Iniciar sesión Empieza a estudiar
La app de estudio todo en uno
4.8 • +11 mil reviews
Más de 3 millones de descargas
Free
|
|

All-in-one learning app

  • Flashcards
  • NotesNotes
  • ExplanationsExplanations
  • Study Planner
  • Textbook solutions
Start studying

Límites y continuidad

Límites y continuidad

Una función está definida como una relación entre dos variables, una dependiente y una independiente.

Supongamos que tenemos un punto A que la función debe tomar; si, a medida que nos acercamos hacia A, la función se acerca a un valor definido B, se dice que esta función tiene un límite.

Definición práctica del límite de una función

Hagamos una definición práctica de lo que es un límite.

Supongamos que tienes una función muy simple como:

El valor de la función en 1 es:

Ahora, supongamos que deseamos acercarnos desde 0,5 hacia 1 usando pequeños saltos de 0,1 entonces, se obtendría lo siguiente:

x
f(x)=x+3
0,6
4,66
0,7
4,42
0,8
4,25
0,9
4,11

Tabla 1: Valores de una función evaluados para definir un límite.

StudySmarter Originals

Podemos ver que, conforme nos acercamos a 1, los valores se acercan cada vez más hacia 4. Esta tendencia continua se llama el límite de una función. En este caso, es el límite de,a medida quese acerca a 1.

Una definición más formal del límite de una función

Supongamos que tienes una función que puede ser cualquiera, como:

Esta función puede tomar cualquier valor real, así que podemos tener un número a al cual nos acercamos.

Esto significa que nos podemos acercar hacia a tomando pequeños valores que denominaremos un pequeño delta (Δ), justo como cuando nos acercamos en saltos de 0,1 en el ejemplo anterior.

Este delta sigue siendo menor que el valor que queremos. Podemos hacer este delta tan pequeño, que podemos acercarnos mucho hacia el valor que deseamos, tanto que es aproximadamente ese valor.

Pero, debemos recordar que podemos sustituir estos valores en la función, de tal modo que nos da un resultado:

Aplicamos un pequeño incremento delta que nos acerca al valor que deseamos.

Sin embargo, recordemos que sigue siendo menor que el resultado de sustituir a:

Si podemos acercarnos a b continuamente, sin tocarlo —es decir, nos acercamos en valores delta tan pequeños y el valor al cual nos acercamos es el mismo—, esa función tiene un límite.

¡Hagamos un ejemplo con una función más compleja!

Supongamos se tiene la función siguiente:

¿Cuál es el límite de la función, cuando x se acerca a 4?

En primer lugar esto lo podrás encontrar en tus libros con la siguiente notación:

En este caso, recordamos que x se acerca a 4 sin tocarlo con pequeños intervalos. Escojamos intervalos de 0,1 desde 3,5.

x
f(x)
3,6
16,56
3,7
17,39
3,8
18,24
3,9
19,11

Tabla 2: Valores para calcular el limite de una función

StudySmarter Originals

Parece ser que nos acercamos a 20; pero, no lo sabemos bien. Tomemos valores más cercanos:

x
f(x)
3,95
19,55
3,975
19,77

Tabla 3: valores para calcular el limite de una función

StudySmarter Originals

Ahora, tomemos valores más cercanos aún:

x
f(x)
3,98
19,82
3,99
19,91

Tabla 4: valores más cercanos para calcular el límite de una función.

StudySmarter Originals

En este caso, se hace evidente que el límite parece ser 20: podemos sustituir el valor de 4 para saberlo.

¡Efectivamente, el valor es 20!

Continuidad y límites laterales

Las funciones muchas veces no son lineales y, además de esto, a veces suceden casos especiales como:

  • La función no existe en el punto al que se acerca el límite; esto también se conoce como discontinuidad.

  • El límite es distinto, dependiendo de si se acerca por la derecha o la izquierda. Esto también se conoce como límites laterales.

  • El límite no se acerca a ningún valor; a esto se le llama divergencia. En un caso contrario, en el que el límite se acerque a cierto valor, se dice que converge.

El último punto nos da una nueva idea de los límites. Hasta el momento, nos hemos acercado al límite por la izquierda; es decir, que hemos tomado un valor menor y los hemos aumentado para acercarnos al valor que deseamos. Sin embargo, podemos hacer lo contrario: podemos tomar un valor mayor y se restan pequeños incrementos, para acercarnos por la derecha.

Esto se puede explicar más sencillamente con algunos ejemplos.

Límites y continuidad con ejercicios resueltos

Para explicar qué es la continuidad, la divergencia o convergencia de una función o los límites laterales, lo mejor que podemos hacer es ver algunos ejemplos:

Se tiene la función siguiente:

Se desea conocer al límite de la función cuando nos acercamos a cero por la izquierda; es decir, con un número menor que cero, tomando pequeños incrementos:

Si tomamos incrementos de 0,01 desde -0,10:

xf(x)
-0.09-11.11
-0.08-12.5
-0.07-14.28
-0.06-16.66
-0.05-20
-0.04-25
-0.03-33.33
-0.02-50
-0.01-100

Tabla 5: Valores de un límite cuando diverge.

StudySmarter Originals

En este ejemplo no hay un límite. De hecho, si nos acercamos por el lado derecho —es decir, si tomamos valores mayores que 0 y nos acercamos a 0— el valor de la función crece indefinidamente. Esta función diverge: divergencia es no tener un límite y, en este caso, no tiene límite por el lado izquierdo ni derecho. Esto lo podemos ver más clara en la siguiente gráfica:

Límites y continuidad Funciones límites y continuidad StudySmarterFig. 1: Función con una discontinuidad en 0.

Hagamos, ahora, un ejemplo donde la función converge por ambos lados, pero el punto no existe.

Supongamos que tienes una función racional como la siguiente:

Quieres calcular el límite cuando la función se acerca al -1, ya que la función no existe en ese punto. Sin embargo, podemos factorizar esta función. De modo que tenemos:

Si observas detenidamente, esto significa que cuando la función es cero, esta no existe porque se divide entre cero. Por lo tanto, este punto es una discontinuidad; pero, esto no significa que el límite no exista. De hecho, si calculas puntos cada vez más cercanos al cero, tanto por la izquierda como por la derecha, comprobarás que los resultados se acercan cada vez más al cero.

Pero, esta función también tiene una discontinuidad en, puesto que es el otro punto donde se anula el denominador.

Ahora, vamos a calcular el límite de la función en este punto, acercándonos tanto por el lado izquierdo como por el derecho:

x derechaf(x) derechax izquierdaf(x) izquierda
-1.1-9-0.911
-1.01-99-0.99101
-1.001-999-0.9991001

Tabla 6: Valores para una función a la cual el límite se acerca por la izquierda y la derecha.

StudySmarter Originals

Como se puede ver, los límites son distintos y uno decrece cuando se acerca del lado derecho a -1, mientras el otro crece cuando se acerca a -1 por el lado izquierdo. Esto también se puede ver en la siguiente gráfica:

Límites y continuidad Funciones límites y continuidad StudySmarter Fig. 2: Función con una discontinuidad que hace que la función tienda al infinito y menos infinito.

Pongamos un último ejemplo donde usaremos una función por partes.

Supongamos que tenemos la función por partes:

En este caso la función está definida en dos partes: para valores mayores que 2 y para valores iguales o menores que 2.

Ahora, supongamos que deseas calcular el límite de la función cuando la función tiende hacia 2.

Entonces, tomaremos el límite por la izquierda y el límite por la derecha; si usamos símbolos, se lee como:

Límite por la izquierda:

Límite por la derecha:

Si tomas tres incrementos cercanos a 2:

x derecha
f(x) derecha
x izquierda
f(x) izquierda
2,1
4,1
1,9
1,94
2,05
4,04
1,95
1,92
2,025
4,025
1,975
1,91

Tabla 7: Valores de una función por partes con límites distintos.

StudySmarter Originals.

En este caso parece ser que los límites son 4 y 2, por la derecha y la izquierda, respectivamente. Por o tanto, ambos límites existen, pero no son los mismos. Esto se puede ver en la siguiente gráfica.

Límites y continuidad función por partes StudySmarterFig. 3: Gráfica de una función definida por partes.

Límite y derivada

El concepto de límite está íntimamente ligado a la derivada de la función y la continuidad. En general:

  • Para que exista la derivada de la función en un punto, esa función debe ser continua en ese punto.

  • El límite de una función puede existir aunque no exista la derivada en ese punto.

El concepto de la derivada puede ser extraído del concepto de un límite, conforme la función se evalúa cerca de un punto. Esto lo podemos definir como :

En esta definición, el incremento es . Lo cual significa que los valores de ambas funciones se hacen cada vez más cercanos y se dividen entre un incremento menor. Lo que se tiene aquí es el incremento en el eje y dividido entre el incremento en el eje x.

Este incremento es la razón de cambio de la función cerca del punto que deseamos evaluar y esto es igual a la derivada de la función cuando se evalúa en el punto deseado.

Límites y continuidad en varias variables

Las funciones de varias variables, como la siguiente,

también poseen posibles discontinuidades. Sin embargo, este tema está más allá de la complejidad de bachillerato. Por el momento podemos mencionar que para estas funciones existen derivadas más complejas y también existen discontinuidades. Estas funciones además representan, muchas veces, superficies en dos dimensiones.

Límites y la regla de L’Hopital

Algunos límites pueden darnos algo llamado indeterminación, esto sucede cuando se tiene un límite que cubre alguno de los siguientes casos:

  • Límite de cero entre cero:

  • Límite de infinito entre infinito:

  • Límite de cero por infinito:

  • Limite de infinito menos infinito:

Estas son algunas de las indeterminaciones en límites más comunes, aunque existen algunas más. Para resolver estos límites, a veces basta con simplificar o reordenar la función para deshacer la indeterminación. En otros casos, puedes usar la Regla de L’Hopital. Para ello, se toma el límite de las derivadas:

Este tema es tratado con más detalle en su propio artículo.

Límites y continuidad - Puntos clave

  • Una función está definida como una relación entre dos variables: una dependiente y una independiente. Supongamos que tenemos un punto A que la función debe tomar, si a medida que nos acercamos hacia A, la función se acerca a un valor definido B, se dice que esta función tiene un límite.
  • Una función puede tener discontinuidades, estos son valores en los que la función no existe.
  • A pesar de que existan discontinuidades, el límite de la función puede existir.
  • Si la función se acerca a cierto valor se dice que converge.
  • Puede darse el caso en que el límite no exista y la función diverge; es decir, que nunca se acerque a cierto valor.
  • Una función puede tener límites distintos por la izquierda y por la derecha.

Preguntas frecuentes sobre Límites y continuidad

Supongamos que tenemos un punto A que la función debe tomar. Si, a medida que nos acercamos hacia A, la función se acerca a un valor definido B, se dice que esta función tiene un límite.

En general, para que exista el límite de la función, la función debe ser continua en ese punto. Sin embargo, el límite puede existir, aunque el punto no exista. También se puede dar el caso que la función sea discontinua, ya que está definida por partes, y el límite exista por la izquierda y la derecha, pero estos sean hacia puntos distintos.

Cuando calculando el límite, se llega a un resultado de tipo: cero entre cero, infinito entre infinito, infinito menos infinito, cero por infinito, entre otros. En estos casos, el límite debe resolverse usando métodos como la regla de L'Hopital.

Un ejemplo de límite sería una función muy simple que es, x+1. Si queremos saber cuál es el límite de la función f(x) cuando se acerca a 1, debemos calcular el valor de la función en pequeños incrementos de x como Δx. 


Si haces esto, como por ejemplo con x=0,9; 0,95; 0,975… te acercarás al valor de 2, que es efectivamente el valor de la función en ese límite.
Puedes hacer lo mismo con una función más complicada como (x+1)/2. Usando como valores de x nuevamente x=0,9; 0,95; 0,975… te acercarás al valor de 1 que es efectivamente el valor de la función en ese límite.

Cuestionario final de Límites y continuidad

Pregunta

¿Cuál es una manera común de hablar sobre la continuidad de una función?

Mostrar respuesta

Answer

Una función es continua si puedes dibujarla sin separar el lápiz del papel.

Show question

Pregunta

Una función es continua en un punto \(x=a\) si:

Mostrar respuesta

Answer

Existe el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\).

Show question

Pregunta

Si una función tiene un salto, pero existe en todos los reales, ¿es continua?

Mostrar respuesta

Answer

No, ya que un salto es una discontinuidad.

Show question

Pregunta

En el sentido más básico, una función que no es continua, ¿qué tipo de función es?

Mostrar respuesta

Answer

Por partes.

Show question

Pregunta

Toma un lápiz, traza una recta y deja un pequeño espacio donde no haya recta. ¿Es esta recta discontinua? ¿Por qué?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, porque hay un valor donde la recta no existe

Show question

Pregunta

La siguiente función por trozos o partes, ¿es continua, o no, y por qué?: \(f(x)=x^3+1, x<0, g(x)=1, x>0\)

Mostrar respuesta

Answer

No, debido a que nunca toma el valor de 0, en \(f(x)\) ni en \(g(x)\)

Show question

Pregunta

La siguiente función por trozos, o partes, ¿es continua, o no, y por qué?: \(f(x)=x^2, x<0, g(x), x\geq0\)

Mostrar respuesta

Answer

Sí, es continua; debido a que no hay ningún valor en el que no exista, mientras que en su entorno sí existe.

Show question

Pregunta

¿Es suficiente con que una función tome todos los valores reales para que sea continua?

Mostrar respuesta

Answer

No, también debe no tener ningún salto

Show question

Pregunta

El concepto de límite es:

Mostrar respuesta

Answer

Acercarse al valor \(f(a)\) de una función, cuando \(x\) tiende a \(a\).

Show question

Pregunta

¿Cuántos tipos de discontinuidades hay?

Mostrar respuesta

Answer

Dos: esenciales y no esenciales

Show question

Pregunta

¿Las discontinuidades esenciales se pueden eliminar?

Mostrar respuesta

Answer

No

Show question

Pregunta

¿Qué tipo de discontinuidad es un salto?

Mostrar respuesta

Answer

Una discontinuidad esencial

Show question

Pregunta

¿Qué tipo de discontinuidades se pueden eliminar?

Mostrar respuesta

Answer

Las discontinuidades no esenciales

Show question

Pregunta

En la función  \(f(x)=x^3+1, x<0, g(x), x>0\), ¿qué tipo de discontinuidad es \(x=0\)?

Mostrar respuesta

Answer

Depende de la función \(g(x)\).

Show question

Pregunta

¿Qué resulta muy útil cuando se tiene una discontinuidad?

Mostrar respuesta

Answer

Usar límites por la izquierda y la derecha.

Show question

Pregunta

¿Una función discontinua es derivable en el punto de la discontinuidad?

Mostrar respuesta

Answer

No, ya que la función no existe en el punto.

Show question

Pregunta

Representa gráficamente la función \({x}\over{x+3}\). ¿Tiene una discontinuidad?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, en \(x=-3\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es la regla de L'Hôpital?

Mostrar respuesta

Answer

La regla dice que para dos funciones en las que se indeterminadamente un limite debido a que se tiene: \( ({{0}\over{0}}, {{±\infty}\over{±\infty}}, 0\bullet \infty ) \), entonces:

\[\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}\]

Show question

Pregunta

¿Qué significa el límite de una función?

Mostrar respuesta

Answer

El límite es lo que le ocurre a la función cuando se acerca a un valor determinado.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula del límite de una función?

Mostrar respuesta

Answer

Para una función, \(f(x)\), el límite es:

\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\]

Show question

Pregunta

¿Cuáles son las indeterminaciones a las que puede aplicarse la regla de L'Hôpital?

Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{0}{0}\)

Show question

Pregunta

Calcula:

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}x^2\)

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}x^2=1^2=1\)

Show question

Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}3x^2-2x\)

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}3x^2-2x=3·0^2-2·0=0\)

Show question

Pregunta

Calcula el límite: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2x-1}{x}\), aplicando la regla de L'Hôpital.

Mostrar respuesta

Answer

El límite da una indeterminación: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2x-1}{x}=\dfrac{0}{0}\)

Por tanto, aplicamos la regla de L'Hôpital:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{d}{dx}(2x-1)}{\dfrac{d}{dx}(x)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{2}{1}=2\)

Show question

Pregunta

Calcula el límite: \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(e^{-x}\ln x)\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(e^{-x}\ln x)=0\cdot\infty\), lo cual es una indeterminación. Pero podemos reescribirlo como: \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{e^x}=\dfrac{0}{0}\). Aplicamos L'Hôpital:

\(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1/x}{e^x}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{xe^x}=\dfrac{1}{\infty}=0\)

Show question

Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}\)

Mostrar respuesta

Answer

Es una indeterminación \(\dfrac{0}{0}\). Aplicamos L'Hôpital:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-e^{-x}}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x+e^{-x}}{\cos x}=\dfrac{1+1}{1}=2\)

Show question

Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}\)

Mostrar respuesta

Answer

Aplicamos L'Hôpital:

\[\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to 1}\dfrac{1/x}{1}=\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{x}=1\]


Show question

Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sin x}\right)\)

Mostrar respuesta

Answer

Reordenamos para obtener una indeterminación en la que se aplica L'Hopital:

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sin x}\right)=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x-x}{x\sin x}=\dfrac{0}{0}\)

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos x-1}{\sin x+x\cos x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{-\sin x}{\cos x+\cos x-x\sin x}=0\)

Show question

Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan x-1)\sec 2x\)

Mostrar respuesta

Answer

El límite es: \(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan x-1)\sec 2x=(1-1)\infty=0\cdot\infty\)

Reorganizamos y aplicamos L'Hopital:

\(\displaystyle\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}(\tan x-1)\sec 2x=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan x-1}{\cos 2x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{4}}\dfrac{1+\tan^2 x}{-2\sin 2x}=-1\)

Show question

Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2-3x}{2x^2-e^{-x}}\)

Mostrar respuesta

Answer

Aplicamos L'Hôpital:

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{x^2-3x}{2x^2-e^{-x}}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\to \infty}\dfrac{2x-3}{4x+e^{-x}}=\dfrac{\infty}{\infty}=\lim_{x\to \infty}\dfrac{2}{4-e^{-x}}=\frac{1}{2}\)

Show question

Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x^2-1}\)

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x^2-1}=\frac{0}{0}=\lim_{x\to 1}\dfrac{1}{2x}=\frac{1}{2}\)

Show question

Pregunta

Calcula: \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{\sin x}\)

Mostrar respuesta

Answer

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{\sin x}=\frac{0}{0}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1+\tan^2 x}{\cos x}=1\)

Show question

Pregunta

¿Qué significa el símbolo \(\infty\)?

Mostrar respuesta

Answer

Infinito.

Show question

Pregunta

Cuando encuentras la notación  \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=L\), ¿esto qué significa?

Mostrar respuesta

Answer

Que el límite cuando la función tiende al infinito es un número \(L\).

Show question

Pregunta

Decimos que una función \(f(x)\) tiene ____ si existe un número \(L\) al cual la función se acerca a medida que crece; es decir, \(f(x)=L\) cuando \(x\rightarrow\infty\)”.

Mostrar respuesta

Answer

un límite en el infinito.

Show question

Pregunta

 ¿Cuáles son los métodos habituales por los cuales puedes encontrar un límite al infinito?

Mostrar respuesta

Answer

  • Por representación gráfica.

  • Por sustitución.

  • Por deducción.

Show question

Pregunta

¿Cuáles son los 10 primeros valores enteros desde el \(x=1\) hasta \(x=10\) de la función \({{1}\over{x}}\)?

Mostrar respuesta

Answer

1; 0.5; 0,333...; 0,25; 0,2; 0,1666…; 0,142…; 0,125; 0,111…; 0,1.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el valor de \(x=0\) para \({{1}\over{x^2}}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Indeterminado.

Show question

Pregunta

Para cualquier función \({{1}\over{x^n}}\), el valor de \(x=0\) no está definido. ¿Esto qué significa?

Mostrar respuesta

Answer

La función es continua pero no derivable en ese punto.

Show question

Pregunta

Representa gráficamente la función \({{1}\over{x^3}}\) y define hacia dónde tiende en el punto \(x=0\):

Mostrar respuesta

Answer

Menos infinito por la izquierda y más infinito por la derecha.

Show question

Pregunta

¿Tiene un límite la función \(\cos(x)\) cuando \(x\rightarrow\infty\)?

Mostrar respuesta

Answer

No.

Show question

Pregunta

Si representas gráficamente la función \({{1}\over{x^2}}\cos(x)\), ¿qué le pasa a la función, a medida que crece hacia al infinito \(x\rightarrow\infty\)?

Mostrar respuesta

Answer

Se hace cada vez más pequeña.

Show question

Pregunta

¿Qué pasa cuando se dividen dos límites al infinito \({{\infty}\over{\infty}}\)?

Mostrar respuesta

Answer

El límite está indeterminado.

Show question

Pregunta

¿Qué pasa cuando se restan dos límites al infinito \(\infty-\infty\)?

Mostrar respuesta

Answer

El límite está indeterminado.

Show question

Pregunta

Toma la función \({{1}\over{x^4}\sin(x)}\) y calcula los primeros diez valores de \(x\), desde \(x=1\) hasta \(x=10\). Ahora, deduce si tiene un límite y, en ese caso, cuál es.

Mostrar respuesta

Answer

Sí, tiene un límite al infinito: \(y=0\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto vale el límite de \(\dfrac{a}{\infty}\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(0\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto vale el límite de \(\dfrac{-a}{\infty}\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(0\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto vale el límite de \(a·(+\infty)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(+\infty\).

Show question

Pregunta

¿Cuánto vale el límite de \(\dfrac{+\infty}{a}\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(+\infty\).

Show question

Pregunta

Si tienes una indeterminación del tipo \(\frac{\infty}{\infty}\), ¿cómo puedes resolverla?

Mostrar respuesta

Answer

Utilizando la regla de L'Hôpital.

Show question

60%

de los usuarios no aprueban el cuestionario de Límites y continuidad... ¿Lo conseguirás tú?

Empezar cuestionario

Scopri i migliori contenuti per le tue materie

No hay necesidad de copiar si tienes todo lo necesario para triunfar. Todo en una sola app.

Plan de estudios

Siempre preparado y a tiempo con planes de estudio individualizados.

Cuestionarios

Pon a prueba tus conocimientos con cuestionarios entretenidos.

Flashcards

Crea y encuentra fichas de repaso en tiempo récord.

Apuntes

Crea apuntes organizados más rápido que nunca.

Sets de estudio

Todos tus materiales de estudio en un solo lugar.

Documentos

Sube todos los documentos que quieras y guárdalos online.

Análisis de estudio

Identifica cuáles son tus puntos fuertes y débiles a la hora de estudiar.

Objetivos semanales

Fíjate objetivos de estudio y gana puntos al alcanzarlos.

Recordatorios

Deja de procrastinar con nuestros recordatorios de estudio.

Premios

Gana puntos, desbloquea insignias y sube de nivel mientras estudias.

Magic Marker

Cree tarjetas didácticas o flashcards de forma automática.

Formato inteligente

Crea apuntes y resúmenes organizados con nuestras plantillas.

Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.