¿Sabías que hay dos formas de pensar en los límites infinitos? La primera es la que ocurre cuando se obtiene una asíntota vertical. El otro tipo de límite infinito es pensar en lo que ocurre con los valores de las funciones cuando se hacen muy grandes; ese es el enfoque que exploraremos aquí.
Definición de límite al infinito
Recuerda que el símbolo \(\infty\) no representa un número real. En cambio, \(\infty\) describe el comportamiento de los valores de la función \(f(x)\) —que se hacen más y más grandes—; al igual que \(-\infty\) describe el comportamiento de una función que se hace más y más negativa.
Así que, si ves \[\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L\] no lo tomes como un valor de la función.
Escribir el límite de esta manera es solo una abreviatura para darte una mejor idea de lo que la función está haciendo cuando crece en valores muy grandes para que los calcules.
Veamos la definición y, luego, un ejemplo.
Decimos que una función \(f(x)\) tiene un límite en el infinito si existe un número \(L\) al cual la función se acerca a medida que crece; es decir, \(f(x)=L\) cuando \(x\rightarrow\infty\).
¿Cómo calcular límites infinitos?
Hay tres maneras sencillas de calcular los límites al infinito:
Por representación gráfica
Por sustitución
Por deducción
Veamos los tres métodos con un ejemplo.
Calculando el límite al infinito de una función mediante tres métodos
Observa la siguiente gráfica de una función \(f(x)\).
Aquí, la función es \[f(x)={{1}\over{x}}\]
Analicemos la parte derecha de la función, de \(0\) a \(\infty\).
Fig. 1: Representación gráfica de la función \(\frac{1}{x}\), donde se puede observar el límite al infinito de la función.
Por representación gráfica
Si observas la gráfica, te podrás dar cuenta de que conforme \(x\) avanza hacia números más grandes, el valor de \(y\) se hace más pequeño; en este caso, podemos decir que se acerca a cero.
Por sustitución
Sustituiremos valores de \(x\), cada vez más grandes.
Comencemos con \(x=1\): \[f(1)={{1}\over{1}}\]
Ahora, hacemos lo mismo con \(x=2\): \[f(1)={{1}\over{2}}\]
Veámoslo en una tabla hasta \(x=11\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
| \(3\) | \(0{,}333...\) |
| \(4\) | \(0{,}25\) |
| \(5\) | \(0{,}2\) |
| \(6\) | \(0{,}1666...\) |
| \(7\) | \(0{,}428...\) |
| \(8\) | \(0{,}125\) |
| \(9\) | \(0{,}111...\) |
| \(10\) | \(0{,}1\) |
| \(11\) | \(0{,}090...\) |
Tabla 1: Valores de \(x\) y \(f(x)\) para la función \(\frac{1}{x}\).
Observamos que nuestro valor se acerca a \(y=0\), conforme \(x\rightarrow\infty\). Podríamos seguir sustituyendo números y veríamos que el número se hace cada vez más pequeño. Por ejemplo, \(x=100\) nos daría \(y=0,01\). Esto es un método un poco de fuerza bruta, pero podríamos usar la intuición.
Por deducción
Sabemos que \(x\) crece y, por lo tanto, cualquier número que divida a uno producirá un número cada vez más pequeño. En este caso, estamos usando la lógica básica y deduciendo.
Para comprenderlo mejor, puedes leer nuestro artículo Demostraciones por deducción.
De acuerdo con lo anterior, el número \(L\) al cual se acerca la función \(f(x)\), conforme crece, es \(y=0\). Observa que no decimos que lo toca, si no que se acerca.
Sencillo, ¿no te parece? Tienes varias opciones para poder calcular esto. Veamos un ejemplo, no tan sencillo, que te obligará a aplicar deducción, lógica básica y sustitución, además de desafiar tu concepto gráfico.
Cuando el límite al infinito tiende a infinito
Hay veces que, conforme \(x\) crece, también lo hace \(y\); pero, muchas veces no es tan evidente. Por eso, en este caso debemos hacer uso de todas las herramientas que tenemos a mano, para poder saber qué pasa en valores muy grandes.
Deducción, lógica, sustitución y gráficas de funciones: ¡todas estas son herramientas que te ayudarán en estos casos!
Demuestra que la función \(y(x)=\sqrt[3]{x}\) tiene como límite al infinito \(y=\infty\).
Primero, veamos la gráfica de la función raíz cúbica:
Fig. 2: Límite de la función cúbica al infinito.
A primera vista, esta parece tener un valor al cual se acerca: cada vez que \(x\) crece, \(y\) parece crecer menos. ¿No es así?
Hagamos cálculos por sustitución:
¿qué pasa si \(x=100\)?: \[f(100)={\sqrt[3]{100}}=4,64\]
Parece que no crece mucho, ¿no es cierto?
Pero, si hacemos un \(x=1000\):\[f(1000)={\sqrt[3]{1000}}=10\], parece seguir creciendo.
Hagamos, ahora \(x=1.000.000\): \[f(1.000.000)={\sqrt[3]{1.000.000}}=100\]
Evidentemente, la función sigue creciendo; así que la sustitución nos dice que parece no haber un límite al infinito donde haya un número \(L\) al cual se acerque \(y\).
Debido a esto, hagamos una deducción lógica:
Podemos elevar al cubo en ambos lados de la ecuación; es como un balance ¿no es así?
Esto se traduce en: \[[f(x)]^3=x\] o \[y^3=x\].
De este modo, mientras \(y\) crece al cubo, \(x\) también crece (pero más lentamente) y ambas lo hacen sin ningún límite. Así que, a medida que \(x\rightarrow\infty\), \(y\rightarrow\infty\).
Límites: infinitos menos infinito, infinito más infinito o infinito más una constante
Hay funciones donde podrías tener una combinación de dos o más funciones y podrías necesitar saber el límite de estas al infinito.
Por ejemplo, la función \[f(x)=\dfrac{4x^3+x}{2x^2}\] parece algo complicada.
Pero, puedes dividir en \[f(x)=2x+{{x}\over{2x^2}}\]
El segundo término se deduce un poco más fácilmente: la función \(\dfrac{x}{2x^2}\) tiende hacia cero, debido a que podemos expresarlo como \(\dfrac{1}{2x}\). Esto significa que, conforme \(x\rightarrow\infty\), entonces \(\dfrac{1}{2x}\rightarrow 0\).
¡Ahora tenemos dos funciones separadas! En este caso, la primera función nos da cero y la segunda, que es \(2x\), simplemente crece.
En situaciones como esta, el límite de la función es la suma de cada uno de los límites. Por tanto:
- Si uno de los límites tiende a infinito y el otro a una constante, la suma seguirá siendo infinito.
- Si los dos límites son infinitos, entonces la suma será infinito también.
El problema surge cuando un límite tiende al infinito y el otro a menos infinito, porque su suma es indeterminada.
Límites infinito menos infinito
Como ya mencionamos, el \(\infty\) no es un número; es una noción de algo que crece indefinidamente, o que es muy grande para ser contable o numerable.
En el caso de los límites, a veces se puede tener una resta de infinitos. ¿Qué sucede en este caso? ¿Un infinito supera al otro infinito? ¿El resultado es cero? Ninguna de estas respuestas es correcta, lo que sucede es que se indetermina el resultado; es decir, no se sabe.
Supongamos una función con un límite a cero, y no al infinito: \[\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=2x-x^3\]
Los límites individuales nos dan infinito, y se tiene: \[\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty - \infty \]
En este caso, no se sabe realmente el límite, porque es como decir “algo muy grande se sustrae de algo muy grande”.
Cuando esto ocurre, hay que reordenar la función, de manera que obtengamos otro tipo de indeterminación que sí sepamos resolver mediante algún método. Siguiendo con el ejemplo anterior, lo que podemos hacer es sacar un factor común y aplicar el límite:
\[\lim_{x\to \infty }x^3\left(\dfrac{2x}{x^3}-1\right)=\lim_{x\to \infty}x^3\left(\dfrac{2}{x^2}-1\right)=\infty\left(\dfrac{2}{\infty}-1\right)=\infty\left(0-1\right)=\infty·(-1)=-\infty\]
Limites inexistentes al infinito
Hay casos en los que el límite en el infinito no existe. Esto no significa que el límite sea indeterminado; significa que la función no toma un valor determinado en el infinito, ni tampoco crece hasta el infinito.
Por ejemplo, esto ocurre con funciones oscilantes acotadas, como las funciones seno y coseno.
Fig. 3: Los límites no existen el infinito para la función \(\sin(x\)).
Si vemos la gráfica de la función \(\sin(x)\), cuando \(x\) tiende al infinito, esta no se acerca a ningún valor, sino que oscila indefinidamente. En este caso, la función \(f(x)\) está acotada entre \([-1, 1]\) y, por lo tanto, el límite en el infinito no existe \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\nexists\).
Asíntotas
En los casos en los que el límite de una función resulta un valor determinado cuando \(x\) tiende a \(\pm\infty\), se dice que esa función presenta una asíntota. Las asíntotas son importantes porque nos indican el comportamiento de las funciones cuando \(x\) tiende al \(\infty\) o al \(-\infty\).
Por ejemplo: en el caso de la función \({{1}\over{x}}\), \(y=0\) es una asíntota horizontal, conforme la función \(f(x)\) se aleja al \(\infty\) o al \(-\infty\).
Fig. 4: La función \(\frac{1}{x}\) tiene una asíntota en \(y=0\).
Cuando los límites son hacia ciertos números como \(x=0\) en \({{1}\over{x}}\), estas son asíntotas verticales.
Límites al infinito: ejemplos
Vamos algunos ejemplos que te pueden ayudar a aclarar lo que te hemos mostrado.
¿Cuál es el límite para la siguiente función, cuando \(x\rightarrow\infty\) de \(f(x)\)?
\[f(x)={{1}\over{x}}(\sin(x))\]
Solución:
Podemos ver que la primera parte de la función \({1}\over{x}\) decrece; pero, ¿qué pasa con la función \(\sin(x)\)?
Sabemos que es una función oscilante, pero acotada; es decir, que los valores de esta función se encuentran siempre en \([-1,1]\). Por tanto, podemos considerarlo una constante frente al límite de la función \(\frac{1}{x}\). Entonces, \[\lim_{x\to \infty}\dfrac{1}{x}\sin(x)=\dfrac{1}{\infty}·C=0\]
Para comprobarlo, hagamos una tabla de valores de la función \(f(x)\), de 5 en 5, hasta 50.
| \(x\) | \(f(x)\) |
| \(0\) | \(\nexists\) |
| \(5\) | \(-0{,}191785\) |
| \(10\) | \(-0{,}0544021\) |
| \(15\) | \(0{,}0433525\) |
| \(20\) | \(0{,}0456473\) |
| \(25\) | \(-0{,}00529407\) |
| \(30\) | \(-0{,}0329344\) |
| \(35\) | \(-0{,}0122338\) |
| \(40\) | \(0{,}0186278\) |
| \(45\) | \(0{,}018909\) |
| \(50\) | \(-0{,}0052475\) |
Tabla 2. La sustitución de los valores en la tabla de la función \(\sin(x)\) por \({1\over{x}}\) nos indica que, progresivamente, se acerca a cero.Como puedes observar, los valores oscilan (debido al \(\sin(x)\)); pero, igualmente, cada vez se van acercando más a \(0\). Veamos la gráfica:
Fig. 5: La función \(f(x)\) oscila, pero acercándose a \(0\), cuando \(x\) tiende al infinito.
En efecto, los valores de \(y\) tienden hacia \(0\), conforme \(x\) tiende hacia el infinito. En este caso, la función tiene un límite de cero, conforme se acerca al infinito.
Pero, podemos también aplicar la deducción y lógica básica para obtener este mismo resultado:
Hacemos que esta función \(f(x)\) sea igual al producto de dos funciones \(g(x)\) y \(h(x)\), donde
\[g(x)={{1}\over{x}}\]
\[h(x)=\sin(x)\]
De acuerdo con esto, podemos tomar los límites al infinito, por separado.
En primer lugar, sabemos que el límite de \(\sin(x)\) no existe, ya que está acotado por \([-1, 1]\).
\[\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\nexists\]
Ahora, tomemos el límite de \(h(x)\). En este caso, la función se hace cada vez más pequeña, conforme \(x\) crece. El límite de \(h(x)\) es cero. Así, se tienen los dos límites como:
\[\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\nexists\]
\[\lim_{x\rightarrow\infty}h(x)=0\]
Pero, debido a que se multiplican entre sí, sabemos que conforme \(x\) crece, cualquier valor del intervalo \([-1, 1]\) se hará cada vez más pequeño. Esto significa que el límite de \(g(x)h(x)\), conforme \(x\) tiende al infinito, es efectivamente cero. Entonces, \(y=0\) es, de hecho, una asíntota horizontal.
¿Tiene la función \(f(x)\) una asíntota horizontal conforme se aleja al infinito?
\[f(x)=\left({{2}\over{x}}+1\right)\left({{5x^2-1}\over{x^2}}\right) \]
Solución:
Primero, desarrollemos un poco la expresión, ya que es algo complicada:
\[f(x)=\left(\dfrac{2}{x}+1\right)\left(5-\dfrac{1}{x^2}\right) \]
\[f(x)=\dfrac{10}{x}-\dfrac{2}{x^3}+5-\dfrac{1}{x^2}\]
Ahora, debemos tomar el límite al infinito:
\[\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{10}{x}-\dfrac{2}{x^3}+5-\dfrac{1}{x^2}\right)=0-0+5-0=5\]
Por tanto, podemos afirmar que cuando \(x\to\infty\), la función se acerca a una asíntota horizontal con ecuación \(y=5\). Podemos observarla en la siguiente figura:
Fig. 6: Límite al infinito de la función \(f(x)\), donde se observa que tiene una asíntota en \(y=5\).
Encuentra el límite al infinito de la función \(f(x)\).
\[f(x)={{1}\over{\sqrt[3]{x^2}}}\]
Solución:
Podemos hacer otra deducción básica, que nos simplificará la vida, ya que \(x^{2/3}\) es igual a \(x^n\).
La función se puede expresar como una forma de: \[f(x)={{1}\over{x^n}}\]
Debido a esto, el límite es: \[lim_{x\rightarrow\infty}f(x)={{1}\over{x^n}}\]
Como \(x^n\) crece, la división de \({{1}\over{x^n}}\) disminuye.
De este modo, el límite cuando \(x\rightarrow\infty\) es cero. Y, por lo tanto, \(f(x)\) tiene una asíntota horizontal en \(y=0\).
Propiedades de los límites al infinito
En general, hay algunas propiedades que debes observar cuando tienes limites al infinito. Estas son:
Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)g(x)=\infty\).
Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)-g(x)=\infty-\infty\). Esta es una indeterminación y se tienen que reordenar los términos de las funciones para poder resolver el límite.
Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)+g(x)=\infty+\infty=\infty\).
Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} {{f(x)}\over{g(x)}}=\dfrac{\infty}{\infty}\). Esta es una indeterminación y se debe aplicar la regla de L’Hôpital.
Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(k\) es una constante, entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} k·f(x)=k·\infty=\infty\).
Estas reglas, por supuesto, también aplican en el caso que los límites sean al \(-\infty\).
Límites infinitos - Puntos clave
- Decimos que una función \(f(x)\) tiene un límite en el infinito si existe un número \(L\) al cual la función se acerca a medida que crece o \(x\rightarrow\pm\infty\), \(f(x)\rightarrow L\).
- Hay tres maneras de averiguar qué pasa con una función cuando tiene un limite al infinito:
- Sustitución.
- Representación gráfica.
- Deducción.
- Los límites son indeterminados cuando se tienen formas de límites como:
- \(\dfrac{\infty}{\infty}\).
- \({\infty}-{\infty}\).
- Si un límite es indeterminado se debe usar la regla de L'Hôpital.
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