Una ecuación cuadrática se define como una ecuación de segundo grado en la que, al menos, una variable o término se eleva a una potencia de \(2\). Se escribe de la siguiente forma estándar \(ax^2+bx+c=0\), donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales y \(a\neq 0\).
Tal como ocurre en las ecuaciones lineales —que también se llaman ecuaciones de primer grado—, este tipo de ecuaciones en las que hay un término con una incógnita elevada al cuadrado se llaman tanto ecuaciones cuadráticas como ecuaciones de segundo grado.
Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas son:
\[x^2+2x-24=0\]
\[3a^2-2a+2=0\]
\[5p^2-p=0\]
\[r^2=200\]
Como puedes ver, que una ecuación sea cuadrática no depende de la incógnita usada, solo del grado de la misma —que no puede ser mayor que \(2\)—.
Resolver ecuaciones de segundo grado
Resolver una ecuación significa llegar a una solución que hace que los dos términos a cada lado de la igualdad sean iguales. Para esto, hay distintos métodos que te enseñaremos a continuación. Pero antes, vamos a diferenciar entre las distintas formas de ecuaciones cuadráticas; esto es porque, dependiendo de la forma, podemos aplicar un método u otro para resolver la ecuación más fácilmente.
Como ya has visto en los ejemplos anteriores, no todas las ecuaciones cuadráticas tienen los mismos términos. Lo único que se tiene que cumplir para que una ecuación sea cuadrática es que haya un término de segundo grado y que este sea el máximo grado en la ecuación.
Ecuaciones cuadráticas completas
Como se mencionó al principio, la forma completa (o estándar) de una ecuación cuadrática presenta la forma:
\[ax^2+bx+c=0\]
Los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) son todos números reales. Sin embargo, para que la ecuación pueda ser cuadrática, se tiene que cumplir siempre que \(a\neq 0\), para no eliminar el término de segundo grado de la ecuación.
Para resolver una ecuación cuadrática estándar, podemos aplicar distintos métodos. Sin embargo, el más fácil y que puede aplicarse en todos los casos es aplicar la fórmula cuadrática:
- Si tienes la ecuación cuadrática del tipo \(ax^2+bx+c=0\), para calcular los valores de \(x\) que la cumplen puedes aplicar: \[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
- Como puedes observar, hay un \(\pm\) en el numerador; esto hace que, puesto que la ecuación es cuadrática, se puedan tener hasta dos soluciones.
- Otra cosa a tener en cuenta es la raíz que hay en el numerador. Dependiendo de si el radicando es positivo, nulo o negativo, tendremos dos soluciones: una doble o ninguna, respectivamente. Por eso, definimos el discriminante como:\[\Delta=b-4ac\]
- Por tanto, dependiendo del valor del mismo podemos encontrarnos en tres casos distintos:
º Si \(\Delta >0\), tenemos dos soluciones para la ecuación.
º Si \(\Delta =0\), tenemos una solución doble para la ecuación.
º Si \(\Delta <0\), no existen soluciones reales para la ecuación.
Ejercicios de ecuaciones de segundo grado
Resuelve la ecuación:
\[2x^2-4x-6=0\]
Solución:
En primer lugar, viendo que todos los coeficientes son pares, podemos dividir entre 2 para simplificar la ecuación. Queda, entonces:
\[x^2-2x-3=0\]
Ahora, identificamos términos y aplicamos la fórmula cuadrática:
\[a=1,\,b=-2,\,c=-3\]
\[x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+4·3}}{2}=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm4}{2}\]
Por tanto, tenemos dos soluciones:
\[x_1=\dfrac{2+4}{2}=3\]
\[x_2=\dfrac{2-4}{2}=-1\]
Podemos decir, entonces, que las soluciones de la ecuación son \(x_1=3\) y \(x_2=-1\).
Además, estas soluciones son también la factorización del polinomio:
\[x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0\]
Resuelve la ecuación:
\[3x^2+x-2=0.\]
Solución:
Identificamos términos y aplicamos la fórmula cuadrática:
\[a=3,\,b=1,\,c=-2\]
\[x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-4·3·(-2)}}{2·3}=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{6}=\dfrac{-1\pm 5}{6}\]
Calculamos cada solución de \(x\):
\[x_1=\dfrac{-1+5}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}\]
\[x_2=\dfrac{-1-5}{6}=-1\]
Por tanto, estas son las soluciones de la ecuación cuadrática y podemos usarlas para factorizar el polinomio de forma que la ecuación se puede expresar como:
\[\left(x-\dfrac{2}{3}\right)(x+1)=0\]
Si expandimos expresión resultante ,obtendremos \(x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{2}{3}\). En este caso, para obtener la expresión original, debemos multiplicar por tres.
Ecuaciones cuadráticas incompletas
- Muchas veces, las ecuaciones cuadráticas carecen de un término y solo poseen \(a\) y \(c\), \(ax^2+c=0\).
- En otros casos, cuentan con los dos primeros \(a\) y \(b\), \(ax^2+bx=0\).
- Por último, puede ocurrir que tanto \(b\) como \(c\) sean nulos y la ecuación sea del tipo \(ax^2=0\).
Por tanto, dependiendo del caso, utilizaremos un método u otro para resolver las ecuaciones.
Si la ecuación es de la forma \(ax^2+c=0\), lo primero que hacemos es pasar el término \(c\) al otro lado de la ecuación. Así obtenemos:
\[ax^2=-c\]
- Ahora, pasamos el término \(a\) dividiendo al otro lado:\[x^2=-\dfrac{c}{a}\]
- Finalmente, las soluciones se hallarán aplicando la raíz cuadrada a ambos lados:\[x=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\]
A la vista de lo anterior, podemos determinar que para que haya al menos una solución, uno de \(a\) o \(c\) tiene que ser un número negativo; pero, solo uno de ellos. Si los dos son negativos o los dos son positivos no existe ninguna solución real.
Ecuaciones de segundo grado resueltas
\[3x^2-12=0\]
Solución:
Identificamos términos y aplicamos la fórmula anterior:
\[a=3,\,c=-12\]
\[x=\pm\sqrt{-\dfrac{-12}{3}}=\pm\sqrt{4}=\pm 2\]
Por tanto, las soluciones de la ecuación son:
\[x=\pm 2\]
Otro de los casos puede ser que tengamos una ecuación de la forma \(ax^2+bx=0\). En este caso, lo que hay que hacer es sacar la \(x\) como factor común:
\[ax^2+bx=0\]
\[x(ax+b)=0\]
- Al tener la ecuación de esta forma, ya sabemos que una de las soluciones es \(x=0\).
- Para calcular la otra solución, igualamos el paréntesis a cero:
\[ax+b=0\]
\[ax=-b\]
\[x=-\dfrac{b}{a}\]
De esta manera, obtenemos la segunda solución para esta forma incompleta de ecuación cuadrática.
Resuelve la ecuación:
\[4x^2-9x=0\]
Solución:
Como la ecuación es de la forma \(ax^2+bx=0\), ya sabemos que una de las soluciones es \(x=0\).
Para calcular la otra solución, identificamos términos y aplicamos la fórmula:
\[a=4,\,b=-9\]
\[x=-\dfrac{-9}{4}=\dfrac{3}{2}\]
Por tanto, las soluciones de la ecuación son:
\[x_1=0\]
\[x_2=\dfrac{3}{2}\]
Por último, podemos encontrarnos una ecuación cuadrática de la forma \(ax^2=0\). Este tipo de ecuaciones solo tiene una solución que, además, es doble:
\[x=0\]
Por tanto, este tipo de ecuaciones son muy sencillas de ver y de calcular.
Sistemas de ecuaciones cuadráticas
Un sistema de ecuaciones cuadráticas se da cuando hay al menos una ecuación polinómica cuadrática involucrada en el propio sistema. Podemos resolverlas gráficamente y mediante el proceso de eliminación por sustitución.
Un ejemplo de sistema de ecuaciones cuadráticas es:
\[\left\{\begin{array}\,x^2+y^2=25\\2x-y=5\end{array}\right.\]
Este sistema es cuadrático porque al menos una de las ecuaciones es cuadrática, aunque la otra sea lineal. De hecho, en estos casos, lo más fácil es resolver el sistema por sustitución: debes manipular la ecuación lineal para dejar una de las incógnitas en función de la otra; después de hacer esto, puedes sustituir el valor de la incógnita despejada en la ecuación de segundo grado para obtener una de las soluciones.
Vamos a mostrar un ejemplo para mostrar esto.
Resuelve el sistema de ecuaciones cuadráticas anterior:
\[\left\{\begin{array}\,x^2+y^2=25\\2x-y=5\end{array}\right.\]
Solución:
Tenemos una ecuación de segundo grado y una ecuación de primer grado. Por tanto, lo más fácil es despejar una variable en la ecuación lineal e introducirla en la cuadrática.
Dicho esto, despejamos \(y\) de la segunda ecuación:
\[2x-y=5\Rightarrow y=2x-5\]
Ahora, debemos insertar esto en la primera ecuación:
\[x^2+(2x-5)^2=25\]
\[x^2+4x^2+\cancel{25}-20x=\cancel{25}\]
\[5x^2-20x=0\]
Como podemos observar, hemos llegado a una ecuación cuadrática incompleta del tipo \(ax^2+bx=0\).
En estos casos, vimos que una de las soluciones es \(x=0\).
Vamos a calcular la otra:
\[5x^2-20x=0\Rightarrow 5x(x-4)=0\]
En esta ecuación, vemos la solución \(x=0\) y, en el paréntesis,
\[x-4=0\Rightarrow x=4\]
Por tanto, tenemos dos posibles soluciones para \(x\):
\[x_1=0\]
\[x_2=4\]
Esto hace que tengamos que buscar una solución de \(y\) para cada solución de \(x\).
Comenzamos con la solución \(x_1=0\) y sustituimos este valor en la ecuación lineal:
\[2x-y=5\Rightarrow 2·0-y=5\Rightarrow y=-5\]
Tenemos la primera solución \(y_1=-5\). Ahora calculamos la segunda, con la segunda solución de \(x\):
\[2x-y=5\Rightarrow 2·4-y=5\Rightarrow y=3\]
Finalmente, concluimos que hay dos conjuntos de soluciones:
\[\left\{\begin{array}\,x_1=0\\y_1=-5\end{array}\right.\]
\[\left\{\begin{array}\,x_2=4\\y_2=3\end{array}\right.\]
Ecuaciones de segundo grado - Puntos clave
- Una ecuación cuadrática es lo mismo que una ecuación de segundo grado, que implica que el grado máximo de la incógnita en la ecuación es de dos.
- La forma estándar de una ecuación cuadrática es: \(ax^2+bx+c=0\), donde \(a\neq 0\).
- Las ecuaciones de segundo grado se resuelven factorizando o utilizando la fórmula cuadrática.
- Los sistemas de ecuaciones cuadráticas contienen, al menos, una ecuación de segundo grado.
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