Las integrales tienen múltiples aplicaciones; a pesar de que parezca solo algo teórico, poder calcular áreas es bastante útil. De hecho, con algunos trucos puedes calcular volúmenes y longitudes. En este artículo veremos algunas de estas aplicaciones.
Longitud de arco
La longitud de un arco es distancia entre dos puntos que forman el segmento de una curva.
Si buscas medir distancias, es bastante fácil medir polígonos con partes rectas: después de todo, solo debes medir la distancia del punto \(a\) al punto \(b\) (como se ve en la imagen inferior).
Fig. 1: La distancia entre dos puntos es fácilmente calculable, solo se debe restar el valor de \(B\) del valor de \(A\).
Sin embargo, no todos los trayectos son lineales. Existen, entre otros, trayectos que son curvos; por ejemplo, un segmento de una circunferencia, también conocido como arco.
Esto se puede ver en la imagen inferior, si contamos el segmento de la circunferencia entre los puntos \(a\) y \(b\).
Fig. 2: La distancia de un arco es también fácilmente calculable entre los puntos \(A\) y \(B\), ya que existe una fórmula definida para ella.
Este cálculo se realiza con la fórmula:
\[S=r\theta\]
Donde \(\theta\) es el ángulo de apertura y \(r\) es el radio de la circunferencia.
En ese caso la longitud de esta curva es \(S\). ¿Pero, qué pasa con curvas más complejas, como la siguiente?
Fig. 3: La distancia de curvas más complejas no es fácilmente calculable; como pasa en esta elipse, entre los puntos \(A\) y \(B\).
Como en este caso no hay un radio ni un ángulo definidos, una idea sería dividir la curva en segmentos lineales. Esto lo puedes ver debajo:
Fig. 4: Esta curva se puede calcular como la suma de pequeñas rectas. Si esto te recuerda algo es que esta es una integral, cuando las rectas se hacen infinitamente pequeñas.
Y podrías, tal vez, hacerlos más pequeños y pequeños. ¿Esto no te recuerda algo? Es una suma de rectas, una integral.
De hecho, la longitud de una curva en ciertos casos se puede definir usando la siguiente fórmula:
\[S=\int^b_a \sqrt{1+(f’(x))^2}dx\]
Para que esto sea posible, por supuesto, hay ciertas condiciones:
La curva debe poder ser definida por una función.
La función debe ser continua en el intervalo \([a,b]\).
La función debe tener una derivada.
Un ejemplo clásico de la longitud de una función trigonométrica puede ser el siguiente:
Calcula la longitud de arco de una circunferencia de radio \(r\).
Solución:
Lo que nos están pidiendo es el perímetro de una circunferencia. La circunferencia la podemos expresar en ecuaciones paramétricas como:
\[x=r\cos(\theta)\]
\[y=r\sin(\theta)\]
Ahora, la fórmula de la longitud de arco para una función dada en forma paramétrica es:
\[S=\int_a^b \sqrt{(f'(t))^2+(g'(t))^2}dt\]
Donde \(f(t)\) y \(g(t)\) son cada una de las ecuaciones paramétricas que componen la función. En nuestro caso entonces:
\[S=\int_0^{2\pi} \sqrt{r^2\sin^2(\theta)+r^2\cos^2(\theta)}\,d\theta\]
Aplicamos la identidad trigonométrica fundamental para llegar a:
\[S=\int_0^{2\pi} r\, d\theta=r\theta\Big|_0^{2\pi}=2\pi r\]
Hemos calculado el perímetro de una circunferencia a partir de una integral.
Hay que decir que no todas las funciones se pueden resolver; entonces, puede pasar dos cosas:
Muchas veces la función dentro de la raíz no podrá ser simplificada para poder ser integrada.
La integral se puede resolver, pero necesita una simplificación; en este caso, las funciones dentro de la raíz deben usar un cambio de variable o una sustitución trigonométrica.
Espacio recorrido
La longitud del trayecto de una curva tiene otra utilidad, que es la distancia recorrida por un móvil. Por ejemplo, la trayectoria parabólica de un proyectil que se lanza desde cierta altura. Esto se ve en la figura inferior, donde se busca calcular la longitud del segmento entre los puntos \(E\) a \(F\).
Fig. 5. El cálculo de la longitud de un punto \(E\) a \(F\) es una aplicación del cálculo de integrales.
En estos casos, la parábola debe ser derivada y sustituida en la expresión siguiente:
\[S=\int^b_a \sqrt{1+(f’(x))^2}dx\]
Hagamos un ejemplo.
Se tiene un proyectil que sigue la trayectoria definida por la función \(f(x)=-2x^2+1\).
Encuentra la función que da cuenta del espacio recorrido.
Solución:
Primero, debemos encontrar las raíces de la parábola: esta es una parábola invertida y la trayectoria debe ser la parte positiva de la función.
Encontramos las raíces con la fórmula cuadrática:
\[x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
\[x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Sustituyendo \(a=-2\), \(b=0\) y \(c=1\):
\[x_1=0{,}7071\]
\[x_2=-0{,}7071\]
La distancia que debemos calcular, entonces, está entre estos dos puntos.
Ahora, debemos derivar la función original:
\[f'(x)=-4x\]
Al sustituir esto en la fórmula original, tenemos:
\[S=\int^b_a \sqrt{1+(-4x)^2}\,dx\]
\[S=\int^b_a \sqrt{1+16x^2}\,dx\]
La integral de esta función es:
\[S=\left[\dfrac{x}{2} \sqrt{1+16x^2}+\dfrac{1}{8} \mathrm{arcsinh}(4x)\right]^a_b\]
Sustituyendo los límites de integración, nos da: \[s=2{,}56…\]
La integral del ejemplo anterior no es trivial; necesita una sustitución trigonométrica, pero es sustituible. En algunos casos esto es imposible y se requieren formas más avanzadas, como métodos numéricos.
Área bajo una curva
Las integrales también tienen un significado geométrico clásico, que es el área bajo la curva. En estos casos, la integral puede ser usada para calcular áreas irregulares, que pueden ser definidas por funciones:
\[\text{Área}=\int^a_b f(x) dx\]
Debido a que nos todas las áreas son regulares y las áreas de un polígono pueden ser definidas por varias funciones, las áreas complejas pueden ser definidas como:
\[\text{Área total}=\int^a_b f_1(x) dx + \int^c_d f_2(x) dx + \int^e_f f_3(x) dx… \]
Esto es un poco paradójico, ya que es la suma de las integrales. Estas son, a su vez, sumas infinitas de pedazos de una función.
Veamos un ejemplo sencillo.
Se tiene el objeto geométrico de abajo. Este es un terreno del que se desea saber su área.
Fig. 6: Área debajo de las funciones \(F_1\) y \(F_2\).
Solución:
Este objeto está compuesto por dos funciones: una constante \(f_1\) y una recta con pendiente negativa \(f_2\). En este caso las funciones son:
\[f_1(x)=5\]
\[f_2(x)=f(x)=-ax+b\]
Por tanto, debemos integrar ambas figuras entre los límites:
\[F_1=\int^a_b 5 dx\]
\[F_2=\int^a_b (-ax+b )dx\]
La suma de las estas multiplicada por dos será el área total que se ve en la siguiente figura
\[\text{Área}=2(F_1+F_2)\]
La segunda función es una función lineal, que podemos encontrar usando una de las ecuaciones da la recta en el espacio; esta es:
\[y-y_1=m(x-x_1)\]
Para la pendiente:
\[m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\]
\[m=\dfrac{0-5}{11-7}=\dfrac{-5}{4}\]
Sustituyendo esto en la fórmula de la recta:
\[y-y_1=\dfrac{-5}{4}(x-x_1)\]
Y, si sustituimos los puntos, \(x_1=7, y_1=5\):
\[y-7=\dfrac{-5}{4}(x-5)\]
\[y=\dfrac{-5x}{4}+\dfrac{55}{4}\]
Entonces, nuestras integrales son:
\[F_1=\int^a_b 5 dx\]
\[F_2=\int^a_b (\dfrac{-5x}{4}+\dfrac{55}{4}) dx\]
Sustituyendo los límites correspondientes:
\[F_1=\int^7_0 5 dx\]
\[F_2=\int^{11}_7 (\dfrac{-5x}{4}+\dfrac{55}{4}) dx\]
Si resolvemos las integrales y sustituimos los límites, obtenemos:
\[A_{F_1}=35\]
\[A_{F_2}=10\]
Entonces, el área total es la suma:
\[A_t=45\]
Por supuesto, no sabemos las unidades del área en este caso.
Si deseas refrescar tus conocimientos sobre integrales, no olvides revisar nuestros artículos Integrales e integrales definidas.
Volumen de sólidos
Si al área es igual a una integral, entonces también se pueden calcular volúmenes. Empecemos con un objeto sencillo:
¿Cómo definirías el área de un cubo? Esta podría definirse como una integral de una función constante entre dos puntos:
\[\int^a_b (cte) dx\]
¿Pero, y cómo defines un cubo? En este caso, un cubo podría ser definido por una segunda integral:
\[\int^c_d \int^a_b (cte) dx dy \]
Esto definirá un cubo o un paralelepípedo. Esta definición es muy simple, pero hay otra que implica una transformación o, más bien, una rotación. Estas se llaman integrales de sólidos de revolución.
Integrales de sólidos de revolución
La integral de un sólido de revolución implica tener una función sobre los ejes \(x,y\). Después de esto, debe rotarla alrededor del eje \(x\), para generar un sólido. Podemos ver este concepto en la siguiente figura, donde una recta genera un cono al rotarse:
Fig. 5: Rotar la recta genera una figura en tres dimensiones; en este caso, la recta inclinada genera un cono.
En estos casos, lo que se tiene es una función \(f(x)\); a está se le debe aplicar la siguiente fórmula:
\[\text{Vol}=\pi \int^b_a f(x)^2 dx\]
Se tiene la función \(f(x)=\sqrt{2x}\) definida en el dominio \([1, 3]\).
Calcula el sólido de revolución de esta función.
Solución:
Primero, debemos aplicar la fórmula:
\[\text{Vol}=\pi \int^b_a f(x)^2 dx\]
Sustituyendo, esto nos da:
\[\text{Vol}=\pi \int_1^3 2x\, dx\]
Y, al integrar:
\[\text{Vol}=\pi x^2\Big|_1^3\]
Si sustituimos los límites, obtenemos:
\[\text{Vol}=8\pi\]
Aplicaciones de las integrales dobles y triples
Temas más avanzadas de física y matemáticas requerirán, no solo integrales dobles, sino también triples. Estas tienen la forma:
\[\int \int f(x,y)dxdy\]
\[\int \int \int f(x,y,z)dxdydz\]
Por supuesto, tienen sus propios límites de integración:
\[\int^a_b \int^c_d f(x,y)dxdy\]
\[\int^a_b \int^c_d \int^e_f f(x,y,z)dxdydz\]
Algunas de estas aplicaciones se encuentran en:
Aplicaciones de integrales - Puntos clave
La distancia entre dos puntos que forman el segmento de una curva es la longitud de un arco.
La distancia recorrida por un móvil puede ser calculada como la longitud de la curva; en este caso, si es un tiro parabólico, la longitud de arco.
La integral de un sólido de revolución implica tener una función sobre los ejes \(x,y\) y, después de esto, rotarla alrededor del eje \(x\) para generar un sólido.
Temas más avanzados de física y matemáticas requerirán, no solo integrales dobles, sino también triples. Estas tienen la forma:
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