A estas alturas, probablemente sepas que las funciones son expresiones matemáticas que toman entradas y devuelven salidas. ¿Pero qué pasa si utilizas una función como entrada de otra función? Pues que has utilizado la composición de funciones. Cuando utilizas una función como entrada de otra, creas una función completamente nueva: una función compuesta.
Definición de composición de funciones
La composición de funciones es el método de utilizar una función como entrada de otra función, lo que da lugar a una nueva función única.
¿Cómo se expresa esto, exactamente, de forma matemática? Pues bien, si una función compuesta solo toma una función como entrada de otra, puedes expresarlo así
\[ h(x) = f(g(x)) \]
- donde \(h(x)\) es la función compuesta y \( f(x) \) y \(g(x)\) son sus funciones constitutivas.
Como alternativa, podemos utilizar la notación de círculo para denotar la composición de funciones
\[ h(x) = (f \circ g)(x) \]
- donde \(h(x)\) es la función compuesta y \( f(x) \) y \(g(x)\) son sus funciones constitutivas.
Veamos cómo puedes utilizar este método para formar funciones compuestas.
Formación de funciones compuestas
Todo esto está muy bien, pero ¿cómo se forman exactamente estas funciones compuestas? En realidad, ¡no es demasiado difícil!
Tomemos las funciones \( f(x) = 2x\) y \( g(x) = x + 2\). Para encontrar la función compuesta \( h(x) = f(g(x)) \), solo tienes que sustituir \( g(x) \) por \( f(x) \) siempre que veas una \( x \):
\[ \begin {align} h(x) &= f(g(x))\\ &= 2g(x)\\ & = 2(x + 2)\\ & = 2x + 4\end{align} \]
A continuación, se muestra una figura con las gráficas de las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \), y la función compuesta resultante \( h(x) \). Podrás ver que, al componer nuestras dos funciones originales, se obtiene una nueva y única función.
Fig. 1. Resultado de la composición \(h(x)= (f \circ g)(x)\).
Veamos otro ejemplo, para asegurarnos de que hayas entendido.
Composición de funciones ejemplos
Considera las funciones \( f(x) = 3x + 2 \) y \( g(x) = 5x + 4 \). Halla la función \( h(x) = (f \circ g)(x) \).
Solución:
Para hallar el compuesto, sustituye cada \( x \) de la función \( f(x) \) por la función \( g(x) \):
\[ \begin{align} h(x) &= (f \circ g)(x) \\ &= 3g(x) + 2 \\ &= 3(5x + 4) + 2 \end{align}\]
Entonces, solo hay que simplificar expandiendo los paréntesis y juntando los términos semejantes:
\[ \begin{align} h(x) &= 3(5x + 4) + 2 \\ &=15x + 12 + 2 \\ &= 15x + 14 \end{align} \]
No es demasiado complicado, ¿verdad? Bueno, recuerda que las funciones son algo más que la propia expresión. Cuando se forman funciones compuestas, a menudo hay que detenerse a considerar también el dominio de la función. Veamos cómo funciona eso.
Dominio de las funciones compuestas
Para que una función sea verdadera, la entrada de esa función debe estar dentro del dominio de la función.
El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas posibles de esa función.
Esto es igualmente cierto para las funciones compuestas. De ello puedes deducir que para que la función compuesta sea verdadera, la salida de la función interna debe estar dentro del dominio de la función externa.
Veamos un ejemplo, para que esto quede un poco más claro.
Dadas las funciones
\[ f(x) = \frac{1}{x-2}, \quad \{ x \in \mathbb{R} | x \neq 2 \} \]
y
\[ g(x) = x + 2, \quad \{ x \in \mathbb{R} \} \]
¿Cuál es el dominio de la función compuesta \( f(g(x)) \)?
Recuerda que \(\{ x \in \mathbb{R} \}\) significa que \(x\) es un número real, y que \( \{ x \in \mathbb{R} | x \neq 2 \} \) significa que \(x\) puede ser cualquier número real, excepto \(2\).
Solución:
Las salidas de la función \( g(x) \) deben caer dentro del dominio de \( f(x) \), por lo que deben ser una subsección del conjunto de todos los números reales:
\[ \{ x \in \mathbb{R}\}\]
También sabes que la salida de la función \( g(x) \) no debe ser igual a \( 2 \):
\[ g(x) \neq 2 \]
\[ \frac{1}{x-2} \neq 2 \]
\[ x \neq 2{,}5\]
Por tanto, el dominio de la función \( f(g(x)) \) es todo excepto \(2{,}5\) o, lo que es lo mismo:
\[ \{ x \in \mathbb{R} | x \neq 2{,}5 \} \]
¿Qué ocurre cuando se componen funciones con fracciones?
Composición de funciones con fracciones
Cuando compones funciones y una de ellas tiene una raíz cuadrada o una fracción (como una función racional), tienes que tener cuidado con el dominio.
Por ejemplo:
Tomemos las funciones \( g(x) = \sqrt{x}\) y \(f(x) = \frac{1}{x-2}\).
Halla \( (f \circ g)(x) \) y el dominio de la función compuesta.
Solución:
Observa que la función \(g(x)\) es una raíz cuadrada, por lo que su dominio es \([0, \infty)\).
Como ya sabes que el dominio de la función compuesta no son todos los números reales, si haces la composición
\[ (f \circ g) (x) = \frac{1}{\sqrt{x}-2}\]
sabes que no puedes tener un cero en el denominador, así que el dominio de \(f \circ g\) debe tener:
\[ \sqrt{x} - 2 \not= 0\]
Esto que significa que:
\[ \sqrt{x} \not= 2\]
Por lo que:
\[ x \not= 4\]
Combinando las restricciones sobre el dominio de \(g(x)\) con la restricción de que \(x \not= 4\), se obtiene que la composición \( (f \circ g)(x)\) tiene un dominio de \( [0, 4) \cup (4, \infty)\).
Composición de funciones con múltiples variables
La composición puede realizarse en funciones con múltiples variables, al igual que con una sola. Estas variables pueden estar compartidas o no por las funciones individuales y el proceso sigue siendo, en gran medida, el mismo. Sin embargo, es importante tener en cuenta que la función compuesta final solo contendrá las variables presentes en la función interna.
Veamos un ejemplo para entender cómo funciona esto:
En primer lugar, hay dos funciones con variables diferentes.
Consideremos las funciones: \(f(x) = \sqrt{x + 2} \) y \( g(y) = 10y\).
Vamos a hallar la composición de estas funciones \( f(g(y)) \).
Fíjate en que la función compuesta solo es función de \( y \), y no de \( x \).
Solución:
Como antes, sustituyes el valor de \( g(y) \) por el de \( x \) en \( f(x) \), para encontrar la función compuesta resultante:
\[ f(g(y)) = \sqrt{10y + 2} \]
El dominio de esta función compuesta también estará en términos de \( y \). Como no se puede tomar la raíz cuadrada de un negativo (suponiendo que no se tengan en cuenta los números imaginarios), el dominio es el siguiente:
\[ \begin{align} 10y + 2 &> 0\\ 10y &> -2 \\ y &>-0{,}2 \end{align}\]
Así que la función compuesta completa, incluyendo el dominio de la función, es:
\[f(g(y)) = \sqrt{10y + 2}, \quad\{y \in \mathbb{R}, y > -0{,}2 \} \]
Evaluación de composiciones de funciones
Una vez formada una función compuesta, evaluarla para una entrada dada es sencillo. De hecho, ¡es lo mismo que evaluar cualquier otra función!: simplemente sustituyes la entrada en la función compuesta y resuelves.
Veamos un ejemplo para asegurarnos de que lo has entendido:
Dadas las funciones \( f(x) = 5x \) y \( g(x) = x + 4 \), evalúa la función \( h(x) = (f \circ g)(x) \) en \( x = 3 \).
Solución:
Primero, haz la composición:
\[ \begin{align} h(x) &= (f \circ g)(x)\\ &= 5(g(x))\\ & = 5(x + 4) \\ &= 5x + 20 \end{align} \]
A continuación, introduce \(x = 3\) para obtener:
\[ \begin{align} h(3) & = 5\cdot 3 + 20 \\ &=15 + 20\\ & = 35\end{align}\]
Hay un caso especial de funciones compuestas, que son muy sencillas de evaluar y que implican a las inversas:
\[ f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x \]
Trabajemos con un ejemplo para comprobar que esto es cierto.
Dada la función \( f(x) = \frac{x}{x+1}\), demuestra que \( f^{-1}(f(x)) = x \).
Solución:
Primero, encuentra \( f^{-1}(x) \) intercambiando \( x\) e \( y \):
\[ f(x) = y = \frac{x}{x+1} \]
Por lo que:
\[ x = \frac{y}{y + 1} \]
Entonces, reordenas para \( y \) en términos de \( x \), para obtener:
\[ \begin{align} \frac{(y+1)}{y} &= \frac{1}{x} \\ 1 + \frac{1}{y} &= \frac{1}{x} \\ \frac{1}{y} &= \frac{1}{x} - 1 \\ \frac{1}{y} &= \frac{1-x}{x} \\ y &= \frac{x}{1-x} \end{align}\]
Ahora, vamos a comprobar si has hallado la inversa correctamente, evaluando \( h(x) = f\left(f^{-1}(x)\right) \):
\[ \begin{align} h(x) &= \frac{x}{x+1}\\ & = \frac{\frac{x}{1-x}}{\frac{x}{1-x}+1} \\ &= \frac{x}{x+1-x} \\ & = x \end{align} \]
Como \(f\left(f^{-1}(x)\right) = x\) sabes que has encontrado la inversa correctamente.
Descomponer composiciones de funciones
Es posible tomar una función y descomponerla en funciones constitutivas. Esto es, esencialmente, lo mismo que realizar la composición de funciones a la inversa. La descomposición de funciones es muy fácil de realizar y solo requiere que seamos capaces de identificar las funciones constituyentes dentro del conjunto.
Echemos un vistazo a la función \( h(x) = 2x^2 + 4 \). Ahora puedes descomponer esta función mediante la factorización:
\[ h(x) = 2(x^2 + 2) \]
Ahora, si la función tuviera la forma \( f(g(x)) \), ¿cuáles serían sus partes? Bien, puedes decir que dentro de los paréntesis hay una función \( g(x) \), y fuera de los paréntesis está \( f(x) \).
Probemos:
\[ f(x) = 2x \]
y
\[ g(x) = x^2 + 2 \]
Evaluando \( f(g(x)) \) obtienes:
\[ \begin{align} f(g(x)) &= 2(x^2 + 2) \\ &= 2x^2 + 4 \\ &= h(x) \end{align}\]
Por tanto, has encontrado la descomposición correcta.
Ejercicios de composición de funciones
Sigamos algunos ejemplos para ver si puedes utilizar todo lo que has aprendido.
Considera un cohete que se mueve por el espacio, con una aceleración uniforme \( a \) y una masa, \( m \), desde una velocidad inicial, \( u \). Dado que su velocidad en el momento \( t \) se describe por \( v = u + at \), y su energía cinética se describe por:
\[ E_K = \frac{1}{2} mv^2\]
Encuentra una expresión para la energía cinética del cohete en el tiempo \( t \).
Solución:
Puedes reescribir cada una de estas ecuaciones en notación funcional, reconociendo que: \( u \), \( a \) y \( m \) son constantes; \( t \) y \( v \) son tus dos variables independientes; y \( v \) y \( E_K \) son tus variables dependientes.
Así que, en notación funcional:
\[ \begin{align} &v(t) = u + at \\ & E_K(v) = \frac{1}{2} mv^2 \end{align}\]
Ahora quieres encontrar los términos \( E_K(v) \) de \( t \), así que creas una función compuesta \( E_K(v(t)) \) para conseguirlo. Así que sustituyamos el valor de la función \( v(t) \), siempre que haya un \( v \) en \( E_K(v) \). Esto te da:
\[ E_K(v(t)) = \frac{1}{2} m(u + at)\]
Dadas las funciones:
\[ f(x) = \frac{1}{x^2 + 6x + 9}, \quad \{ x \in \mathbb{N} | x \neq 3 \} \]
y
\[ g(x) = \sqrt{x}, \quad \{ x \in \mathbb{R}, \quad x\ge 0 \} \]
¿Cuál es el dominio de la función compuesta f(g(x)) \)?
Solución:
La salida de \( g(x) \) debe estar dentro del dominio de \( f(x) \). Por lo tanto, la salida de \( g(x) \) debe pertenecer al conjunto \( \mathbb{N}\setminus \{3 \} \).
Esto significa que la salida de \( g(x) \) no puede ser \( 3 \), ya que la salida de \(g(x)\) debe estar dentro del dominio de \(f(x)\) y el dominio de \(f(x)\) no incluye a \(3\).
Por tanto:
\[ g(x) \neq 3, \]
Por lo que:
\[ 3 \neq \sqrt{x} \]
Lo que significa que:
\[ x \neq 9 \]
La salida de \( g(x) \) debe ser un número natural, por lo que la salida también debe ser mayor que cero. Por tanto:
\[ \begin{align} & g(x) > 0 \\ & \sqrt{x} > 0\\ & x > 0 \end{align} \]
En realidad, eso no te da mucha información nueva, ¡pues ya sabías que la salida tenía que ser un número natural!
Poniendo todo junto, tu dominio final para \( f(g(x) \) es, por tanto:
\[ \{ x \in \mathbb{N} | x \neq 9 \} \]
¿Qué pasa con las funciones multivariables? Veamos dos funciones con múltiples variables compartidas:
Considera las funciones:
\[ f(x,y) = 2x + 9y \]
y
\[ g(x,y) = \frac{15x}{y - 10} \]
Vamos a encontrar la función compuesta \( f(g(x,y),y) \).
Solución:
En este caso, la \(y\) en el segundo punto de \( f(g(x,y),y) \) te dice que tienen que ocurrir dos cosas:
- El valor de \( g(x,y) \) se sustituye en \( f(x,y) \), donde está presente cualquier \( x \)
- \(y\) se queda donde está presente cualquier \(y\).
Realizando esos dos pasos, se obtiene:
\[ f(g(x,y),y) = 2 \left( \frac{15x}{y-10} \right) + 9y \]
Ahora simplifica, expandiendo los paréntesis y juntando los términos semejantes:
\[ \begin{align} f(g(x,y), y) &= \frac{30x}{y-10} + 9y \\ &= \frac{30x}{y-10} + \frac{9y(y-10)}{y-10}\\ & = \frac{30x + 9y^2 -90y}{y-10} \end{align}\]
Descompón la función \( f(g(x)) = 4 \left( \frac{3x}{4x + 5} \right)^2 \) en funciones constitutivas.
Solución:
Puedes notar, por observación, que la función interna es:
\[ g(x) = \frac{3x}{4x + 5} \]
Y la función externa es, por tanto:
\[ f(x) = 4x^2 \]
Composición de funciones derivadas
También te puedes encontrar la derivada de una función que es el resultado de una composición de funciones. Para calcular esta derivada se utiliza lo que se conoce como la regla de la cadena.
Dadas las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), que componen la función \(h(x)=f(g(x))\), la derivada \(h'(x)\) se calcula como:
\[h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]
Por tanto, lo que tienes que hacer para calcular la derivada de una función compuesta es derivar la función más externa, dejando la más interna como si fuera una \(x\) (es decir, sin derivar la función interna) y, después, multiplicar esto por la derivada de la función interna.
Veamos:
Deriva la función \(h(x)\), siendo \(h(x)=f(g(x))\). Con \(f(x)=\sin(x)\) y \(g(x)=x^2+x\).
Solución:
Creamos la función compuesta \(h(x)\):
\[h(x)=f(g(x))=\sin(x^2+x)\]
Ahora, aplicamos la regla de la cadena para hallar su derivada:
\[h'(x)=\cos(x^2+x)\cdot (2x+1)\]
Como puedes ver, en el primer término de la derivada se deriva la función más exterior (\(f(x)\)), se deja la interior (\(g(x)\)) sin cambios y se multiplica por la derivada de \(g(x)\).
Sean las funciones \(f(x)=\ln(x)+2x\) y \(g(x)=2xe^x\). Deriva la función \(h(x)=f(g(x))\).
Solución:
Formamos la función compuesta:
\[\begin{align} h(x)&=f(g(x))=\\&=\ln(2xe^x)+2(2xe^x)=\\&=\ln(2xe^x)+4xe^x\end{align}\]
Derivamos la función, usando la regla de la cadena, siempre que sea necesaria:
\[\begin{align} h'(x)&=\dfrac{1}{2xe^x}·(2e^x+2xe^x)+4e^x+4xe^x=\\&=\dfrac{1+x}{x}+4e^x+4xe^x=\\&=\dfrac{1+x+4xe^x+4x^2e^x}{x}\end{align}\]
Composición de funciones - Puntos clave
- Se puede formar una nueva función utilizando una función como entrada de otra, lo que se denomina función compuesta.
- Al considerar el dominio de una composición de dos funciones, es importante tener en cuenta el dominio de la función global, no simplemente el de sus funciones constituyentes.
- Es posible descomponer las funciones en dos o más funciones constitutivas.
- El límite de una función compuesta en un punto es la función exterior evaluada en el límite de la función interior que se acerca a ese punto.
- Para derivar una función compuesta se utiliza la regla de la cadena:
\[h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\]
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