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Seguro que has visto funciones muy complejas, como \(f(x)=\sin^2(x)+2x^2+e^x\); pero también las hay muy sencillas, como \(f(x)=3x^2\). Casi todas las funciones que verás en tu curso se pueden integrar; sin embargo, la más sencilla de estas es una simple constante.
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Regístrate gratis¿Cuál es la integral de una función constante \(k\)?
La integral de una función constante \(k\) equivale a \(kx^0\).
¿Es la integral definida de \(2\) entre \(-a\) y \(a\) positiva?
¿De qué figura es la integral definida de una constante igual al área bajo la curva?
La integral definida de una constante se puede definir como:
¿Una función constante tiene pendiente?
¿Cuál es la función constante con respecto a \(x\) más simple?
¿Cuál es la integral de una función constante \(k\)?
La integral de una función constante \(k\) equivale a \(kx^0\).
¿Es la integral definida de \(2\) entre \(-a\) y \(a\) positiva?
¿De qué figura es la integral definida de una constante igual al área bajo la curva?
La integral definida de una constante se puede definir como:
¿Una función constante tiene pendiente?
¿Cuál es la función constante con respecto a \(x\) más simple?
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Enviar comentarios\[f(x)=k\]
Estas integrales son importantes en temas como física, donde las áreas bajo la curva representan el trabajo y la energía gastada o que se necesita para hacer algo como mover un objeto o deformar un resorte. En casos como este, la función que lo define, a veces, puede ser constante. Debido a ello, debemos hablar de la que es la integral más fácil: la integral de una constante.
Una función constante es aquella que para distintos valores de \(x\) siempre se obtiene el mismo valor de \(y\).
Un ejemplo de una función constante es la siguiente:
\[f(x)=4{,}5\]
Esto significa que para \(x=1\) y \(x=5\) el valor de \(y\) es \(y=4{,}5\). De hecho, para todos los números reales \(y=4{,}5\). Esto se ve mejor en la siguiente gráfica:
Fig. 1: Gráfica de un función constante \(y=4,5\).
La integral de una constante es simplemente la variable en la que se integra multiplicada por la propia constante, de este modo:
\[\int k \,dx= kx+c\]
La integral de una constante puede ser pensada como la integral de \(k\) (que es la constante) multiplicada por \(x^0\). Esto se debe a que:
\[x^0=1\]
De tal modo que la multiplicación de \(x^0\) y \(a\) es:
\[k(x^0)=k(1)=k\]
Así, al integrar la función con esta representación, se tiene:
\[\int k x^0 dx\]
La constante \(a\) sale de la integral, ya que por leyes de las integrales:
\[\int k\,f(x)dx=k\int f(x) dx\]
Al hacer esto, se tiene:
\[\int k(x^0)dx=k\int x^0 dx\]
Como aquí hay un exponente, \(n=0\), se puede usar la fórmula de la integral de una potencia:
\[\int x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\]
Esto es, entonces:
\[\int x^0dx=\dfrac{x^{0+1}}{0+1}=\dfrac{x^1}{1}=x\]
Así que la integral es:
\[\int k \,dx=kx+c\]
Es bastante complejo, pero sirve como una justificación del porqué la integral de una constante es la variable.
La integral definida se describe como:
\[\int_a^b f(x) dx\]
Donde, en nuestro caso, la función \(f(x)\) es simplemente una constante arbitraria \(k\).
Por ejemplo, la integral definida de la función \(f(x)=4{,}5\) es:
\[\int_a^b 4{,}5 \,dx\]
Estas integrales son el área bajo la curva que, en este caso, NO es una curva en sí; sino una línea. Debido a que la área bajo la línea es un rectángulo, la integral definida de una constante es el área de un rectángulo. Esto lo podemos ver en la imagen siguiente:
La razón por la cual esta es la área de un rectángulo, también tiene una justificación geométrica. Recordemos que la constante significa \(y=k\); en este sentido, este es uno de los lados del rectángulo (como se ve en la imagen siguiente):
En este caso los límites \([a,b]\) son el otro lado del rectángulo, o \(b-a=B\); de este modo, al obtener la integral se tiene:
\[\int_a^b k x^0 dx = \left.kx\right|^b_a= k[b-a]=kB \]
Un concepto importante de las integrales es que las integrales definidas representan el área bajo la curva. Eso significa que cualquier función integrada es, simplemente, el producto de la altura de la función definida por \(f(x)\) y el trayecto de esta función, que es su intervalo de integración \([a, b]\).
Esto en física, medicina y biología es muy importante, ya que que se puede sustraer información a partir de estas áreas. Por ejemplo:
La energía en un resorte.
El trabajo realizado por una máquina.
La exposición general de un medicamento.
etc.
Hagamos algunos ejemplos de la integral de una constante. Supongamos, primero, que tenemos solo constantes, sin límites.
Integra la función \(f(x)=\sin(y)4\).
Solución:
Aquí debes observar que la función esté en términos de \(x\), como sugiere la notación matemática \(f(x)\); por lo tanto, \(\sin(y)\) es una constante. De este modo, la integral es:
\[\int \sin(y)4 dx= 4\sin(y)\int dx= 4 \sin(y)x+c\]
Calcula la integral de la función \(f(x)=7\).
Solución:
Esta integral es \(\int 7 dx\), lo cual es, rápidamente:
\[\int 7 dx= 7x+c\]
Ahora, hagamos un ejemplo con límites.
Calcula la integral de \(\int \cos(y) dx\) entre los límites\([a, b]\).
Solución:
Esta es la integral de una constante, ya que \(\cos(y)=\text{constante}\). Así que se tiene:
\[\cos(y)[b-a]\]
Los límites aquí no se sustituyen, ya que no se tienen sus valores.
Observarás que la constante de integración se omitió. La razón es que una integral definida \(k(x+c)-k(x'-c)\) esto es igual a \(kx-kx'+(kc-kc)\), lo cual hace que la constante de integración se elimine por sí sola.
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¿Qué es la integral de una función?
A la integral de una función se le conoce como la antiderivada de una función, y es la operación inversa a la derivada.
¿Cuál es la integral de una función constante?
La integral de una constante es la constante multiplicada por la variable, con respecto a la que se integra (la mayoría de las veces la variable es x).
¿Cuál es un ejemplo de la integral de una función constante?
∫4dx=4x.
¿Qué pasa con la constante en una integral definida?
En una integral definida, la constante de integración se elimina, ya que en una integral definida k(x+c)-k(x'-c) esto es igual a kx-kx'+(kc-kc). Esto hace que la constante de integración se elimine por sí sola.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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