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Integración por partes

Integración por partes

Es bastante raro que haya una función que podamos integrar directamente, ya que para una función no básica es difícil hacer la ingeniería inversa de una derivada en nuestra cabeza. Esto significa que tenemos que utilizar un método de integración. Un método muy útil en cálculo es la integración por partes, y es aplicable para cuando tenemos una integral de dos funciones multiplicadas entre sí.

Como regla general, utiliza la integración por partes cuando hayas agotado otras opciones. Puede ser un proceso largo, y solo hay ciertos momentos en los que la integración por partes funcionará. Dicho esto, también puede ser un método extremadamente útil, especialmente cuando otros métodos no van a ninguna parte. Con la práctica, empezarás a entender intuitivamente cuándo utilizar la integración por partes.

La mejor manera de ver la integración por partes es como la inversa de la regla del producto para la diferenciación. Formalmente, para una integral de dos funciones, \(f\) y \(g'\), multiplicadas juntas. Entonces:

\[\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\]

Esta fórmula se escribe a veces como: \(\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du\)

La función \(f\) da lugar a la función \(f'\) cuando se diferencia.

Derivación de la fórmula de integración por partes

Ya hemos mencionado que la integración por partes es la inversa de la diferenciación por la regla del producto, así que quizás sea un buen punto de partida. Como recordatorio, la regla del producto establece que para una función \(h\), que es el producto de otras dos funciones (\(f\) y \(g\)), la derivada de \(h\) se encuentra multiplicando la derivada de \(f\) y multiplicándola por \(g\), y sumando eso con la derivada de \(g\) multiplicada por \(f\).

Para decirlo más sucintamente: \((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

Reajustémoslo como: \(f(x)g'(x)=(f(x)g(x))'-f'(x)g(x)\)

e integremos ambos lados con respecto a \(x\). Esto da: \(\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=\int (f(x)g(x))'dx-\int f'(x)g(x)dx\)

El término medio se simplifica: \(\displaystyle\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\)

Esta es la fórmula de integración por partes.

Podemos usar la notación \(f(x)=u(x)\) y \(g(x)=v(x)\), por lo que:

\[\int u\,dv=uv-\int v\,du\]

Método de integración por partes

Aquí tienes un método general para integrar por partes:

  • Identifica las dos funciones y calcula cuál quieres integrar y cuál diferenciar. Marca la función a diferenciar y la función a integrar, que son: \(u\), \(dv\)

  • A partir de ambas, encuentra: \(v\), \(du\)
  • Introduce estos valores en la fórmula y calcula las demás integrales.

Utiliza la integración por partes para encontrar: \(\int x\ln(x)dx\)

Solución:

Puede que no sepas cuál es la integral del logaritmo natural, pero sí sabes diferenciarla; así que hagamos:

\[u=\ln(x)\]

\[dv=xdx\]

Esto da:

\[du=\dfrac{1}{x}dx\]

\[v=\dfrac{x^2}{2}\]

Introduciendo estos datos en la fórmula, obtenemos:

\[\int x\ln(x)dx=\dfrac{x^2}{2}\ln(x)-\int \dfrac{x}{2}dx=\dfrac{x^2}{2}\ln(x)-\dfrac{x^2}{4}+c\]

Una nota es que añadimos el "\(+c\)" como la constante de integración, ya que se trata de una integral indefinida. Podríamos añadirla en una etapa anterior, pero como esto daría lugar a muchas constantes, la añadimos en este último paso para mayor claridad y para facilitar la lectura del trabajo.

Ejercicios resueltos que son clave en la integración por partes

Como se ha mencionado anteriormente, se requiere un nivel de intuición para determinar cuándo utilizar la integración por partes. A continuación, se presentan algunos ejemplos y casos diferentes para ayudar a construir esa intuición. Vale la pena señalar que podemos integrar por partes varias veces y, a veces, se nos pedirá que lo hagamos.

Integrar una función multiplicada por \(x^n\)

Supongamos que intentamos integrar: \(\displaystyle\int x^n f(x)dx\)

con la función \(f(x)\), convenientemente integrable más de una vez: \(u=x^n\)

Esto significa que:

\[du=nx^{x-1}\]

\[v=\int f(x)dx\]

Entonces, utilizando la fórmula de integración por partes, obtenemos:

\[\int x^n f(x)dx=x^n\int f(x)dx -\int nx^{n-1}\left(\int f(x)dx\right)dx\]

Podemos continuar este proceso en la segunda parte del lado derecho, hasta que hayamos eliminado todas los términos a la potencia \(n\) de las integrales.

Integra utilizando la integración por partes la siguiente función:

\[\int x\cos(x)dx\]

Solución:

Sean:

\[u=x\]

\[dv=\cos(x)dx\]

Esto significa que:

\[du=dx\]

\[v=\sin(x)\]

Introduciendo esto en la fórmula, obtenemos:

\[\int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int \sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+c\]

En muchas otras ocasiones puedes tener que utilizar el método de integración por partes más de una vez para llegar al resultado.

Resuelve la integral:

\[\int x^2\sin(x)dx\]

Solución:

Elegiremos los cambios:

\[u=x^2\]

\[dv=\sin(x)dx\]

Esto da:

\[du=2xdx\]

\[v=-\cos(x)\]

Entonces, por la fórmula de integración por partes:

\[\int x^2\sin(x)dx=-x^2\cos(x)+2\int x\cos(x)dx\]

Ahora tenemos que encontrar la segunda integral que lleva un coseno. Esto debe hacerse por partes, y lo hemos hecho en el ejemplo anterior; así que podemos completar el resultado, para dar:

\[\int x^2 \sin(x)dx=2\sin(x)+(2-x^2)\cos(x)+c\]

Integrando \(\ln(x)\)

A primera vista, no hay una forma obvia de integrar \(\ln(x)\), así que tenemos que emplear una especie de truco.

Escribe la función como:

\[f(x)=1·\ln(x)\]Entonces, vamos a hacer que las sustituciones sean:

\[u=\ln(x)\]

\[dv=dx\]

Lo cual nos da:

\[du=\dfrac{1}{x}\]

\[v=x\]

Esto da como resultado:

\[\int \ln(x)dx=x\ln(x)-\int 1\,dx=x\ln(x)-x+c\]

Integral por partes cíclica

A veces se da que al integrar una función por partes llegamos a una integral que es la misma que la que queríamos integrar al principio. Este tipo de funciones y su integración se denominan cíclicas, puesto que se repiten. Se trata de un caso un tanto singular, que aparece con muy poca frecuencia. Lo mostraremos con un ejemplo.

Halla, integrando por partes, la función:

\[\int e^x\cos(x)dx\]

Solución:

Sean las sustituciones:

\[u=e^x\]

\[dv=\cos(x)dx\]

Lo que significa:

\[du=e^xdx\]

\[v=\sin(x)\]

Esto da:

\[\int e^x\cos(x)dx=e^x \sin(x)-\int e^x \sin(x) dx\]

Hemos llegado a una integral similar a la original, por lo que podemos usar la integración por partes para llegar a la solución de esta integral:

\[\int e^x\sin(x)dx\]

Elegimos:

\[u=e^x \Rightarrow du=e^x dx\]

\[dv=\sin(x)dx \Rightarrow v=-\cos(x)\]

Obtenemos para esta integral:

\[\int e^x\sin(x)dx=-e^x\cos+\int e^x\cos(x)dx\]

Vemos que en la segunda parte de esta integral tenemos la integral del enunciado del problema. Escribimos, por tanto, lo que hemos obtenido:

\[\int e^x\cos(x)dx=e^x\sin(x)-e^x\cos(x)-\int e^x\cos(x)dx\]

Como hay una igualdad, podemos pasar la integral del lado derecho al lado izquierdo, obteniendo:

\[2\int e^x\cos(x)dx=e^x\sin(x)-e^x\cos(x)\]

Despejamos la integral para obtener:

\[\int e^x\cos(x)dx=\dfrac{e^x\sin(x)-e^x\cos(x)}{2}\]

Integración por partes con una integral definida

También podemos integrar por partes con integrales definidas, solo tenemos que asegurarnos de evaluar los límites, como es habitual.

Halla la integral:

\[\int_0^{\pi} x\sin(x)dx\]

Solución:

Hacemos que la sustituciones sean:

\[u=x \Rightarrow du=dx\]

\[dv=\sin(x)dx \Rightarrow v=-\cos(x)\]

Esto nos da:

\[\begin{align}\int_0^{\pi} x\sin(x)dx&= -x\cos(x)\Big|_0^\pi + \int_0^\pi \cos(x)dx=\\&=-x\cos(x)\Big|_0^\pi + \sin(x)\Big|_0^\pi=\\&=-\pi\cos(\pi)+\cancelto{0}{0\cos(0)}+\cancelto{0}{\sin(\pi)}-\cancelto{0}{\sin(0)}=\\&=\pi\end{align}\]

Integración por partes - Puntos clave

  • La fórmula de la integración por partes es: \(\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx\).
  • La integración por partes es la inversa de la regla del producto para las derivadas
  • Podemos integrar por partes en una integral definida, recordando evaluar los límites de cada término.
  • Cuando tienes una integral cíclica, solo tienes que agrupar los términos de la integral que sean iguales y despejar.
  • La constante de integración debe incluirse al final de una integral indefinida. Podemos añadirla al final para compensar todas las constantes separadas que podrían haberse añadido antes.

Preguntas frecuentes sobre Integración por partes

  • Identificar las dos funciones y calcular cuál se quiere integrar y cuál diferenciar. Marcar la función a diferenciar u, y la función a integrar v '.

  • A partir de u y v ', hallar u' y v. 

  • Introducir estos valores en la fórmula y calcular las demás integrales.

Como regla general, se utiliza la integración por partes cuando se hayan agotado otras opciones. Puede ser un proceso largo, y solo hay ciertos momentos en los que la integración por partes funcionará.


Otra opción es cuando se tiene una función del tipo cíclica, donde la segunda derivada o segunda integral producen la misma función como seno, coseno o la función exponencial.

Nos permite integrar funciones que no son posibles de otros modos, como sustitución.

No hay una manera estándar de saber cómo encontrar u y dv. En general, suele facilitarse la integración si se elige como v' la función cuya primera o segunda derivada es cíclica (sen, cos, ex...), mientras que u es una función que disminuye en complejidad, según se realizan sus sucesivas derivadas (xn, ln(x)...).

A diferencia del método de integración por sustitución, hay una regla más definida cuando se integra por partes. En este caso, la integración por partes se hace cuando se puede factorizar la función a integrar en dos funciones que se están multiplicando.
Una de ellas debe tener un comportamiento cíclico; es decir, que la derivada (o segunda derivada) e integral sean la misma función, esta puede ser una exponencial o la función seno o coseno después de integrar o derivar dos veces. La otra función debe ser una función que, después de ser derivada, disminuya su complejidad. En este caso, es conveniente que g(x) sea cíclica y f(x) disminuya su complejidad. Un ejemplo es: f(x)=e2x y g(x)=x2.

Cuestionario final de Integración por partes

Pregunta

¿Cuál es el primer paso para usar la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

Identificar las dos funciones y calcular cuál se quiere integrar y cuál diferenciar. Marcar la función a diferenciar y la función a integrar, que son \(u\) y \(dv\).

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Pregunta

¿Cuál es el segundo paso para usar la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

A partir de ambas, encontrar \(du\) y \(v\).

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Pregunta

¿Cuál es el último paso para usar la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

Sustituir los valores de \(du\), \(v\), \(dv\) y \(u\) para resolver las integrales.

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Pregunta

La integración por partes es la inversa de, ¿qué método de derivación?

Mostrar respuesta

Answer

La regla del producto.

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Pregunta

Si se tiene la integral \(\displaystyle \int x\cos(x)dx\) y se planea usar integración por partes, ¿qué término sería \(u\) y cuál \(dv\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(u=x\)

\(dv=\cos(x)dx\).

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Pregunta

Si se tiene la integral \(\displaystyle\int xe^xdx\) y se planea usar integración por partes, ¿qué término sería \(u\) y cuál \(dv\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(u=x\)

\(dv=e^xdx\).

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Pregunta

Resuelve la integral usando la integración por partes: \(\displaystyle\int 4x\cos(2x+1)dx\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle\int 4x\cos(2x+1)dx=-8x\sin(2x+1)+8\cos(2x+1)\).

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Pregunta

Resuelve la integral por partes: \(\displaystyle \int xe^{2x}dx\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle \int xe^{2x}dx=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}\).

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Pregunta

Si tienes la siguiente integral \(\displaystyle\int x^3\cos(3x+4)dx\), ¿aplicarías la integración por partes más de una vez? Explica tu respuesta.

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que la integral del coseno es cíclica y a que la integral de \(x^3\) debe reducirse hasta que sea igual a \(f(x)=6\).

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Pregunta

¿Qué le pasa a la función \(e^x\) en la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

No es alterada.

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Pregunta

¿Qué le pasa a la función \(\sin(x)\) o \(\cos(x)\) en la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

Son funciones cíclicas que, al integrarse o derivarse, se transforman en la otra.

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Pregunta

Resuelve \(\displaystyle \int e^x\cos(x)dx\), ¿qué pasa?

Mostrar respuesta

Answer

La integral es cíclica y hay que aplicar 2 veces la integración por partes hasta llegar a la función original.

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Pregunta

¿Cuáles son los términos habituales para nombrar las funciones a integrar en la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

\(u\) y \(v\).

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Pregunta

¿Qué le sucede al término \(dv\) durante la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

Se integra para convertirse en \(v\).

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Pregunta

¿Qué le sucede al término \(u\) durante la integración por partes?

Mostrar respuesta

Answer

Se deriva para convertirse en \(du\).

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