Seguro que has visto funciones muy complejas, como \(f(x)=\sin^2(x)+2x^2+e^x\); pero también las hay muy sencillas, como \(f(x)=3x^2\). Casi todas las funciones que verás en tu curso se pueden integrar; sin embargo, la más sencilla de estas es una simple constante.
\[f(x)=k\]
Estas integrales son importantes en temas como física, donde las áreas bajo la curva representan el trabajo y la energía gastada o que se necesita para hacer algo como mover un objeto o deformar un resorte. En casos como este, la función que lo define, a veces, puede ser constante. Debido a ello, debemos hablar de la que es la integral más fácil: la integral de una constante.
Función constante
Una función constante es aquella que para distintos valores de \(x\) siempre se obtiene el mismo valor de \(y\).
Un ejemplo de una función constante es la siguiente:
\[f(x)=4{,}5\]
Esto significa que para \(x=1\) y \(x=5\) el valor de \(y\) es \(y=4{,}5\). De hecho, para todos los números reales \(y=4{,}5\). Esto se ve mejor en la siguiente gráfica:
Fig. 1: Gráfica de un función constante \(y=4,5\).
Integral de una constante
La integral de una constante es simplemente la variable en la que se integra multiplicada por la propia constante, de este modo:
\[\int k \,dx= kx+c\]
- Aquí, \(c\) es una constante de integración arbitraria.
La integral de una constante puede ser pensada como la integral de \(k\) (que es la constante) multiplicada por \(x^0\). Esto se debe a que:
\[x^0=1\]
De tal modo que la multiplicación de \(x^0\) y \(a\) es:
\[k(x^0)=k(1)=k\]
Así, al integrar la función con esta representación, se tiene:
\[\int k x^0 dx\]
La constante \(a\) sale de la integral, ya que por leyes de las integrales:
\[\int k\,f(x)dx=k\int f(x) dx\]
Al hacer esto, se tiene:
\[\int k(x^0)dx=k\int x^0 dx\]
Como aquí hay un exponente, \(n=0\), se puede usar la fórmula de la integral de una potencia:
\[\int x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\]
Esto es, entonces:
\[\int x^0dx=\dfrac{x^{0+1}}{0+1}=\dfrac{x^1}{1}=x\]
Así que la integral es:
\[\int k \,dx=kx+c\]
Es bastante complejo, pero sirve como una justificación del porqué la integral de una constante es la variable.
Integral definida de una constante
La integral definida se describe como:
\[\int_a^b f(x) dx\]
Donde, en nuestro caso, la función \(f(x)\) es simplemente una constante arbitraria \(k\).
Por ejemplo, la integral definida de la función \(f(x)=4{,}5\) es:
\[\int_a^b 4{,}5 \,dx\]
Estas integrales son el área bajo la curva que, en este caso, NO es una curva en sí; sino una línea. Debido a que la área bajo la línea es un rectángulo, la integral definida de una constante es el área de un rectángulo. Esto lo podemos ver en la imagen siguiente:
Fig. 2: Función constante entre dos límites.
La razón por la cual esta es la área de un rectángulo, también tiene una justificación geométrica. Recordemos que la constante significa \(y=k\); en este sentido, este es uno de los lados del rectángulo (como se ve en la imagen siguiente):
Fig. 3: Gráfica de una función definida mostrando que \(\text{área}=kB\).
En este caso los límites \([a,b]\) son el otro lado del rectángulo, o \(b-a=B\); de este modo, al obtener la integral se tiene:
\[\int_a^b k x^0 dx = \left.kx\right|^b_a= k[b-a]=kB \]
El área bajo la curva
Un concepto importante de las integrales es que las integrales definidas representan el área bajo la curva. Eso significa que cualquier función integrada es, simplemente, el producto de la altura de la función definida por \(f(x)\) y el trayecto de esta función, que es su intervalo de integración \([a, b]\).
Esto en física, medicina y biología es muy importante, ya que que se puede sustraer información a partir de estas áreas. Por ejemplo:
La energía en un resorte.
El trabajo realizado por una máquina.
La exposición general de un medicamento.
etc.
Integral de una constante ejemplos
Hagamos algunos ejemplos de la integral de una constante. Supongamos, primero, que tenemos solo constantes, sin límites.
Integra la función \(f(x)=\sin(y)4\).
Solución:
Aquí debes observar que la función esté en términos de \(x\), como sugiere la notación matemática \(f(x)\); por lo tanto, \(\sin(y)\) es una constante. De este modo, la integral es:
\[\int \sin(y)4 dx= 4\sin(y)\int dx= 4 \sin(y)x+c\]
Calcula la integral de la función \(f(x)=7\).
Solución:
Esta integral es \(\int 7 dx\), lo cual es, rápidamente:
\[\int 7 dx= 7x+c\]
Ahora, hagamos un ejemplo con límites.
Calcula la integral de \(\int \cos(y) dx\) entre los límites\([a, b]\).
Solución:
Esta es la integral de una constante, ya que \(\cos(y)=\text{constante}\). Así que se tiene:
\[\cos(y)[b-a]\]
Los límites aquí no se sustituyen, ya que no se tienen sus valores.
Observarás que la constante de integración se omitió. La razón es que una integral definida \(k(x+c)-k(x'-c)\) esto es igual a \(kx-kx'+(kc-kc)\), lo cual hace que la constante de integración se elimine por sí sola.
Integrales de una función constante - Puntos clave
- Una función constante es aquella que para distintos valores de \(x\) siempre obtiene el mismo valor de \(y\).
- La integral de una constante es, simplemente, la variable \(x\) multiplicada por la constante.
- La integral de una constante es \(\int k dx = kx+c\).
- La integral de una constante con límites es \(\int^b_a k\, dx = k(b-a)+c\).
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