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Una integral calculada entre dos límites se llama integral definida.
- En primer lugar veremos qué son las integrales definidas.
- Después aprenderemos a calcular las integrales definidas.
- Luego, repasaremos las integrales definidas y el área bajo la curva.
- Estudiaremos un área negativa limitada por una curva.
- También veremos las integrales definidas por partes.
- Por último, te mostramos una tabla con integrales definidas.
Integrales definidas
Una integral definida suele producir un valor; a diferencia de una integral indefinida, que produce una función.
Las integrales definidas se representan de la misma manera que las indefinidas, pero los límites se añaden como subíndice y superíndice en el signo de integración.
Por ejemplo, si queremos integrar, \(x^2\) entre los límites \(5\) y \(8\), la notación correspondiente sería: \(\int^8_x x^2 dx\).
Calcular integrales definidas
¿Cómo se resuelven estas integrales? Para realizar el cálculo de integrales definidas, sigue el siguiente procedimiento:
Escribe la integral definida con sus límites en la forma \(\int^b_a f(x) dx\).
Integra la función \(f'(x)\) de la misma manera en la que lo harías en una integral indefinida para encontrar \(f(x)\).
No incluyas la constante de integración, \(C\).
- Escribe el resultado en la forma \([f(x)^b_a]\).
Ahora, evalúa \(f(x)\) entre los límites dados y resta los valores: \(f(b)-f(a)\).
Esto te da el valor final.
¿Te preguntas por qué no incluimos aquí la constante de integración?
Supongamos que incluimos \(C\) en nuestra evaluación de \(f(x)\). Llamémosle \(g(x)\) .
En ese caso, el valor es: \(g(x)=f(x)+C\) .
Entonces, evaluaríamos la \(g(x)\) entre los límites dados:
\[g(b)-g(a)=\left( f(b)+C\right)-\left(f(a)+C \right)=f(b)-f(a)\]
Así que puedes ver que la constante de integración se anula al final. Por eso no la incluimos en los cálculos, en primer lugar.
Evalúa: \(\int^7_1 5x^2dx\).
Solución:
\[\int^7_1 5x^2dx\]
\[\left[\dfrac{5x^3}{3}\right]^7_1\]
\[ \left( \dfrac{5x^3}{3} \cdot 7^3 \right) - \left( \dfrac{5x^3}{3} \cdot 1^3 \right)\]
\[570\]
Integrales definidas y área bajo la curva
La integración es una herramienta muy útil para encontrar el área bajo una gráfica. En el ejemplo anterior, estamos encontrando el área encerrada entre el eje \(x\) y la curva \(f(x)=5x^2\), entre \(x=1\) y \(x=7\).
Podemos representar gráficamente el ejemplo anterior de la siguiente manera:
Fig. 1: Gráfica donde las rectas muestran al área entre las funciones \(y=-1\) y \(y=5\).
La curva de la gráfica anterior representa \(f(x)=5x^2\). Como se mencionó, el valor de la integral definida entre \(1\) y \(7\) da el área encerrada entre la curva y el eje \(x\) entre \(x=1\) y \(x=7\).
Evalúa: \(\int^1_{0{,}5} \cos(x)dx\).
Solución:
\[\int^1_{0{,}5} \cos(x)dx\]
\[\left[ \sin(x) \right]^1_{0{,}5}\]
\[\sin(1)-\sin(0{,}5)\]
\[0{,}841-0{,}479\]
\[0{,}362\]
Al igual que en el ejemplo anterior, el valor anterior nos da el área encerrada entre la curva \(y=\cos(x)\) y las lineas verticales \(x=0{,}5\) y \(x=1\).
Consulta la siguiente imagen para ver una demostración clara:
Fig. 2: Gráfica donde se muestra el área entre los puntos \(x=0{,}5\) y \(x=1\) para la función coseno.
Dada la siguiente función \(\int^5_1(2Px+7)dx=4P^2\), demuestra que hay dos valores posibles de\(P\) y encuéntralos.
Solución:
Calculamos la integral definida:
\[ \int^5_1(2Px+7)dx=\left[ Px^2+7x \right]^5_1=24P+28\]
Ahora resolvemos la ecuación:
\[24P+28=4P^2\]
\[6P+7=P^2\]
\[P^2-6P-7=0\]
\[(P+1)(P-7)=0\]
Por lo tanto, el valor de \(P\) puede ser \(-1\) o \(7\).
Hallar el área cerrada limitada por la curva siguiente y el eje \(x\): \(y=x(x-5)\).
Solución:
Para encontrar el área delimitada por la curva y el eje \(x\), vamos a identificar los puntos en los que la curva se cruza con el eje; es decir, donde la función es igual a \(0\).
\[x(x-5)=0\]
\[x=0, x=5\]
Así que la curva interseca el eje \(x\) en: \((0;0)(5;0)\). Por lo que \(0\) y \(5\) sirven como límites inferior y superior para nuestra integral definida.
Así, el área total es:
\[\int^5_0(x)(x-5)dx\]
\[\left[ \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}\right]^5_0\]
\[\dfrac{125}{3}-\dfrac{125}{2}-(0-0)=-20{,}83\]
Un área negativa limitada por una curva
En el ejemplo anterior, el área resulta ser un valor negativo. ¿Qué significa esto?
Implica que el área delimitada por la curva y el eje \(x\) cae por debajo del eje \(x\); es decir, el lado negativo del eje \(x\).
Si dibujamos una curva como: \(f(x)=x(x-5)\), obtenemos lo siguiente:
Fig. 3: Área bajo la curva, debajo del eje de las \(x\) en \(y=0\). StudySmarter originales.
Como podemos ver aquí, el área delimitada por la curva cae por debajo del eje \(x\). El área delimitada por la curva y el eje x que cae por encima del eje \(x\) da un valor positivo para \(\int f(x) dx\), y el área delimitada por la curva y el eje \(x\) que cae por debajo del eje \(y\) da un valor negativo para \(\int f(x) dx\).
Ahora veamos qué pasa si queremos encontrar toda la magnitud del área encerrada entre una curva y el eje \(x\), cuando parte de ella cae por encima del eje \(x\), y parte cae por debajo del eje \(x\). En estos casos, tendríamos que encontrar las dos áreas individualmente y sumar sus magnitudes, sin tener en cuenta su signo.
Si tomamos una única integral definida sobre toda el área, el valor resultante sería el [(área encerrada por encima del eje \(x\)) - (área encerrada por debajo del eje \(x\))]).
Integrales definidas por partes
Cuando se tiene una integral que se debe resolver por partes y esta integral es definida como \(f(x)\)siguiente, que consiste en \(g(x)\) y \(h(x)\):
\[\int^b_a u \cdot dv = u \cdot v |^b_a - \int^b_a v \cdot du \]
\[u=g(x)\]
\[v=f(x)\]
En estos casos, se debe primero resolver la antiderivada; esto significa resolver la integral por partes. Después de esto, el resultado de esta integral se debe evaluar en los límites originales de la función:
\[\int^b_a u \cdot dv = u \cdot v |^b_a - \int^b_a v \cdot du = f(x)^b_a \]
Tabla con integrales definidas
Es usual encontrar tablas con integrales indefinidas; estas te dan la antiderivada, pero sin estar evaluada: bueno, te daremos una tabla de integrales definidas.
¡La tabla tiene las funciones más usuales que encontrarás, su solución y cómo debes evaluarlas!
| Función | Integral definida |
| \(e^x\) | \(\int^b_a e^x dx=e^b-e^a \) |
| \(\ln(x)\) | \(\int^b_a \ln(x)dx=\left( b \cdot \ln(b) -b \right)-\left(a \cdot \ln(a)-a \right) \) |
| \(n^x\) | \(\int^b_a n^x dx= n{b}-n{a} \) |
| \(\log_n(x)\) | \(\int^b_a \log_n(x)dx=\left( b \cdot \log_n(b) -b \right)-\left(a \cdot \log_n(a)-a \right) \) |
| \(\sin(x)\) | \(\int^b_a \sin(x)dx=\cos(b)-\cos(a)\) |
| \(\cos(x)\) | \(\int^b_a \cos(x)dx=-\left( \sin(b)-\sin(a) \right)\) |
| \(\tan(x)\) | \(\int^b_a \tan(x)dx=\ln|\cos(b)|-\ln|\cos(a)|\) |
| \(x^n\) | \(\int^b_a x^ndx \dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{n}{x^m}\) | \(\int^b_a \dfrac{n}{x^m}=n\dfrac{b^{1-m}-a^{1-m}}{1-m}\) |
Tabla 2: Integrales definidas de las funciones más comunes.
Integrales definidas - Puntos clave
- Para una función \(f(x)\) que es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\), es posible calcular la integral entre los límites, \(a\) y \(b\).
- Una integral calculada entre dos límites se llama integral definida. Se expresa como: \(\int^b_a f(x)dx\).
- Una integral definida da como resultado un valor; a diferencia de una integral indefinida, que produce una función.
- El valor de la integral definida nos da el área encerrada entre la curva y el eje \(x\) dentro del intervalo \([a, b]\) .
- Si el área encerrada por la curva y el eje \(x\) cae por encima del eje \(x\), da un valor positivo para la integral, y si el área cae por debajo del eje \(x\), da un valor negativo para la integral.
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Preguntas frecuentes sobre Integrales definidas
¿Cómo se calculan las integrales definidas?
Para calcular una integral definida se deben insertar los valores de los límites en los valores de x.
- El límite superior, primero, y luego calcular el valor numérico de la expresión con ese valor de x.
- Después, se debe sustituir el límite inferior y calcular el valor de la expresión nuevamente.
- Como punto final, se debe restar el segundo resultado (que corresponde al límite inferior) del primero (que corresponde al superior).
¿Cuál es el resultado de la integral definida?
El resultado de una integral definida es un valor numérico, y corresponde al valor del área bajo la curva de la función que se está integrando.
¿Cómo saber si una integral es definida?
Si la integral tiene valores numéricos en los extremos del símbolo de integral ∫, es una integral definida.
Por ejemplo, ∫a indica que a es el límite superior de esa integral, mientras ∫b indica el límite inferior.
¿Cómo se resuelven las integrales definidas?
- Primero, se debe encontrar la antiderivada, que significa resolver la integral mediante alguno de los métodos conocidos, ya sea por parte, sustitución, trigonométrica, etc.
- Después, se deben sustituir los valores de los límites en la integral.
- Posteriormente, calcular el valor total, usando solo el valor superior a, y el valor total, usando solo el valor inferior b.
- Para finalizar, se debe hacer la resta: f(b)-f(a).
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