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Funciones con radicales

Funciones con radicales

Seguro que has visto funciones de muchos tipos: funciones trigonométricas como \(\sin(x)\) o funciones con potencias como \(x^2\). También, por ejemplo, funciones polinómicas. Pero, hay otro tipo de función muy especial: las funciones irracionales, también conocidas como funciones con radicales.

Radicales y funciones

A las raíces se les conoce como radicales.

Los radicales son funciones matemáticas muy particulares: son el inverso de elevar un número, variable o función a una potencia entera.

Por ejemplo, el inverso de elevar \(x\) al cuadrado es:

\[f(x)=x^2, f^{-1}(x)=\sqrt[2]{x}\].

A las funciones con un radical se les conoce, simplemente, como funciones con radicales o funciones irracionales. Suena algo obvio, ¿no? Pero, veámoslo con mayor proundidad, a partir de algunas características importantes de estas funciones:

  • Si la raíz es par \(\sqrt{f(x)}\), los valores de \(f(x)\) dentro de la raíz no pueden ser números negativos.

  • Si la raíz es impar \(\sqrt{f(x)}\), los valores de \(f(x)\) dentro de la raíz pueden ser números negativos.

Función irracional

Una función es irracional se encuentra dentro de una raíz.

Cuatro ejemplos de funciones con radicales o irracionales son:

  • \[\sqrt{x}\]
  • \[{\sqrt[2]{x^2+\sin(x)+2}}\]
  • \[{\sqrt[3]{x^2+7x+3}}\]
  • \[\dfrac{1+\sqrt{x+2}}{3}\

Debes saber, además, que una función racional como \(\sqrt[2]{x}\) puede ser expresada como \(x^{\frac{1}{2}}\).

También, que una función del tipo \(\sqrt[n]{x^m}\) es igual a \(x^{\frac{m}{n}}\).

En los próximos párrafos usaremos esta notación de manera intercambiable.

Representación gráfica de una función irracional

A continuación, veremos las gráficas de las funciones con radicales más sencillas; después, revisaremos ciertas características de estas.

Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) par

Las funciones del tipo (\sqrt[n]{ax}\) parecen la mitad de una parábola sobre el eje \(x\). Una raíz más alta, como \(n=4, n=6…\), hace que la función crezca más lento. Podemos ver esto en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones para \(\sqrt[2]{x}\), \(\sqrt[4]{x}\) y \(\sqrt[6]{x}\).

Funciones con radicales raices pares StudySmarterFig. 1: Cambios en funciones con raíces pares, a medida que la potencia de la raíz crece.

Si, además, \(x\) se multiplica por una constante \(a\), las funciones crecen más rápido (si la constante es mayor que uno) o crecen más lento (si esta es menor que uno). Puedes ver esto en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones \(\sqrt{x}\), \(\sqrt{2x}\) y \(\sqrt{\frac{1}{2}x}\).

Funciones con radicales raices pares StudySmarterFig. 2: Cambios en funciones con raíces pares, a medida que la constante de proporcionalidad cambia.

Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar

Las funciones de tipo (\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar asemejan una función cúbica sobre el eje de las \(x\). Una raíz mayor, como \(n=5, n=7…\), hace que la función crezca más lento. Esto lo podemos ver en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones para \(\sqrt[3]{x}\), \(\sqrt[5]{x}\) y \(\sqrt[7]{x}\).

Funciones con radicales raices impares StudySmarterFig. 3: Cambios en funciones con raíces impares, a medida que la potencia de la raíz crece.

Si, además, \(x\) es multiplicada por una constante \(a\), estas crecen más rápido (si la constante es mayor que uno) o crecen más lento (si esta es menor que uno). Esto lo puedes ver en la imagen inferior, en la que se encuentran las funciones \(\sqrt[3]{x}\), \(\sqrt[3]{2x}\) y \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}x}\).

Funciones con radicales raices impares StudySmarterFig. 4: Cambios en funciones con raíces impares, a medida que la constante de proporcionalidad cambia.

Simetría de una función irracional

Las funciones irracionales más básicas tienen una simetría muy bien definida; veámoslas.

Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) par

Las funciones como \(\sqrt[2]{x}\) no tienen simetría, solo son una media parábola rotada 90º.

Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar

Las funciones como \(\sqrt[3]{x}\) tienen simetría impar; veamos qué significa esto:

  • Para una función con simetría impar, si sustituyes un valor de \(x=a\), te dará un valor de \(y=b\).
  • Si se toma el mismo valor de \(a\), pero negativo, este dará como resultado el mismo valor \(b\), pero negativo.

Esto puedes verlo en la siguiente gráfica para la función \(\sqrt[3]{x}\), donde \(f(1)=1\) y \(f(-1)=-1\).

Funciones con radicales simetria impar StudySmarterFig. 5: Simetría impar de una función con radical

Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax^m}\) con \(m\) par

Estas funciones tienen una simetría par, ya que para el valor de \(x=a\) y \(x=-a\) el resultado es el mismo \(y=b\). Podrás ver esto en la gráfica de la función \(\sqrt[3]{x^2}\), donde \(f(-1)=1\) y \(f(1)=1\).

Funciones con radicales simetria par StudySmarterFig. 6: Simetría par de una función radical.

Continuidad, dominio y rango en funciones irracionales

Las funciones irracionales tienen un dominio o rango limitado, dependiendo de sus expresiones. Veamos las más básicas, primero:

Funciones de tipo \(\sqrt[n]{af(x)}\) con \(n\) par

Estas funciones tienen una continuidad restringida, ya que los valores de \(f(x)\) no pueden tomar valores negativos.

Veamos un ejemplo sencillo:

¿Cuál es el dominio y rango de la función \(\sqrt{x-3}\)?

Solución:

En este caso, la función dentro de la raíz puede ser igual a cero, pero no negativa. Esto significa que \(x\) solo toma valores si \(f(x)\leq 0\).

También, que \(x-3 \leq 0\) o, despejando \(x\), \(x \leq 3\). Por esto, su dominio vive en \([3, \infty)\).

Así, cuando \(x=3\) y \(f(x)=0\), el rango es \([0, \infty)\).

Una función con radicales puede ser más compleja. Por ejemplo: \[\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{3x-7}}\].

En estos casos, la función contiene una discontinuidad en la que el denominador \(3x-7\) es igual a \(0\).

Veamos un ejemplo al respecto.

Encuentra el dominio, rango y discontinuidades de la función siguiente:

\[\dfrac{x+7}{\sqrt[4]{3x^2-7}}\]

Solución:

La parte superior de la función es continua en todos los reales. La parte del denominador es la parte que nos puede dar problemas, ya que es una raíz cuarta; esto significa que no puede tener valores negativos.

Puedes observar que la función dentro de la raíz es una cuadrática \(3x^2-7\). Esto significa que la función no es continua cuando esta parábola tiene valores menores que cero. Para esto, debemos encontrar las raíces de esta función, con la fórmula:

\[\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Si sustituimos \(\a=3\), \(b=0\) y \(c=-7\):

\[x_1=1,897\]

\[x_2=-1,23\]

Esto significa que el dominio de la función son todos los reales, excepto el intervalo entre \([-1,23, \space 1,897]\). Este intervalo es, de hecho, una discontinuidad.

Asíntotas de una función irracional

Una función irracional, o con radicales, también puede presentar asíntotas. Esto sucede en funciones más complejas donde existen, por ejemplo, fracciones con raíces cuadradas o pares.

Veamos un ejemplo, para hacerlo más sencillo:

Encuentra la asíntota y dominio de la función siguiente:

\[\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}\]

Solución:

En este caso, en el denominador tenemos un radical con potencia par \(n=4\) y una cuadrática; esto significa que la función tiene una discontinuidad. En el dominio son todos reales, excepto el intervalo, donde \(x^2-1 < 0\).

Las raíces de la parábola son:

\[x_1=-1\]

\[x_2=1\]

Esto significa que el intervalo \([-1, 1]\) no pertenece al dominio de la función, por lo que este dominio es \((-\infty,-1)\cup (1,\infty)\).

Podemos determinar si en estos puntos hay asíntotas, calculando los límites:

\[\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}=\dfrac{1}{0^+}=\infty\]

Por tanto, existe una asíntota en \(x=1\).

Ahora, vemos lo que ocurre en el límite cuando \(x\to -1\):

\[\lim_{x\to -1^-}\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty\]

Esto significa que, mientras nos acercamos a \(x=1\) y a \(x=-1\), \(y\) crece hacia el infinito y hacia menos infinito, respectivamente. Esto implica que hay una asíntota en cada punto; lo podemos ver en la siguiente gráfica de la función:

Funciones con radicales, asíntotas, StudySmarter

Fig. 7: Asíntotas de la función con un radical en el denominador.

Puntos de corte de una función irracional

Los puntos de corte de una función irracional son los puntos donde cruza el eje de las \(x\); en general, esto depende de la función. Se puede tener una regla para las funciones más básicas.

Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) par

Estas funciones no cruzan el eje de las \(x\) y no tienen ningún punto de corte; el punto mínimo para ellas es cuando \(x=0\)

Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar

Estas funciones cruzan el eje de las \(x\) en \(x=0\) y tienen solo un punto de corte.

Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax^m}\) con \(m\) par

Estas funciones tampoco cruzan el eje de las \(x\), solo lo tocan en \(x=0\).

Funciones radicales más complejas

Funciones con radicales más complejas como, por ejemplo \(\dfrac{7x^2+2x}{\sqrt[5]{x^2+3x}}\)deben ser exploradas usando sustitución o buscando una factorización.

Funciones con radicales - Puntos clave

  • A las raíces se les conoce como radicales.
  • Los radicales son funciones matemáticas muy particulares: el inverso de elevar un número, variable o función a una potencia.
  • Las funciones con radicales pares no pueden tomar valores negativos y son simétricas con el eje \(x\).
  • Las funciones con radicales impares pueden tomar valores negativos.
  • Los puntos de corte de una función irracional son los puntos donde cruza el eje de las \(x\); en general, esto depende de la función:
    • Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) par: estas funciones no cruzan el eje de las \(x\) y no tienen ningún punto de corte; el punto mínimo para estas es cuando \(x=0\).
    • Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar: estas funciones cruzan el eje de las \(x\) en \(x=0\).
    • Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax^m}\) con \(m\) par: estas funciones tampoco cruzan el eje de las \(x\), solo lo tocan en \(x=0\).

Preguntas frecuentes sobre Funciones con radicales

Una función irracional es una función que está dentro de una raíz par o impar; o, también, que posee una raíz.

Cualquier función dentro de una raíz o elevada a una potencia inversa 1/n, donde n es cualquier entero, es una función irracional o con radicales.


También son funciones irracionales cualquier función que contenga una raíz.

Generalmente, para esto debes encontrar las raíces de la función, que son los puntos donde la función es igual a cero. Esto se hace en funciones complejas por inspección. Si la función es sencilla como la raíz de una función f(x), solo se debe buscar si la función puede tomar valores negativos y buscar las raíces de f(x).

Generalmente deberás representar la función reemplazando valores de x y calculando los valores de y.


Sin embargo, para funciones sencillas del tipo n√(x):

  • Si la función está dentro de un radical par, solo deberás representar la parte de los valores mayores que 0.
  • Si la función es impar, entonces puedes representar solo los valores mayores x>0 y reflejarlos invertidos para los valores x<0.

Idealmente, lo que se debe hacer es buscar las discontinuidades de la función y evaluar los límites en estas discontinuidades. Al observar el comportamiento de estas discontinuidades, se puede deducir si son asíntotas.

Cuestionario final de Funciones con radicales

Pregunta

¿Qué es una función con radicales?

Mostrar respuesta

Answer

Una función que contiene una raíz.

Show question

Pregunta

La función \(f(x)=\dfrac{2x}{\sqrt[3]{\sin(x)}}\), ¿es una función irracional?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, debido a que contiene una raíz.

Show question

Pregunta

¿Una función con radicales es lo mismo que una función irracional?

Mostrar respuesta

Answer

Son sinónimos.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el dominio de una función con radicales?

Mostrar respuesta

Answer

Depende de la función.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el dominio de la función \(f(x)=\sqrt{3x}\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(D(f(x))=[0,\infty)\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el rango de la función (f(x)=\sqrt{3x}\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(R(f(x))=[0,\infty)\).

Show question

Pregunta

El dominio de la función \(\dfrac{7x}{\sqrt{2x^2-8}}\) son todos los reales positivos: ¿cierto o falso?

Mostrar respuesta

Answer

Falso, el denominador de la función nos dice que la función no existe en el intervalo \([-2, 2]\).

Show question

Pregunta

¿Qué simetría tiene la función \(\sqrt[3]{4x}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Impar.

Show question

Pregunta

¿Qué simetría tiene la función \(\sqrt{4x}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Impar.

Show question

Pregunta

¿Qué simetría tiene la función \(\sqrt{4x^2}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Impar.

Show question

Pregunta

¿Una función con raíces puede tener asíntotas?

Mostrar respuesta

Answer

No, esto solo se da en polinomios.

Show question

Pregunta

¿Una función con radicales puede tener simetría?

Mostrar respuesta

Answer

Sí, esta puede ser par o impar.

Show question

Pregunta

¿Qué valores no puede tomar la función \(f(x)=\sqrt[4]{x^2-x-2}\)?

Mostrar respuesta

Answer

Los que hagan que la función dentro de la raíz cuarta sean menores que cero. En este caso, las raíces de la función \(g(x)=x^2-x-2\) son \(x=-1\) y \(x=2\). Comprobamos que es negativa en el intervalo \([-1,2]\). Por tanto, la función \(f(x)\) no puede tomar los valores en el intervalo \([-1,2]\).

Show question

Pregunta


¿Cuál es el dominio de la función \(\sqrt[3]{f(x)}\), si \(f(x)\) es un polinomio?


Mostrar respuesta

Answer

Todos los reales.

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Pregunta

¿Cuál es el dominio de la función \(\sqrt{f(x)}\), si \(f(x)\) es un polinomio?

Mostrar respuesta

Answer

Todos los reales donde \(f(x)\) es positiva.

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