Seguro que has escuchado en alguna serie, película o en la televisión la frase: crecimiento exponencial. Esta frase realmente se refiere a algo que crece muy rápido y según avanza el tiempo, este crecimiento parece acelerarse. Esta frase hace de hecho referencia a una función matemática muy famosa llamada la función exponencial. Esta función está definida por una base, es que es un número real (normalmente se utilizan las exponenciales de base \(e\), pero puede ser cualquier número \(m\)) y está elevada a un exponente \(n\).
- En este artículo aprenderemos qué son las funciones exponenciales.
- Después veremos las características más importantes de estas funciones y ahondaremos en las exponenciales con exponente negativo.
- Luego pasaremos a las aplicaciones de las funciones exponenciales como son el crecimiento poblacional, el decaimiento radiactivo y el crecimiento de precios en productos.
- A continuación estudiaremos la relación entre las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas.
- Luego aprenderemos a calcular la derivada de las funciones exponenciales.
- Por último, analizaremos el dominio de las funciones exponenciales.
¿Qué son las funciones exponenciales?
La forma de las funciones exponenciales es la siguiente:
\[e^n\]
\[m^n\]
Por lo general \(n\) es la variable \(x\), así se tiene:
\[f(x)=e^x\]
\[f(x)=m^x\]
Estas son las funciones que verás en todos tus libros y cursos como funciones exponenciales.
Características de las funciones exponenciales
La función exponencial tiene ciertas características importantes como son:
Su dominio son todos los números reales.
La función es siempre positiva.
La función crece a medida que \(x\) crece también.
Puedes ver la gráfica de la función \(e^x\) enseguida.
Fig 1: Gráfica de la función exponencial de \(x\).
Cabe decir que la función exponencial puede tener un exponente más complejo, algunas de estas formas son las siguientes:
\[f(x)=e^{nx}\]
\[f(x)=e^{ax+b}\]
\[f(x)=e^{x^n}\]
En todos estos casos el exponente es de hecho una función de \(x\), al final estas tres formas se pueden definir simplemente como:
\[f(x)=e^{f(x)}\]
También como ya mencionamos:
\[f(x)=m^{f(x)}\]
Exponenciales con exponente negativo
Las funciones exponenciales también pueden tener un exponente negativo como \(f(x)=e^{-x}\), en este caso la función no crece indefinidamente, sino que decrece. Debajo puedes ver la gráfica de una función exponencial cuyo exponente es negativo.
Fig. 2: Gráfica de la función exponencial \(f(x)=e^{-x}\).
Estas funciones tienen una característica importante y es que, tienen una asíntota en \(y=0\) conforme \(x\) crece hacia el infinito. Si quieres saber más acerca de esto no pierdas la oportunidad de leer nuestro artículo de límites y continuidad.
Aplicaciones de funciones exponenciales
Las funciones exponenciales son usadas en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería para modelar problemas que impliquen el decaimiento o crecimiento de algunas cantidades. Algunos ejemplos clásicos de ellos son:
Crecimiento poblacional
En el primer problema, una población de ciertos individuos, organismos o células crece con el tiempo, aquí la variable \(x\) es reemplazada por el tiempo \(t\). En biología estas funciones tienen la forma:
\[x=x_0(1+m)^t\]
Aquí \(x_0\) es la población original, \(m\) es la razón de crecimiento y \(t\) es el tiempo que ha pasado.
Decaimiento radioactivo
El decaimiento radioactivo es el proceso en el cual un elemento radiactivo disminuye su radiactividad. Conforme pasa el tiempo el material es cada vez menos radiactivo, así que decrece rápidamente. En este caso la función que lo define es una exponencial negativa que es la siguiente:
\[N=N_{0}e^{-\lambda(t)}\]
En este caso \(N_0\) es la cantidad de material radiactivo inicial y \(\lambda\) es una constante que depende del material radiactivo.
Crecimiento de precios en productos
Cuando el precio de productos aumenta en el mercado, estos también son modelados usando una función exponencial, en este caso esta es:
\[x=a(1+b)^t\]
Aquí \(a\) es el precio original, \(1+b\) es la razón de cambio, del cual \(b\) es el incremento porcentual en el precio y nuevamente \(t\) es el tiempo.
Hay que hacer una aclaración en cuanto al crecimiento y decrecimiento exponencial, en muchos fenómenos, el crecimiento o crecimiento está modificado por restricciones en las poblaciones como alimentos, recursos, territorios, etc. Así que una simple función exponencial no puede representar fielmente un fenómeno cuando este es afectado por otros factores. Para esto se usan funciones exponenciales más complejas.
Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas
Las funciones exponenciales están relacionadas con otra función muy importante, las funciones logarítmicas. De hecho los logaritmos son las funciones inversas de las funciones exponenciales.
Por ejemplo si \(f(x)=e^x\):
\[f^{-1}(x)=\ln(x)\]
En el caso de que sea una exponencial del tipo \(f(x)=a^x\) su inversa es \(g(x)=\log_a(x)\). Hagamos un ejemplo para que te quede más claro.
Obtén la inversa de la función exponencial \(f(x)=2^x\).
Solución:
Debido a que la inversa de la exponencial es la función logarítmica de la misma base que la constante a la cual se eleva \(x\), se tiene:
\[f^{-1}(x)=\log_2(x)\]
Derivada de las funciones exponenciales
Las funciones exponenciales tienen una característica muy especial, no entraremos en mucho detalle, ya que puedes leer esto en los artículos sobre derivadas de funciones exponenciales o integrales de funciones exponenciales.
La derivada de una función exponencial sigue la siguiente fórmula de derivación:
\[f(x)=a^x\Rightarrow f'(x)=a^x·\ln(a)\]
Si se trata de una función compuesta, habría que aplicar la regla de la cadena:
\[f(x)=a^{g(x)}\Rightarrow f'(x)=a^{g(x)}·\ln(a)·g'(x)\]
Si te fijas bien, cuando la base es el número \(e\), el logaritmo de este número es igual a \(1\) por lo que la derivada de esta exponencial es la misma función.
\[f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)=e^x·\ln(e)=e^x·1=e^x\]
Dominio de una función exponencial
Un aspecto importante de las funciones exponenciales es su dominio y también su rango. El dominio de una función exponencial son todos los números reales o el intervalo abierto de \((-\infty, \infty)\). Mientras que su rango solo incluye los números positivos \((0, \infty)\).
Funciones exponenciales - Puntos clave
- Una función exponencial es una función del tipo:
El dominio de una función exponencial son todos los números reales o el intervalo abierto de \((-\infty, \infty)\). Mientras que su rango solo incluye los números positivos \((0, \infty)\).
Tres características importantes de las funciones exponenciales son:
- Su dominio son todos los números reales.
- La función es siempre positiva.
- La función crece a medida que \(x\) crece también.
Las funciones exponenciales están relacionadas con problemas prácticos como:
- Crecimiento de poblaciones.
- Decaimiento radioactivo.
- Crecimiento de precios en productos.
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