Las funciones implícitas contienen dos variables desconocidas \(f(x,y)\), en las que la variable dependiente no está aislada en un lado de la ecuación. A veces, debido a la complejidad de las ecuaciones, no es fácil reordenar la ecuación de manera que \(y\) pueda resolverse en términos de \(x\), para realizar una diferenciación normal. Por eso, la diferenciación implícita es un método que permite derivar \(y\) con respecto a \(x\), \(dy/dx\) sin necesidad de resolver para \(y\).
La derivación implícita también puede utilizarse para describir la pendiente y la concavidad de las curvas definidas por las ecuaciones paramétricas. Este tipo de ecuaciones suelen describir curvas de funciones implícitas. Las derivadas se pueden utilizar para construir las ecuaciones de las tangentes y las normales de las curvas.
Funciones explícitas e implícitas
Como ya has visto en tus temas de cálculo, la mayoría de las funciones que estudias son funciones explícitas. Esto quiere decir que la variable independiente \(x\) está despejada con respecto a la variable dependiente \(y\). Para que lo entiendas mejor, tus funciones son de la forma:
\[y=f(x)\]
Sin embargo, una función implícita o una ecuación implícita tiene términos en los que la variable independiente no está despejada con respecto a la variable dependiente, sino que la función depende de las dos variables a la vez. Es decir:
\[f(x,y)\]
En esta función, ninguna variable está despejada en función de la otra. Esta es una función implícita.
Teorema de la regla de la cadena y la función implícita
Como anteriormente hemos mencionado, normalmente asignamos \(y=f(x)\). Una función implícita es aquella que contiene un miembro que es una función de la variable.
Por ejemplo:
\[2x+f(x)+2=0\]
Esta ecuación es implícita, porque contiene el término \(f(x)\), que es un término que no se conoce. Esto también se puede definir como:
\[2x+y+2=0\]
Sin embrago, esta función se puede derivar, aunque no se conozca la función \(y\): ese es el tema central de la derivada implícita.
Ahora, usaremos la regla de la cadena y la derivación para poder encontrar la derivada de esta función, aunque no se conozca \(y\). Si definimos la derivación con respecto a la variable \(x\), es decir, \(\dfrac{d}{dx}f(x)=f'(x)\):
\[(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]
Supongamos ahora, que:
\[y=g(x)\]
Podemos, entonces, reescribir la ecuación como:
\[(f(y))'=f'(y)\cdot y'\]
¿Cómo se realiza la derivación implícita?
Una derivada implícita será la derivación de funciones implícitas, es decir, de funciones que dependen de dos variables a la vez.
Para funciones explícitas de la forma \(y=ax+...\) realizamos la derivación estándar empleando la regla de la cadena. Sin embargo, si las funciones están escritas implícitamente en la forma \(x+y=a\), utilizamos una variación de la regla de la cadena, debido a la suposición de que \(y\) puede expresarse como una función de \(x\).
Entonces:
Derivamos todas las variables para ambos lados de la ecuación (lado izquierdo y lado derecho) con respecto a \(x\). Sin embargo, para los términos de \(y\), como suponemos que \(y\) es una función de \(x\), debemos multiplicar también por su derivada \(y'\) —tal como indica la regla de la cadena—.
Después de derivar, resolvemos para \(y'\).
Una circunferencia está descrita por la siguiente ecuación.
\[x^2+y^2=49\]
Encuentra la derivada de la ecuación de la circunferencia.
Solución:
Primero, derivamos cada parte de la ecuación. Sin embargo, para el término \(y\), también necesitamos multiplicar por su derivada \(y'\):
\[2x+2yy'=0\]
Despejamos la \(y'\):
\[y'=-\dfrac{x}{y}\]
Halla la derivada de la función:
\[x^5+y^2-x·y=9\]
Solución:
Derivamos, teniendo en cuenta que \(y=f(g(x))\) y por tanto \(y'=f'(x)·g'(x)\):
\[5x^4+2yy'-(xy)'=0\]
Como puedes ver, hay un término en el que, para derivarlo, tenemos que usar la regla del producto:
\[5x^4+2yy'-(y+xy')=0\]
\[5x^4+2yy'-y-xy'=0\]
\[y'(2y-x)=-5x^4+y\]
\[y'=\dfrac{y-5x^4}{2y-x}\]
Derivación implícita por derivadas parciales
Tenemos una función, de modo que una parte es una función en \(x\) y otra es una función de \(y\). Para calcular la derivada, podemos hacerlo con las derivadas parciales de esta función. La derivada parcial es la derivada de la función con respecto a uno de las variables, sea o no independiente. Es decir, si tenemos la siguiente función:
\[x^2y+2xy^2-2x=0\]
La derivada parcial con respecto a \(x\), representada como \(\dfrac{\partial}{\partial x}\), es:
\[\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y+2xy^2-2x)=\dfrac{\partial}{\partial x}0\]
Para calcular esto, la variable \(y\) se trata como una constante:
\[2xy+2y^2-2=0\]
Si queremos calcular la derivada parcial de esta misma función con respecto a \(y\), consideramos en este caso la variable \(x\) como una constante:
\[x^2+4xy=0\]
Como puedes ver, cada una de las derivadas parciales no dan el mismo resultado.
Podemos utilizar las derivadas parciales para realizar la derivación implícita de una función implícita, a través de la siguiente fórmula:
\[y'=-\dfrac{\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)}{\dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)}\]
Calcula por derivadas parciales la derivada de la función:
\[x^3y^2-x^2\ln y+3y=0\]
Solución:
En primer lugar, calculamos las derivadas parciales de la función:
\[\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y)=3x^2y^2-2x\ln y\]
\[\dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y)=2yx^3-\dfrac{x^2}{y}+3\]
Ahora, podemos aplicar la fórmula:
\[y'=-\dfrac{3x^2y^2-2x\ln y}{2yx^3-\dfrac{x^2}{y}+3}\]
Puedes comprobar que el resultado es correcto haciendo la derivación directa:
\[3x^2y^2+x^3·2yy'-2x\ln y-x^2·\dfrac{1}{y}y'+3y'=0\]
Al despejar \(y'\):
\[y'\left(2yx^3-\dfrac{x^2}{y}+3\right)+3x^2y^2-2x\ln y=0\]
\[y'=-\dfrac{3x^2y^2-2x\ln y}{2yx^3-\dfrac{x^2}{y}+3}\]
Derivación implícita, segunda derivada y de orden superior
Para la derivación de segundo orden y superiores procedemos con el mismo proceso. Sin embargo, para encontrar la segunda derivada necesitamos obtener la primera derivada, y para encontrar la tercera derivada debemos diferenciar la segunda derivada y así, sucesivamente. Podemos generalizar esto utilizando la fórmula:
\[\dfrac{d^n y}{dx^n}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)\]
Aquí, \(n\) es el orden de la derivada.
Para derivar funciones implícitas, continuamos con las reglas de derivación implícita mencionadas anteriormente, para encontrar primero la derivada de orden inferior. Para hallar las derivadas de orden superior también tenemos que aplicar la fórmula anterior. Empecemos con la segunda derivada donde ahora, según la formula, tenemos:
\[\dfrac{d^2 y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^{2-1}y}{dx^{2-1}}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\]
En notación de derivación la segunda derivada se expresa con un apóstrofe más. El número de apóstrofes indica el orden de derivación.
Encuentra la segunda derivada de la siguiente expresión:
\[x^2+2y=3\]
Solución:
Derivando con respecto a \(x\), llegamos a :
\[2x+2y'=0\]
\[y'=-x\]
Derivando con respecto a \(x\), nuevamente:
\[y''=-1\]
Derivación implícita aplicada, ejercicios resueltos
La derivación implícita es un método que se puede aplicar a encontrar rectas que intersecan una circunferencia. Este es un problema aplicado que se usa en aplicaciones de software o cálculo. Dos de estos problemas son:
- La curva tangente a una superficie o línea curva.
- La curva normal a una superficie o línea curva.
Veámoslos, a continuación.
¿Cómo encontramos la ecuación de la tangente de una curva, utilizando la derivación implícita?
Podemos encontrar la ecuación de una tangente, que es una recta, usando el procedimiento de derivación implícita para encontrar la pendiente de una curva. Si se conoce el punto de tangencia, se puede hallar la ecuación de una recta, mediante la siguiente fórmula:
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
donde \((x_1,y_1)\) son las coordenadas del punto y \(m\) es la pendiente o derivada de la curva.
Una curva tiene una ecuación como la siguiente:
\[x^3+x^2+xy=3\]
Encuentra la ecuación de la tangente en el punto \(x=1\).
Solución:
Empezamos por encontrar el punto de tangencia. Podemos hacerlo sustituyendo la coordenada dada, para encontrar la posible coordenada \(y\):
\[1^3+1^2+1y=3\Rightarrow y=1\]
Para determinar la ecuación de la tangente, necesitamos también la pendiente de la curva en el punto de tangencia. La pendiente de tangente será la derivada de la función en el punto, en este caso \(P(1,1)\).
Primero, derivamos:
\[3x^2+2x+(y+xy')=0\]
\[xy'=-3x^2-2x-y\]
\[y'=-3x-2-\dfrac{y}{x}\]
Ahora, sustituimos \(x=1\) e \(y=1\):
\[y'=-3-2-1=-6\]
Por tanto, la pendiente de la tangente es \(m=-6\).
Podemos construir la ecuación de la tangente utilizando la fórmula dada:
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
\[y-1=-6(x-1)\]
\[y=-6x+7\]
¿Cómo hallamos la ecuación de la normal a una curva, utilizando la derivación implícita?
Igualmente, seguimos el mismo proceso para encontrar la ecuación de la normal a una curva. Sin embargo, la pendiente de la normal es siempre el recíproco negativo de la pendiente de la tangente de la curva. Esto se muestra en la fórmula siguiente:
\[m·n=-1\]
donde \(m\) y \(n\) indican la pendiente de la tangente y la normal, respectivamente.
Encuentra la ecuación de la normal a la curva dada en el ejemplo anterior.
Solución:
Continuando con el ejemplo anterior, la pendiente de la normal se puede encontrar utilizando la derivada que se identificó: \[y'=-6\]
Utilizando la fórmula de la pendiente de la normal a la curva, la pendiente de la normal es el recíproco negativo de la pendiente de la curva, ya que es perpendicular a la curva. Por tanto, la pendiente de la normal es \(n=1/6\). Empleando la fórmula para la construcción de una recta, la ecuación de la normal es la siguiente:
\[y-y_1=n(x-x_1)\]
\[y-1=\dfrac{1}{6}(x-1)\]
\[y=\dfrac{x}{6}+\dfrac{5}{6}\]
Derivación y el teorema de la función implícita
Cuando se tiene una función implícita, se puede realizar una sustitución por el teorema de la función implícita. El teorema establece que si se tienen las suficientes condiciones para representar una función de más de una variable como \(h(x,y)\), esta función se puede representar del modo:
\[f(x),[a,b]\]
donde \(a\) y \(b\) son un rango de valores donde existe la nueva función.
De esta manera, se tiene una función que se puede derivar. La relación original, en este caso, no es una función uno a uno; es decir que hay valores de \(x\) donde la función posee dos valores de \(y\). Esto sucede, por ejemplo, en una circunferencia: debido a eso, esta no es una función, y no se puede derivar.
Veamos un ejemplo para hacerlo más sencillo:
Una circunferencia centrada en el origen de radio \(r\) se puede definir como una función de varias variables, como: \[x^2+y^2=r^2\]
Sin embargo, esta no es una función; ya que hay puntos en \(x\) que tienen dos valores de \(y\), tal como se ve en la imagen siguiente.
Fig. 1. La ecuación de la circunferencia no es una función: para cada valor de \(x\) hay dos valores de \(y\) (excepto en los extremos). Por ejemplo, para \(x=2\) hay dos valores de \(y\) lo que resulta en los puntos \(P\) y \(Q\).
Sin embargo, se puede dividir el círculo en dos partes: una superior y una inferior. Si se hace esto, se remueve la restricción que no nos permite expresar la ecuación como una función.
Lo siguiente es obtener una relación de \(y\) en términos de \(x\). Para esto, despejamos \(y\) en la ecuación:
\[y=\pm\sqrt{r^2-x^2}\]
Derivación implícita - Puntos clave
- La derivación implícita es un método que se utiliza cuando las dos variables desconocidas se utilizan en una ecuación no aislada en un lado de la ecuación.
- Todos los términos se derivan y el término \(y\) debe multiplicarse por \(y'\).
La derivación implícita de orden superior se usa cuando se necesita una segunda o tercera derivada.
- La derivada de orden inferior se diferencia para encontrar el orden de la derivada requerida.
- La ecuación de una tangente y una normal a una curva descrita por ecuaciones implícitas puede encontrarse empleando la derivada implícita y las coordenadas.
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