Funciones con valor absoluto

Seguramente has visto alguna función con barras muy raras alrededor, y se te ha dicho que los valores negativos son positivos. Seguro, también, las has visto representadas gráficamente, pero aún hay dudas acerca de: ¿cómo funcionan?, ¿qué forma tienen?, ¿cómo se representan gráficamente? y ¿cómo funciona el valor absoluto en funciones? 

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    Bueno, si lees un poco más, podremos explicarte qué pasa cuando las encuentres.

    Las funciones con valores absolutos son funciones algebraicas que poseen un término que tiene un valor absoluto.

    El siguiente es un ejemplo de una función con el valor absoluto:

    \[f(x)=|x^2+4x-5|\]

    Estas funciones tienen un comportamiento especial, ya que cualquier valor de la función que sea negativo se vuelve positivo. Por ejemplo, en la función anterior, hay valores negativos como:

    \[x=-2f(x)=-9\]

    Esto si \(f(x)\) no tuviese un valor absoluto.

    Pero, como la función sí tiene un valor absoluto, entonces, como te mencionamos, cualquier valor negativo es siempre positivo:

    \[f(x)=|-9|=9\]

    Probablemente, vamos muy rápido; empecemos, entonces, desde lo básico.

    • En este artículo aprenderemos sobre la operación valor absoluto.
    • Trataremos en primer lugar el valor absoluto en un número y después veremos las propiedades de la función valor absoluto.
    • A continuación, estudiaremos la representación gráfica de la función valor absoluto.
    • Luego, nos pondremos con las ecuaciones con valor absoluto, las inecuaciones con valor absoluto y la inversa de funciones con valor absoluto.
    • Por último, aprenderemos cómo calcular la derivada del valor absoluto y la integral de una función con valor absoluto.

    ¿Qué es un valor absoluto?

    La función valor absoluto se representa genéricamente como \(|x|\). Esta función representa la operación valor absoluto de un número \(x\), resultado de la función. El resultado de esta operación será el mismo número, pero, siempre positivo.

    La función valor absoluto se denota de la siguiente manera:

    \[|x|=x\quad \text{si}\quad x \geq 0 \]

    \[|x|=-x\quad\text{si}\quad x < 0\]

    Esto lo podemos escribir como:

    • Las funciones que den un valor positivo, son positivas:\(f(x)=|x|=x\)

    • Las funciones que den un valor negativo, son positivas:\(f(x)=|-x|=x\)

    Operación valor absoluto en un número

    El nombre valor absoluto se debe a que el valor de cualquier \(x\), con respecto al valor del punto \(0\), siempre será positivo.

    La distancia del \(0\) al \(2\) es \(2\), y la distancia del \(0\) al \(-2\) también es \(2\). Por lo tanto:

    \[f(2)=|2|=f(-2)=|-2|=2\]

    Funciones con valor absoluto valor constante StudySmarterFig. 1. Representación de dos valores de \(x\), cuyo valor absoluto es el mismo que son \(|-2|=2\) y \(|2|=2\).

    Por eso \(|x|\) representa el valor de un número \(x\), sin tener en cuenta su signo.

    Si tienes una expresión dentro de la función valor absoluto, calcula el valor que hay dentro y luego encuentra la versión positiva del resultado.

    Si tienes la función \(f(x)=|x-3|+1\), halla \(f(-2)\):

    \[f(-2)=|-2-3|+1=|-5|+1=5+1=6\]

    Propiedades de la función valor absoluto

    Primero, expliquemos las propiedades de la función valor absoluto; estas son:

    • El valor absoluto de un número siempre dará un resultado positivo.

    \[|4|=4, |-5|=5\]

    • El valor absoluto de un número \(x\) dará el mismo resultado que el valor absoluto de \(-x\).

    Es decir: \(|x|=|-x|\).

    \[|4|=|-4|=4\]

    • El valor absoluto del producto de dos valores \(a\) y \(b\) es igual que la multiplicación de los valores absolutos de cada término: \(|a(b)|=|a|(|b|)\).

    \[|2(-3)|=|2|(|-3|)=2(3)=6\]

    \[|2(-3)|=|-6|=6\]

    • El valor absoluto de la división de dos valores \(a\) y \(b\) es igual que la división de los valores absolutos de cada término:\( \left| \dfrac{a}{b} \right|=\dfrac{|a|}{|b|}\)

    \[ \left| \dfrac{-9}{3} \right|=\dfrac{|-9|}{|3|}=\dfrac{9}{3}\]

    • El valor absoluto de la suma o la resta de dos valores \(a\) y \(b\) no siempre es igual a la suma o resta de los valores absolutos de cada término. A esto se le conoce como desigualdad triangular: \(|a+b| \leq |a|+ |b|\).

    Por ejemplo, vamos a demostrar que: \(|1+(-2)| \leq |1|+ |-2|\).

    Solución

    Realizamos cada operación por separado y comparamos los resultados:

    \(|1+(-2)| = |-1|\)

    \[|1|+|-2|=1+2=3\]

    \[-1<3\]

    • Al resolver ecuaciones con valores absolutos, las funciones valor absoluto implican un paso adicional. Teniendo en cuenta que el valor de \(x\) dentro de una función valor absoluto puede ser positivo o negativo, hay que resolver la ecuación considerando ambos casos, por lo que se obtendrán dos soluciones.

    Para la ecuación \(|3x-2|=4\), podemos obtener dos posibles soluciones.

    Solución 1:

    \[3x+2=43x=4+23x=6x=\frac{6}{3x}=2\]

    Solución 2:

    \[-(3x+2)=4-3x=4-2-3x=2x=\frac{-2}{3}\]

    Representación gráfica de la función valor absoluto

    Para dibujar la gráfica de una función con valor absoluto, tienes que sustituir los valores de \(x\) en \(f(x)=|x|\). Para obtener los correspondientes valores de \(y\), como \(f(x)\), obtendrás una tabla de valores de \(x\) y \(y\), que deberás representar en el plano de coordenadas. Vamos a sustituir los valores de \(x\) desde \(-2\) hasta \(2\).

    \(x\)\(f(x)\)
    -22
    -11
    00
    11
    22

    Tabla 1: Función valor absoluto para la función \(f(x)=x\).

    Funciones con valor absoluto representación gráfica StudySmarterFig. 2. Gráfica de la función valor absoluto de \(x\).

    Para dibujar la gráfica de la función valor absoluto \(f(x)=|ax+b|\) , debes dibujar \(f(x)=ax+b\), solo para \(x\geq 0\) , y reflejar esta recta con respecto al eje \(y\).

    Dibuja la gráfica de \(y=|x-1|\) para mostrar los puntos donde se cruzan los ejes de coordenadas.

    Solución

    Ignorando el valor absoluto, tienes que dibujar la gráfica de \(y=x-1\), pero solo para \(x\) positivos.

    • Cuando \(y=0, x=1\), la recta cruza el eje \(x\) en \(1,0\).
    • Cuando \(x=0, y=-1\),a recta cruza el eje \(y\) en \(0,-1\).

    Dibuja la gráfica de \(y=x-1\):

    Funciones con valor absoluto ejemplo StudySmarterFig. 3. Representación gráfica de la función valor absoluto de \(f(x)\).

    Para los valores negativos de \(y\), ahora dibuja el reflejo con respecto al eje \(x\). En este caso, \((0, -1)\) se convierte en \((0, 1)\).

    Funciones con valor absoluto ejemplo StudySmarterFig. 4. Representación gráfica de la función valor absoluto de \(f(x)\).

    Ecuaciones con valores absolutos

    Cuando tienes una ecuación como \(|3x-1|=5\), puedes usar su gráfica para ayudarte a encontrar su solución, siguiendo estos pasos:

    Dibuja las gráficas de ambos lados de la ecuación por separado. En este caso, \(f(x)=|3x-1|\) y \(h(x)=5\).


    Funciones con valor absoluto representación gráfica StudySmarterFig. 5. Representación gráfica de las funciones \(f(x)\) y \(h(x)\).

    Identifica los puntos de intersección de las dos gráficas. En este caso, el cruce derecho corresponde al punto de intersección entre \(y=5\) y la sección de la gráfica de \(|3x-1|=3x-1\), y el cruce izquierdo representa la intersección entre \(y=5\) y la sección de la gráfica de \(|3x-1|=-(3x-1)\).

    Encuentra las dos soluciones:

    \[A: 3x-1=53x=5+13x=6x=\frac{6}{3}x=2\]

    \[B: -(3x-1)=5-3x+1=5-3x=5-1-3x=4x=\frac{-4}{3}\]

    Inecuaciones con valor absoluto

    Basándonos en el ejemplo anterior, ahora vamos a resolver una inecuación. Tienes que proceder de la misma manera que antes para encontrar los valores de \(x\) en los puntos de intersección \(A\) y \(B\), que son \(x=2\) y \(x=\frac{-4}{3}\).

    Después de tener los puntos de intersección, puedes mirar la gráfica para identificar los valores de \(x\) que satisfacen la desigualdad.

    Funciones con valor absoluto representación gráfica StudySmarterFig. 6. Representación gráfica de las funciones \(f(x)\) y \(h(x)\).

    La desigualdad es verdadera cuando la gráfica de \(f(x)=|3x-1|\) está por encima de la gráfica de \(y=5\), esto ocurre cuando:

    \[x < -\dfrac{4}{3}\]

    \[x>2\]

    En notación de conjuntos:

    \[x: {x<-\dfrac{4}{3}} \cup {x>2}\]

    Inversa de funciones con valor absoluto

    La inversa de una función con valor absoluto no es una función, a no ser que restrinjas su dominio para que pueda ser una función biyectiva. Para conseguirlo, tenemos que restringir su dominio a solo una mitad de la gráfica. Puedes elegir cualquiera de las dos mitades, si no se especifica en la pregunta.

    Encuentra la inversa de la función \(f(x)\):

    \[f(x)=|x+1|\]

    Funciones con valor absoluto funciones inversas StudySmarter

    Fig 7. Función valor absoluto y funciones inversas.

    Solución

    Restringimos el dominio de la función a solo la sección reflejada de la gráfica (a la izquierda de \(x=-1\)), que puede denotarse como \(f(x)=-(x+1)\) para \(x<-1\) o \(x=-1\). Ahora, podemos encontrar la inversa, porque esta sección de la gráfica es una función biyectiva.

    Sigue los pasos para encontrar la inversa de una función:

    Sustituir \(f(x)\) por \(y\):

    \[f(x)=-(x+1)y=-(x+1)\]

    Intercambiar \(x\) y \(y\), y resolver para \(y\):

    \[x=-(y+1)x=-y-1y=-x-1f^{-1}(x)=-x-1\]

    Esta es la función inversa de \(f(x)=|x+1|\).

    El dominio de la función inversa es el rango de la función original, que es \(x \geq 0\). Por tanto, el dominio de la función inversa \(f^{-1}(x)=-x-1\) es \(x \geq 0\).

    En general, para aplicar la función valor absoluto a una función, lo único que se debe hacer es que para cualquier valor de \(x\), el resultado de \(f(x)\) será siempre positivo.

    Derivada del valor absoluto

    Para encontrar la derivada de una función con un valor absoluto tendremos que hacer un pequeño truco: volver a mirar la ecuación de una función valor absoluto

    \[ |x|= x, x \geq 0 \]

    \[|x|= -x, x < 0\]

    Si hacemos la derivada de esta función a trozos, obtenemos:

    \[f'(|x|)= 1, x \geq 0\]

    \[f'(|x|)= -1, x < 0\]

    Pero, teniendo en cuenta que el \(1\) se puede obtener dividiendo un número entre sí mismo, podemos hacer el siguiente cambio:

    \[f'(x)=\dfrac{x}{|x|}\]

    Ahora bien, si tenemos una función dentro de la propia función \(F(f(x))\), podemos realizar el cambio de variable \(u=f(x)\) . En ese caso, lo la derivada será:

    \[F'(u)=\dfrac{u}{|u|}u'\]

    Recuerda que cuando derivas una función, hay que aplicar la regla de la cadena, si es una función compuesta. En este caso \(u\) es una función de \(x\) dentro del valor absoluto; por lo tanto, tenemos que hallar su derivada. Esto, expresado en términos de \(x\), será:

    \[F'(x)=\dfrac{f(x)}{|f(x)|f'(x)}\]

    Deriva la siguiente función con un valor absoluto:

    \[g(x)=|2x-4|\]

    Solución

    La derivada de esta función será:

    \[g'(x)=\dfrac{2x-4}{|2x-4|}2=\dfrac{2x-4}{|x-2|}\]

    Cuando evalúes esta función, debes considerar que para el término en la parte inferior, los valores siempre serán positivos.

    Hagamos un ejemplo con una función un poco más compleja, pero que contenga un solo término.

    Deriva la siguiente función con un valor absoluto:

    \[f(x)=|\sin(x)+1|\]

    Solución

    Aplicando la derivada del valor absoluto que hemos aprendido anteriormente, obtenemos:

    \[f'(x)=\dfrac{\sin(x)+1}{|\sin(x)+1|}\cos(x)\]

    En general, puedes observar cómo la definición del valor absoluto que es igual a la raíz cuadrada de la función al cuadrado hace que la función original siempre esté en el denominador de la derivada.

    Integral de una función valor absoluto

    Para encontrar la integral de una función valor absoluto, podemos proceder de la siguiente manera:

    Sabemos que la función valor absoluto está definida como:

    \[f(x)=|x|=\left\{\begin{array}\,x&\text{si}&x\geq 0\\-x&\text{si}&x<0\end{array}\right.\]

    Por tanto, tenemos que calcular la integral para \(x\) y \(-x\).

    Recuerda que \(x\) tiene un exponente de \(1\) \(( x=x^1)\).

    \[\int |x| dx=\left\{\begin{array},\displaystyle\int x\mathrm{d}x&\text{si}&x\geq 0\\\displaystyle-\int x\mathrm{d}x&\text{si}&x<0\end{array}\right.\]

    Utilizando la fórmula de integración:

    \[x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c\]

    Obtenemos, entonces, la integral del valor absoluto:

    \[\int |x| dx=\left\{\begin{array},\dfrac{1}{2} x^2 +c&\text{si}&x\geq 0\\-\dfrac{1}{2} x^2 +c&\text{si}&x<0\end{array}\right.\]

    Funciones con valores absolutos - Puntos clave

    • El valor absoluto de un número \(x\) será el mismo número, pero positivo.
    • El valor absoluto de un número \(x\) representa la distancia del cero a ese número \(x\) en la recta numérica.
    • Para dibujar la gráfica de la función valor absoluto \(f(x)=|ax+b|\), necesitas dibujar \(y=ax+b\) y reflejar la parte de la recta que va por debajo del eje \(x\).
    • El trazado de las gráficas de las ecuaciones o inecuaciones que implican funciones valor absoluto puede ayudar a resolverlas, encontrando las coordenadas \(x\) de los puntos de intersección de las dos gráficas.
    • La inversa de una función valor absoluto no es una función, a menos que se restrinja su dominio a solo una mitad de la gráfica, de modo que pueda ser una función biyectiva.
    • Al encontrar la derivada y la integral de una función módulo, habrá dos posibles soluciones, considerando \(f(x)=|x|=x\) cuando \(x \geq 0\), y \(f(x)=|x|=-x\) cuando \(x < 0\) .
    Preguntas frecuentes sobre Funciones con valor absoluto

    ¿Cuáles son las funciones con valor absoluto?

    Las funciones con valores absolutos son funciones algebraicas que poseen un término que tiene un valor absoluto.

    ¿Cómo se resuelven ecuaciones con valores absolutos?

    Las funciones con valor absoluto se resuelven de manera normal. La única diferencia es que los valores negativos de y en la ecuación se cambien a positivos. 


    Un ejemplo de ello es: |x+2|=0 es positiva hasta x=-2, después de eso todos los valores de y que den un negativo son cambiados a positivo.

    ¿Cómo graficar valores absolutos?

    Para graficar una función con un valor absoluto es útil obtener una tabla de los valores de x y f(x), posteriormente se deben cambiar todos los valores negativos de y a positivos, y proceder a dibujar la gráfica que une estos puntos.

    ¿Cómo se calcula la derivada de una función con valor absoluto?

    En general para calcular la derivada se requiere:

    1. Calcular la derivada de la función.

    2. La derivada será la función dividida entre la función en valor absoluto y multiplicada por la derivada de la función.

    Es decir: F'(x)=f'(x)*f(x)/|f(x)|

    ¿Cómo se hace la integral de un valor absoluto?

    En general, para calcular la integral se requiere:

    1. Dividir la función en los tramos en los que el interior del valor absoluto es positivo y negativo.

    2. Realizar la integral de cada tramo por separado.

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    ¿Cuál es el valor absoluto de \(x\) para \(x<0\)?

    ¿Qué método te puede ayudar a representar gráficamente una función con valor absoluto?

    Si se integra la función \(|\sin(x)|\), de \(0\) a \(\pi\), ¿cuál es el resultado?

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