Límites infinitos

¿Cómo calcular límites infinitos?

Hay tres maneras sencillas de calcular los límites al infinito:

1. Por representación gráfica

2. Por sustitución

3. Por deducción

Veamos los tres métodos con un ejemplo.

Calculando el límite al infinito de una función mediante tres métodos

Observa la siguiente gráfica de una función \(f(x)\).

Aquí, la función es \[f(x)={{1}\over{x}}\]

Analicemos la parte derecha de la función, de \(0\) a \(\infty\).

Fig. 1: Representación gráfica de la función \(\frac{1}{x}\), donde se puede observar el límite al infinito de la función.

Por representación gráfica

Si observas la gráfica, te podrás dar cuenta de que conforme \(x\) avanza hacia números más grandes, el valor de \(y\) se hace más pequeño; en este caso, podemos decir que se acerca a cero.

Por sustitución

Sustituiremos valores de \(x\), cada vez más grandes.

Comencemos con \(x=1\): \[f(1)={{1}\over{1}}\]

Ahora, hacemos lo mismo con \(x=2\): \[f(1)={{1}\over{2}}\]

Veámoslo en una tabla hasta \(x=11\).

Tabla 1: Valores de \(x\) y \(f(x)\) para la función \(\frac{1}{x}\).

Observamos que nuestro valor se acerca a \(y=0\), conforme \(x\rightarrow\infty\). Podríamos seguir sustituyendo números y veríamos que el número se hace cada vez más pequeño. Por ejemplo, \(x=100\) nos daría \(y=0,01\). Esto es un método un poco de fuerza bruta, pero podríamos usar la intuición.

Por deducción

Sabemos que \(x\) crece y, por lo tanto, cualquier número que divida a uno producirá un número cada vez más pequeño. En este caso, estamos usando la lógica básica y deduciendo.

De acuerdo con lo anterior, el número \(L\) al cual se acerca la función \(f(x)\), conforme crece, es \(y=0\). Observa que no decimos que lo toca, si no que se acerca.

Sencillo, ¿no te parece? Tienes varias opciones para poder calcular esto. Veamos un ejemplo, no tan sencillo, que te obligará a aplicar deducción, lógica básica y sustitución, además de desafiar tu concepto gráfico.

Cuando el límite al infinito tiende a infinito

Hay veces que, conforme \(x\) crece, también lo hace \(y\); pero, muchas veces no es tan evidente. Por eso, en este caso debemos hacer uso de todas las herramientas que tenemos a mano, para poder saber qué pasa en valores muy grandes.

Deducción, lógica, sustitución y gráficas de funciones: ¡todas estas son herramientas que te ayudarán en estos casos!

Límites: infinitos menos infinito, infinito más infinito o infinito más una constante

Hay funciones donde podrías tener una combinación de dos o más funciones y podrías necesitar saber el límite de estas al infinito.

En situaciones como esta, el límite de la función es la suma de cada uno de los límites. Por tanto:

• Si uno de los límites tiende a infinito y el otro a una constante, la suma seguirá siendo infinito.
• Si los dos límites son infinitos, entonces la suma será infinito también.

El problema surge cuando un límite tiende al infinito y el otro a menos infinito, porque su suma es indeterminada.

Límites infinito menos infinito

Como ya mencionamos, el \(\infty\) no es un número; es una noción de algo que crece indefinidamente, o que es muy grande para ser contable o numerable.

En el caso de los límites, a veces se puede tener una resta de infinitos. ¿Qué sucede en este caso? ¿Un infinito supera al otro infinito? ¿El resultado es cero? Ninguna de estas respuestas es correcta, lo que sucede es que se indetermina el resultado; es decir, no se sabe.

Cuando esto ocurre, hay que reordenar la función, de manera que obtengamos otro tipo de indeterminación que sí sepamos resolver mediante algún método. Siguiendo con el ejemplo anterior, lo que podemos hacer es sacar un factor común y aplicar el límite:

\[\lim_{x\to \infty }x^3\left(\dfrac{2x}{x^3}-1\right)=\lim_{x\to \infty}x^3\left(\dfrac{2}{x^2}-1\right)=\infty\left(\dfrac{2}{\infty}-1\right)=\infty\left(0-1\right)=\infty·(-1)=-\infty\]

Limites inexistentes al infinito

Hay casos en los que el límite en el infinito no existe. Esto no significa que el límite sea indeterminado; significa que la función no toma un valor determinado en el infinito, ni tampoco crece hasta el infinito.

Por ejemplo, esto ocurre con funciones oscilantes acotadas, como las funciones seno y coseno.

Fig. 3: Los límites no existen el infinito para la función \(\sin(x\)).

Si vemos la gráfica de la función \(\sin(x)\), cuando \(x\) tiende al infinito, esta no se acerca a ningún valor, sino que oscila indefinidamente. En este caso, la función \(f(x)\) está acotada entre \([-1, 1]\) y, por lo tanto, el límite en el infinito no existe \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\nexists\).

Asíntotas

En los casos en los que el límite de una función resulta un valor determinado cuando \(x\) tiende a \(\pm\infty\), se dice que esa función presenta una asíntota. Las asíntotas son importantes porque nos indican el comportamiento de las funciones cuando \(x\) tiende al \(\infty\) o al \(-\infty\).

Por ejemplo: en el caso de la función \({{1}\over{x}}\), \(y=0\) es una asíntota horizontal, conforme la función \(f(x)\) se aleja al \(\infty\) o al \(-\infty\).

Fig. 4: La función \(\frac{1}{x}\) tiene una asíntota en \(y=0\).

Límites al infinito: ejemplos

Vamos algunos ejemplos que te pueden ayudar a aclarar lo que te hemos mostrado.

Propiedades de los límites al infinito

En general, hay algunas propiedades que debes observar cuando tienes limites al infinito. Estas son:

1. Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)g(x)=\infty\).

2. Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)-g(x)=\infty-\infty\). Esta es una indeterminación y se tienen que reordenar los términos de las funciones para poder resolver el límite.

3. Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)+g(x)=\infty+\infty=\infty\).

4. Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\), entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} {{f(x)}\over{g(x)}}=\dfrac{\infty}{\infty}\). Esta es una indeterminación y se debe aplicar la regla de L’Hôpital.

5. Si \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\) y \(k\) es una constante, entonces \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} k·f(x)=k·\infty=\infty\).

Estas reglas, por supuesto, también aplican en el caso que los límites sean al \(-\infty\).