Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Cuando estás analizando una función una de las características importantes es su crecimiento y decrecimiento. Esto te puede ayudar a representar gráficamente la función o a conocer tramos concretos que te interesan. Además, al saber cuándo la función pasa de crecer a decrecer o el sentido contrario, puedes encontrar un extremo relativo; es decir, un máximo o un mínimo.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratisSi una función crece, luego su derivada es nula en un punto y después decrece, ¿qué punto es el de derivada cero?
Si una función crece, luego su derivada es nula en un punto y después sigue creciendo, ¿qué punto es el de derivada nula?
Si \(f\) es creciente en \(p\) y \(f(p)>f(x)\) en un entorno de \(p\) en el que \(x<p\), ¿qué ocurre en un entorno en el que \(x>p\)?
Si \(f\) es decreciente en \(p\) y \(f(p)<f(x)\) en un entorno en el que \(x>p\), ¿qué ocurre en un entorno en el que \(x<p\)?
Si una función tiene una discontinuidad inevitable, ¿se puede estudiar su monotonía?
Si una función tiene una discontinuidad evitable, ¿se puede estudiar su monotonía?
Para estudiar la monotonía de una función, ¿de qué función se tiene que estudiar el signo?
Si una función crece, luego su derivada es nula en un punto y después decrece, ¿qué punto es el de derivada cero?
Si una función crece, luego su derivada es nula en un punto y después sigue creciendo, ¿qué punto es el de derivada nula?
Si \(f\) es creciente en \(p\) y \(f(p)>f(x)\) en un entorno de \(p\) en el que \(x<p\), ¿qué ocurre en un entorno en el que \(x>p\)?
Si \(f\) es decreciente en \(p\) y \(f(p)<f(x)\) en un entorno en el que \(x>p\), ¿qué ocurre en un entorno en el que \(x<p\)?
Si una función tiene una discontinuidad inevitable, ¿se puede estudiar su monotonía?
Si una función tiene una discontinuidad evitable, ¿se puede estudiar su monotonía?
Para estudiar la monotonía de una función, ¿de qué función se tiene que estudiar el signo?
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Crecimiento y decrecimiento de una función
¡Gracias por su interés en las preferencias de aprendizaje!
¿Qué modo de aprendizaje prefiere? (por ejemplo, « Audio », « Video », « Texto », « Sin preferencia ») (opcional)
Enviar comentariosEn este tema vamos a explicar cómo encontrar la monotonía y los puntos máximos y mínimos de una función. Si quieres aprender a hacerlo, ¡sigue leyendo!
Para poder determinar la monotonía de una función, primero tenemos que asegurar la continuidad de la función. Aunque esto ya lo explicamos en el tema de continuidad, vamos a hacer un ligero repaso para dejar todo claro.
Una función es continua en el punto \(p\) si, y solo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:
Si una función no cumple alguna de estas tres condiciones, se dice que es discontinua en \(p\); o, simplemente, que no es continua en \(p\).
Una vez que hemos asegurado que la función es continua en un intervalo concreto —también puede ser en el dominio de la función—, debemos además asegurar su derivabilidad.
Si hemos determinado que una función es continua en un intervalo \((a,b)\), que una función sea derivable en un punto \(p\) dentro de ese intervalo significa que existe la derivada en el punto:
\[f'(p)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(p+h)-f(p)}{h}\]
A \(f'(p)\) se le denomina la derivada de \(f(x)\) en el punto \(p\).
Una vez que hemos determinado que la función es continua y derivable podemos pasar a estudiar la monotonía de la función; es decir, su crecimiento y decrecimiento.
Si ya hemos determinado que una función es continua, podemos ver cómo se definen los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Si \(f(x)\) es una función definida en el entorno de un punto \(p\) y es continua en ese entorno, entonces:
Sin embargo, también podemos haber determinado que la función, además de continua, es derivable. Esto hace que sea mucho más fácil determinar el crecimiento y decrecimiento de la función.
Si \(f(x)\) es derivable en \(p\), entonces:
Fig. 1: A la izquierda podemos ver el crecimiento de una función, mientras que a la derecha podemos ver el decrecimiento.
Vamos a poner un par de ejemplos en los que determinamos los intervalos de crecimiento de una función.
Determina la monotonía de la siguiente función:
\[f(x)=x^3-6x^2+2\]
Solución:
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, definimos los puntos en los que la derivada es nula:
\[f'(x)=3x^2-12x\]
\[f'(x)=0\Rightarrow 3x(x-4)=0\]
Por tanto, hay dos puntos en los que la derivada es nula. Estos son:
\[x=0\]
\[x=4\]
Ahora, vamos a ver el signo de la derivada en los intervalos formados por estos puntos. Para esto, lo más fácil es evaluar la derivada en un punto de ese intervalo:
\((-\infty,0)\) | \((0,4)\) | \((4,\infty)\) |
\(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) |
Tabla 1. Signo de la primera derivada de \(f(x)\).
Por tanto, podemos determinar que la función tiene la siguiente monotonía:
Estudia la monotonía de la siguiente función:
\[f(x)=\dfrac{2x+4}{e^x}\]
Solución:
Para estudiar la monotonía, ya sabemos que tenemos que derivar la función:
\[f'(x)=\dfrac{-2x-2}{e^x}\]
Ahora, igualamos a cero para encontrar los intervalos:
\[f'(x)=0\Rightarrow \dfrac{-2x-2}{e^x}=0\]
\[-2(x+1)=0\]
\[x=-1\]
Por tanto, determinamos el signo de la derivada para calcular la monotonía de la función:
\((-\infty,-1)\) | \((-1,\infty)\) |
\(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) |
Tabla 2. Signo de la primera derivada de \(f(x)\).
A partir del signo de la derivada, podemos inferir que:
En los ejemplos anteriores hemos visto cómo calcular la monotonía según el signo de la primera derivada de la función. Pero, no hemos dicho nada sobre qué ocurre en los puntos en los que la primera derivada es nula. Veámoslo a continuación.
En realidad, ya lo mencionamos anteriormente, cuando definimos la monotonía de una función. En los puntos en los que la primera derivada es nula, hay un punto crítico: un máximo o un mínimo relativos.
Es decir, cuando igualamos la primera derivada a cero, los puntos en los que se cumple esta condición presentan un máximo o un mínimo. En principio, con solo esta información no podemos distinguir si son un máximo o un mínimo; ni saber si el máximo o mínimo es absoluto o relativo.
Vamos a ver la diferencia entre un extremo relativo y uno absoluto, de manera matemática.
Dicho de manera sencilla: un máximo absoluto es un punto de la función cuya imagen es mayor que el resto de imágenes de la función. Es decir, este es el punto más alto que encontramos en la función. El mínimo absoluto se define de manera análoga: se trata del punto más bajo de toda la función.
En cambio, el máximo relativo es un punto en el que en su entorno es el punto más alto, pero puede haber otros intervalos de la función en la que esta tenga puntos más altos que el máximo relativo. Lo equivalente ocurre con el mínimo relativo.
Fig. 2. Extremos relativos de una función. Podemos observar que el máximo no es absoluto, porque hay puntos de la función que están por encima del máximo. Lo mismo ocurre con el mínimo relativo.
Fig. 3: Mínimo absoluto de una función. Podemos observar que la imagen del mínimo es la más baja de toda la función.
Dicho esto, y a partir de la monotonía de una función, podemos deducir cuándo el extremo relativo es un máximo o un mínimo.
Si \(f'(a)=0\), en \(x=a\) hay un extremo relativo:
Si para \(x0\) y para \(x>a\), \(f'(x)<0\), entonces \(x=a\) es un máximo relativo.
Si para \(xa\), \(f'(x)>0\), entonces \(x=a\) es un mínimo relativo.
En los casos en los que \(f'(a)=0\), pero el entorno no cambia de monotonía, la función presenta un punto de inflexión.
Esto quiere decir que si sabemos que \(x=a\) es un extremo relativo porque la derivada en este punto es nula, si la función antes de este punto crece y luego decrece, este punto es un máximo. Mientras que si la función primero decrece y luego crece, este punto es un mínimo.
Vamos a hacer un ejemplo para entenderlo mejor:
Realiza un estudio de los extremos relativos de la función del primer ejemplo:
\[f(x)=x^3-6x^2+2\]
Solución:
Anteriormente, ya hemos hallado los puntos que representan extremos relativos y la monotonía de la función. Hemos visto que la derivada se anula en:
\[x=0\]
\[x=4\]
Y, además, hemos determinado que:
A partir de esto, podemos estudiar los extremos relativos:
Las coordenadas de estos puntos son:
Por tanto, hemos deducido el tipo de extremo, a partir de la monotonía de la función. Esto lo podemos observar, además, en la gráfica de esta función:
Fig. 4: Extremos relativos de la función \(f(x)\).
Como hemos visto en el ejemplo anterior, el estudio de los extremos solo da información sobre si son puntos relativos. Por eso, para saber si un extremo es un máximo o un mínimo absoluto, puedes representar la función y comprobar si hay otros puntos de la función por encima o por debajo de este punto.
Vamos a hacer unos ejercicios para practicar cómo calcular el crecimiento y decrecimiento de una función, así como los extremos relativos que pueda tener.
Estudia la monotonía y los extremos relativos de la siguiente función:
\[f(x)=x^4+3x^3-2x\]
Solución:
Calculamos la primera derivada de la función:
\[f'(x)=4x^3+9x^2-2\]
Ahora calculamos los puntos en los que la derivada es nula \(f'(x)=0\):
\[4x^3+9x^2-2=0\]
Puedes usar cualquier método para calcular las raíces de esta función:
\[(x-3)(x+1)(x-1)=0\]
Por tanto, las raíces son \(x=3\), \(x=1\) y \(x=-1\).
Estos puntos representan los extremos relativos de la función.
Ahora calculamos la monotonía de la función en los intervalos dados por estos puntos.
| \((-\infty,-1)\) | \((-1,1)\) | \((1,3)\) | \((3,\infty)\) |
| \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) |
Tabla 3: Signo de la primera derivada de \(f(x)\).
Deducimos, entonces, la monotonía de la función:
Sabiendo esto, podemos deducir los extremos relativos de la función:
Representemos la función para ver estos puntos:
Fig. 5: Mínimos y máximo de una función de ejemplo.
Como podemos observar en la representación gráfica de la función, los mínimos en \(x=-1\) y \(x=3\) son mínimos absolutos. Esto es porque en todo su dominio la función toma el valor mínimo en estos puntos.
Estudia la monotonía y los extremos relativos de la siguiente función:
\[f(x)\dfrac{x^2+4}{x-1}\]
Solución:
Como es una función racional, debemos tener en cuenta que puede tener discontinuidades en las que la monotonía cambie, sin necesidad de que haya un extremo relativo. Por ejemplo, puede haber un salto infinito. Por tanto, calculamos primero las discontinuidades.
En este caso, la función presenta una discontinuidad cuando el denominador se anula:
\[x=1\]
Debemos tener en cuenta este punto al determinar la monotonía de la función.
A continuación, hallamos la primera derivada de la función:
\[f'(x)=\dfrac{x^2-2x-4}{(x-1)^2}\]
A continuación, la igualamos a cero:
\[x^2-2x-4=0\]
Podemos usar la fórmula de Cardano para hallar las soluciones, obteniendo:
\[x=1+\sqrt{5}\approx 3{,}24\]
\[x=1-\sqrt{5}\approx -1{,}24\]
Determinamos los tramos de crecimiento y decrecimiento de la función en los tramos de los puntos anteriores.
| \((-\infty,1-\sqrt{5})\) | \((1-\sqrt{5},1)\) | \((1,1+\sqrt{5})\) | \((1+\sqrt{5},\infty)\) |
| \(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) |
Tabla 5. Signo de la primera derivada de \(f(x)\).
A partir de estos datos, podemos decir que:
Debido a esto, los extremos relativos son:
Puedes observar cómo en \(x=1\) no hay ningún extremo, puesto que este punto no surge de la primera derivada, sino de la continuidad de la función. Realmente, en este punto hay una asíntota vertical con ecuación \(x=1\). Si representamos la función, podemos ver estos puntos:
Fig. 6. Extremos relativos de la función \(f(x)\).
Como puedes observar en la gráfica de esta función, que un punto representen un máximo relativo no implica que tenga que estar por encima del mínimo relativo, solo está por encima de su entorno. Lo mismo ocurre con el mínimo relativo.
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
¿Cómo sacar la creciente y decreciente de una función?
Para determinar el crecimiento y decrecimiento de una función, debes hallar los puntos de discontinuidad de la función y la primera derivada de la función.
Después, determina el signo de la primera derivada en los intervalos dados por los puntos de discontinuidad y las raíces de la primera derivada.
¿Cuál es la diferencia entre creciente y decreciente?
¿Cómo encontrar el punto máximo de una función?
Un máximo relativo es un punto cuya primera derivada es nula. Además, en el entorno, antes de este punto la función es creciente y después de este punto la función es decreciente.
¿Qué son los extremos relativos y absolutos de una función?
Los extremos relativos son máximos o mínimos en cuyo entorno de puntos se cumplen las condiciones que hacen que sean extremos. Sin embargo, los extremos absolutos son puntos en los que estas condiciones también se cumplen, pero para todo el dominio de la función, no solo en su entorno.
¿Qué es el crecimiento y decrecimiento de una función?
Si f(x) es una función definida en el entorno de un punto p y es continua en ese entorno, entonces:
· f(x) es creciente en x=p, si existe un entorno a p en el que:
- f(p) ≤ f(x) para todo x en el entorno con x > p.
- f(p) ≥ f(x) para todo x en el entorno con x < p.
· f(x) es decreciente en x=p si existe un entorno a p en el que:
- f(p) ≥ f(x) para todo x en el entorno con x > p.
- f(p) ≤ f(x) para todo x en el entorno con x < p.
¿Qué son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función?
Para toda función, podemos estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Estos son intervalos, es decir, un espacio de puntos consecutivos de la función donde esta crece o decrece.
Es por ello que muchas veces a la hora de estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función tenemos que referirnos a estos intervalos en vez de a la función.
¿Qué es el decrecimiento de una función?
f(x) es decreciente en x=p si existe un entorno a p en el que:
- f(p) ≥ f(x) para todo x en el entorno con x > p.
- f(p) ≤ f(x) para todo x en el entorno con x < p.
Si la función f(x) es derivable en p, entonces:
- Si f'(p) < 0, f(x) es decreciente en p.
¿Qué es la monotonía de una función?
La monotonía de una función es su crecimiento o decrecimiento relativo.
En StudySmarter, has creado una plataforma de aprendizaje que atiende a millones de estudiantes. Conoce a las personas que trabajan arduamente para ofrecer contenido basado en hechos y garantizar que esté verificado.
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Conoce a Lily
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
