Muchas funciones en las ramas de la ingeniería y la física tienen comportamientos ondulatorios. Seguro que has visto estas gráficas como olas en películas o series. Estas son funciones sinusoidales y, si bien, en la vida real las señales no se ven tan definidas como en las películas, son incluso más importantes. El área bajo estas curvas puede representar la energía de la señal, y su análisis en muchas ramas de la ciencia y técnica es importante. Por esto, empezaremos por enseñarte las integrales de estas funciones.
Se dice que un elemento tiene comportamiento ondulatorio cuando se propaga en forma de oscilación, como una ola en el mar.
En teoría, estos comportamientos transmiten energía, pero no materia. Por ejemplo el sonido, transporta vibraciones mecánicas, sin mover las masas de aire de un sitio a otro.
Integrales trigonométricas inmediatas
Las funciones trigonométricas se componen de las funciones seno, coseno, tangente y sus inversas arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Veamos primero cómo integrar estas funciones en una integral directa.
Integral del seno
Podemos hallar la integral del seno si ya conocemos la derivada del coseno:
\[(\cos(x))'=-\sin(x)\]
Si ahora integramos esta expresión:
\[\int(\cos(x))'dx=-\int\sin(x)dx\Rightarrow \cos(x)=-\int\sin(x)dx\]
A partir de esto, obtenemos la integral del seno:
\[\int \sin(x)dx=-\cos(x)+c\]
Integral del coseno
De la misma manera podemos hallar la integral del coseno. Conociendo la derivada del seno llegamos a:
\[\int\cos(x)dx=\sin(x)+c\]
Integral de la función tangente
La integral de la tangente es:
\[\int\tan(x)dx=-\ln(x)|\cos(x)|+c\]
A esta fórmula llegamos a partir de las integrales anteriores:
\[\int\tan(x)dx=\int\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx\]
Como en el numerador está la derivada del denominador (solo falta un signo menos que podemos añadir), llegamos a:
\[\int\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}dx=-\ln|\cos(x)|+c\]
Halla la integral de la siguiente función:
\[f(x)=x\sin(2x)\]
Solución:
Utilizaremos la integración por partes:
\[u=x\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\sin(2x)dx\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\cos(2x)\]
Por tanto, por la regla de la cadena inversa:
\[\begin{align}\int x\sin(2x)dx&=-\dfrac{x}{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{2}\int\cos(2x)dx=\\&=-\dfrac{x}{2}\cos(2x)+\dfrac{1}{4}\sin(2x)+c\end{align}\]
¿Cómo se integran las funciones trigonométricas al cuadrado?
Para integrar funciones trigonométricas al cuadrado puedes utilizar las integrales de las funciones trigonométricas que acabas de determinar y las identidades de ángulo doble.
Por ejemplo, para encontrar la función del seno elevada al cuadrado, puedes utilizar la identidad:
\[\cos(2x)=1-2\sin^2(x)\]
Si reordenamos esta expresión, encontramos:
\[\sin^2(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cos(2x)\]
Ahora, podemos sustituir esto en la integral que buscamos:
\[\int\sin^2(x)dx=\int\dfrac{1}{2}dx-\int\dfrac{1}{2}\cos(2x)dx\]
Sabemos que la integral del coseno es el seno, así que la integral anterior es:
\[\int\sin^2(x)dx=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}\sin(2x)+c\]
Halla la siguiente integral:
\[\int\cos^2(x)dx\]
Solución:
Usaremos las identidades:
\[\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\]
\[\sin^2(x)=1-2\cos^2(x)\]
Reordenándolas y combinándolas, obtenemos:
\[\cos^2(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos(2x)\]
Podemos, entonces, resolver esta integral:
\[\begin{align}\int\cos^2(x)dx&=\int\dfrac{1}{2}dx+\int\dfrac{1}{2}\cos(2x)dx=\\&=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\sin(2x)+c\end{align}\]
Muchas veces podrás ayudarte de las identidades trigonométricas para resolver estas integrales. Recuerda tener siempre tu tabla de identidades a mano, aunque lo más práctico es que te las aprendas de memoria.
Integrales trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas, como arcoseno, arcocoseno y arcotangente, no pueden integrarse directamente. Por lo tanto, utilizamos la integración por partes.
Integral del arcoseno
Ahora vamos a calcular la integral del arcoseno:
\[\int\arcsin(x)dx\]
Vamos a utilizar la integración por partes para resolver esta integral:
\[u=\arcsin(x)\Rightarrow du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[dv=dx\Rightarrow v=x\]
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
\[\int\arcsin(x)dx=x\arcsin(x)-\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\]
Para calcular esta nueva integral, usamos un cambio de variable:
\[w=1-x^2\]
\[dw=-2xdx\]
Si se sustituye:
\[\begin{align}\int\arcsin(x)dx&=x\arcsin(x)-\int \dfrac{\cancel{x}}{\sqrt{w}}\dfrac{dw}{-2\cancel{x}}=\\&=x\arcsin(x)+\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{\sqrt{w}}dw=\\&=x\arcsin(x)+\dfrac{1}{2}\int w^{-1/2}dw=\\&=x\arcsin(x)+ w^{1/2}\end{align}\]
Deshacemos el cambio de variable para llegar a:
\[\int\arcsin(x)dx=x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}+c\]
Integral del arcocoseno
De manera parecida calculamos la integral del arcocoseno:
\[\int\arccos(x)dx\]
Utilizando la integración por partes, se usa:
\[u=\arccos(x)\Rightarrow du=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\]
\[dv=dx\Rightarrow v=x\]
Utilizando la fórmula de integración por partes, llegamos a:
\[\int\arccos(x)dx=x\arccos(x)+\int\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx\]
Igual que antes, hacemos la sustitución:
\[w=1-x^2\]
\[dw=-2xdx\]
Por lo que:
\[\begin{align}\int\arccos(x)dx&=x\arccos(x)+\int \dfrac{\cancel{x}}{\sqrt{w}}\dfrac{dw}{-2\cancel{x}}=\\&=x\arccos(x)-\dfrac{1}{2}\int\dfrac{1}{\sqrt{w}}dw=\\&=x\arccos(x)-\dfrac{1}{2}\int w^{-1/2}dw=\\&=x\arccos(x)- w^{1/2}\end{align}\]
Deshacemos el cambio de variable para llegar a:
\[\int\arccos(x)dx=x\arccos(x)-\sqrt{1-x^2}+c\]
Integral de la arcotangente
De modo similar a los dos casos anteriores llegamos a la integral de la arcotangente:
\[\int \arctan(x)dx=x\arctan(x)-\dfrac{1}{2}\ln|1+x^2|+c\]
Encuentra la siguiente integral:
\[\int \arctan(2x)dx\]
Solución:
Tendremos que utilizar la integración por sustitución y por partes.
Sea una nueva variable:
\[t=2x\Rightarrow dt=2dx\]
Sustituyendo esto en la integral, obtenemos:
\[\int\arctan(2x)dx=\int\arctan(t)\dfrac{dt}{2}=\dfrac{1}{2}\int\arctan(t)dt\]
Ahora, usaremos la integración por partes, haciendo:
\[u=\arctan(t)\Rightarrow du=\dfrac{1}{1+t^2}dt\]
\[dv=dt\Rightarrow v=t\]
Usando la fórmula de integración por partes, obtenemos:
\[\begin{align}\dfrac{1}{2}\int\arctan(t)dt&=\dfrac{1}{2}t\arctan(t)-\dfrac{1}{2}\int \dfrac{t}{1+t^2}dt=\\&=\dfrac{1}{2}t\arctan(t)-\dfrac{1}{4}\ln|1+t^2|+c\end{align}\]
Ahora, volvemos a sustituir los valores originales:
\[\int \arctan(2x)dx=x\arctan(2x)-\dfrac{1}{4}\ln|1+4x^2|+c\]
Halla la siguiente integral:
\[\int\cos^3(x)\sin(x)dx\]
Solución:
Utilizaremos la integración por sustitución:
\[u=\cos(x)\]
\[du=-\sin(x)dx\Rightarrow dx=\dfrac{-du}{\sin(x)}\]
Por tanto, sustituyendo esto en la función original, tenemos:
\[\begin{align} \int\cos^3(x)\sin(x)dx&=\int u^3 \cancel{\sin(x)}\dfrac{-du}{\cancel{\sin(x)}}=\\&=-\int u^3 du=\\&=-\dfrac{u^4}{4}+c\end{align}\]
A continuación sustituimos de vuelta:
\[\int\cos^3(x)\sin(x)dx=-\dfrac{1}{4}\cos^4(x)+c\]
Integrales trigonométricas racionales
Cuando se tienen funciones trigonométricas en fracciones, estas se pueden resolver usando un cambio de variable. Por ejemplo, las funciones seno o coseno:
\[\int\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}dx=-\int\dfrac{du}{u^2}\]
Para muchos de estos casos, el procedimiento se basa en los siguientes puntos:
\[u=f(x)\]
\[du=g(x)\]
En este caso, las funciones deben ser una el denominador y otra el numerador.
Sustituir el cambio de variable.
Resolver la integral, usando la nueva variable \(u\).
Regresar a la variable original.
Tabla de integrales trigonométricas
Como resumen, una tabla con las integrales podría serte de gran utilidad:
| Función | Integral |
| \[\sin(x)\] | \[-\cos(x)\] |
| \[\cos(x)\] | \[\sin(x)\] |
| \[\tan(x)\] | \[-\ln|\cos(x)|\] |
| \[\arcsin(x)\] | \[x\arcsin(x)+\sqrt{1-x^2}\] |
| \[\arccos(x)\] | \[x\arccos(x)-\sqrt{1-x^2}\] |
| \[\arctan(x)\] | \[x\arctan(x)-\dfrac{1}{2}\ln|1+x^2|\] |
Tabla 1: Las
integrales trigonométricas más importantes que deberás recordar.
Integración de funciones trigonométricas - Puntos clave
\[\int\sin(x)dx=-\cos(x)+c\]
\[\int\cos(x)dx=\sin(x)+c\]
\[\int\tan(x)dx=-\ln|\cos(x)|+c\]
Recuerda utilizar las identidades trigonométricas para simplificar las integrales que tienen funciones trigonométricas con argumentos como \(2x\).
Podemos utilizar y reordenar las identidades trigonométricas de doble ángulo para resolver integrales con términos al cuadrado.
Al calcular integrales de funciones trigonométricas inversas, utilizamos la integración por partes y la sustitución.
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