Derivación paramétrica

Ecuaciones paramétricas

Pongamos un ejemplo sencillo, en el cual se tiene una figura, que no es una función, pero que puede serlo, si esta es representada como una ecuación paramétrica. Este ejemplo es la circunferencia.

Variables en una ecuación paramétrica

Debido a que en una ecuación paramétrica las variables dependen del parámetro, esto se convierte en una especie de regla de la cadena, porque el parámetro es función de otra variable.

Si vemos el caso de la circunferencia nuevamente:

\[x=f(t)\]

\[y=f(t)\]

Otro ejemplo es la ecuación de la recta que, en forma de función es dada como \(y=mx+b\); pero, puede ser dada en forma paramétrica como:

\[x=x_1+t(x_2-x_1)\]

\[y=y_1+t(y_2-y_1)\]

Y, nuevamente, esto significa:

\[x=f(t)\]

\[y=f(t)\]

Si intentas derivar la función \(f(t)\) como \(\frac{dy}{dx}\) esto implicaría:

\[\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}\]

Por regla de la cadena, esto nos lleva a un proceso un poco más complejo llamado derivación paramétrica, que abordaremos a continuación.

Derivada de una función paramétrica

La diferenciación paramétrica es distinta del proceso de diferenciación estándar, ya que las dos ecuaciones separadas \((y,x)\) son funciones de una tercera variable dependiente, llamada parámetro. En el método de diferenciación estándar, las ecuaciones están en la forma cartesiana, donde una variable dependiente \((y)\) se expresa como una función de otra variable \((x)\).

¿Por qué utilizamos la diferenciación paramétrica?

La diferenciación paramétrica se utiliza para describir la pendiente y la concavidad de las curvas paramétricas que están definidas por ecuaciones paramétricas. Este tipo de ecuaciones suelen describir curvas que se solapan en varios puntos y que son difíciles de describir con ecuaciones cartesianas. Las derivadas paramétricas pueden utilizarse para construir las ecuaciones de las tangentes y las normales de las curvas.

¿Cuáles son los pasos para la diferenciación paramétrica?

Vamos a desglosarlos.

Aplicar la regla de la cadena estándar

El primer paso es aplicar la regla de la cadena estándar, ya que seguimos buscando la derivada de \(\dfrac{dy}{dx}\), pero necesitamos encontrar la expresión correcta para las ecuaciones paramétricas dadas. La regla de la cadena es la siguiente:

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} \]

La regla de la cadena también puede expresarse como un cociente de las dos derivadas con respecto al parámetro común, si reordenamos la expresión (como se muestra arriba), siempre que el denominador no sea cero.

Diferenciación de cada ecuación paramétrica por separado

Como segundo paso, debemos realizar la diferenciación de cada ecuación: ahora procederemos a diferenciar la función \(x\) con respecto a \(t\), y luego repetiremos el proceso para la función \(y\). Esto nos servirá para crear la relación mostrada en el paso 2: para encontrar la derivada paramétrica \(\dfrac{dy}{dx}\), dividiendo las dos derivadas.

Continuando con el primer ejemplo, las derivadas de las funciones \(x\), \(y\) con respecto a \(t\) son las siguientes:

\[\dfrac{dx}{dt}=-\sin(t)\]

\[\dfrac{dy}{dt}=\cos(t)\]

Crear una relación de las derivadas paramétricas

El tercer y último paso consiste en sustituir cada derivada paramétrica en la expresión de la razón obtenida por la aplicación de la regla de la cadena.

Siguiendo con el ejemplo, dividimos la derivada \(y\) sobre la derivada \(x\):

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{\cos(t)}{-\sin(t)}=-\cot(t)\]

Practiquemos:

Derivada de una curva en forma paramétrica

Debido a que las curvas son funciones que, en muchos casos, tienen más de un valor de \(y\) para una sola \(x\), es muy normal que la diferenciación paramétrica sea usada en parábola, círculos y curvas de varios tipos.

Ya hemos visto cómo se representa un círculo de forma paramétrica y, también, parte de su derivada paramétrica.

Aprendamos ahora cómo hacerlo con una curva más general:

Hallar la ecuación de la tangente de una curva utilizando la diferenciación paramétrica

La tangente de una curva es una recta que toca la superficie de una curva en un punto determinado \((x_1, y_1)\), como se ve en la siguiente figura. Como una tangente es una línea recta, la ecuación de la tangente tiene la forma de \(y=ax+c\), donde \(a\) es la pendiente y \(c\) es una constante.

La pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la curva. Si se conoce el punto de tangencia y las ecuaciones paramétricas, se puede hallar la ecuación de la tangente, mediante la diferenciación paramétrica, con la siguiente fórmula \(y-y_1=a(x-x_1)\); donde \((x_1, y_1)\) son las coordenadas del punto de tangencia.