Regla de la Cadena

Seguramente, cuando has entrado a cálculo has derivado funciones sencillas como las siguientes:

\[\sin(x)\cos(x)3x^2\ln(x)+x^2\]

Pero, también seguramente, en tu segunda clase te has topado con operaciones mucho más difíciles y te has quedado boquiabierto porque no tienes una forma de resolverlas directamente. Hablamos de funciones como las siguientes:

\[f(x)=\sin(e^{x^2})\]

Bastante más difícil, ¿no es cierto? Es una función seno que tiene por argumento un exponencial elevado a una variable al cuadrado. Pero, ¡que no cunda el pánico! Esto es más sencillo de lo que parece, si usas la regla de la cadena.

• En este artículo empezaremos aprendiendo sobre las derivadas y la regla de la cadena.
• A continuación, veremos la fórmula de la regla de la cadena, junto con algunos ejemplos.
• Después, aprenderemos la regla de la cadena inversa y su relación con las integrales.
• Finalmente, veremos la regla de la cadena con varias variables.

Derivadas y la regla de la cadena

La regla de la cadena es una de las reglas utilizadas en la diferenciación; puede usarse para diferenciar una función compuesta.

Recordando la función anterior, \(f(x)=\sin(e^{x^2})\).

podemos decir que la variable al cuadrado es la función: \(f(x)=x^2\).

La exponencial de esta variable es otra función, \(g(x)=e^{f(x)}\).

y el seno con argumento del exponencial es otra función también: \(h(x)=\sin(g(x))\).

Por lo tanto, es una función compuesta; una función compuesta por otras funciones. Para resolver estas funciones compuestas, la regla de la cadena usa lo que llamaríamos el producto de las derivadas, donde la derivada total es la multiplicación de las derivadas de cada función. Veamos las fórmulas y algunos ejemplos, para ayudarte más con ello.

Fórmula de la regla de la cadena

Existe una fórmula para utilizar la regla de la cadena cuando y es una función de \(u\) y \(u\)es una función de \(x\):

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\]

La fórmula también se puede escribir en notación de función si: \(y=f(g(x))\).

entonces, se tiene: \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).

Ejemplos de la regla de la cadena

Veamos algunos ejemplos de la regla de la cadena para entenderla mejor:

La pregunta también puede implicar algunas funciones trigonométricas. Veamos un ejemplo de cómo resolverla:

Es posible que te den la pregunta en forma de notación de función y te pidan que la diferencies.

¿Qué pasa si la función no tiene la forma \(y=f(x)\)?

Es importante tener en cuenta la fórmula que usarías si la función que te dan no tiene la forma que hemos usado aquí. La fórmula que hay que utilizar para ello es: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{dx}{dy}}\)

La pregunta, entonces, podría ser algo así:

Regla de la cadena inversa e integrales

La regla de la cadena se puede aplicar en otros contextos; uno de ellos es para ayudarte a integrar funciones. La regla de la cadena inversa se utiliza al integrar una función: consiste en tomar la función diferenciada, identificar si es una función compuesta en la que se aplicó la regla de la cadena y devolverla a su forma original.

Veamos un ejemplo:

Regla de la cadena con varias variables

La regla de la cadena puede ser aplicada para una función que tenga varias variables. Esto escapa del área de este artículo. Sin embargo, se puede dar una forma general de cómo resolver, si alguna vez te encuentras con este problema.

Supongamos que se tiene una función zeta que es igual a:

\[z=f(g(u,v)),h(u,v)\]

\[x=g\]

\[y=h\]

Si las variables \(x\) y \(y\) son independientes, se tiene:

\[\dfrac{\partial z}{\partial u} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial z}{\partial u}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u}\]

\[\dfrac{\partial z}{\partial v} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v}\]

Esto es la derivada parcial de la función original con respecto a sus variables.