Integrales por Cambio de Variable

Utiliza la integración por cambio de variable para integrar: \(\int \dfrac{2x+7}{x^2+7x+14} dx\).

Solución

Intenta, primero, un cambio de variable de: \(u=x^2+7x+14\).

Si utilizas este cambio de variable, entonces:

\[\dfrac{du}{dx}=2x+7\]

\[dx=\dfrac{du}{2x+7}\]

A continuación, sustituye esto en la integral:

\[\dfrac{2x+7}{x^2+7x+14}dx=\int \dfrac{2x+7}{u}=\int \dfrac{1}{u}du\]

Esto es ahora una integral estándar, por lo que podemos integrarla.

Como ya hemos visto, esto se integra a \(ln|u|\):

\[\int \dfrac{1}{u}=ln|u|+c=ln|x^2+7x+14|+c=ln|(x^2+7x+14)|+c\]

al ser el argumento del logaritmo una función cuadrática, podemos eliminar el valor absoluto, ya que la función dentro del mismo siempre será mayor que 0.

Encontrar \(\int (9x+3)^7 dx\).

Solución

Aquí, podríamos multiplicar el binomio, o podemos hacer un cambio de variable. Vamos a hacer el cambio de variable:

\[u=9x+3\]

\[x=\dfrac{u-3}{9}\]

\[dx=\dfrac{du}{9}\]

Esto significa que nuestra integral es ahora:

\[\int (9x+3)^7 dx = \dfrac{1}{9} \int u^7 du = \dfrac{1}{72} u^8 +c = \dfrac{1}{72}(9x+3)^8 +c \]

Encontrar: \(\int \dfrac{1}{3x+1} dx\).

Solución

Hagamos el siguiente cambio de variable:

\[u=3x+1\]

\[x=\dfrac{u-1}{3}\]

\[dx=\dfrac{du}{3}\]

Entonces, podemos usar la cambio de variable así:

\[\int \dfrac{1}{3x+1}=\dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{u} du= \dfrac{1}{3} ln |u|+c = \dfrac{1}{3} ln |3x+1|+c\]

Hallar: \(\int \cos (3x+5) dx\)

Solución

Sabemos cómo integrar la función coseno de una sola variable, así que vamos a intentar convertir esta expresión a una nueva forma:

\[u=3x+5\]

\[dx=\dfrac{du}{3}\]

Al sustituir, obtenemos:

\[\int \cos (3x+5) dx= \dfrac{1}{3} \int \cos (u) du = \dfrac{1}{3} \sin(u)+c = \dfrac{1}{3} \sin (3x+5) + c\]

Integrar: \(\int 2xe^{x^2}dx\).

Solución

Se conoce la siguiente derivada: \(\dfrac{d}{dx} \cdot x^2 = 2x)\).

por lo que esta expresión puede ser un buen cambio de variable, si hacemos que:

\[u=x^2\]

\[dx=\dfrac{du}{2x}\]

Al sustituir esto, llegamos a:

\[\int 2xe^{x^2}dx=\int 2xe^u \dfrac{du}{dx}=\int e^u du = e^u du= e^u+c= e^{x^2}+c\]

Integrar por cambio de variable la función: \(\dfrac{sec^2(x)}{1+\tan(x)}dx\).

Solución

Si hacemos las sustituciones:

\[u=1+\tan(x)\]

\[dx=\dfrac{du}{sec^2(x)}\]

tenemos, entonces:

\[\int \dfrac{sex^2(x)}{1+\tan(x)}dx=\int \dfrac{sec^2(x)}{u} \cdot \dfrac{du}{sec^2(x)}\]

\[ln|u|+c=ln|1+\tan (x)|+c\]

Integral de \(\dfrac{1}{a^2+x^2}\).

Solución

Hagamos el siguiente cambio de variable: \(u =a \tan(u)\).

Si diferenciamos este cambio de variable, obtenemos:

\[\dfrac{dx}{du}=\ sec^2(u)\]

\[dx= a sec^2(u)du\]

Esto da, entonces:

\[\int \dfrac{1}{a^2+x^2}dx=\int \dfrac{1}{a^2 + a^2 \tan^2 (u)} a sec^2 (u) du\]

Ahora, debemos recordar la identidad: \(1+ \tan^2 (u) = sec^2 (u)\).

Esto significa que:

\[\int \dfrac{1}{a^2+a^2 \tan^2(u)} \cdot a sec^2 (u) du= \int \dfrac{a sec^2(u)}{a^2 sec^2(u)}du=\dfrac{1}{a} \int = \dfrac{u}{a}+c\]

Para terminar, deshacemos el cambio de variable:

\[x=a \tan(u) \rightarrow u=arctan ( \frac{x}{a} ) \]

Por lo que el resultado final de la integral es:

\[\dfrac{u}{a}+c=\dfrac{\arctan(\frac{x}{a})}{a}+c\]

Integral de \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\).

Solución

Hagamos la sustitución:

\[x=a \sin(u)\]

\[dx=a \cos(u)du\]

Sustituyendo lo anterior en la integral, obtenemos:

\[\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-a^2sin^2(x)}} \cdot a \cos(u)du = \int du = u+c = arcsin(\frac{x}{a})+c\]

Donde hemos utilizado la identidad:

\(1-sin^2(u)=\cos^2(u)\)

Hallar la siguiente integral: \(\int^5_0 xe^{x^2}dx \)

Solución

Hagamos la sustitución:

\[u=x^2\]

\[du=2xdx\]

Entonces, los límites cambian:

\[0^2=0\]

\[5^2=25\]

Esto nos da:

\[\int^5_0 xe^{x^2}=\dfrac{1}{2} \int^25_0 e^u du= \dfrac{1}{2}e^u|^{25}_0=\dfrac{e^{25}-1}{2} \]

Calcula: \(\int e^{2x}dx\).

Solución

Como sabes, aquí se puede hacer el siguiente cambio de variable:

\[u=2x\]

\[du=2dx\]

Por lo cual, \(dx=\dfrac{du}{2}\).

Entonces, si sustituimos todo en la formula original, obtenemos:

\[\int e^{2x} dx = \int \dfrac{e^u}{2} du \]

Lo cual se puede integrar fácilmente.

Integra:

\[\int \dfrac{8x}{\sqrt{16x^2+4x^2(-1+\sin^2(x))}}dx\]

Solución

En este caso, la integral se ve bastante complicada y no hay una fórmula por la cual podamos resolverla fácilmente.

Sin embargo, si usamos la identidad de la suma del seno y el coseno al cuadrado, tenemos:

\[\int \dfrac{8x}{\sqrt{16x^2-4x^2\cos^2(x)}}dx\]

Asimismo, si factorizamos parte del término cuadrático tenemos:

\[\int \dfrac{8x}{\sqrt{4x^2(4-\cos^2(x)}}dx\]

Y si extraemos este término:

\[\int \dfrac{8\cancel{x}}{2\cancel{x}\sqrt{(4-\cos^2(x)}}dx\]

Con esto, la integral se convierte en una del tipo:

\[\dfrac{8}{2}\int \dfrac{1}{\sqrt{(4-\cos^2(x)}}dx=4\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-b^2 \cdot x}}\]

¡Esta integral sí se puede resolver más fácilmente!