Límites y continuidad

Una función está definida como una relación entre dos variables, una dependiente y una independiente. 

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Índice de temas

    Supongamos que tenemos un punto \(A\) que la función debe tomar; si, a medida que nos acercamos hacia \(A\), la función se acerca a un valor definido \(B\), se dice que esta función tiene un límite.

    Definición práctica del límite de una función

    Hagamos una definición práctica de lo que es un límite.

    Supongamos que tienes una función muy simple como:

    $$f(x)=\dfrac{1}{x}+3$$

    El valor de la función en \(1\) es:

    $$f(x)=\dfrac{1}{1}+3=4$$

    Ahora, supongamos que deseamos acercarnos desde \(0{,}5\) hacia \(1\) usando pequeños saltos de \(0{,}1\) entonces, se obtendría lo siguiente:

    \(x\)\(f(x)=x+3\)
    \(0{,}6\)\(4{,}66\)
    \(0{,}7\)\(4{,}42\)
    \(0{,}8\)\(4{,}25\)
    \(0{,}9\)\(4{,}11\)

    Tabla 1: Valores de una función evaluados para definir un límite.

    Podemos ver que, conforme nos acercamos a \(1\), los valores se acercan cada vez más hacia \(4\). Esta tendencia continua se llama el límite de una función. En este caso, es el límite de \(f(x)\), a medida que \(x\) se acerca a \(1\).

    Una definición más formal del límite de una función

    Supongamos que tienes una función que puede ser cualquiera, como:

    $$f(x)$$

    Esta función puede tomar cualquier valor real, así que podemos tener un número \(a\) al cual nos acercamos:

    $$x\to a$$

    Esto significa que nos podemos acercar hacia a tomando pequeños valores que denominaremos un pequeño delta (\(\Delta\)), justo como cuando nos acercamos en saltos de \(0{,}1\) en el ejemplo anterior.

    $$x\to a=\Delta x<a$$

    Este delta sigue siendo menor que el valor que queremos. Podemos hacer este delta tan pequeño, que podemos acercarnos mucho hacia el valor que deseamos, tanto que es aproximadamente ese valor.

    $$x\to a=x+\Delta x\approx a$$

    Pero, debemos recordar que podemos sustituir estos valores en la función, de tal modo que nos da un resultado:

    $$f(a)=b$$

    $$f(x)=xb<b$$

    Aplicamos un pequeño incremento delta que nos acerca al valor que deseamos.

    $$f(a)=b$$

    $$f(x+\Delta x)\approx b$$

    Sin embargo, recordemos que sigue siendo menor que el resultado de sustituir \(a\):

    $$f(x+\Delta x)<b$$

    Si podemos acercarnos a \(b\) continuamente, sin tocarlo —es decir, nos acercamos en valores delta tan pequeños y el valor al cual nos acercamos es el mismo—, esa función tiene un límite.

    ¡Hagamos un ejemplo con una función más compleja!

    Supongamos se tiene la función siguiente:

    $$f(x)=x^2+x$$

    ¿Cuál es el límite de la función, cuando \(x\) se acerca a \(4\)?

    En primer lugar esto lo podrás encontrar en tus libros con la siguiente notación:

    $$\lim_{x\to 4} (x^2+x)$$

    En este caso, recordamos que \(x\) se acerca a \(4\) sin tocarlo con pequeños intervalos. Escojamos intervalos de \(0{,}1\) desde \(3{,}5\).

    \(x\)\(f(x)\)
    \(3{,}6\)\(16{,}56\)
    \(3{,}7\)\(17{,}39\)
    \(3{,}8\)\(18{,}24\)
    \(3{,}9\)\(19{,}11\)

    Tabla 2: Valores para calcular el límite de una función.

    Parece ser que nos acercamos a \(20\); pero, no lo sabemos bien. Tomemos valores más cercanos:

    $$\lim_{x\to 4} f(x)\approx 20$$

    \(x\)\(f(x)\)
    \(3{,}95\)\(19{,}55\)
    \(3{,}975\)\(19{,}77\)

    Tabla 3: valores para calcular el límite de una función.

    Ahora, tomemos valores más cercanos aún:

    \(x\)\(f(x)\)
    \(3{,}98\)\(19{,}82\)
    \(3{,}99\)\(19{,}91\)

    Tabla 4: valores más cercanos para calcular el límite de una función.

    En este caso, se hace evidente que el límite parece ser \(20\): podemos sustituir el valor \(4\) para confirmarlo:

    $$f(4)=4^4+4=20$$

    ¡Efectivamente, el valor es \(20\)!

    Continuidad y límites laterales

    Las funciones muchas veces no son lineales y, además de esto, a veces suceden casos especiales como:

    • La función no existe en el punto al que se acerca el límite; esto también se conoce como discontinuidad.

    • El límite es distinto, dependiendo de si se acerca por la derecha o la izquierda. Esto también se conoce como límites laterales.

    • El límite no se acerca a ningún valor; a esto se le llama divergencia. En un caso contrario, en el que el límite se acerque a cierto valor, se dice que converge.

    El último punto nos da una nueva idea de los límites. Hasta el momento, nos hemos acercado al límite por la izquierda; es decir, que hemos tomado un valor menor y los hemos aumentado para acercarnos al valor que deseamos. Sin embargo, podemos hacer lo contrario: podemos tomar un valor mayor y se restan pequeños incrementos, para acercarnos por la derecha.

    Esto se puede explicar más sencillamente con algunos ejemplos.

    Límites y continuidad con ejercicios resueltos

    Para explicar qué es la continuidad, la divergencia o convergencia de una función o los límites laterales, lo mejor que podemos hacer es ver algunos ejemplos:

    Se tiene la función siguiente:

    $$f(x)=\dfrac{1}{x}$$

    Se desea conocer al límite de la función cuando nos acercamos a cero por la izquierda; es decir, con un número menor que cero, tomando pequeños incrementos:

    $$\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x}$$

    Si tomamos incrementos de \(0{,}01\) desde \(-0{,}10\):

    \(x\)\(f(x)\)
    \(-0{,}09\)\(-11{,}11\)
    \(-0{,}08\)\(-12{,}5\)
    \(-0{,}07\)\(-14{,}28\)
    \(-0{,}06\)\(-16{,}66\)
    \(-0{,}05\)\(-20\)
    \(-0{,}04\)\(-25\)
    \(-0{,}03\)\(-33{,}33\)
    \(-0{,}02\)\(-50\)
    \(-0{,}01\)\(-100\)

    Tabla 5: Valores de un límite cuando diverge.

    En este ejemplo no hay un límite. De hecho, si nos acercamos por el lado derecho —es decir, si tomamos valores mayores que \(0\) y nos acercamos a \(0\)— el valor de la función crece indefinidamente. Esta función diverge: divergencia es no tener un límite y, en este caso, no tiene límite por el lado izquierdo ni derecho. Esto lo podemos ver más clara en la siguiente gráfica:

    Límites y continuidad Funciones límites y continuidad StudySmarter

    Fig. 1. Función con una discontinuidad en \(0\).

    Hagamos, ahora, un ejemplo donde la función converge por ambos lados, pero el punto no existe.

    Supongamos que tienes una función racional como la siguiente:

    $$f(x)=\dfrac{x^2+2x}{x^2+x}$$

    Quieres calcular el límite cuando la función se acerca al \(-1\), ya que la función no existe en ese punto. Sin embargo, podemos factorizar esta función. De modo que tenemos:

    $$\lim_{x\to 0} \dfrac{x^2+2x}{x(x+1)}$$

    Si observas detenidamente, esto significa que cuando la función es cero, esta no existe porque se divide entre cero. Por lo tanto, este punto es una discontinuidad; pero, esto no significa que el límite no exista. De hecho, si calculas puntos cada vez más cercanos al cero, tanto por la izquierda como por la derecha, comprobarás que los resultados se acercan cada vez más al cero.

    Pero, esta función también tiene una discontinuidad en \(x=-1\), puesto que es el otro punto donde se anula el denominador.

    Ahora, vamos a calcular el límite de la función en este punto, acercándonos tanto por el lado izquierdo como por el derecho:

    \(x\) derecha\(f(x)\) derecha\(x\) izquierda\(f(x)\) izquierda
    \(-1{,}1\)\(-9\)\(-0{,}9\)\(11\)
    \(-1{,}01\)\(-99\)\(-0{,}99\)\(101\)
    \(-1{,}001\)\(-999\)\(-0{,}999\)\(1001\)

    Tabla 6: Valores para una función a la cual el límite se acerca por la izquierda y la derecha.

    Como se puede ver, los límites son distintos y uno decrece cuando se acerca del lado derecho a \(-1\), mientras el otro crece cuando se acerca a \(-1\) por el lado izquierdo. Esto también se puede ver en la siguiente gráfica:

    Límites y continuidad Funciones límites y continuidad StudySmarter Fig. 2. Función con una discontinuidad que hace que la función tienda al infinito y menos infinito.

    Pongamos un último ejemplo donde usaremos una función por partes.

    Supongamos que tenemos la función por partes:

    $$f(x)=\left\{\begin{array}\, x+2 & x>2 \\ \sin(x)+1 & x\leq 2\end{array}\right.$$

    En este caso la función está definida en dos partes: para valores mayores que \(2\) y para valores iguales o menores que \(2\).

    Ahora, supongamos que deseas calcular el límite de la función cuando la función tiende hacia \(2\). Entonces, tomaremos el límite por la izquierda y el límite por la derecha; si usamos símbolos, se lee como:

    Límite por la izquierda:

    $$\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} (\sin(x)+1)$$

    Límite por la derecha:

    $$\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} (x+2)$$

    Si tomas tres incrementos cercanos a \(2\):

    \(x\) derecha\(f(x)\) derecha\(x\) izquierda\(f(x)\) izquierda
    \(2{,}1\)\(4{,}1\)\(1{,}9\)\(1{,}94\)
    \(2{,}05\)\(4{,}04\)\(1{,}95\)\(1{,}92\)
    \(2{,}025\)\(4{,}025\)\(1{,}975\)\(1{,}91\)

    Tabla 7: Valores de una función por partes con límites distintos.

    En este caso parece ser que los límites son \(4\) y \(2\), por la derecha y la izquierda, respectivamente. Por lo tanto, ambos límites existen, pero no son los mismos. Esto se puede ver en la siguiente gráfica.

    Límites y continuidad función por partes StudySmarterFig. 3: Gráfica de una función definida por partes.

    Límite y derivada

    El concepto de límite está íntimamente ligado a la derivada de la función y la continuidad. En general:

    • Para que exista la derivada de la función en un punto, esa función debe ser continua en ese punto.

    • El límite de una función puede existir aunque no exista la derivada en ese punto.

    El concepto de la derivada puede ser extraído del concepto de un límite, conforme la función se evalúa cerca de un punto. Esto lo podemos definir como:

    $$\lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

    En esta definición, el incremento es \(\h\). Lo cual significa que los valores de ambas funciones se hacen cada vez más cercanos y se dividen entre un incremento menor. Lo que se tiene aquí es el incremento en el eje y dividido entre el incremento en el eje \(x\).

    Este incremento es la razón de cambio de la función cerca del punto que deseamos evaluar y esto es igual a la derivada de la función cuando se evalúa en el punto deseado.

    Límites y continuidad en varias variables

    Las funciones de varias variables, como \(z=3x+4y^2-2\) también poseen posibles discontinuidades. Sin embargo, este tema está más allá de la complejidad de bachillerato. Por el momento podemos mencionar que para estas funciones existen derivadas más complejas y también existen discontinuidades. Estas funciones además representan, muchas veces, superficies en dos dimensiones.

    Límites y la regla de L’Hôpital

    Algunos límites pueden darnos algo llamado indeterminación, esto sucede cuando se tiene un límite que cubre alguno de los siguientes casos:

    • Límite de cero entre cero:$$\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)}=\dfrac{0}{0}$$

    • Límite de infinito entre infinito:$$\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} g(x)}=\dfrac{\infty}{\infty}$$

    • Límite de cero por infinito:$$\lim_{x\to a} g(x) · \lim_{x\to a} f(x)=0·\infty $$

    • Límite de infinito menos infinito:$$\lim_{x\to a} f(x)-\lim_{x\to a} g(x)=\infty -\infty$$

    Estas son algunas de las indeterminaciones en límites más comunes, aunque existen algunas más. Para resolver estos límites, a veces basta con simplificar o reordenar la función para deshacer la indeterminación. En otros casos, puedes usar la Regla de L’Hôpital. Para ello, se toma el límite de las derivadas:

    $$\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to a} f'(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a} g'(x)}$$

    Este tema es tratado con más detalle en su propio artículo.

    Límites y continuidad - Puntos clave

    • Una función está definida como una relación entre dos variables: una dependiente y una independiente. Supongamos que tenemos un punto A que la función debe tomar, si a medida que nos acercamos hacia A, la función se acerca a un valor definido B, se dice que esta función tiene un límite.
    • Una función puede tener discontinuidades, estos son valores en los que la función no existe.
    • A pesar de que existan discontinuidades, el límite de la función puede existir.
    • Si la función se acerca a cierto valor se dice que converge.
    • Puede darse el caso en que el límite no exista y la función diverge; es decir, que nunca se acerque a cierto valor.
    • Una función puede tener límites distintos por la izquierda y por la derecha.
    Preguntas frecuentes sobre Límites y continuidad

    ¿Qué es el límite de una función?

    Supongamos que tenemos un punto A que la función debe tomar. Si, a medida que nos acercamos hacia A, la función se acerca a un valor definido B, se dice que esta función tiene un límite.

    ¿Qué relación tiene el límite y la continuidad de una función?

    En general, para que exista el límite de la función, la función debe ser continua en ese punto. Sin embargo, el límite puede existir, aunque el punto no exista. También se puede dar el caso que la función sea discontinua, ya que está definida por partes, y el límite exista por la izquierda y la derecha, pero estos sean hacia puntos distintos.

    ¿Cuáles son las indeterminaciones de los límites?

    Cuando calculando el límite, se llega a un resultado de tipo: cero entre cero, infinito entre infinito, infinito menos infinito, cero por infinito, entre otros. En estos casos, el límite debe resolverse usando métodos como la regla de L'Hopital.

    ¿Qué es el límite, con ejemplos?

    Un ejemplo de límite sería una función muy simple que es, x+1. Si queremos saber cuál es el límite de la función f(x) cuando se acerca a 1, debemos calcular el valor de la función en pequeños incrementos de x como Δx. 


    Si haces esto, como por ejemplo con x=0,9; 0,95; 0,975… te acercarás al valor de 2, que es efectivamente el valor de la función en ese límite.
    Puedes hacer lo mismo con una función más complicada como (x+1)/2. Usando como valores de x nuevamente x=0,9; 0,95; 0,975… te acercarás al valor de 1 que es efectivamente el valor de la función en ese límite.

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    ¿Cuál es una manera común de hablar sobre la continuidad de una función?

    Una función es continua en un punto \(x=a\) si:

    Si una función tiene un salto, pero existe en todos los reales, ¿es continua?

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