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Funciones exponenciales

Funciones exponenciales

Seguro que has escuchado en alguna serie, película o en la televisión la frase: crecimiento exponencial. Esta frase realmente se refiere a algo que crece muy rápido y según avanza el tiempo, este crecimiento parece acelerarse. Esta frase hace de hecho referencia a una función matemática muy famosa llamada la función exponencial. Esta función está definida por una base, es que es un número real (normalmente se utilizan las exponenciales de base \(e\), pero puede ser cualquier número \(m\)) y está elevada a un exponente \(n\).

La forma de las funciones exponenciales es la siguiente:

\[e^n\]

\[m^n\]

Por lo general \(n\) es la variable \(x\), así se tiene:

\[f(x)=e^x\]

\[f(x)=m^x\]

Estas son las funciones que verás en todos tus libros y cursos como funciones exponenciales.

Características de las funciones exponenciales

La función exponencial tiene ciertas características importantes como son:

  1. Su dominio son todos los números reales.

  2. La función es siempre positiva.

  3. La función crece a medida que \(x\) crece también.

Puedes ver la gráfica de la función \(e^x\) enseguida.

Funciones exponenciales función e^x StudySmarterFig 1: Gráfica de la función exponencial de \(x\).

Cabe decir que la función exponencial puede tener un exponente más complejo, algunas de estas formas son las siguientes:

\[f(x)=e^{nx}\]

\[f(x)=e^{ax+b}\]

\[f(x)=e^{x^n}\]

En todos estos casos el exponente es de hecho una función de \(x\), al final estas tres formas se pueden definir simplemente como:

\[f(x)=e^{f(x)}\]

También como ya mencionamos:

\[f(x)=m^{f(x)}\]

Exponenciales con exponente negativo

Las funciones exponenciales también pueden tener un exponente negativo como \(f(x)=e^{-x}\), en este caso la función no crece indefinidamente, sino que decrece. Debajo puedes ver la gráfica de una función exponencial cuyo exponente es negativo.

Funciones exponenciales función e^-x StudySmarterFig. 2: Gráfica de la función exponencial \(f(x)=e^{-x}\).

Estas funciones tienen una característica importante y es que, tienen una asíntota en \(y=0\) conforme \(x\) crece hacia el infinito. Si quieres saber más acerca de esto no pierdas la oportunidad de leer nuestro artículo de límites y continuidad.

Aplicaciones de funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son usadas en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería para modelar problemas que impliquen el decaimiento o crecimiento de algunas cantidades. Algunos ejemplos clásicos de ellos son:

  • Crecimiento de poblaciones.

  • Decaimiento radioactivo.

  • Crecimiento de precios en productos.

Crecimiento poblacional

En el primer problema, una población de ciertos individuos, organismos o células crece con el tiempo, aquí la variable \(x\) es reemplazada por el tiempo \(t\). En biología estas funciones tienen la forma:

\[x=x_0(1+m)^t\]

Aquí \(x_0\) es la población original, \(m\) es la razón de crecimiento y \(t\) es el tiempo que ha pasado.

Decaimiento radioactivo

El decaimiento radioactivo es el proceso en el cual un elemento radiactivo disminuye su radiactividad. Conforme pasa el tiempo el material es cada vez menos radiactivo, así que decrece rápidamente. En este caso la función que lo define es una exponencial negativa que es la siguiente:

\[N=N_{0}e^{-\lambda(t)}\]

En este caso \(N_0\) es la cantidad de material radiactivo inicial y \(\lambda\) es una constante que depende del material radiactivo.

Crecimiento de precios en productos

Cuando el precio de productos aumenta en el mercado, estos también son modelados usando una función exponencial, en este caso esta es:

\[x=a(1+b)^t\]

Aquí \(a\) es el precio original, \(1+b\) es la razón de cambio, del cual \(b\) es el incremento porcentual en el precio y nuevamente \(t\) es el tiempo.

Hay que hacer una aclaración en cuanto al crecimiento y decrecimiento exponencial, en muchos fenómenos, el crecimiento o crecimiento está modificado por restricciones en las poblaciones como alimentos, recursos, territorios, etc. Así que una simple función exponencial no puede representar fielmente un fenómeno cuando este es afectado por otros factores. Para esto se usan funciones exponenciales más complejas.

Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones exponenciales están relacionadas con otra función muy importante, las funciones logarítmicas. De hecho los logaritmos son las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Por ejemplo si \(f(x)=e^x\):

\[f^{-1}(x)=\ln(x)\]

En el caso de que sea una exponencial del tipo \(f(x)=a^x\) su inversa es \(g(x)=\log_a(x)\). Hagamos un ejemplo para que te quede más claro.

Obtén la inversa de la función exponencial \(2^x\).

Solución:

Debido a que la inversa de la exponencial es la función logarítmica de la misma base que la constante a la cual se eleva \(x\), se tiene:

\[f^{-1}(x)=log_2(x)\]

Derivada de las funciones exponenciales

Las funciones exponenciales tienen una característica muy especial, no entraremos en mucho detalle, ya que puedes leer esto en los artículos sobre derivadas de funciones exponenciales o integrales de funciones exponenciales.

La derivada de una función exponencial sigue la siguiente fórmula de derivación:

\[f(x)=a^x\Rightarrow f'(x)=a^x·\ln(a)\]

Si se trata de una función compuesta, habría que aplicar la regla de la cadena:

\[f(x)=a^{g(x)}\Rightarrow f'(x)=a^{g(x)}·\ln(a)·g'(x)\]

Si te fijas bien, cuando la base es el número \(e\), el logaritmo de este número es igual a \(1\) por lo que la derivada de esta exponencial es la misma función.

\[f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)=e^x·\ln(e)=e^x·1=e^x\]

Dominio funciones exponenciales

Un aspecto importante de las funciones exponenciales es su dominio y también su rango. El dominio de una función exponencial son todos los números reales o el intervalo abierto de \((-\infty, \infty)\). Mientras, como ya mencionamos su rango solo incluye los números positivos \((0, \infty)\).

Funciones exponenciales - Puntos clave

  • Una función exponencial es una función del tipo:
    • \[f(x)=e^x\]
    • \[f(x)=m^x\]
  • El dominio de una función exponencial son todos los números reales o el intervalo abierto de \((-\infty, \infty)\). Mientras que su rango solo incluye los números positivos \((0, \infty)\).

  • Tres características importantes de las funciones exponenciales son:

      1. Su dominio son todos los números reales.
      2. La función es siempre positiva.
      3. La función crece a medida que \(x\) crece también.
  • Las funciones exponenciales están relacionadas con problemas prácticos como:

    • Crecimiento de poblaciones.
    • Decaimiento radioactivo.
    • Crecimiento de precios en productos.

Preguntas frecuentes sobre Funciones exponenciales

Son funciones que crecen de manera acelerada, tienen una constante elevada a un exponente \(x\). Algunos ejemplos son:

ex

ax

2x


  1. Su dominio son todos los números reales.
  2. La función es siempre positiva.
  3. La función crece a medida que \(x\) crece también.

Debido a que cada función exponencial crece de manera distinta dependiendo del exponente y la constante, la mejor manera de graficar estas funciones es sustituyendo valores de x en y=ex o y=ax y después graficar los valores de y en función de los valores de x.

  • Las funciones exponenciales están relacionadas con problemas prácticos como:

    • Crecimiento de poblaciones.
    • Decaimiento radioactivo.
    • Crecimiento de precios en productos.

Cuestionario final de Funciones exponenciales

Pregunta

¿Cuál es la inversa de la función \(f(x)=3^x\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(f^{-1}(x)=\log_3(x)\)

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Pregunta

Las exponenciales como \(e^{-x}\) a medida que decrecen tienen una asíntota en:

Mostrar respuesta

Answer

\(y=0\).

Show question

Pregunta

Si derivas la siguiente función \(e^x\), ¿cuál será su resultado?

Mostrar respuesta

Answer

\(e^x\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es un problema donde se pueden encontrar aplicaciones de las funciones exponenciales?

Mostrar respuesta

Answer

Decaimiento radiactivo.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la derivada de una función exponencial con base \(e\)?

Mostrar respuesta

Answer

La misma función.

Show question

Pregunta

¿Son las exponenciales siempre crecientes?

Mostrar respuesta

Answer

No, también pueden ser decrecientes como la función \(e^{-x}\).

Show question

Pregunta

Si la función exponencial y la función logarítmica son inversas la una de la otra, ¿cuál es el dominio de la función logarítmica? ¿cuál es su rango?

Mostrar respuesta

Answer

Al ser la inversa de la función exponencial, se invierten el dominio y el rango. En las funciones logarítmicas su dominio son solo los números positivos y su rango son todos los números reales.

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Pregunta

¿Cuál es la función inversa de la exponencial \(10^x\) ?

Mostrar respuesta

Answer

\(\log_{10} (x)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la función inversa de la exponencial \(e^x\)?

Mostrar respuesta

Answer

El logaritmo natural o neperiano.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la función inversa de una exponencial?

Mostrar respuesta

Answer

El logaritmo.

Show question

Pregunta

¿Cuáles de las siguientes funciones son funciones exponenciales?

Mostrar respuesta

Answer

\(e^x\).

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