Factorización de fracciones

Escribe las fracciones parciales y luego integra la siguiente funcion f(x).

$\frac{8x+11}{(x^2+3x+2)}$

SOLUCIÓN:

Esto es utilizando el método de sustitución.

Paso 1 - Factorizar el denominador.

$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$

Paso 2 - Escribir una forma intermedia.

$\frac{(8x+11)}{(x2+3x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$

Paso 3 - Multiplicar en cruz para escribir el numerador.

$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}=8x+11$

Paso 4 - Sustituir para que los términos dentro de los paréntesis sean 0.

Sea : x= -2.

$A\left(0\right)+B(-1)=8(-2)+11-B=-5B=5$

Si: x=-1

Paso 5 - Escribe la respuesta.

$\frac{(8x+11)}{(x2+3x+2)}=\frac{3}{x+1}+\frac{5}{x+2}$

Ahora es mucho más fácil de integrar:

$\int \frac{(8x+11)}{(x2+3x+2)}dx=\int \frac{3}{x+1}dx+\int \frac{5}{x+2}dx$

$\frac{(a{x}^2+bx+c)}{{(x+d)}^2(x+e)}=\frac{A}{x+d}+\frac{B}{{(x+d)}^2}+\frac{C}{x+e}$

Esta vez utilizamos el segundo método: la equiparación de coeficientes. Si utilizamos un ejemplo:

$\frac{5}{\left[\right(x+1\left)2\right(x+2\left)\right]}=\frac{A}{x+d}+\frac{B}{{(x+d)}^2}+\frac{C}{x+e}$

Entonces podemos multiplicar los denominadores y obtener:

$\frac{5}{{(x+1)}^2(x+2)}=\frac{A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C{(x+1)}^2}{{(x+1)}^2(x+2)}5=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C{(x+1)}^{2}5=A(x^2+3x+2)+B(x+2)+C(x^2+2x+1)5=A{x}^2+3Ax+2A+Bx+2B+C{x}^2+2Cx+C5=(A+C)x^2+(3A+B+2C)x+(2A+2B+C)$$$\begin{gathered} \frac{5}{{(x+1)}^2(x+2)}=\frac{A(x^2+3x+2)+B(x+2)+C(x^2+2x+1)}{{(x+1)}^2(x+2)} \\ 5=A{x}^2+3Ax+2A+Bx+2B+C{x}^2+2Cx+C \\ 5=(A+C)x^2+(3A+B+2C)x+(2A+2B+C) \end{gathered}$$

Entonces igualamos estos coeficientes. Como no hay términos o, los igualamos a 0 y nuestros términos constantes a 5:

$$\begin{gathered} A+C=0 \\ 3A+B+C=0 \\ 2A+2B+2C=5 \\ A+C=3A+B+C \\ 2A+B=0 \\ B+C=5 \\ 3A+5=0 \\ A=\frac{-5}{3} \\ C=\frac{5}{3} \\ B=\frac{10}{3} \end{gathered}$$

Así que nuestra fracción parcial final es:

$\frac{10}{3{(x+1)}^2}-\frac{5}{3(x+1)}+\frac{5}{3(x+2)}$

Escribe en fracciones parciales la funcion f(x):

$f\left(x\right)=\frac{(8x^2+22x+17)}{\left[{(x+1)}^2\right(x+2\left)\right]}$

SOLUCIÓN:

Paso 1 - Factorizar el denominador. [(x+1)²(x+2) como se indica en la pregunta.

Paso 2 - Escribir la forma intermedia.

Nota: esto es un poco diferente de la última vez, ya que tenemos (x+1)2(x+2) y por ellos descomponerlo en la forma:

$\frac{A}{x+d}+\frac{B}{{(x+d)}^2}+\frac{C}{x+e}$

Esto es como también es un factor.

Paso 3A - Igualar los coeficientes.

Esto significa que en lugar de sustituir, ampliamos los denominadores con los numeradores correspondientes. Así acabamos teniendo:

$\frac{A(x+1)(x+2)}{{(x+1)}^2(x+2)}+\frac{B(x+2)}{{(x+1)}^2(x+2)}+\frac{C{(x+1)}^2}{(x+2){(x+1)}^2}=\frac{8x^2+22x+17}{{(x+1)}^2(x+2)}$

Paso 3B - Expandir y simplificar.

$$\begin{gathered} A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C{(x+1)}^2=8x^2+22x+17 \\ A{x}^2+3Ax+2A+Bx+2B+C{x}^2+2Cx+C=8x^2+22x+17 \\ (A+C)X^2+(3A+B+2C)x+(2A+2B+C)=8x^2+22x+17 \end{gathered}$$

Paso 4 - Escribir las ecuaciones:

$$\begin{gathered} A+C=8\left(1\right) \\ 3A+B+2C=22\left(2\right) \\ 2A+2B+C=17\left(3\right) \\ 2\left(2\right)-\left(3\right): \\ 4A+3C=27 \\ \left(4\right)A+C=8 \\ \left(1\right)\left(4\right)-3\left(1\right): \\ (4A+3C)-3(A+3C)=27-3\left(8\right) \\ A=3 \end{gathered}$$

Sustituir para encontrar B y C:

$$\begin{gathered} 3+C=8 \\ C=5 \\ 3\left(3\right)+B+2\left(5\right)=22 \\ 19+B=22 \\ B=3 \end{gathered}$$

Así que nuestra respuesta final es:

$\frac{8x^2+22x+17}{{(x+1)}^2(x+2)}=\frac{3}{(x+1)}+\frac{3}{{(x+1)}^2}+\frac{5}{(x+2)}$

Esto es de nuevo mucho más fácil de integrar que el original, y termina dando:

$$\begin{gathered} \int \frac{8x^2+22x+17}{{(x+1)}^2(x+2)}dx=\int \frac{3}{x+1}+\frac{3}{{(x+1)}^2}+\frac{5}{(x+2)}dx \\ 3\ln (x+1)-\frac{3}{x+1}+5\ln (x+2)=\ln \left[{(x+1)}^3{(x+2)}^5\right]-\frac{3}{x+1}+C \end{gathered}$$

Veamos un ejemplo más.

$\int \frac{2x^2+12x+22}{{(x+2)}^3}dx$

Paso 1: factorizaremos el denominador. Haciendo esto tendremos un denominador de (x+2) y uno como (x+2)² y uno como (x+2)³.

Paso 2: escribimos la forma intermedia:

$\frac{2x^2+12x+22}{{(x+2)}^3}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{{(x+2)}^2}+\frac{c}{{(x+2)}^3}$

Paso 3: Multiplicar los denominadores.

$\frac{A{(x+2)}^2+B(x+2)+C}{{(x+2)}^3}=\frac{2x^2+12x+22}{{(x+2)}^3}$

Paso 4: Simplificar e igualar los coeficientes.

Paso 5: Resolver las ecuaciones.

$A=24A+B=124A+2B+C=22B=12-4\left(2\right)=4C=22-4\left(2\right)-2\left(4\right)=6$

O sea A=2, B=4, C=6.

En fracciones parciales tenemos:

$\frac{2}{x+2}+\frac{4}{{(x+2)}^2}+\frac{6}{{(x+2)}^3}$

Paso 6: Ahora, podemos integrar esto.

$\int \frac{2}{x+2}dx=2\ln (x+2)\int \frac{4}{{(x+2)}^2}dx=\int 4{(x+2)}^{-2}dx=-4{(x+2)}^{-1}\int \frac{6}{{(x+2)}^3}dx=\int 6{(x+2)}^{-3}dx=-3{(x+2)}^{-2}$

Así que nuestra respuesta final es:

$\int \frac{2x^2+12x+22}{{(x+2)}^3}dx=2\ln (x+2)-\frac{4}{(x+2)}-\frac{3}{{(x+2)}^2}+C$

$f\left(x\right)=x2-x+2g\left(x\right)=(x+2)(x-4)(x-7)$

$f\left(x\right)=x2-x+2g\left(x\right)=(x+2)(x-4)(x-7)$

En este caso se tiene la expresion:

$h\left(x\right)==\frac{x^2-x+2}{(x+2)(x-4)(x-7)}$

Puedes factorizar el termino x2-x+2 como (x-2)(x+1), en este caso se puede eliminar (x-2), ya que (x-2) es un factor comun de f(x) y g(x), y por lo tanto se tiene:

$h\left(x\right)=\frac{-(x-2)(x+1)}{(x-2)(x-4)(x-7)}=\frac{(x+1)}{(x-4)(x-7)}$

Lo cual puede ahora resolverse más fácilmente como una fracción parcial.

Se tiene la siguiente fracción con términos algebraicos que corresponden a dos polinomios, uno de grado 2 y uno de grado 3.

$\frac{x^2-2x-2}{-6-5x+2x^2+x^3}$

Puedes intentar factorizar los polinomios de modo que se tengan expresiones del tipo (x+k) donde k es una constante. En este caso deberías de encontrar las raices del polinomio para expresar las como (x+a1)(x+b1) para f(x) y (x+a2)(x+b2)(x+b3) para g(x).

Si usas la formula cuadratica para resolver las raices del polinomio de grado dos obtendrias x=2 y x=-1, por lo tanto la funcion x²-2x-2 es:

$f\left(x\right)=(x-2)(x+1)$

Si encuentras las raices del polinomio de grado tres g(x), obtendrias x=2, x=-1 y x=-3. De este modo el polinomio se expresaria como:

$g\left(x\right)=(x-2)(x+1)(x+3)$

Si sustituimos estas expresiones en lugar de tus expresiones originales tienes:

$h\left(x\right)=\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)(x+3)}$

Por lo tanto se pueden eliminar los factores comunes (x-2) y (x+1). El resultado es una expresión que no requiere ser expresada como fracciones parciales. Sin embargo si el resultado hubiese eliminado solo un factor común y no dos, el resultado podría ser expresado como una fracción parcial.