Cuando estás analizando una función una de las características importantes es su crecimiento y decrecimiento. Esto te puede ayudar a representar gráficamente la función o a conocer tramos concretos que te interesan. Además, al saber cuándo la función pasa de crecer a decrecer o el sentido contrario, puedes encontrar un extremo relativo; es decir, un máximo o un mínimo.
En este tema vamos a explicar cómo encontrar la monotonía y los puntos máximos y mínimos de una función. Si quieres aprender a hacerlo, ¡sigue leyendo!
Continuidad y derivabilidad
Para poder determinar la monotonía de una función, primero tenemos que asegurar la continuidad de la función. Aunque esto ya lo explicamos en el tema de continuidad, vamos a hacer un ligero repaso para dejar todo claro.
Una función es continua en el punto \(p\) si, y solo si, se cumplen las tres condiciones siguientes:
- \(f(p)\) existe.
- Si te acercas al punto \(p\) por la izquierda o la derecha, ambos valores son iguales:\[\displaystyle \lim_{x \rightarrow p^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow p^+} f(x)\]
- Los límites por ambos lados, \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow p^-}f(x)\) y \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow p^+}f(x)\), y \(f(p)\) son todos iguales.
Si una función no cumple alguna de estas tres condiciones, se dice que es discontinua en \(p\); o, simplemente, que no es continua en \(p\).
Una vez que hemos asegurado que la función es continua en un intervalo concreto —también puede ser en el dominio de la función—, debemos además asegurar su derivabilidad.
Si hemos determinado que una función es continua en un intervalo \((a,b)\), que una función sea derivable en un punto \(p\) dentro de ese intervalo significa que existe la derivada en el punto:
\[f'(p)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(p+h)-f(p)}{h}\]
A \(f'(p)\) se le denomina la derivada de \(f(x)\) en el punto \(p\).
Una vez que hemos determinado que la función es continua y derivable podemos pasar a estudiar la monotonía de la función; es decir, su crecimiento y decrecimiento.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Si ya hemos determinado que una función es continua, podemos ver cómo se definen los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Si \(f(x)\) es una función definida en el entorno de un punto \(p\) y es continua en ese entorno, entonces:
- \(f(x)\) es creciente en \(x=p\), si existe un entorno a \(p\) en el que:
- \(f(p)\leq f(x)\) para todo \(x\) en el entorno con \(x>p\).
- \(f(p)\geq f(x)\) para todo \(x\) en el entorno con \(x<p\).
- \(f(x)\) es decreciente en \(x=p\) si existe un entorno a \(p\) en el que:
- \(f(p)\geq f(x)\) para todo \(x\) en el entorno con \(x>p\).
- \(f(p)\leq f(x)\) para todo \(x\) en el entorno con \(x<p\).
Sin embargo, también podemos haber determinado que la función, además de continua, es derivable. Esto hace que sea mucho más fácil determinar el crecimiento y decrecimiento de la función.
Si \(f(x)\) es derivable en \(p\), entonces:
- Si \(f'(p)>0\), \(f(x)\) es creciente en \(p\).
- Si \(f'(p)<0\), \(f(x)\) es decreciente en \(p\).
- Si \(f(x)\) presenta un máximo o un mínimo relativo en \(p\), entonces \(f'(p)=0\).
Intervalos de crecimiento y decrecimiento: ejemplos
Vamos a poner un par de ejemplos en los que determinamos los intervalos de crecimiento de una función.
Determina la monotonía de la siguiente función:
\[f(x)=x^3-6x^2+2\]
Solución:
Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, definimos los puntos en los que la derivada es nula:
\[f'(x)=3x^2-12x\]
\[f'(x)=0\Rightarrow 3x(x-4)=0\]
Por tanto, hay dos puntos en los que la derivada es nula. Estos son:
\[x=0\]
\[x=4\]
Ahora, vamos a ver el signo de la derivada en los intervalos formados por estos puntos. Para esto, lo más fácil es evaluar la derivada en un punto de ese intervalo:
\((-\infty,0)\) | \((0,4)\) | \((4,\infty)\) |
\(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) |
Tabla 1. Signo de la primera derivada de \(f(x)\).
Por tanto, podemos determinar que la función tiene la siguiente monotonía:
- En el intervalo \((-\infty,0)\), la función es creciente.
- En el intervalo \((0,4)\), la función es decreciente.
- En el intervalo \((4,\infty)\), la función es creciente.
Estudia la monotonía de la siguiente función:
\[f(x)=\dfrac{2x+4}{e^x}\]
Solución:
Para estudiar la monotonía, ya sabemos que tenemos que derivar la función:
\[f'(x)=\dfrac{-2x-2}{e^x}\]
Ahora, igualamos a cero para encontrar los intervalos:
\[f'(x)=0\Rightarrow \dfrac{-2x-2}{e^x}=0\]
\[-2(x+1)=0\]
\[x=-1\]
Por tanto, determinamos el signo de la derivada para calcular la monotonía de la función:
\((-\infty,-1)\) | \((-1,\infty)\) |
\(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) |
Tabla 2. Signo de la primera derivada de \(f(x)\).
A partir del signo de la derivada, podemos inferir que:
- En el intervalo \((-\infty,-1)\), la función es creciente.
- En el intervalo \((-1,\infty)\), la función es decreciente.
En los ejemplos anteriores hemos visto cómo calcular la monotonía según el signo de la primera derivada de la función. Pero, no hemos dicho nada sobre qué ocurre en los puntos en los que la primera derivada es nula. Veámoslo a continuación.
Calcular máximos y mínimos de una función variable
En realidad, ya lo mencionamos anteriormente, cuando definimos la monotonía de una función. En los puntos en los que la primera derivada es nula, hay un punto crítico: un máximo o un mínimo relativos.
Es decir, cuando igualamos la primera derivada a cero, los puntos en los que se cumple esta condición presentan un máximo o un mínimo. En principio, con solo esta información no podemos distinguir si son un máximo o un mínimo; ni saber si el máximo o mínimo es absoluto o relativo.
Calcular en una función: extremos relativos y absolutos
Vamos a ver la diferencia entre un extremo relativo y uno absoluto, de manera matemática.
- La función presenta un máximo absoluto en \(x=a\), si \(f(a)\) es mayor a la imagen de cualquier otro punto de la función.
- La función presenta un mínimo absoluto en \(x=a\), si \(f(a)\) es menor a la imagen de cualquier otro punto de la función.
- La función presenta un máximo relativo en \(x=a\), si \(f(a)\) es mayor que la imagen de los puntos en el entorno de \(a\).
- La función presenta un mínimo relativo en \(x=a\), si \(f(a)\) es menor que la imagen de los puntos en el entorno de \(a\).
Dicho de manera sencilla: un máximo absoluto es un punto de la función cuya imagen es mayor que el resto de imágenes de la función. Es decir, este es el punto más alto que encontramos en la función. El mínimo absoluto se define de manera análoga: se trata del punto más bajo de toda la función.
En cambio, el máximo relativo es un punto en el que en su entorno es el punto más alto, pero puede haber otros intervalos de la función en la que esta tenga puntos más altos que el máximo relativo. Lo equivalente ocurre con el mínimo relativo.
Fig. 1. Extremos relativos de una función. Podemos observar que el máximo no es absoluto, porque hay puntos de la función que están por encima del máximo. Lo mismo ocurre con el mínimo relativo.
Fig. 2: Mínimo absoluto de una función. Podemos observar que la imagen del mínimo es la más baja de toda la función.
Dicho esto, y a partir de la monotonía de una función, podemos deducir cuándo el extremo relativo es un máximo o un mínimo.
Si \(f'(a)=0\), en \(x=a\) hay un extremo relativo:
En los casos en los que \(f'(a)=0\), pero el entorno no cambia de monotonía, la función presenta un punto de inflexión.
Esto quiere decir que si sabemos que \(x=a\) es un extremo relativo porque la derivada en este punto es nula, si la función antes de este punto crece y luego decrece, este punto es un máximo. Mientras que si la función primero decrece y luego crece, este punto es un mínimo.
Vamos a hacer un ejemplo para entenderlo mejor:
Realiza un estudio de los extremos relativos de la función del primer ejemplo:
\[f(x)=x^3-6x^2+2\]
Solución:
Anteriormente, ya hemos hallado los puntos que representan extremos relativos y la monotonía de la función. Hemos visto que la derivada se anula en:
\[x=0\]
\[x=4\]
Y, además, hemos determinado que:
- La función es creciente en el intervalo \((-\infty,0)\).
- La función es decreciente en el intervalo \(0,4)\).
- La función es creciente en el intervalo \((4,\infty)\).
A partir de esto, podemos estudiar los extremos relativos:
- En \(x=0\), la función primero crece y luego decrece; por tanto, este es un máximo relativo.
- En \(x=4\), la función primer decrece y luego crece; por tanto, este es un mínimo relativo.
Las coordenadas de estos puntos son:
- Máximo en: \((0,f(0))\Rightarrow (0,2)\).
- Mínimo en: \((4,f(4)) \Rightarrow (4,-30)\).
Por tanto, hemos deducido el tipo de extremo, a partir de la monotonía de la función. Esto lo podemos observar, además, en la gráfica de esta función:
Fig. 3: Extremos relativos de la función \(f(x)\).
Como hemos visto en el ejemplo anterior, el estudio de los extremos solo da información sobre si son puntos relativos. Por eso, para saber si un extremo es un máximo o un mínimo absoluto, puedes representar la función y comprobar si hay otros puntos de la función por encima o por debajo de este punto.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento: ejercicios
Vamos a hacer unos ejercicios para practicar cómo calcular el crecimiento y decrecimiento de una función, así como los extremos relativos que pueda tener.
Estudia la monotonía y los extremos relativos de la siguiente función:
\[f(x)=x^4+3x^3-2x\]
Solución:
Calculamos la primera derivada de la función:
\[f'(x)=4x^3+9x^2-2\]
Ahora calculamos los puntos en los que la derivada es nula \(f'(x)=0\):
\[4x^3+9x^2-2=0\]
Puedes usar cualquier método para calcular las raíces de esta función:
\[(x-3)(x+1)(x-1)=0\]
Por tanto, las raíces son \(x=3\), \(x=1\) y \(x=-1\).
Estos puntos representan los extremos relativos de la función.
Ahora calculamos la monotonía de la función en los intervalos dados por estos puntos.
\((-\infty,-1)\) | \((-1,1)\) | \((1,3)\) | \((3,\infty)\) |
\(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) |
Tabla 3: Signo de la primera derivada de \(f(x)\).
Deducimos, entonces, la monotonía de la función:
- En el intervalo \((-\infty,-1)\), \(f(x)\) es decreciente.
- En el intervalo \((-1,1)\), \(f(x)\) es creciente.
- En el intervalo \((1,3)\), \(f(x)\) es decreciente.
- En el intervalo \((3,\infty)\) es creciente.
Sabiendo esto, podemos deducir los extremos relativos de la función:
- En \(x=-1\) la función presenta un mínimo relativo.
- En \(x=1\) la función presenta un máximo relativo.
- En \(x=3\) la función presenta un mínimo relativo.
Representemos la función para ver estos puntos:
Fig. 4: Mínimos y máximo de una función de ejemplo.
Como podemos observar en la representación gráfica de la función, los mínimos en \(x=-1\) y \(x=3\) son mínimos absolutos. Esto es porque en todo su dominio la función toma el valor mínimo en estos puntos.
Estudia la monotonía y los extremos relativos de la siguiente función:
\[f(x)\dfrac{x^2+4}{x-1}\]
Solución:
Como es una función racional, debemos tener en cuenta que puede tener discontinuidades en las que la monotonía cambie, sin necesidad de que haya un extremo relativo. Por ejemplo, puede haber un salto infinito. Por tanto, calculamos primero las discontinuidades.
En este caso, la función presenta una discontinuidad cuando el denominador se anula:
\[x=1\]
Debemos tener en cuenta este punto al determinar la monotonía de la función.
A continuación, hallamos la primera derivada de la función:
\[f'(x)=\dfrac{x^2-2x-4}{(x-1)^2}\]
A continuación, la igualamos a cero:
\[x^2-2x-4=0\]
Podemos usar la fórmula de Cardano para hallar las soluciones, obteniendo:
\[x=1+\sqrt{5}\approx 3{,}24\]
\[x=1-\sqrt{5}\approx -1{,}24\]
Determinamos los tramos de crecimiento y decrecimiento de la función en los tramos de los puntos anteriores.
\((-\infty,1-\sqrt{5})\) | \((1-\sqrt{5},1)\) | \((1,1+\sqrt{5})\) | \((1+\sqrt{5},\infty)\) |
\(f'(x)>0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)<0\) | \(f'(x)>0\) |
Tabla 5. Signo de la primera derivada de \(f(x)\).
A partir de estos datos, podemos decir que:
- En el intervalo \((-\infty,1-\sqrt{5})\), \(f(x)\) es creciente.
- En el intervalo \((1-\sqrt{5},1)\), \(f(x)\) es decreciente.
- En el intervalo \((1,1+\sqrt{5})\), \(f(x)\) es decreciente.
- En el intervalo \((1+\sqrt{5},\infty)\), \(f(x)\) es creciente.
Debido a esto, los extremos relativos son:
- En \(x=1-\sqrt{5}\), la función presenta un máximo relativo.
- En \(x=1+\sqrt{5}\), la función presenta un mínimo relativo.
Puedes observar cómo en \(x=1\) no hay ningún extremo, puesto que este punto no surge de la primera derivada, sino de la continuidad de la función. Realmente, en este punto hay una asíntota vertical con ecuación \(x=1\). Si representamos la función, podemos ver estos puntos:
Fig. 5. Extremos relativos de la función \(f(x)\).
Como puedes observar en la gráfica de esta función, que un punto representen un máximo relativo no implica que tenga que estar por encima del mínimo relativo, solo está por encima de su entorno. Lo mismo ocurre con el mínimo relativo.
Crecimiento y decrecimiento de una función -
Puntos clave
- Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de una función, primero debemos conocer los puntos de discontinuidad y la derivabilidad de la función.
- Si \(f(x)\) es derivable en \(p\), entonces:
- Si \(f'(p)>0\), \(f(x)\) es creciente en \(p\).
- Si \(f'(p)<0\), \(f(x)\) es decreciente en \(p\).
- Si \(f(x)\) presenta un máximo o un mínimo relativo en \(p\), entonces \(f'(p)=0\).
- La función presenta un máximo absoluto en \(x=a\), si \(f(a)\) es mayor a la imagen de cualquier otro punto de la función.
- La función presenta un mínimo absoluto en \(x=a\), si \(f(a)\) es menor a la imagen de cualquier otro punto de la función.
- La función presenta un máximo relativo en \(x=a\), si \(f(a)\) es mayor que la imagen de los puntos en el entorno de \(a\).
- La función presenta un mínimo relativo en \(x=a\), si \(f(a)\) es menor que la imagen de los puntos en el entorno de \(a\).
- Si \(f'(a)=0\), en \(x=a\) hay un extremo relativo:
- Si para \(x=0\) y para \(x>a\), \(f'(x)<0\), entonces \(x=a\) es un máximo relativo.
- Si para \(x=a\), \(f'(x)>0\), entonces \(x=a\) es un mínimo relativo.
- En los casos en los que \(f'(a)=0\) pero el entorno no cambia de monotonía, la función presenta un punto de inflexión.
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