Has visto en muchos de tus libros de cálculo gráficas de funciones: la mayoría de ellas son parábolas, curvas o rectas. Puedes seguirlas todas, con tu dedo, si lo pones sobre la línea de gráfica.
Pero, ¿qué pasaría si rompes una función en dos? Esta es una pregunta interesante, ¿no es así? Pues, una función partida en dos sigue siendo una función... ¿o, no? La respuesta es sí: se puede definir como una función por partes o función a trozos.
Una función definida a trozos es una función que está dividida en su dominio en varias funciones.
Fig. 1: Función definida a trozos.
Cómo definir una función a trozos
Veamos primero un ejemplo físico, para que entiendas un poco más cómo funciona.
Supongamos que quieres representar gráficamente la velocidad, dirección y posición de un pez mientras nada. Primero ,el pez se mueve hacia el este; después, el pez para y la corriente lo mueve hacia el norte; nuevamente, el pez se mueve, pero ahora en dirección este, a velocidad constante hacia el noreste.
Puedes ver la gráfica del proceso a continuación:
Fig. 2: Función definida a trozos.
Debido a que la recta vertical no es una función —ya que un valor de x tiene varios valores de y— solo las rectas \(f\) y \(g\) son funciones válidas. Por lo tanto, la posición y movimiento del pez están compuestos por dos funciones separadas entre sí.
De hecho esta función no solo está definida por trozos, si no que también tiene una discontinuidad de tipo salto. Es común, de hecho, que las funciones con una discontinuidad sean funciones definidas a trozos, si la discontinuidad es de tipo esencial.
En este caso una función definida a trozos se puede definir, simplemente, como una función compuesta por funciones individuales con su propio dominio. Si lo quieres expresar en notación matemática, esto se puede definir usando la notación funcional. En esta notación se define como una función \(f(x)\) compuesta de otras funciones con su propio dominio.
Veamos un ejemplo:
Se tiene las siguientes funciones:
\[h(x) = x^{2}+2x+1, \space \space x\in(-\infty,0)\]
\[g(x)=x+2, \space x\in[0,\infty)\]
En este caso, se puede crear una sola función —que esté formada por ambas funciones—, de la siguiente manera:
\[f(x)=\left\{\begin{array}\space x^2+2x+1,\space x\in(-\infty,0)\\x+2, \space x\in[0,\infty)\end{array}\right.\]
Dominio de funciones definidas a trozos
El dominio de una función definida a trozos es muy fácil de definir: está compuesto por el dominio de las funciones individuales. Por ejemplo, si la función \(f(x)\) está compuesta por \(g(x)\) y \(h(x)\), el dominio de \(f(x)\) es la suma de los dominios de \(g(x)\) y \(h(x)\).
Volvamos al ejemplo que usamos antes.
El dominio de las funciones individuales es:
\[h(x)=x\in(-\infty,0)\]
\[g(x)=x\in[0,\infty)\]
Por lo que el dominio de \(f(x)\) es:
\[x\in(-\infty,0)\cup[0,\infty)=(-\infty,\infty)=\mathbb R\]
Cabe decir que, por suma, nos referimos a la unión de los dominios de las funciones.
Límites de funciones definidas a trozos
Debido a que las funciones a trozos están formadas por varias funciones, sus límites pueden ser algo curiosos. Si recuerdas de tus clases de cálculo, o si lees nuestro artículo sobre Continuidad en una función, una función puede:
Ser continua; es decir, que no tiene saltos y que en todos los puntos donde \(x\) tiene un valor existe un valor de \(y\).
Ser discontinua, la función posee saltos o puntos donde no existe.
Esto es algo problemático para una función definida a trozos; ya que si las partes de la función no están conectadas entre sí, entonces existirán saltos. Esto lo podemos ver en la imagen inferior del ejemplo del pez (Fig. 2).
En general, se puede decir que si los trozos de la función están conectados, la función es continua. Pero, ¿cómo sabes esto, si no tienes una gráfica?: Sencillo, aplicas el concepto de límite.
Veamos un ejemplo.
La función a trozos está definida como:
\[f(x)=\left\{\begin{array}\space x^{2}+3,\space x\in(-\infty,1]\\x+3, \space x\in[1,\infty)\end{array}\right.\]
¿Es esta función continua?
Solución:
Para saberlo, debemos evaluar el límite de la función cuando se acerca a \(1\) por la izquierda y a \(1\) por la derecha.
Por la izquierda, esto es evaluar la función \(x^2+3\); lo cual nos da:
\[\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x^2+3=1^2+3=4\]
Por la derecha, es la función \(x+3\); lo cual nos da:
\[\displaystyle\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}x+3=1+3=4\]
Por lo tanto, los límites laterales de la función \(x=1\) son 4. Así que \(f(x)\) existe en \(1\), y los límites a \(1\) son el mismo; por lo tanto, es continua.
Ten en cuenta que, aunque la función no está definida en \(1\) en el primer tramo, el límite sí que se puede calcular.
Representar funciones definidas a trozos
Para representar una función definida a trozos, lo que debes hacer es simplemente representar gráficamente en el dominio en el cual están definidas. Por ejemplo, si la función \(x^2\) solo está definida en el dominio de \((-\infty,0)\), entonces solo debes representar gráficamente la función en los negativos. Si, después de eso, la segunda función es una recta, lo que debes hacer es dibujar una recta de 0 a infinito.
Veamos un ejemplo:
Se tiene la siguiente función por partes:
\[f(x)=\left\{\begin{array}\space x^{3}+2x^{2}+x+1,\space x\in(-\infty,-2]\\x+3, \space x\in[-2,\infty)\end{array}\right.\]
En este caso, primero debes dibujar la gráfica del primer trozo; esta solo llegará hasta \(-2\).
Fig. 3: Función definida por partes o trozos.
Ahora, debes dibujar la gráfica del segundo trozo; esta irá de \(-2\) en adelante.
Fig 4: Función definida por partes (o trozos).
Por supuesto, esto lo puedes hacer en tu ordenador o en tu calculadora con gráficas. Pero, ¿qué para si no los tienes a mano? Por lo general, en esos casos tienes que sustituir algunos puntos importantes de la gráfica, dibujarlos y después unirlos; esto lo veremos en uno de los ejemplos más adelante.
Ejercicios funciones definidas a trozos
Hagamos algunos ejercicios, para que entrenes un poco lo que has leído. Empecemos por el dominio de las funciones.
¿Cuál es el dominio de la función a trozos definida por las siguientes funciones?:
\[f(x)=\left\{\begin{array}\space x^{5}+\sin x,\space x\in(-1,5)\\x+\cos x, \space x\in[5,8)\end{array}\right.\]
Solución:
Si recuerdas, el dominio es la unión de los dominios individuales; lo cual es:
\[x\in(-1,5)\cup [5,8)\]
Esto te da:
\[x\in(-1,8)\]
Ahora, ¿qué pasa si no hay un punto común?
¿Cuál es el dominio de la función a trozos, cuyas funciones tienen los siguientes dominios?:
\[f(x)=\left\{\begin{array}\space x,\space x\in(-\infty,-2)\\x+1, \space x\in[4,\infty)\end{array}\right.\]
En este caso, el dominio de \(f(x)\) está partido y tiene una discontinuidad de tipo esencial:
\[x\in(\infty,-2)\cup [4,\infty)\]
Esto no se puede unir.
Volvamos al primer ejemplo y veamos su límite:
En el primer ejemplo de esta sección definimos que las funciones tienen el siguiente dominio:
\[x\in(-1,8)\]
Esto se debe a que se podían unir los dominios. Pero, ¿es continua?
Vemos que, al ser dos funciones distintas en el punto \(x=5\), es probable haya una discontinuidad de tipo salto. Para comprobar si es así, tomamos los límites por la izquierda y la derecha de \(x=5\).
Primero, el límite por la izquierda:
\[\displaystyle\lim_{x\to 5^-}x^5+\sin x=3124,04\]
Ahora, por la izquierda:
\[\displaystyle\lim_{x\to 5^+}x+\cos x=5,28\]
Como podemos ver, la función es continua en su dominio pero el límite por la derecha y por la izquierda no coinciden, por lo que hay un salto y la función no es continua.
En una función a trozos, siempre es importante resolver los límites para saber qué sucede.
Veamos ahora la continuidad y las gráficas.
Supongamos que se tiene la siguiente función definida a trozos:
\[f(x)=\left\{\begin{array}\space x,\space x^2\in(-\infty,0]\\x, \space x\in(0,\infty)\end{array}\right.\]
¿Cuál es el dominio de la función? ¿Es continua? ¿Cómo la representamos?
Solución:
En primer lugar, el dominio de la función es la unión de ambos; así que:
\[x\in(-\infty,0] \cup (0, \infty]= x\in(-\infty,\infty)=\mathbb R\]
Por lo tanto, el dominio son todos los reales.
En cuanto a su continuidad, podemos hallar el límite tanto por la izquierda como por la derecha:
\[\displaystyle\lim_{x\to 0^-}x^2=0\]
\[\displaystyle\lim_{x\to 0^-}x=0\]
Como podemos ver, nos acercamos al valor de \(f(x)=0\) en ambos lados; por lo cual, podemos deducir que esta función es continua, ya que el límite por la izquierda y la derecha son los mismos. Además, el valor de \(0\) está en el dominio.
Ahora, intentemos dibujar la gráfica. Primero, podemos observar que la primera gráfica será una parábola y podemos sustituir valores como \(x=-3\), \(x=-2\) y \(x=-1\) para trazar la gráfica.
Fig. 5: Problemas de funciones por trozos.
La siguiente gráfica es una recta con pendiente igual a \(1\), así que cada valor de \(x\) es igual a \(y\); por lo cual, simplemente unimos el punto donde acaba la parábola y seguimos con una recta. Sustituimos valores \(x=1\), \(x=2\) y \(x=3\) y después trazamos.
Fig. 6: Problemas de funciones por trozos.
Funciones definidas a trozos - Puntos clave
- Una función a trozos es aquella que está definida por varias funciones individuales en su dominio.
- El dominio de una función a trozos es igual a la unión del dominio de las funciones que la componen.
- Una función a trozos puede ser no continua; esto depende de si la función tiene un salto o no está definida en una sección del dominio.
- Para poder estudiar la continuidad de una función por trozos, debes tomar el límite de la función por la izquierda o la derecha en los puntos donde se une.
- Para representar una función a trozos, debes representar cada función solo en el dominio que le corresponde.
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