) como una fracción, para reemplazar el diferencial original.
Una buena manera de ver la integración por cambio de variable es la inversa de la regla de la cadena para la diferenciación. ¿La recuerdas?: la regla de la cadena para dos funciones \(f,g\) viene dada como: \([f(g(x))]'=f'(g(x)) · g'(x)\).
Para llegar a la fórmula básica de integración por partes, podemos integrar ambos lados con respecto a \(x\) para obtener:
\[\int f'(g(x)) \cdot g'(x)dx=f(g(x))\]
Sustituimos, entonces, de modo que: \(u=g(x)\)
y llegaremos a la integral de \(f'(u)\): \(f'(u)=f'(g(x))\).
Si podemos integrar por sustitución, suele ser beneficioso hacerlo, en lugar de recurrir a otro método como la integración por partes. Esto se debe a que el cambio de variable suele ser un método más rápido y eficaz que la integración por partes. Sin embargo, la mayoría de las integrales no pueden resolverse usando los dos métodos, indistintamente, por lo que es esencial tener un buen conocimiento de ambos.
Pasos para resolver integrales por cambio de variable
El método general para realizar la integración por cambio de variable es el siguiente:
Elegir un cambio de variable que permita cambiar todos los términos y facilitar al máximo la integral.
Diferenciar el cambio de variable, de forma que podamos cambiar el diferencial.
Realizar el cambio de variable.
Completar la integral.
Deshacer el cambio de variable.
Para comprenderlo mejor, veamos este caso:
Utiliza la integración por cambio de variable para integrar: \(\int \dfrac{2x+7}{x^2+7x+14} dx\).
Solución
Intenta, primero, un cambio de variable de: \(u=x^2+7x+14\).
Si utilizas este cambio de variable, entonces:
\[\dfrac{du}{dx}=2x+7\]
\[dx=\dfrac{du}{2x+7}\]
A continuación, sustituye esto en la integral:
\[\dfrac{2x+7}{x^2+7x+14}dx=\int \dfrac{2x+7}{u}=\int \dfrac{1}{u}du\]
Esto es ahora una integral estándar, por lo que podemos integrarla.
Como ya hemos visto, esto se integra a \(ln|u|\):
\[\int \dfrac{1}{u}=ln|u|+c=ln|x^2+7x+14|+c=ln|(x^2+7x+14)|+c\]
al ser el argumento del logaritmo una función cuadrática, podemos eliminar el valor absoluto, ya que la función dentro del mismo siempre será mayor que 0.
Esto se comprueba fácilmente utilizando el discriminante o completando el cuadrado.
Cambio de variable del tipo \(u = ax + b\)
¡Este es, quizás, el cambio de variable más sencillo de realizar! Supongamos que tenemos una función que sabemos integrar, pero el sujeto de esta función es \(ax+b\), en lugar de una sola variable. Aquí es donde la fórmula de integración por cambio de variable \(u=ax+b\) facilita las cosas.
Veámoslo en detalle en los siguientes ejemplos:
Encontrar \(\int (9x+3)^7 dx\).
Solución
Aquí, podríamos multiplicar el binomio, o podemos hacer un cambio de variable. Vamos a hacer el cambio de variable:
\[u=9x+3\]
\[x=\dfrac{u-3}{9}\]
\[dx=\dfrac{du}{9}\]
Esto significa que nuestra integral es ahora:
\[\int (9x+3)^7 dx = \dfrac{1}{9} \int u^7 du = \dfrac{1}{72} u^8 +c = \dfrac{1}{72}(9x+3)^8 +c \]
Encontrar: \(\int \dfrac{1}{3x+1} dx\).
Solución
Hagamos el siguiente cambio de variable:
\[u=3x+1\]
\[x=\dfrac{u-1}{3}\]
\[dx=\dfrac{du}{3}\]
Entonces, podemos usar la cambio de variable así:
\[\int \dfrac{1}{3x+1}=\dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{u} du= \dfrac{1}{3} ln |u|+c = \dfrac{1}{3} ln |3x+1|+c\]
Hallar: \(\int \cos (3x+5) dx\)
Solución
Sabemos cómo integrar la función coseno de una sola variable, así que vamos a intentar convertir esta expresión a una nueva forma:
\[u=3x+5\]
\[dx=\dfrac{du}{3}\]
Al sustituir, obtenemos:
\[\int \cos (3x+5) dx= \dfrac{1}{3} \int \cos (u) du = \dfrac{1}{3} \sin(u)+c = \dfrac{1}{3} \sin (3x+5) + c\]
Utilizar la regla de la cadena inversa
Como se mencionó anteriormente, podemos llegar a la idea de integración por cambio de variable mediante la integración, usando la regla de la cadena. Como referencia, aquí es donde nos deja eso:
\[\int f'(g(x)) \cdot g'(x)dx=f(g(x))\]
El objetivo es hacer el cambio de variable del tipo: \(u=g(x)\), \(\dfrac{du}{dx}=g'(x)\).
Sustituyendo esto, obtenemos lo que necesitábamos:
\[\int f'(g(x)) \cdot g'(x)dx = \int f'(u) \cdot g'(x) \cdot \dfrac{du}{g'(x)}=\int f'(u)du \]
\[f(u)=f(g(x))\]
Nota que, para ser más concisos, se ha excluido la constante de integración.
Integrar: \(\int 2xe^{x^2}dx\).
Solución
Se conoce la siguiente derivada: \(\dfrac{d}{dx} \cdot x^2 = 2x)\).
por lo que esta expresión puede ser un buen cambio de variable, si hacemos que:
\[u=x^2\]
\[dx=\dfrac{du}{2x}\]
Al sustituir esto, llegamos a:
\[\int 2xe^{x^2}dx=\int 2xe^u \dfrac{du}{dx}=\int e^u du = e^u du= e^u+c= e^{x^2}+c\]
Integrar por cambio de variable la función: \(\dfrac{sec^2(x)}{1+\tan(x)}dx\).
Solución
Si hacemos las sustituciones:
\[u=1+\tan(x)\]
\[dx=\dfrac{du}{sec^2(x)}\]
tenemos, entonces:
\[\int \dfrac{sex^2(x)}{1+\tan(x)}dx=\int \dfrac{sec^2(x)}{u} \cdot \dfrac{du}{sec^2(x)}\]
\[ln|u|+c=ln|1+\tan (x)|+c\]
Ejercicios con integrales por cambio de variable
Al estudiar la integración por cambio de variable, hay un par de ejemplos clave que hay que tener en cuenta:
Integral de \(\dfrac{1}{a^2+x^2}\)
Solución
Hagamos el siguiente cambio de variable: \(u =a \tan(u)\).
Si diferenciamos este cambio de variable, obtenemos:
\[\dfrac{dx}{du}=\ sec^2(u)\]
\[dx= a sec^2(u)du\]
Esto da, entonces:
\[\int \dfrac{1}{a^2+x^2}dx=\int \dfrac{1}{a^2 + a^2 \tan^2 (u)} a sec^2 (u) du\]
Ahora, debemos recordar la identidad: \(1+ \tan^2 (u) = sec^2 (u)\).
Esto significa que:
\[\int \dfrac{1}{a^2+a^2 \tan^2(u)} \cdot a sec^2 (u) du= \int \dfrac{a sec^2(u)}{a^2 sec^2(u)}du=\dfrac{1}{a} \int = \dfrac{u}{a}+c\]
Para terminar, deshacemos el cambio de variable:
\[x=a \tan(u) \rightarrow u=arctan ( \frac{x}{a} ) \]
Por lo que el resultado final de la integral es:
\[\dfrac{u}{a}+c=\dfrac{\arctan(\frac{x}{a})}{a}+c\]
Integral de \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
Solución
Hagamos la sustitución:
\[x=a \sin(u)\]
\[dx=a \cos(u)du\]
Sustituyendo lo anterior en la integral, obtenemos:
\[\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-a^2sin^2(x)}} \cdot a \cos(u)du = \int du = u+c = arcsin(\frac{x}{a})+c\]
Donde hemos utilizado la identidad:
\(1-sin^2(u)=\cos^2(u)\)
Integración definida por cambio de variable
Todavía podemos hacer integración por cambio de variable cuando tenemos una integral definida; sin embargo, debemos recordar cambiar los límites de la integral, en consecuencia. Además, si cambiamos los límites, ya no necesitamos deshacer el cambio de variable. Esto se muestra a continuación:
Hallar la siguiente integral: \(\int^5_0 xe^{x^2}dx \)
Solución
Hagamos la sustitución:
\[u=x^2\]
\[du=2xdx\]
Entonces, los límites cambian:
\[0^2=0\]
\[5^2=25\]
Esto nos da:
\[\int^5_0 xe^{x^2}=\dfrac{1}{2} \int^25_0 e^u du= \dfrac{1}{2}e^u|^{25}_0=\dfrac{e^{25}-1}{2} \]
Integrales con exponenciales por cambio de variable
Las integrales con exponenciales pueden ser resueltas fácilmente usando un cambio de variable. Hagamos un ejercicio sencillo:
Calcula: \(\int e^{2x}dx\)
Solución
Como sabes, aquí se puede hacer el siguiente cambio de variable:
\[u=2x\]
\[du=2dx\]
Por lo cual, \(dx=\dfrac{du}{2}\)
Entonces, si sustituimos todo en la formula original, obtenemos:
\[\int e^{2x} dx = \int \dfrac{e^u}{2} du \]
Lo cual se puede integrar fácilmente.
Las integrales con exponenciales también pueden ayudarnos cuando tenemos integrales por partes y uno de los términos es un exponencial.
Integrales inmediatas por cambio de variable
Muchas veces podrás hacer una integral inmediata. Algunas de ellas son las de las formas que ya mostramos:
\[\int \dfrac{1}{a^2+x^2}dx=\dfrac{1}{a} arctan(\frac{x}{a})\]
En este caso, solo debes encontrar cuál es el término \(a\) y cuál es \(x\).
Otra integral que se hace de manera inmediata son las de tipo exponencial como:
\[\int e^u du\]
Aquí, simplemente, debemos sustituir \(u\) y\(du\) y obtener la integral para resolverla.
De manera general no encontrarás estas integrales fácilmente; pero, en ciertos casos, podrás hacer factorizaciones o sustituciones para completar estos términos.
Revisemos el ejemplo siguiente:
Integra:
\[\int \dfrac{8x}{\sqrt{16x^2+4x^2(-1+\sin^2(x))}}dx\]
Solución
En este caso, la integral se ve bastante complicada y no hay una fórmula por la cual podamos resolverla fácilmente.
Sin embargo, si usamos la identidad de la suma del seno y el coseno al cuadrado, tenemos:
\[\int \dfrac{8x}{\sqrt{16x^2-4x^2\cos^2(x)}}dx\]
Asimismo, si factorizamos parte del término cuadrático tenemos:
\[\int \dfrac{8x}{\sqrt{4x^2(4-\cos^2(x)}}dx\]
Y si extraemos este término:
\[\int \dfrac{8\cancel{x}}{2\cancel{x}\sqrt{(4-\cos^2(x)}}dx\]
Con esto, la integral se convierte en una del tipo:
\[\dfrac{8}{2}\int \dfrac{1}{\sqrt{(4-\cos^2(x)}}dx=4\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-b^2 \cdot x}}\]
¡Esta integral sí se puede resolver más fácilmente!
Por eso, en general, cuando encuentres esto deberás factorizar o usar identidades para poder resolver tus problemas de manera sencilla.
Integración por sustitución - Puntos clave
- La integración por cambio de variable es la inversa de la regla de la cadena para las derivadas.
- Cuando la integral es de la forma \(\int f'(g(x)) \cdot g'(x) dx\), utiliza el cambio de variable \(u=g(x)\).
- Al integrar una integral definida, asegúrate de utilizar también el cambio de variable para desplazar los límites.
- En una integral indefinida, asegúrate de deshacer el cambio de variable y de incluir, también, una constante de integración.
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