Si estás leyendo esto, seguramente ya dominas la integración de funciones elementales como \(f(x)=x^2\) o, incluso, \(f(x)=\dfrac{1}{x}\). Sin embargo, hay otras funciones más complejas que requieren métodos de integración elaborados. Este es el caso de las funciones racionales como, por ejemplo, \(f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-2}\). Estas funciones no se pueden integrar de manera inmediata; por eso, aquí te enseñaremos el mejor método para llegar a la solución.
- En primer lugar explicaremos el teorema de descomposición de funciones racionales en fracciones parciales, donde veremos también la división de polinomios.
- Después, aprenderemos los métodos para realizar la integración de funciones racionales por fracciones parciales donde veremos los distintos casos posibles:
- El polinomio \(Q(x)\) sólo tiene raíces reales (distintas o algunas iguales).
- El polinomio \(Q(x)\) tiene raíces complejas (sin raíces reales o con raíces reales).
Teorema de la descomposición de funciones racionales en fracciones parciales
Partimos de una función racional del tipo:
$$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$
Este tipo de funciones tienen ciertas características que puedes ver en nuestro artículo sobre fracciones algebraicas.
Lo primero que debemos considerar es el grado de cada polinomio. Si el grado de \(P(x)\) es menor que el grado de \(Q(x)\), la función \(f(x)\) se puede escribir como una suma de fracciones simples. El polinomio \(Q(x)\) puede tener varias raíces, donde se cumple:
Si el polinomio \(Q(x)\) tiene raíces reales \(r\) de multiplicidad \(n\), se pueden escribir como fracciones del tipo: $$\dfrac{A_1}{x-r}+\dfrac{A_2}{(x-r)^2}+...+\dfrac{A_n}{(x-r)^n}$$
Si el polinomio \(Q(x)\) tiene raíces complejas conjugadas de multiplicidad \(m\), se pueden escribir \(m\) fracciones del tipo: $$\dfrac{B_1x+C_1}{x^2+ax+b}+\dfrac{B_2x+C_2}{(x^2+ax+b)^2}+...+\dfrac{B_m x+C_m}{(x^2+ax+b)^m}$$
En el último caso, el polinomio \(x^2+ax+b\) es el polinomio asociado la raíz compleja doble conjugada.
Descompón en fracciones simples la función:
$$f(x)=\dfrac{3x-2}{x^2-x-2}$$
Solución:
En primer lugar, observamos que el grado del numerador es menor que el del denominador. Por tanto, podemos convertir este cociente de polinomios en fracciones simples.
Factorizamos el denominador usando la fórmula de Cardano, y llegamos a:
$$f(x)=\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}$$
Como las raíces del denominador son dos raíces reales, distintas y cada una de multiplicidad uno, podemos separar este cociente en dos fracciones simples como:
$$\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1}$$
Ahora, operamos esas dos nuevas fracciones para obtener un solo cociente:
$$\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{A(x+1)+B(x-2)}{(x-2)(x+1)}$$
Seguimos desarrollando el numerador:
$$\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{Ax+A+Bx-2B}{(x-2)(x+1)}$$
Como los dos denominadores son iguales, podemos eliminarlos:
$$3x-2=(A+B)x+(A-2B)$$
Con esto, podemos crear dos ecuaciones en función de los coeficientes de la \(x\), que tienen que ser igual en los dos lados de la ecuación; y lo mismo para los términos independientes:
$$\left\{\begin{array}\, 3=A+B\\-2=A-2B\end{array}\right.$$
Resolviendo este sistema, llegamos a:
$$A=\dfrac{4}{3}$$
$$B=\dfrac{5}{3}$$
Por tanto, podemos dividir la función inicial en dos fracciones simples como:
$$f(x)=\dfrac{3x-2}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{\frac{4}{3}}{x-2}+\dfrac{\frac{5}{3}}{x+1}$$
División de polinomios
En el caso en el que el grado del numerador sea mayor que el grado del denominador, primero debemos dividir los dos polinomios. De este modo, obtendremos un polinomio y una fracción en la que ya el grado del denominador sea mayor que el grado del numerador.
$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$$
- Aquí \(C(x)\) es el cociente de \(R(x)\) es el resto de la división entre \(P(x)\) y \(Q(x)\).
Integración de funciones racionales por fracciones parciales
Todo lo anterior es la base de la integración de funciones racionales, cuando estas son suficientemente complejas. De este modo, podemos llegar a varios casos, dependiendo del número y tipo de raíces que tenga el polinomio \(Q(x)\).
El polinomio \(Q(x)\) solo tiene raíces reales
Lo más sencillo que puede ocurrir es que el polinomio del denominador solo tenga raíces reales. En ese caso, este polinomio se pueda expresar como:
$$Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_n)$$
Sin embargo, se pueden dar dos casos:
Raíces reales distintas
Si al factorizar el polinomio \(Q(x)\), vemos que solo tiene raíces reales y, además, todas son distintas, estamos ante el caso más sencillo de descomposición en fracciones parciales o simples. En este caso, tenemos que descomponer la función racional en tantas fracciones simples como raíces tenga el denominador. La integración de estas fracciones será del tipo:
$$\int \dfrac{a}{x-b}dx=a\ln(x-b)+c$$
Ten en cuenta que si la variable \(x\) tiene algún coeficiente, se puede sacar este coeficiente como factor común fuera de la integral.
Calcula la siguiente integral:
$$\int \dfrac{2x}{(x+2)(x-2)}dx$$
Solución:
En primer lugar, observamos el grado de los polinomios que forman la función racional. El grado del numerador es de 1 y el del denominador es de 2 (está descompuesto y tiene 2 factores). Por tanto, podemos aplicar la descomposición en fracciones simples:
$$\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x-2}$$
$$\dfrac{2x}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{A(x-2)+B(x+2)}{(x+2)(x-2)}$$
Luego, eliminamos los denominadores y desarrollamos el numerador:
$$2x=Ax-2A+Bx+2B$$
Ahora, ya Podemos crear el sistema:
$$\left\{\begin{array}\,2=A+B\\0=-2A+2B\end{array}\right.$$
Este sistema es muy sencillo y su solución es:
$$A=1$$
$$B=1$$
De este modo, podemos separar la función racional en dos fracciones simples; por lo que la integral queda como:
$$\int \left(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}\right)dx$$
Esta integral se puede separar en dos, puesto que los términos están sumando y ambas son inmediatas:
$$\int \dfrac{1}{x+2}dx +\int \dfrac{1}{x-2}dx=\ln|x+2|+\ln|x-2|+c$$
Raíces reales, algunas de ellas iguales
Puede ocurrir que un polinomio tenga raíces reales dobles, triples, cuádruples, etc. Esto se conoce como la multiplicidad de la raíz.
Por ejemplo, el polinomio \(P(x)=(x+1)^3(x-2)\) tiene dos raíces distintas y una de ellas es de multiplicidad \(3\).
En estos casos, la descomposición en fracciones simples tendrá tantos términos como la suma de las multiplicidades de las raíces del polinomio. Es decir, en el ejemplo anterior, la función racional se descompondría en \(4\) fracciones simples (\(3\) por el término \((x+1)\) y 1 por el término \((x-2)\)).
Hagamos un ejercicio, para que lo entiendas mejor:
Calcula la siguiente integral:
$$\int \dfrac{3x-2}{(x+2)^2(x-1)}dx$$
Solución:
Puedes observar que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo que podemos descomponer esta función racional en fracciones simples.
Como vemos, una de las raíces es doble, esto implica que habrá una fracción simple más: una de las fracciones llevará el denominador elevado a la primera potencia y el otro a la segunda potencia. Si la multiplicidad de la raíz fuera de \(3\), habría una tercera fracción con denominador elevado a la tercera potencia y así sucesivamente.
En este caso, esto nos queda como:
$$\dfrac{3x-2}{(x+2)^2(x-1)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{(x+2)^2}+\dfrac{C}{x-1}$$
El proceso siguiente es el mismo que en el caso anterior, pero ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:
$$3x-2=A(x+2)(x-1)+B(x-1)+C(x+2)^2$$
$$3x-2=Ax^2-Ax+2Ax-2A+Bx-B+Cx^2+4Cx+4C$$
Entonces, escribimos el sistema asociado:
$$\left\{\begin{align}&Ax^2+Cx^2=0\\&Ax+Bx+4Cx=3x\\&-2A-B+4C=-2\end{align}\right.$$
Ahora, resolvemos el sistema para obtener:
$$A=-\dfrac{1}{9}$$
$$B=\dfrac{8}{3}$$
$$C=\dfrac{1}{9}$$
Con esto podemos escribir la función racional como la suma de tres fracciones simples:
$$\dfrac{3x-2}{(x+2)^2(x-1)}=\dfrac{-1/9}{x+2}+\dfrac{8/3}{(x+2)^2}+\dfrac{1/9}{x-1}$$
Esto hace que podamos descomponer la integral en tres integrales más sencillas e inmediatas:
$$\begin{align} \int \dfrac{3x-2}{(x+2)^2(x-1)}dx&=\int \dfrac{-1/9}{x+2}dx+\int\dfrac{8/3}{(x+2)^2}dx+\int\dfrac{1/9}{x-1}dx=\\&=-\dfrac{1}{9}\ln|x+2|+\dfrac{8}{3}\int (x+2)^{-2}dx + \dfrac{1}{9}\ln|x-1|=\\&=-\dfrac{1}{9}\ln|x+2|+\dfrac{8}{3}\dfrac{(x+2)^{-1}}{-1}+ \dfrac{1}{9}\ln|x-1|=\\&=-\dfrac{1}{9}\ln|x+2|-\dfrac{8}{3(x+2)}+ \dfrac{1}{9}\ln|x-1|\end{align}$$
El polinomio \(Q(x)\) tiene raíces complejas
Cuando el polinomio tiene raíces complejas pueden darse los siguientes tres casos:
- Que el polinomio \(Q(x)\) sea de segundo grado y solo tenga dos raíces complejas conjugadas.
- Que el polinomio \(Q(x)\) tenga raíces reales cualesquiera, pero solo dos raíces complejas conjugadas (multiplicidad \(1\)).
- Que el polinomio \(Q(x)\) tenga raíces complejas de multiplicidad mayor de \(1\).
- Este último caso, en el que las raíces complejas son de multiplicidad mayor de 1, no lo explicaremos aquí, puesto que es un tema avanzado que no te pedirán en tus exámenes preuniversitarios.
El polinomio \(Q(x)\) es de segundo grado sin raíces reales
Puede ocurrir que el denominador sea un polinomio de segundo grado, pero que no tenga raíces reales; es decir, que tiene dos raíces complejas conjugadas. En estos casos, lo que tenemos que hacer es dividir la función racional para llegar a una fracción que se integre como un logaritmo y otra integral que se integre como una arcotangente.
Veamos:
Calcula la siguiente integral:
$$\int \dfrac{5x+4}{x^2+2x+2}dx$$
Solución:
Como siempre, comprobamos que el grado del denominador es mayor que el del numerador. En esta función, el denominador es un polinomio de segundo grado, pero que no tiene raíces reales; por tanto, no lo podemos factorizar.
Lo que hacemos ahora es sacar un factor común para dejar la \(x\) del numerador con un \(2\) —que es el coeficiente de la derivada del \(x^2\) del denominador—:
$$\int \dfrac{5x+4}{x^2+2x+2}dx=5\int \dfrac{x+4/5}{x^2+2x+2}dx=\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+8/5}{x^2+2x+2}dx$$
Como puedes ver, hemos sacado el \(5\) como factor común del numerador, para luego multiplicar el numerador por \(2\) y así obtener el término \(2x\). Sin embargo, no se nos puede olvidar dividir, también, entre \(2\).
Después de esto, queremos separar en dos la fracción y que una de ellas tenga en el numerador la derivada del denominador; por tanto:
$$\begin{align}\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+2-2/5}{x^2+2x+2}dx&=\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}dx+\dfrac{5}{2}\int \dfrac{-2/5}{x^2+2x+2}dx=\\&=\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}dx-\int\dfrac{1}{x^2+2x+2}dx\end{align}$$
Es fácil ver que la primera integral es una integral inmediata. Esta es un logaritmo neperiano del denominador, puesto que en el numerador está la derivada del denominador.
La segunda integral puede transformase para que sea la integral de la arcotangente \((\arctan(x))'=\dfrac{1}{1+x^2}\):
$$\begin{align}\dfrac{5}{2}\int \dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}dx-\int\dfrac{1}{x^2+2x+2}dx&=\dfrac{5}{2}\ln|x^2+2x+2|-\int\dfrac{1}{(x^2+2x+1)+1}dx=\\&=\dfrac{5}{2}\ln|x^2+2x+2|-\int\dfrac{1}{1+(x+1)^2}dx=\\&=\dfrac{5}{2}\ln|x^2+2x+2|-\arctan(x+1)+c\end{align}$$
El polinomio \(Q(x)\) tiene raíces reales cualesquiera y raíces complejas pero de multiplicidad 1
Cuando el polinomio del denominador \(Q(x)\) tiene o no raíces reales, pero al menos un par de raíces complejas conjugadas; por tanto, de multiplicidad 1. Por el teorema de descomposición en fracciones simples sabemos que podemos descomponer la función radical en cocientes más sencillos.
De este modo, para las raíces reales seguiremos las pautas de los casos anteriores. Para las dos raíces conjugadas del polinomio \(Q(x)\) recordamos que:
$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{Bx+C}{x^2+ax+b}$$
Calcula la siguiente integral:
$$\int \dfrac{6x+4}{(x+2)(x^2+2x+2)}dx$$
Solución:
Como en todos los casos, comprobamos que el grado del numerador es menor que el del denominador. En esta función racional, el denominador está formado por una raíz real y un polinomio de segundo grado, que proporciona dos raíces complejas conjugadas. Por tanto, podemos separar la función racional en dos fracciones simples:
$$\dfrac{6x+4}{(x+2)(x^2+2x+2)}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2x+2}$$
Igual que en los casos anteriores, desarrollamos las fracciones e igualamos numeradores:
$$6x+4=A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x+2)$$
A partir de esto, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{array}\, Ax^2+Bx^2=0\\2Ax+2Bx+Cx=6x\\2A+2C=4\end{array}\right.$$
Cuya solución es:
$$A=-4$$
$$B=4$$
$$C=6$$
Por tanto, la función racional inicial puede separarse como:
$$\dfrac{6x+4}{x^2+2x+2}=\dfrac{-4}{x+2}+\dfrac{4x+6}{x^2+2x+2}$$
Como puedes observar, el primer término se puede integrar de manera inmediata con un logaritmo. Con el segundo término solamente tenemos que aplicar el método que hemos visto anteriormente para convertir el denominador en la derivada del denominador:
$$\begin{align} \int \dfrac{6x+4}{(x+2)(x^2+2x+2)}dx&=\int \dfrac{-4}{x+2}dx+\int \dfrac{4x+6}{x^2+2x+2}dx=\\&=-4\ln|x+2|+2\int\dfrac{2x+3}{x^2+2x+2}dx=\\&=-4\ln|x+2|+2\int \left(\dfrac {2x+2}{x^2+2x+2}+\dfrac{1}{x^2+2x+2}\right)dx=\\&=-4\ln|x+2|+2\ln|x^2+2x+2|+2\int\dfrac{1}{1+(x+1)^2}dx=\\&=-4\ln|x+2|+2\ln|x^2+2x+2|+2\arctan(x+1)+c \end{align}$$
Integración de funciones racionales - Puntos clave
- Si tenemos una función racional del tipo \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), entonces:
- Si el polinomio \(Q(x)\) tiene raíces reales \(r\) de multiplicidad \(n\), se pueden escribir como fracciones del tipo: $$\dfrac{A_1}{x-r}+\dfrac{A_2}{(x-r)^2}+...+\dfrac{A_n}{(x-r)^n}$$
- Si el polinomio \(Q(x)\) tiene raíces complejas conjugadas de multiplicidad \(m\), se pueden escribir \(m\) fracciones del tipo: $$\dfrac{B_1x+C_1}{x^2+ax+b}+\dfrac{B_2x+C_2}{(x^2+ax+b)^2}+...+\dfrac{B_m x+C_m}{(x^2+ax+b)^m}$$
- Si el polinomio tiene sólo raíces reales de multiplicidad 1, las integrales son logaritmos.
- Si el polinomio \(Q(x)\) tiene raíces reales, algunas de multiplicidad mayor de 1, las integrales son logaritmos y las de multiplicidad mayor de \(1\)se convierten en fracciones.
- Si el polinomio \(Q(x)\) es un polinomio de segundo grado sin raíces reales, se divide en dos fracciones parciales que se integrarán como un logaritmo y como una arcotangente.
- Si el polinomio \(Q(x)\) tiene raíces reales y solo dos raíces complejas conjugadas, las fracciones con raíces reales se integran como logaritmos y las fracciones con raíces complejas, como logaritmos y arcotangentes.
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