Transformación de funciones

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Todas las funciones pueden transformarse. Esto significa que se alteran de una manera determinada, de modo que la función original f(x) pasa a ser g(x), donde cierta operación transforma f en g.

Al alterar la función, también se altera la gráfica de la función. Esto es lo que definimos como una transformación.

Un ejemplo muy simple de una transformación es sumar 1 a la función \(f(x)\), de tal modo que \(g(x) = f(x)+1\), si \(f(x) = x\) ; de este modo, \(g(x) = x+1\).

La coordenada y se ve alterada y es igual a \(y+1\). Donde \(y\) es el valor original de \(f(x)\) sin la transformación.

Veámoslo en la siguiente tabla:

\(x\)	\(f(x)=x\)	\(g(x)=f(x)+1\)
1	1	2
2	2	3
3	3	4

Tabla 1. Transformación de una función en otra, al sumarle 1.

Transformaciones elementales de funciones y gráficas

Hay tres transformaciones principales que se pueden realizar a una función y que, por ende, alteran sus gráficas. Estas transformaciones son:

Traslación o desplazamiento.
Estiramiento o cambio de proporción.
Reflexión.

Traslación o desplazamiento de funciones

Las traslaciones son un tipo de transformación gráfica en la que la función se desplaza con respecto a un punto o un eje (también conocida como desplazamiento de funciones). Para explicar una traslación, se utiliza un vector de la forma (x , y), donde la primera parte del vector muestra cómo se ha trasladado la función horizontalmente y la parte final del vector muestra que la función se ha movido verticalmente.

El sentido de la traslación depende de si cada variable es positiva o negativa:

Variable	Número positivo	Número negativo
\(x\)	Se desplaza a la derecha	Se desplaza a la izquierda
\(y\)	Se desplaza hacia arriba	Se desplaza hacia abajo

Tabla 2. Variables y números positivos o negativos.

Si te resulta difícil recordar esto, piensa en cómo funcionan las coordenadas: es un principio similar.

Por ejemplo, una coordenada x negativa estaría en el lado izquierdo de la gráfica.
Del mismo modo, una coordenada y positiva estaría en la parte superior del gráfico.

Una función puede expresarse como \(f(x)=x^2\). Se transforma usando el vector \((5, -3)\).

Dibuja la nueva función trasladada.

La función original puede verse, gráficamente:

Transformación de funciones vectores StudySmarter Fig. 1: Gráfica de la función \(x^2\).

El vector te indica que la función se trasladará hacia la derecha en \(5\) y hacia abajo en \(3\).

Si dibujas esto, la nueva función debería tener este aspecto:

Transformación de funciones vectores StudySmarter Fig. 2: Gráfica de la función \(x^2\) transformada por el vector \((5,-3)\).

Como se trata de un boceto, es importante etiquetar los puntos clave de la gráfica (como los puntos de inflexión).

Expresión de funciones trasladadas

Es posible que te pidan que escribas la nueva función trasladada utilizando el vector. Al trasladar la función \(f(x)=x^2\) por \((a-b)\), la función trasladada puede escribirse como \(f(x)=(x-a)^2+b\). Fíjate en que \(a\) se vuelve negativo en la función, pero \(b\) permanece igual.

¡Veamos un ejercicio resuelto!

La función \(g(x)=x\) se traduce por \((4-3)\).

¿Cuál es la nueva función trasladada?

Según el vector, la función se traslada \(4\) hacia la derecha y \(3\) hacia abajo.

Estiramiento de una función

Una función se puede alargar o estirar tanto horizontal como verticalmente.

Estiramiento vertical: \(y=f(a \cdot x)\), donde \(a\) es el factor de escala por el que se estira la función. Por ejemplo, si la función \(y=f(x)\) se estira verticalmente en \(5\), la función se convierte en \(y=f(5x)\).
Estiramiento horizontal: \(y=f \left( \frac{x}{a} \right) \) donde \(a\) es el factor de escala por el que se estira la función. Como puedes ver, el recíproco de a se utiliza en la ecuación de la función. Por ejemplo, si la función \(y=f(x)\) se estira horizontalmente en 2, la función se convierte en \(y=f \left( \frac{x}{2} \right) \).
La función \(y=h(x)\) tiene un punto de inflexión en \((2, 9)\) y \((10, -6)\) . La función se estira de modo que la nueva función puede expresarse \(y= \left( \frac{x}{4} \right) \) . ¿Cuál sería el nuevo punto de inflexión?
Como el factor de escala está dentro de los paréntesis, la función se está estirando horizontalmente. Además, como la función se está estirando horizontalmente, el factor de escala real del estiramiento de \(\frac{1}{4}\) es \(4\).
Por lo tanto, multiplicamos cada una de las coordenadas \(x\) por \(4\). El \((2,9)\) se convierte en \((8,9)\) y el \((10, -6)\) en \((40, -6)\). Como puedes ver, la coordenada y no se ve afectada, ya que no se estira.
Reflexiones
Las reflexiones se producen cuando las funciones enteras se invierten en una línea de reflexión.
Todas las reflexiones horizontales en el eje \(x\) y verticales se pueden expresar como una función.

Una función que ha sido reflejada en el eje \(x\) puede escribirse como \(y=-i(x)\). En los puntos de inflexión de la función, la coordenada \(x\) permanece igual, pero la coordenada \(y\) se invierte. Por ejemplo, si una función tiene un punto de inflexión de \((4, -2)\) y se refleja en el eje \(x\), el punto de inflexión se convertirá en \((4, 2)\).
Una función que se ha reflejado en el eje \(y\) puede escribirse como \(y=j(-x)\). Cuando la función se ha reflejado en el eje \(y\), la coordenada \(y\) del punto de inflexión se invierte, mientras que la coordenada \(x\) permanece igual.

reflexión en	coordenada \(y\)	coordenada \(x\)
eje \(x\)	se invierte	no se altera
eje \(y\)	no se altera	se invierte

Tabla 3. Reflexiones y coordenadas.

Combinación de transformaciones gráficas

A nivel colegio, tienes que ser capaz de trabajar con una combinación de transformaciones gráficas dentro de una pregunta. Para ello, es necesario que conozcas el orden de las operaciones de las transformaciones gráficas. Aquí tienes la lista en el orden correcto:

Estiramiento
Reflexión
Traslación

Transformaciones de gráficas - Puntos clave

Hay tres transformaciones principales de las gráficas: estiramientos, reflexiones y traslaciones.
Las traslaciones son un tipo de transformación de la gráfica en la que la función se desplaza.
Para explicar una traslación, se utiliza un vector en el forma \((x,y)\). La primera parte del vector muestra cómo se ha trasladado la función horizontalmente y la segunda parte del vector muestra que la función se ha movido verticalmente.
Una función puede estirarse tanto horizontal como verticalmente.
Las reflexiones se dan cuando las funciones enteras se invierten en una línea de reflexión.

Preguntas frecuentes sobre Transformación de funciones

Para expandir o estirar una función, se multiplica por un factor, como una constante.

Por ejemplo, si f(x)=x+3, 2f(x) la expandirá verticalmente por dos.

Todas las funciones pueden transformarse, lo que significa que se alteran de una manera determinada, de modo que la función original f(x)=g(x).

Para trasladar una función debes de sumar a esta una constante. Dependiendo de si se suma o resta, se trasladará a la izquierda o derecha.

Si lo que se busca es trasladarla verticalmente, debes sumar o restar a la variable x.

Las transformaciones gráficas son operaciones que se pueden realizar a una función para modificar su gráfica; es decir, estirarlas, desplazarlas o provocar su reflexión.

Para desplazar una función debes sumar o restar un vector a la función que quieres desplazar.

Cuestionario final de Transformación de funciones

Transformación de funciones Quiz - Teste dein Wissen

Pregunta

¿Cuáles son los tipos de transformación en una gráfica?

Mostrar respuesta

Answer

Estiramiento, reflexiones y traslaciones.

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Pregunta

Todas las funciones pueden ser transformadas. ¿Cierto o falso?

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Answer

Cierto.

Show question

Pregunta

¿En qué dirección en la gráfica se espera que cambie durante una traslación hacia el lado negativo de las \(x\)?

Mostrar respuesta

Answer

El movimiento es hacia la izquierda.

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Pregunta

¿En qué dirección en la gráfica se espera traslado cuando se mueve hacia el lado positivo de las \(y\)?

Mostrar respuesta

Answer

El movimiento es ascendente.

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Pregunta

¿En qué dirección en la gráfica se espera que haya movimiento cuando se traslada horizontalmente por un valor de \(0\)?

Mostrar respuesta

Answer

Ningún movimiento.

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Pregunta

Si la función \(g(x)\) es igual a \(x^2\), ¿cuál es la traslación, si se mueve por el vector \((-a,b)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(g(x)=(x+2)^2+b\).

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Pregunta

Si la función \(f(x)\) es igual a \(x^2\), ¿cuál es la traslación, si se mueve por el vector \((2,1)\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(x^2-4x+5\).

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Pregunta

Cuando la función \(g(x)\) es \(x-1\) y se traslada por el vector \((1,-1)\), ¿cuál es la nueva función?

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Answer

\(x-3\).

Show question

Pregunta

Si la función \(y=f(x)\) se estrecha verticalmente por \(3\), ¿cuál es la función resultante?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=3f(x)\).

Show question

Pregunta

Si la función \(y=f(3x)\) se estrecha verticalmente por \(3\), ¿cuál es la función resultante?

Mostrar respuesta

Answer

\(y=f(x)\).

Show question

Pregunta

La función \(y=h(x)\) tiene un punto donde se cambia de dirección en las coordenadas \((4,-3)\) y \((6,1)\). Si la función fue estirada creando una nueva función \(y=2h(x)\), encuentra las nueva coordenadas.

Mostrar respuesta

Answer

\((4,-6)\) y \((6,2)\).

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Pregunta

La función \(y=g(x)\) tiene puntos de flexión en las coordenadas \((2,-5)\) y \((4,1)\). Si al estrecharla se produce una función \(y=g(0,5x)\), encuentra las nuevas coordenadas de estos puntos.

Mostrar respuesta

Answer

\((4;-5)) y \((8;1)\).

Show question

Pregunta

El punto de inflexión de una función es \((5,3)\). ¿Cuál debería ser la coordenada del punto de inflexión, si se refleja en el eje de las \(y\)?

Mostrar respuesta

Answer

\((5,-3)\).

Show question

Pregunta

Cuando se transforma una una función y se multiplica por las expresiones: \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix}

¿Qué representan estas?

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Answer

Un vector.

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Pregunta

En las expresiones\((a, b)\) y \(\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\)¿Cuál es la coordenada \(x\) y cuál es la coordenada \(y\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(a\) es la coordenada \(x\), \(b\) es la coordenada \(y\).

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