Funciones exponenciales

¿Qué son las funciones exponenciales?

La forma de las funciones exponenciales es la siguiente:

\[e^n\]

\[m^n\]

Por lo general \(n\) es la variable \(x\), así se tiene:

\[f(x)=e^x\]

\[f(x)=m^x\]

Estas son las funciones que verás en todos tus libros y cursos como funciones exponenciales.

Características de las funciones exponenciales

La función exponencial tiene ciertas características importantes como son:

1. Su dominio son todos los números reales.

2. La función es siempre positiva.

3. La función crece a medida que \(x\) crece también.

Puedes ver la gráfica de la función \(e^x\) enseguida.

Fig 1: Gráfica de la función exponencial de \(x\).

Cabe decir que la función exponencial puede tener un exponente más complejo, algunas de estas formas son las siguientes:

\[f(x)=e^{nx}\]

\[f(x)=e^{ax+b}\]

\[f(x)=e^{x^n}\]

En todos estos casos el exponente es de hecho una función de \(x\), al final estas tres formas se pueden definir simplemente como:

\[f(x)=e^{f(x)}\]

También como ya mencionamos:

\[f(x)=m^{f(x)}\]

Exponenciales con exponente negativo

Las funciones exponenciales también pueden tener un exponente negativo como \(f(x)=e^{-x}\), en este caso la función no crece indefinidamente, sino que decrece. Debajo puedes ver la gráfica de una función exponencial cuyo exponente es negativo.

Fig. 2: Gráfica de la función exponencial \(f(x)=e^{-x}\).

Estas funciones tienen una característica importante y es que, tienen una asíntota en \(y=0\) conforme \(x\) crece hacia el infinito. Si quieres saber más acerca de esto no pierdas la oportunidad de leer nuestro artículo de límites y continuidad.

Aplicaciones de funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son usadas en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería para modelar problemas que impliquen el decaimiento o crecimiento de algunas cantidades. Algunos ejemplos clásicos de ellos son:

• Crecimiento de poblaciones.

• Decaimiento radioactivo.

• Crecimiento de precios en productos.

Crecimiento poblacional

En el primer problema, una población de ciertos individuos, organismos o células crece con el tiempo, aquí la variable \(x\) es reemplazada por el tiempo \(t\). En biología estas funciones tienen la forma:

\[x=x_0(1+m)^t\]

Aquí \(x_0\) es la población original, \(m\) es la razón de crecimiento y \(t\) es el tiempo que ha pasado.

Decaimiento radioactivo

El decaimiento radioactivo es el proceso en el cual un elemento radiactivo disminuye su radiactividad. Conforme pasa el tiempo el material es cada vez menos radiactivo, así que decrece rápidamente. En este caso la función que lo define es una exponencial negativa que es la siguiente:

\[N=N_{0}e^{-\lambda(t)}\]

En este caso \(N_0\) es la cantidad de material radiactivo inicial y \(\lambda\) es una constante que depende del material radiactivo.

Crecimiento de precios en productos

Cuando el precio de productos aumenta en el mercado, estos también son modelados usando una función exponencial, en este caso esta es:

\[x=a(1+b)^t\]

Aquí \(a\) es el precio original, \(1+b\) es la razón de cambio, del cual \(b\) es el incremento porcentual en el precio y nuevamente \(t\) es el tiempo.

Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones exponenciales están relacionadas con otra función muy importante, las funciones logarítmicas. De hecho los logaritmos son las funciones inversas de las funciones exponenciales.

Por ejemplo si \(f(x)=e^x\):

\[f^{-1}(x)=\ln(x)\]

En el caso de que sea una exponencial del tipo \(f(x)=a^x\) su inversa es \(g(x)=\log_a(x)\). Hagamos un ejemplo para que te quede más claro.

Derivada de las funciones exponenciales

Las funciones exponenciales tienen una característica muy especial, no entraremos en mucho detalle, ya que puedes leer esto en los artículos sobre derivadas de funciones exponenciales o integrales de funciones exponenciales.

Si se trata de una función compuesta, habría que aplicar la regla de la cadena:

\[f(x)=a^{g(x)}\Rightarrow f'(x)=a^{g(x)}·\ln(a)·g'(x)\]

Si te fijas bien, cuando la base es el número \(e\), el logaritmo de este número es igual a \(1\) por lo que la derivada de esta exponencial es la misma función.

\[f(x)=e^x\Rightarrow f'(x)=e^x·\ln(e)=e^x·1=e^x\]

Dominio de una función exponencial

Un aspecto importante de las funciones exponenciales es su dominio y también su rango. El dominio de una función exponencial son todos los números reales o el intervalo abierto de \((-\infty, \infty)\). Mientras que su rango solo incluye los números positivos \((0, \infty)\).