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Integral de una constante

Integral de una constante

Seguro has visto funciones muy complejas como \(\sin^2(x)+2x^2+e^x\) pero también las hay muy sencillas como \(f(x)=3x^2\). Casi todas las funciones que verás en tu curso se pueden integrar. Sin embargo, la más sencilla de estas es una simple constante.

\[f(x)=k\]

Estas integrales son importantes en temas como física, donde las áreas bajo la curva representan el trabajo o energía gastada o que se necesita para hacer algo como mover un objeto o deformar un resorte. Para esto, la función que lo define a veces puede ser constante. Debido a ello, debemos hablar de la que es la integral más fácil, la integral de una constante.

Función constante

Una función constante, es aquella que para distintos valores de \(x\) siempre se obtiene el mismo valor de \(y\).

Un ejemplo de una función constante es la siguiente:

\[f(x)=4,5\]

Esto significa que para \(x=1\) y \(x=5\) el valor de \(y\) es \(y=4,5\). De hecho para todos los números reales \(y=4,5\). Esto se ve mejor en la siguiente gráfica.

 Integrales de una función constante grafíca StudySmarterFig. 1: Gráfica de un función constante \(y=4,5\).

Integral de una constante

La integral de una constante es simplemente la variable en la que se integra multiplicada por la propia constante, de este modo:

\[\int k dx= kx+c\]

Aquí \(c\) es una constante de integración arbitraria.

La integral de una constante puede ser pensada como la integral de \(k\) que es la constante, multiplicada por \(x^0\). Esto se debe a que:

\[x^0=1\]

De tal modo que la multiplicación de \(x^0\) y \(a\) es:

\[k(x^0)=k(1)=k\]

De este modo al integrar la función con esta representación se tiene:

\[\int k x^0 dx\]

La constante \(a\) sale de la integral ya que por leyes de las integrales:

\[\int k(f(x)dx=k\int f(x) dx)\]

Al hacer esto, se tiene:

\[\int k(x^0)dx=k\int x^0 dx)\]

Ya que aquí hay un exponente, \(n=0\), se puede usar la fórmula de la integral de una potencia:

\[\int x^n=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\]

Esto es entonces:

\[\int x^0=\dfrac{x^{0+1}}{0+1}=\dfrac{x^1}{1}=x\]

Así que la integral es:

\[\int k dx=kx+c\]

Es bastante complejo pero sirve como una justificación del porqué la integral de una constante es la variable.

Integral definida de una constante

La integral definida se define como:

\[\int_a^b f(x) dx\]

Donde en nuestro caso, la función \(f(x)\) es simplemente una constante arbitraria \(k\). Por ejemplo, la integral definida de la función \(f(x)=4,5\) es:

\[\int_a^b 4,5 \,dx\]

Estas integrales son el área bajo la curva, que en este caso “NO” es una curva en sí, sino una línea. Debido a que la área bajo la línea es un rectángulo, la integral definida de una constante es el área de un rectángulo. Esto lo podemos ver en la imagen siguiente:

Integrales de una función constante integral definida StudySmarterFigura 2: Función constante entre dos límites.

La razón por la cual esta es la área de un rectángulo también tiene una justificación geométrica. Recordemos que la constante significa \(y=k\), en este sentido este es uno de los lados del rectángulo como se ve en la imagen siguiente:

 Integrales de una función constante area rectángulo StudySmarterFigura 3: Gráfica de una función definida mostrando que \(\text{área}=kB\).

En este caso los límites \([a,b]\) son el otro lado del rectángulo o \(b-a=B\), de este modo al obtener la integral se tiene:

\[\int_a^b k x^0 dx = \left.kx\right|^b_a= k[b-a]=kB \]

El área bajo la curva

Un concepto importante de las integrales es que las integrales definidas representan el área bajo la curva. Eso significa que cualquier función integrada es simplemente el producto de la altura de la función definida por \(f(x)\) y el trayecto de esta función que es su intervalo de integración \([a, b]\).

Esto en física e incluso en medicina y biología es muy importante, ya que que puedes sustraer información a partir de estas áreas, como por ejemplo:

  • La energía en un resorte.

  • El trabajo realizado por una máquina.

  • Exposición general de un medicamento.

  • etc.

Integral de una constante ejemplos

Hagamos algunos ejemplos de la integral de una constante. Supongamos primero que tenemos solo constantes sin límites.

Integra la función \(f(x)=\sin(y)4\).

Solución:

Aquí debes observar que la función está en términos de \(x\) como sugiere la notación matemática \(f(x)\) por lo tanto \(\sin(y)\) es una constante. De este modo la integral es:

\[\int \sin(y)4 dx= 4\sin(y)\int dx= 4 \sin(y)x+c\]

Calcula la integral de la función \(f(x)=7\).

Solución:

Esta integral es \(\int 7 dx\), lo cual es rápidamente:

\[\int 7 dx= 7x+c\]

Ahora hagamos un ejemplo con límites.

Calcula la integral de \(\int \cos(y) dx\) entre los límites\([a, b]\).

Solución:

Esta integral es la integral de una constante ya que \(\cos(y)=\text{constante}\), así que se tiene:

\[\cos(y)[b-a]\]

Los límites aquí no se sustituyen ya que no se tienen sus valores.

Observarás que la constante de integración se omitió, esto es porque en una integral definida \(k(x+c)-k(x'-c)\) esto es igual a \(kx-kx'+(kc-kc)\). Lo cual hace la constante de integración se elimine por sí sola.

Integrales de una función constante - Puntos clave

  • Una función constante, es aquella que para distintos valores de \(x\) siempre se obtiene el mismo valor de \(y\).
  • La integral de una constante es simplemente la variable \(x\) multiplicada por la constante.
  • La integral de una constante es \(\int k dx = kx+c\).
  • La integral de una constante con límites es \(\int^b_a k\, dx = k(b-a)+c\).

Preguntas frecuentes sobre Integral de una constante

A la integral de una función se le conoce como la antiderivada de una función y es la operación inversa a la derivada.

La integral de una constante es la constante multiplicada por la variable con respecto a la que se integra (la mayoría de las veces la variable es x).

∫4dx=4x.

En una integral definida la constante de integración se elimina, ya que en una integral definida k(x+c)-k(x'-c) esto es igual a kx-kx'+(kc-kc). Lo cual hace la constante de integración se elimine por sí sola.

Cuestionario final de Integral de una constante

Pregunta

¿Cuál es la integral de una función constante \(k\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(kx+c\).

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Pregunta

La integral de una función constante \(k\) equivale a \(kx^0\).

Mostrar respuesta

Answer

Verdadero.

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Pregunta

Calcula la integral de \(f(x)=\pi\).

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Answer

\(\pi x\).

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Pregunta

Calcula la integral  \(\int \tan(y)dx\).

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Answer

\(\tan(y)x+c\).

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Pregunta

Calcula la integral definida de \(f(x)=7\) en el dominio \([3, 7]\).

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Answer

\(\int^7_3 7 dx= 7x|^7_3=7·7-7·3=28\).

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Pregunta

Calcula la integral definida de \(f(x)=1\) en el dominio \([-10, 10]\).

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Answer

\(\int^{10}_{-10} dx= x|^{10}_{-10}=(10)-(-10)=20\).

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Pregunta

¿Es la integral definida de \(2\) entre \(-a\) y \(a\) positiva?

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Answer

Sí, debido a que los límites se restan, por lo que se tiene \(2a-(-2a)=4a\).

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Pregunta

¿De qué figura es la integral definida de una constante igual al área bajo la curva?

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Answer

Un rectángulo.

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Pregunta

La integral definida de una constante se puede definir como:

Mostrar respuesta

Answer

El área de un rectángulo.

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Pregunta

Se tiene la función \(f(x)=3,2\), ¿cuál es el valor de \(f(x)\) para \(x=67\)?

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Answer

Debido a que es constante, siempre vale \(3,2\), el valor de \(f(x)\) es \(3,2\).

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Pregunta

¿Una función constante tiene pendiente?

Mostrar respuesta

Answer

No, es plana.

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Pregunta

¿Una función constante varía?

Mostrar respuesta

Answer

No, es una función constante.

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Pregunta

¿Cuál es la función constante con respecto a \(x\) más simple?

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Answer

\(1\).

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Pregunta

Si se integra la función \(f(x)= 2y\), su resultado es \(y^2\), ¿es esto correcto?

Mostrar respuesta

Answer

No, debido a que \(y\) funciona como una constante ya que la función depende de \(x\).

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Pregunta

¿Es correcto decir que la integral de \(k\,dx\) es lo mismo que \(kx^0dx\)?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, es correcto.

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