Para una función \(f(x)\), que es continua en el intervalo cerrado \([a, b]\), es posible calcular la integral entre los límites, \(a\) y \(b\).
Una integral calculada entre dos límites se llama integral definida.
Integrales definidas
Una integral definida suele producir un valor; a diferencia de una integral indefinida, que produce una función.
Las integrales definidas se representan de la misma manera que las indefinidas, pero los límites se añaden como subíndice y superíndice en el signo de integración.
Por ejemplo, si queremos integrar, \(x^2\) entre los límites \(5\) y \(8\), la notación correspondiente sería: \(\int^8_x x^2 dx\).
Cálculo de integrales definidas
¿Cómo se resuelven estas integrales? Para resolver integrales definidas, sigue el siguiente procedimiento:
No incluyas la constante de integración, \(C\).
- Escribe el resultado en la forma \([f(x)^b_a]\).
Esto te da el valor final.
¿Te preguntas por qué no incluimos aquí la constante de integración?
Supongamos que incluimos \(C\) en nuestra evaluación de \(f(x)\). Llamémosle \(g(x)\) .
En ese caso, el valor es: \(g(x)=f(x)+C\) .
Entonces, evaluaríamos la \(g(x)\) entre los límites dados:
\[g(b)-g(a)=\left( f(b)+C\right)-\left(f(a)+C \right)=f(b)-f(a)\]
Así que puedes ver que la constante de integración se anula al final. Por eso no la incluimos en los cálculos, en primer lugar.
Evalúa: \(\int^7_1 5x^2dx\)
Solución:
\[\int^7_1 5x^2dx\]
\[\left[\dfrac{5x^3}{3}\right]^7_1\]
\[ \left( \dfrac{5x^3}{3} \cdot 7^3 \right) - \left( \dfrac{5x^3}{3} \cdot 1^3 \right)\]
\[570\]
Integrales definidas y área bajo la curva
La integración es una herramienta muy útil para encontrar el área bajo una gráfica. En el ejemplo anterior, estamos encontrando el área encerrada entre el eje \(x\) y la curva \(f(x)=5x^2\), entre \(x=1\) y \(x=7\).
Podemos representar gráficamente el ejemplo anterior de la siguiente manera:
Fig. 1: Gráfica donde las rectas muestran al área entre las funciones \(y=-1\) y \(y=5\).
La curva de la gráfica anterior representa \(f(x)=5x^2\). Como se mencionó, el valor de la integral definida entre \(1\) y \(7\) da el área encerrada entre la curva y el eje \(x\) entre \(x=1\) y \(x=7\).
Evalúa: \(\int^1_{0{,}5} \cos(x)dx\)
Solución:
\[\int^1_{0{,}5} \cos(x)dx\]
\[\left[ \sin(x) \right]^1_{0{,}5}\]
\[\sin(1)-\sin(0{,}5)\]
\[0{,}841-0{,}479\]
\[0{,}362\]
Al igual que en el ejemplo anterior, el valor anterior nos da el área encerrada entre la curva \(y=\cos(x)\) y las lineas verticales \(x=0{,}5\) y \(x=1\) .
Consulta la siguiente imagen para ver una demostración clara:
Fig. 2: Gráfica donde se muestra el área entre los puntos \(x=0{,}5\) y \(x=1\) para la función coseno.
Dada la siguiente función \(\int^5_1(2Px+7)dx=4P^2\), demuestra que hay dos valores posibles de\(P\) y encuéntralos.
Solución:
Calculamos la integral definida:
\[ \int^5_1(2Px+7)dx=\left[ Px^2+7x \right]^5_1=24P+28\]
Ahora resolvemos la ecuación:
\[24P+28=4P^2\]
\[6P+7=P^2\]
\[P^2-6P-7=0\]
\[(P+1)(P-7)=0\]
Por lo tanto, el valor de \(P\) puede ser \(-1\) o \(7\).
Hallar el área cerrada limitada por la curva siguiente y el eje \(x\): \(y=x(x-5)\).
Solución:
Para encontrar el área delimitada por la curva y el eje \(x\), vamos a identificar los puntos en los que la curva se cruza con el eje; es decir, donde la función es igual a \(0\).
\[x(x-5)=0\]
\[x=0, x=5\]
Así que la curva interseca el eje \(x\) en: \((0;0)(5;0)\). Por lo que \(0\) y \(5\) sirven como límites inferior y superior para nuestra integral definida.
Así, el área total es:
\[\int^5_0(x)(x-5)dx\]
\[\left[ \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}\right]^5_0\]
\[\dfrac{125}{3}-\dfrac{125}{2}-(0-0)=-20{,}83\]
Un área negativa limitada por una curva
En el ejemplo anterior, el área resulta ser un valor negativo. ¿Qué significa esto?
Implica que el área delimitada por la curva y el eje \(x\) cae por debajo del eje \(x\); es decir, el lado negativo del eje \(x\).
Si dibujamos una curva como: \(f(x)=x(x-5)\), obtenemos lo siguiente:
Fig. 3: Área bajo la curva, debajo del eje de las \(x\) en \(y=0\). StudySmarter originales.
Como podemos ver aquí, el área delimitada por la curva cae por debajo del eje \(x\). El área delimitada por la curva y el eje x que cae por encima del eje \(x\) da un valor positivo para \(\int f(x) dx\), y el área delimitada por la curva y el eje \(x\) que cae por debajo del eje \(y\) da un valor negativo para \(\int f(x) dx\).
Ahora veamos qué pasa si queremos encontrar toda la magnitud del área encerrada entre una curva y el eje \(x\), cuando parte de ella cae por encima del eje \(x\), y parte cae por debajo del eje \(x\). En estos casos, tendríamos que encontrar las dos áreas individualmente y sumar sus magnitudes, sin tener en cuenta su signo.
Si tomamos una única integral definida sobre toda el área, el valor resultante sería el [(área encerrada por encima del eje \(x\)) - (área encerrada por debajo del eje \(x\))]).
Integrales definidas por partes
Cuando se tiene una integral que se debe resolver por partes y esta integral es definida como \(f(x)\)siguiente, que consiste en \(g(x)\) y \(h(x)\):
\[\int^b_a u \cdot dv = u \cdot v |^b_a - \int^b_a v \cdot du \]
\[u=g(x)\]
\[v=f(x)\]
En estos casos, se debe primero resolver la antiderivada; esto significa resolver la integral por partes. Después de esto, el resultado de esta integral se debe evaluar en los límites originales de la función:
\[\int^b_a u \cdot dv = u \cdot v |^b_a - \int^b_a v \cdot du = f(x)^b_a \]
Tabla con integrales definidas
Es usual encontrar tablas con integrales indefinidas; estas te dan la antiderivada, pero sin estar evaluada: bueno, te daremos una tabla de integrales definidas.
¡La tabla tiene las funciones más usuales que encontrarás, su solución y cómo debes evaluarlas!
| Función | Integral definida |
| \(e^x\) | \(\int^b_a e^x dx=e^b-e^a \) |
| \(ln(x)\) | \(\int^b_a ln(x)dx=\left( b \cdot ln(b) -b \right)-\left(a \cdot ln(a)-a \right) \) |
| \(n^x\) | \(\int^b_a n^x dx= n{b}-n{a} \) |
| \(Log_n(x)\) | \(\int^b_a log_n(x)dx=\left( b \cdot log_n(b) -b \right)-\left(a \cdot log_n(a)-a \right) \) |
| \(\sin(x)\) | \(\int^b_a \sin(x)dx=\cos(b)-\cos(a)\) |
| \(\cos(x)\) | \(\int^b_a \cos(x)dx=-\left( \sin(b)-\sin(a) \right)\) |
| \(\tan(x)\) | \(\int^b_a \tan(x)dx=ln|\cos(b)|-ln|\cos(a)|\) |
| \(x^n\) | \(\int^b_a x^ndx \dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{n}{x^m}\) | \(\int^b_a \dfrac{n}{x^m}=n\dfrac{b^{1-m}-a^{1-m}}{1-m}\) |
Tabla 2: Integrales definidas de las funciones más comunes.
Integrales definidas - Puntos clave
- Para una función \(f(x)\) que es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\), es posible calcular la integral entre los límites, \(a\) y \(b\).
- Una integral calculada entre dos límites se llama integral definida. Se expresa como: \(\int^b_a f(x)dx\).
- Una integral definida da como resultado un valor; a diferencia de una integral indefinida, que produce una función.
- El valor de la integral definida nos da el área encerrada entre la curva y el eje \(x\) dentro del intervalo \([a, b]\) .
- Si el área encerrada por la curva y el eje \(x\) cae por encima del eje \(x\), da un valor positivo para la integral, y si el área cae por debajo del eje \(x\), da un valor negativo para la integral.
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