Seguro que has visto funciones de muchos tipos: funciones trigonométricas como \(\sin(x)\) o funciones con potencias como \(x^2\). También, por ejemplo, funciones polinómicas. Pero, hay otro tipo de función muy especial: las funciones irracionales, también conocidas como funciones con radicales.
- En este artículo en primer lugar aprenderemos qué son las funciones con radicales o funciones irracionales.
- Después veremos la representación gráfica de una función irracional.
- A continuación estudiaremos la simetría de las funciones irracionales.
- Luego, pasaremos a estudiar la continuidad, el rango y el dominio de las funciones con radicales.
- Por último, veremos los puntos de corte de las funciones irracionales.
Funciones con radicales
A las raíces se les conoce como radicales.
Los radicales son funciones matemáticas muy particulares: son el inverso de elevar un número, variable o función a una potencia entera.
Por ejemplo, el inverso de elevar \(x\) al cuadrado es:
\[f(x)=x^2, f^{-1}(x)=\sqrt[2]{x}\]
A las funciones con un radical se les conoce, simplemente, como funciones con radicales o funciones irracionales. Suena algo obvio, ¿no? Pero, veámoslo con mayor profundidad, a partir de algunas características importantes de estas funciones:
Si la raíz es par \(\sqrt{f(x)}\), los valores de \(f(x)\) dentro de la raíz no pueden ser números negativos.
Si la raíz es impar \(\sqrt{f(x)}\), los valores de \(f(x)\) dentro de la raíz pueden ser números negativos.
Función irracional
Una función es irracional cuando dentro se encuentra una raíz.
Cuatro ejemplos de funciones con radicales o irracionales son:
\[f(x)=\sqrt{x}\]
\[g(x)={\sqrt[2]{x^2+\sin(x)+2}}\]
\[h(x)={\sqrt[3]{x^2+7x+3}}\]
\[q(x)=\dfrac{1+\sqrt{x+2}}{3}\]
Debes saber, además, que una función racional como \(\sqrt[2]{x}\) puede ser expresada como \(x^{\frac{1}{2}}\).
También, que una función del tipo \(\sqrt[n]{x^m}\) es igual a \(x^{\frac{m}{n}}\).
En los próximos párrafos usaremos esta notación de manera intercambiable.
Representación gráfica de una función irracional
A continuación, veremos las gráficas de las funciones con radicales más sencillas; después, revisaremos ciertas características de estas.
Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) par
Las funciones del tipo (\sqrt[n]{ax}\) parecen la mitad de una parábola sobre el eje \(x\). Una raíz más alta, como \(n=4, n=6…\), hace que la función crezca más lento. Podemos ver esto en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones para \(\sqrt[2]{x}\), \(\sqrt[4]{x}\) y \(\sqrt[6]{x}\).
Fig. 1: Cambios en funciones con raíces pares, a medida que la potencia de la raíz crece.
Si, además, \(x\) se multiplica por una constante \(a\), las funciones crecen más rápido (si la constante es mayor que uno) o crecen más lento (si esta es menor que uno). Puedes ver esto en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones \(\sqrt{x}\), \(\sqrt{2x}\) y \(\sqrt{\frac{1}{2}x}\).
Fig. 2: Cambios en funciones con raíces pares, a medida que la constante de proporcionalidad cambia.
Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar
Las funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar asemejan una función cúbica sobre el eje de las \(x\). Una raíz mayor, como \(n=5, n=7…\), hace que la función crezca más lento. Esto lo podemos ver en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones para \(\sqrt[3]{x}\), \(\sqrt[5]{x}\) y \(\sqrt[7]{x}\).
Fig. 3: Cambios en funciones con raíces impares, a medida que la potencia de la raíz crece.
Si, además, \(x\) es multiplicada por una constante \(a\), estas crecen más rápido (si la constante es mayor que uno) o crecen más lento (si esta es menor que uno). Esto lo puedes ver en la imagen inferior, en la que se encuentran las funciones \(\sqrt[3]{x}\), \(\sqrt[3]{2x}\) y \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}x}\).
Fig. 4: Cambios en funciones con raíces impares, a medida que la constante de proporcionalidad cambia.
Simetría de una función irracional
Las funciones irracionales más básicas tienen una simetría muy bien definida; veámoslas.
Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) par
Las funciones como \(\sqrt[2]{x}\) no tienen simetría, solo son una media parábola rotada 90º.
Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar
Las funciones como \(\sqrt[3]{x}\) tienen simetría impar; veamos qué significa esto:
- Para una función con simetría impar, si sustituyes un valor de \(x=a\), te dará un valor de \(y=b\).
- Si se toma el mismo valor de \(a\), pero negativo, este dará como resultado el mismo valor \(b\), pero negativo.
Esto puedes verlo en la siguiente gráfica para la función \(\sqrt[3]{x}\), donde \(f(1)=1\) y \(f(-1)=-1\).
Fig. 5: Simetría impar de una función con radical
Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax^m}\) con \(m\) par
Estas funciones tienen una simetría par, ya que para el valor de \(x=a\) y \(x=-a\) el resultado es el mismo \(y=b\). Podrás ver esto en la gráfica de la función \(\sqrt[3]{x^2}\), donde \(f(-1)=1\) y \(f(1)=1\).
Fig. 6: Simetría par de una función radical.
Continuidad, rango y dominio de las funciones con radicales
Las funciones irracionales tienen un dominio o rango limitado, dependiendo de sus expresiones. Veamos las más básicas, primero:
Funciones de tipo \(\sqrt[n]{af(x)}\) con \(n\) par
Estas funciones tienen una continuidad restringida, ya que los valores de \(f(x)\) no pueden tomar valores negativos.
Veamos un ejemplo sencillo:
¿Cuál es el dominio y rango de la función \(\sqrt{x-3}\)?
Solución:
En este caso, la función dentro de la raíz puede ser igual a cero, pero no negativa. Esto significa que \(x\) solo toma valores si \(f(x)\leq 0\).
También, que \(x-3 \leq 0\) o, despejando \(x\), \(x \leq 3\). Por esto, su dominio vive en \([3, \infty)\).
Así, cuando \(x=3\) y \(f(x)=0\), el rango es \([0, \infty)\).
Una función con radicales puede ser más compleja. Por ejemplo: \[\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{3x-7}}\]
En estos casos, la función contiene una discontinuidad en la que el denominador \(3x-7\) es igual a \(0\).
Veamos un ejemplo al respecto.
Encuentra el dominio, rango y discontinuidades de la función siguiente:
\[\dfrac{x+7}{\sqrt[4]{3x^2-7}}\]
Solución:
La parte superior de la función es continua en todos los reales. La parte del denominador es la parte que nos puede dar problemas, ya que es una raíz cuarta; esto significa que no puede tener valores negativos.
Puedes observar que la función dentro de la raíz es una cuadrática \(3x^2-7\). Esto significa que la función no es continua cuando esta parábola tiene valores menores que cero. Para esto, debemos encontrar las raíces de esta función, con la fórmula:
\[\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Si sustituimos \(a=3\), \(b=0\) y \(c=-7\):
\[x_1=1{,}897\]
\[x_2=-1{,}23\]
Esto significa que el dominio de la función son todos los reales, excepto el intervalo entre \([-1{,}23, 1{,}897]\). Este intervalo es, de hecho, una discontinuidad.
Asíntotas de una función irracional
Una función irracional, o con radicales, también puede presentar asíntotas. Esto sucede en funciones más complejas donde existen, por ejemplo, fracciones con raíces cuadradas o pares.
Veamos un ejemplo, para hacerlo más sencillo:
Encuentra la asíntota y dominio de la función siguiente:
\[\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}\]
Solución:
En este caso, en el denominador tenemos un radical con potencia par \(n=4\) y una cuadrática; esto significa que la función tiene una discontinuidad. En el dominio son todos reales, excepto el intervalo, donde \(x^2-1 < 0\).
Las raíces de la parábola son:
\[x_1=-1\]
\[x_2=1\]
Esto significa que el intervalo \([-1, 1]\) no pertenece al dominio de la función, por lo que este dominio es \((-\infty,-1)\cup (1,\infty)\).
Podemos determinar si en estos puntos hay asíntotas, calculando los límites:
\[\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}=\dfrac{1}{0^+}=\infty\]
Por tanto, existe una asíntota en \(x=1\).
Ahora, vemos lo que ocurre en el límite cuando \(x\to -1\):
\[\lim_{x\to -1^-}\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty\]
Esto significa que, mientras nos acercamos a \(x=1\) y a \(x=-1\), \(y\) crece hacia el infinito y hacia menos infinito, respectivamente. Esto implica que hay una asíntota en cada punto; lo podemos ver en la siguiente gráfica de la función:
Fig. 7: Asíntotas de la función con un radical en el denominador.
Puntos de corte de una función irracional
Los puntos de corte de una función irracional son los puntos donde cruza el eje de las \(x\); en general, esto depende de la función. Se puede tener una regla para las funciones más básicas.
Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) par
Estas funciones no cruzan el eje de las \(x\) y no tienen ningún punto de corte; el punto mínimo para ellas es cuando \(x=0\).
Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar
Estas funciones cruzan el eje de las \(x\) en \(x=0\) y tienen solo un punto de corte.
Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax^m}\) con \(m\) par
Estas funciones tampoco cruzan el eje de las \(x\), solo lo tocan en \(x=0\).
Funciones radicales más complejas
Funciones con radicales más complejas —como, por ejemplo \(\dfrac{7x^2+2x}{\sqrt[5]{x^2+3x}}\)— deben ser exploradas usando sustitución o buscando una factorización.
Funciones con radicales - Puntos clave
- A las raíces se les conoce como radicales.
- Los radicales son funciones matemáticas muy particulares: el inverso de elevar un número, variable o función a una potencia.
- Las funciones con radicales pares no pueden tomar valores negativos y son simétricas con el eje \(x\).
- Las funciones con radicales impares pueden tomar valores negativos.
- Los puntos de corte de una función irracional son los puntos donde cruza el eje de las \(x\); en general, esto depende de la función:
- Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) par: estas funciones no cruzan el eje de las \(x\) y no tienen ningún punto de corte; el punto mínimo para estas es cuando \(x=0\).
- Funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar: estas funciones cruzan el eje de las \(x\) en \(x=0\).
- Funciones del tipo \(\sqrt[n]{ax^m}\) con \(m\) par: estas funciones tampoco cruzan el eje de las \(x\), solo lo tocan en \(x=0\).
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