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Funciones
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Seguro que has visto funciones de muchos tipos: funciones trigonométricas como \(\sin(x)\) o funciones con potencias como \(x^2\). También, por ejemplo, funciones polinómicas. Pero, hay otro tipo de función muy especial: las funciones irracionales, también conocidas como funciones con radicales.
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Equipo de profesores de Funciones con radicales
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Enviar comentariosA las raíces se les conoce como radicales.
Los radicales son funciones matemáticas muy particulares: son el inverso de elevar un número, variable o función a una potencia entera.
Por ejemplo, el inverso de elevar \(x\) al cuadrado es:
\[f(x)=x^2, f^{-1}(x)=\sqrt[2]{x}\]
A las funciones con un radical se les conoce, simplemente, como funciones con radicales o funciones irracionales. Suena algo obvio, ¿no? Pero, veámoslo con mayor profundidad, a partir de algunas características importantes de estas funciones:
Si la raíz es par \(\sqrt{f(x)}\), los valores de \(f(x)\) dentro de la raíz no pueden ser números negativos.
Si la raíz es impar \(\sqrt{f(x)}\), los valores de \(f(x)\) dentro de la raíz pueden ser números negativos.
Una función es irracional cuando dentro se encuentra una raíz.
Cuatro ejemplos de funciones con radicales o irracionales son:
\[f(x)=\sqrt{x}\]
\[g(x)={\sqrt[2]{x^2+\sin(x)+2}}\]
\[h(x)={\sqrt[3]{x^2+7x+3}}\]
\[q(x)=\dfrac{1+\sqrt{x+2}}{3}\]
Debes saber, además, que una función racional como \(\sqrt[2]{x}\) puede ser expresada como \(x^{\frac{1}{2}}\).
También, que una función del tipo \(\sqrt[n]{x^m}\) es igual a \(x^{\frac{m}{n}}\).
En los próximos párrafos usaremos esta notación de manera intercambiable.
A continuación, veremos las gráficas de las funciones con radicales más sencillas; después, revisaremos ciertas características de estas.
Las funciones del tipo (\sqrt[n]{ax}\) parecen la mitad de una parábola sobre el eje \(x\). Una raíz más alta, como \(n=4, n=6…\), hace que la función crezca más lento. Podemos ver esto en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones para \(\sqrt[2]{x}\), \(\sqrt[4]{x}\) y \(\sqrt[6]{x}\).
Fig. 1: Cambios en funciones con raíces pares, a medida que la potencia de la raíz crece.
Si, además, \(x\) se multiplica por una constante \(a\), las funciones crecen más rápido (si la constante es mayor que uno) o crecen más lento (si esta es menor que uno). Puedes ver esto en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones \(\sqrt{x}\), \(\sqrt{2x}\) y \(\sqrt{\frac{1}{2}x}\).
Fig. 2: Cambios en funciones con raíces pares, a medida que la constante de proporcionalidad cambia.
Las funciones de tipo \(\sqrt[n]{ax}\) con \(n\) impar asemejan una función cúbica sobre el eje de las \(x\). Una raíz mayor, como \(n=5, n=7…\), hace que la función crezca más lento. Esto lo podemos ver en la imagen inferior, donde se encuentran las funciones para \(\sqrt[3]{x}\), \(\sqrt[5]{x}\) y \(\sqrt[7]{x}\).
Fig. 3: Cambios en funciones con raíces impares, a medida que la potencia de la raíz crece.
Si, además, \(x\) es multiplicada por una constante \(a\), estas crecen más rápido (si la constante es mayor que uno) o crecen más lento (si esta es menor que uno). Esto lo puedes ver en la imagen inferior, en la que se encuentran las funciones \(\sqrt[3]{x}\), \(\sqrt[3]{2x}\) y \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}x}\).
Fig. 4: Cambios en funciones con raíces impares, a medida que la constante de proporcionalidad cambia.
Las funciones irracionales más básicas tienen una simetría muy bien definida; veámoslas.
Las funciones como \(\sqrt[2]{x}\) no tienen simetría, solo son una media parábola rotada 90º.
Las funciones como \(\sqrt[3]{x}\) tienen simetría impar; veamos qué significa esto:
Esto puedes verlo en la siguiente gráfica para la función \(\sqrt[3]{x}\), donde \(f(1)=1\) y \(f(-1)=-1\).
Fig. 5: Simetría impar de una función con radical
Estas funciones tienen una simetría par, ya que para el valor de \(x=a\) y \(x=-a\) el resultado es el mismo \(y=b\). Podrás ver esto en la gráfica de la función \(\sqrt[3]{x^2}\), donde \(f(-1)=1\) y \(f(1)=1\).
Fig. 6: Simetría par de una función radical.
Las funciones irracionales tienen un dominio o rango limitado, dependiendo de sus expresiones. Veamos las más básicas, primero:
Estas funciones tienen una continuidad restringida, ya que los valores de \(f(x)\) no pueden tomar valores negativos.
Veamos un ejemplo sencillo:
¿Cuál es el dominio y rango de la función \(\sqrt{x-3}\)?
Solución:
En este caso, la función dentro de la raíz puede ser igual a cero, pero no negativa. Esto significa que \(x\) solo toma valores si \(f(x)\leq 0\).
También, que \(x-3 \leq 0\) o, despejando \(x\), \(x \leq 3\). Por esto, su dominio vive en \([3, \infty)\).
Así, cuando \(x=3\) y \(f(x)=0\), el rango es \([0, \infty)\).
Una función con radicales puede ser más compleja. Por ejemplo: \[\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{3x-7}}\]
En estos casos, la función contiene una discontinuidad en la que el denominador \(3x-7\) es igual a \(0\).
Veamos un ejemplo al respecto.
Encuentra el dominio, rango y discontinuidades de la función siguiente:
\[\dfrac{x+7}{\sqrt[4]{3x^2-7}}\]
Solución:
La parte superior de la función es continua en todos los reales. La parte del denominador es la parte que nos puede dar problemas, ya que es una raíz cuarta; esto significa que no puede tener valores negativos.
Puedes observar que la función dentro de la raíz es una cuadrática \(3x^2-7\). Esto significa que la función no es continua cuando esta parábola tiene valores menores que cero. Para esto, debemos encontrar las raíces de esta función, con la fórmula:
\[\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Si sustituimos \(a=3\), \(b=0\) y \(c=-7\):
\[x_1=1{,}897\]
\[x_2=-1{,}23\]
Esto significa que el dominio de la función son todos los reales, excepto el intervalo entre \([-1{,}23, 1{,}897]\). Este intervalo es, de hecho, una discontinuidad.
Una función irracional, o con radicales, también puede presentar asíntotas. Esto sucede en funciones más complejas donde existen, por ejemplo, fracciones con raíces cuadradas o pares.
Veamos un ejemplo, para hacerlo más sencillo:
Encuentra la asíntota y dominio de la función siguiente:
\[\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}\]
Solución:
En este caso, en el denominador tenemos un radical con potencia par \(n=4\) y una cuadrática; esto significa que la función tiene una discontinuidad. En el dominio son todos reales, excepto el intervalo, donde \(x^2-1 < 0\).
Las raíces de la parábola son:
\[x_1=-1\]
\[x_2=1\]
Esto significa que el intervalo \([-1, 1]\) no pertenece al dominio de la función, por lo que este dominio es \((-\infty,-1)\cup (1,\infty)\).
Podemos determinar si en estos puntos hay asíntotas, calculando los límites:
\[\lim_{x\to 1^+}\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}=\dfrac{1}{0^+}=\infty\]
Por tanto, existe una asíntota en \(x=1\).
Ahora, vemos lo que ocurre en el límite cuando \(x\to -1\):
\[\lim_{x\to -1^-}\dfrac{x}{\sqrt[4]{x^2-1}}=\dfrac{-1}{0^+}=-\infty\]
Esto significa que, mientras nos acercamos a \(x=1\) y a \(x=-1\), \(y\) crece hacia el infinito y hacia menos infinito, respectivamente. Esto implica que hay una asíntota en cada punto; lo podemos ver en la siguiente gráfica de la función:
Los puntos de corte de una función irracional son los puntos donde cruza el eje de las \(x\); en general, esto depende de la función. Se puede tener una regla para las funciones más básicas.
Estas funciones no cruzan el eje de las \(x\) y no tienen ningún punto de corte; el punto mínimo para ellas es cuando \(x=0\).
Estas funciones cruzan el eje de las \(x\) en \(x=0\) y tienen solo un punto de corte.
Estas funciones tampoco cruzan el eje de las \(x\), solo lo tocan en \(x=0\).
Funciones con radicales más complejas —como, por ejemplo \(\dfrac{7x^2+2x}{\sqrt[5]{x^2+3x}}\)— deben ser exploradas usando sustitución o buscando una factorización.
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¿Cómo se expresa una función irracional?
Una función irracional es una función que está dentro de una raíz par o impar; o, también, que posee una raíz.
¿Cómo reconocer una función radical?
Cualquier función dentro de una raíz o elevada a una potencia inversa 1/n, donde n es cualquier entero, es una función irracional o con radicales.
También son funciones irracionales cualquier función que contenga una raíz.
¿Cómo hallar puntos de corte de una función irracional?
Generalmente, para esto debes encontrar las raíces de la función, que son los puntos donde la función es igual a cero. Esto se hace en funciones complejas por inspección. Si la función es sencilla como la raíz de una función f(x), solo se debe buscar si la función puede tomar valores negativos y buscar las raíces de f(x).
¿Cómo se representa gráficamente una función irracional?
Generalmente deberás representar la función reemplazando valores de x y calculando los valores de y.
Sin embargo, para funciones sencillas del tipo n√(x):
¿Qué son las asíntotas de una funcion radical y cómo se calculan?
Idealmente, lo que se debe hacer es buscar las discontinuidades de la función y evaluar los límites en estas discontinuidades. Al observar el comportamiento de estas discontinuidades, se puede deducir si son asíntotas.
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Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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