Seguramente, cuando has entrado a cálculo has derivado funciones sencillas como las siguientes:
\[\sin(x)\cos(x)3x^2ln(x)+x^2\]
Pero, también seguramente, en tu segunda clase te has topado con operaciones mucho más difíciles y te has quedado boquiabierto porque no tienes una forma de resolverlas directamente. Hablamos de funciones como las siguientes:
\[f(x)=\sin(e^{x^2})\]
Bastante más difícil, ¿no es cierto? Es una función seno que tiene por argumento un exponencial elevado a una variable al cuadrado. Pero, ¡que no cunda el pánico! Esto es más sencillo de lo que parece, si usas la regla de la cadena.
Derivadas y la regla de la cadena
La regla de la cadena es una de las reglas utilizadas en la diferenciación; puede usarse para diferenciar una función compuesta.
Una función compuesta combina dos o más funciones para crear una nueva función; puede denominarse función de una función.
Recordando la función anterior, \(f(x)=\sin(e^{x^2})\).
podemos decir que la variable al cuadrado es la función: \(f(x)=x^2\).
La exponencial de esta variable es otra función, \(g(x)=e^{f(x)}\).
y el seno con argumento del exponencial es otra función también: \(h(x)=\sin(g(x))\).
Por lo tanto, es una función compuesta; una función compuesta por otras funciones. Para resolver estas funciones compuestas, la regla de la cadena usa lo que llamaríamos el producto de las derivadas, donde la derivada total es la multiplicación de las derivadas de cada función. Veamos las fórmulas y algunos ejemplos, para ayudarte más con ello.
Estas funciones son comunes en matemáticas y modelos de física, química, biología o medicina; siempre encontrarás funciones que combinan otras funciones.
Fórmula de la regla de la cadena
Existe una fórmula para utilizar la regla de la cadena cuando y es una función de \(u\) y \(u\)es una función de \(x\):
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\]
La fórmula también se puede escribir en notación de función si: \(y=f(g(x))\).
entonces, se tiene: \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).
Ejemplos de la regla de la cadena
Veamos algunos ejemplos de la regla de la cadena para entenderla mejor:
Encuentra la derivada de: \(f(x)=(2x-1)^3\).
Solución
En primer lugar, puedes empezar mirando la fórmula de la regla de la cadena antes de reescribir la función:
\[\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\]
\[y=u^3\]
\[u=2x-1\]
A continuación, puedes tomar tomar la nueva función y derivarla, para encontrar:
\[\dfrac{dy}{du}, \dfrac{du}{dx}\]
\[y=u^3 \dfrac{dy}{du}=3u^2\]
Ahora, puedes diferenciar tú la nueva variable, para encontrar: \(\dfrac{du}{dx}\).
\[u=2x-1\]
\[\dfrac{du}{dx}=2\]
Ahora que tienes cada aspecto de la fórmula, puedes encontrar la derivada:
\[\dfrac{dy}{du}, \dfrac{du}{dx}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=(2)3u^2\]
\[\dfrac{dy}{dx}=6u^2\]
Por último, debes asegurarte de que tu respuesta esté escrita en términos de \(x\); para ello, puedes sustituirla por:
\[u=2x-1\]
\[\dfrac{dy}{dx}=6u^2\]
\[\dfrac{dy}{dx}=6(2x-1)^2\]
Encuentra la derivada de: \(f(x)=(\sin(x))^5\).
Solución
Puedes empezar esto, igual que antes, encontrando cada parte de tu fórmula:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\]
\[y=u^5\]
\[u=\sin(x)\]
A continuación, puedes diferenciar para encontrar: \(\dfrac{dy}{du}, \dfrac{du}{dx}\).
\[\dfrac{dy}{du}=5u^4\]
\[\dfrac{du}{dx}=\cos(x)\]
Ahora que tienes todos las partes, puedes resolver para encontrar la derivada o: \(\dfrac{dy}{dx}\).
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=5u^4\]
\[\dfrac{dy}{dx}=5u^4 \cos(x)\]
Una vez más, tienes que asegurarte de que tu respuesta esté escrita en términos de \(x\); para ello, debes volver a sustituir en: \(u=\sin(x)\).
Lo cual te da: \(\dfrac{dy}{dx}=5(\sin(x))^4 \cos(x)\).
Es posible que te den la pregunta en forma de notación de función y te pidan que la diferencies.
Diferencia: \(f(g(x))=(3x^2+2)^2\).
Solución
En primer lugar, tienes que empezar por mirar tu fórmula de notación de funciones.
Si la función es \(y=f(g(x))\).
Entonces, \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).
Ahora ya puedes identificar tus funciones, que son:
\[f(x)=x^2\]
\[g(x)=3x^2+2\]
A continuación, puedes diferenciar ambas, para encontrar sus derivadas:
\[f'(x)=2x\]
\[g'(x)=6x\]
Para la fórmula, también necesitas encontrar: \(f'(g(x))\).
que es: \(f'(g(x))=2(3x^2+2)\).
Ya que tienes todos los aspectos de la fórmula de notación de la función, puedes sustituir cada parte y hallar la derivada o \(\dfrac{dy}{dx}\):
\[\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\]
\[\dfrac{dy}{dx}=2(3x^2+2)(6x)\]
\[\dfrac{dy}{dx}=(6x^2+4)(6x)\]
\[\dfrac{dy}{dx}=36x^3+24x\]
¿Qué pasa si la función no tiene la forma \(y=f(x)\)?
Es importante tener en cuenta la fórmula que usarías si la función que te dan no tiene la forma que hemos usado aquí. La fórmula que hay que utilizar para ello es: \(\dfrac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)
La pregunta, entonces, podría ser algo así:
Encuentra el valor de la derivada en el punto p de la siguiente curva:
\[y^4+2y=x\]
\[p=(4,1)\]
Solución
Vamos a trabajar con esta pregunta para ver cómo se resuelve.
Primero, puedes empezar diferenciando la ecuación con respecto a \(y\):
\[y^4+2y=x\]
\[\dfrac{dy}{dx}=4y^3+2\]
A continuación, sustituye tu ecuación diferenciada en la fórmula:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}\]
\[\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{1}{4y^3+2}\]
Ahora, todo lo que tienes que hacer es sustituir la \(y\) del punto de la curva de la pregunta en la fórmula para encontrar tu respuesta:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{4y^3+2}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{4(1)^3+2}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{6}\]
Encuentra el valor de la derivada en el punto \(p\) de la siguiente curva:
\[4y^3+3y=x\]
\[p=(6,3)\]
Solución
Una vez más, empiezas diferenciando la ecuación con respecto a \(y\):
\[4y^2+3y=x\]
\[\dfrac{dy}{dx}=8y+3\]
Ahora, puedes introducirlo en la fórmula para encontrar el valor de la derivada en el punto \(p\):
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{8y+3}\]
A continuación, sustituye el valor de \(y\) de las coordenadas para resolver la ecuación:
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{8y+3}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{8(3)+3}\]
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{27}\]
Regla de la cadena inversa e integrales
La regla de la cadena se puede aplicar en otros contextos; uno de ellos es para ayudarte a integrar funciones. La regla de la cadena inversa se utiliza al integrar una función: consiste en tomar la función diferenciada, identificar si es una función compuesta en la que se aplicó la regla de la cadena y devolverla a su forma original.
Veamos un ejemplo:
Integra: \(\int 2xe^{x^2}dx\).
Solución
Sabemos que esta función es el resultado de una derivada, así que primero debemos identificar si esta función es el resultado de una derivada donde se usó la regla de la cadena.
Para hacer esto, puedes empezar por identificar tu función principal y descomponerla para revertirla a su integral original:
- Primero, podemos identificar que la función que multiplica a la exponencial es igual a la derivada del exponente:
\[\dfrac{d}{dx}x^2=2xdx\]
- Esto significa que se tiene: \(\int f'(x)g(f(x))dx\).
- Por lo tanto, esta función a integrar es el resultado de aplicar la regla de la cadena a la función original. En este caso, la integral es simplemente la función:
\[\int f'(x)g(f(x))dx=g(x)\]
- Con lo que se tiene: \(\int 2xe^{x^2}dx=e^{x^2}\).
Regla de la cadena con varias variables
La regla de la cadena puede ser aplicada para una función que tenga varias variables. Esto escapa del área de este artículo. Sin embargo, se puede dar una forma general de cómo resolver, si alguna vez te encuentras con este problema.
Supongamos que se tiene una función zeta que es igual a:
\[z=f(g(u,v)),h(u,v)\]
\[x=g\]
\[y=h\]
Si las variables \(x\) y \(y\) son independientes, se tiene:
\[\dfrac{\partial z}{\partial u} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial z}{\partial u}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u}\]
\[\dfrac{\partial z}{\partial v} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v}\]
Esto es la derivada parcial de la función original con respecto a sus variables.
Regla de la cadena - Puntos clave
- La regla de la cadena es una regla utilizada para diferenciar funciones compuestas, y estas funciones también se conocen como función de una función.
- La fórmula que se puede utilizar al diferenciar utilizando la regla de la cadena es: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx}\).
- La fórmula también se puede escribir en notación de función: \(\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)\).
- La regla de la cadena también se puede utilizar si la función compuesta incluye funciones trigonométricas.
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