Integrales de funciones exponenciales

Integra la función \(e^{2x+3}\), para obtener su primitiva:

Si hacemos la integral \(\int e^{2x+3}dx\), tenemos que \(a=2\) y \(b=3\).

Si aplicamos la fórmula:

\[\int e^{ax+b} dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b}+c\]

Obtenemos:

\[\int e^{2x+3} dx = \dfrac{1}{2} e^{2x+3}+c\]

Ahora, por curiosidad, vamos a derivarla para observar que nos dé la función que teníamos antes:

\[\dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{2} e^{2x+3}+c = \dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dx} e^{2x+3}+c\]

\[\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dx} e^{2x+3}+c= \dfrac{1}{2} e^{2x+3} \dfrac{d}{dx} {2x+3} \]

\[\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dx} e^{2x+3}+c= \dfrac{1}{2} e^{2x+3} 2 \]

\[\dfrac{1}{2} \dfrac{d}{dx} e^{2x+3}+c= e^{2x+3} \]

Podemos ver cómo la derivada y la integral son iguales.

Integra la función \(f(x)=e^{\frac{4}{5}x}+c\).

\[\int e^{\frac{4}{5}x}+c \]

Solución:

Aquí: \(a=\frac{4}{5}\) y \(b=0\).

Usando la fórmula, llegamos a:

\[\int e^{ax+b} dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b}+c\]

\[\int e^{\frac{4}{5} x} dx = \dfrac{5}{4} e^{\frac{4}{5}x}+c\]

Ahora, hagamos lo mismo: derivemos esta expresión para obtener nuestra función original y, así, verificar nuestros resultados.

\[\dfrac{d}{dx} \dfrac{5}{4} e^{\frac{4}{5}x}+c \]

Primero podemos dejar de lado la constante y tener:

\[\dfrac{5}{4} \dfrac{d}{dx} e^{\frac{4}{5}x}+c\]

Aquí, usando la regla de la cadena, la derivada de \( e^{\frac{4}{5}x}\) es la misma función. Después, debemos derivar el exponente:

\[\dfrac{5}{4} e^{\frac{4}{5}x} \dfrac{d}{dx} \dfrac{4}{5}x +c\]

Y esto es:

\[\dfrac{5}{4} e^{\frac{4}{5}x} \dfrac{4}{5}\]

Finalmente:

\[ e^{\frac{4}{5}x}\]

Calcula la integral de \(\int e^{2x+3} dx \).

Solución:

Al aplicar la fórmula de \(\int e^{bx+c} dx= \dfrac{1}{b} e^{bx+c} \), con \(b=2\):

\[\int e^{2x+3} dx= \dfrac{1}{2} e^{2x+3} +c\]

Calcula la integral de \(\displaystyle\int e^{(x+7)^2} dx\).

Solución:

Si hacemos un cambio de variable donde \(u=(x+7)\) y \(du=dx\) tenemos:

\[\int e^{(x+7)^2} dx = \int e^{u^2} du\]

Al aplicar la fórmula donde \(n=2\):

\[\sum^{\infty}_{i=0}\dfrac{u^{2i+1}}{i!(2i+1)} \]

Y, regresando a la función original:

\[\sum^{\infty}_{i=0}\dfrac{(x+7)^{2i+1}}{i!(2i+1)} \]

Aquí se dice que la integral converge, cuantos más términos de las suma obtengas. Este es un ejemplo de una integral que no puede ser calculada analíticamente.

Calcula \(\displaystyle\int \sin(x)e^xdx\).

Solución:

Elegimos las funciones para hacer integración por partes:

\[u=\sin(x)\Rightarrow du=\cos(x)dx\]

\[dv=e^x dx\Rightarrow v=e^x\]

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

\[\int \sin(x)e^x dx=\sin(x)e^x-\int \cos(x)e^x dx\]

Al tener otra integral de una función trigonométrica por una exponencial, podemos volver a aplicar la integración por partes en esta integral:

\[u=\cos(x)\Rightarrow du=-\sin(x)dx\]

\[dv=e^x\Rightarrow v=e^x\]

\[\int \sin(x)e^x dx=\sin(x)e^x-\int \cos(x)e^x dx=\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int \sin(x)e^xdx\]

Como puedes observar, hemos llegado a la misma integral que la original que queríamos resolver. En este caso, lo que podemos hacer es tratar a esta integral como una variable. Por tanto, podemos pasarla al otro lado de la igualdad; lo que queda como:

\[2\int \sin(x)e^x dx=\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\]

Despejando, obtenemos el valor de la integral:

\[\int \sin(x)e^x dx=\dfrac{\sin(x)e^x-\cos(x)e^x}{2}\]

Este tipo de integrales se llaman cíclicas, puesto que se repiten a lo largo del proceso de integración.