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Integrales definidas

Integrales definidas

Para una función \(f(x)\), que es continua en el intervalo cerrado \([a, b]\), es posible calcular la integral entre los límites, \(a\) y \(b\).

Una integral calculada entre dos límites se llama integral definida.

Integrales definidas

Una integral definida suele producir un valor; a diferencia de una integral indefinida, que produce una función.

Las integrales definidas se representan de la misma manera que las indefinidas, pero los límites se añaden como subíndice y superíndice en el signo de integración.

Por ejemplo, si queremos integrar, \(x^2\) entre los límites \(5\) y \(8\), la notación correspondiente sería: \(\int^8_x x^2 dx\).

Cálculo de integrales definidas

¿Cómo se resuelven estas integrales? Para resolver integrales definidas, sigue el siguiente procedimiento:

  • Escribe la integral definida con sus límites en la forma \(\int^b_a f(x) dx\)

  • Integra la función \(f'(x)\) de la misma manera en la que lo harías en una integral indefinida para encontrar \(f(x)\).

No incluyas la constante de integración, \(C\).

  • Escribe el resultado en la forma \([f(x)^b_a]\).
  • Ahora, evalúa \(f(x)\) entre los límites dados y resta los valores: \(f(b)-f(a)\).

Esto te da el valor final.

¿Te preguntas por qué no incluimos aquí la constante de integración?

Supongamos que incluimos \(C\) en nuestra evaluación de \(f(x)\). Llamémosle \(g(x)\) .

En ese caso, el valor es: \(g(x)=f(x)+C\) .

Entonces, evaluaríamos la \(g(x)\) entre los límites dados:

\[g(b)-g(a)=\left( f(b)+C\right)-\left(f(a)+C \right)=f(b)-f(a)\]

Así que puedes ver que la constante de integración se anula al final. Por eso no la incluimos en los cálculos, en primer lugar.

Evalúa: \(\int^7_1 5x^2dx\)

Solución:

\[\int^7_1 5x^2dx\]

\[\left[\dfrac{5x^3}{3}\right]^7_1\]

\[ \left( \dfrac{5x^3}{3} \cdot 7^3 \right) - \left( \dfrac{5x^3}{3} \cdot 1^3 \right)\]

\[570\]

Integrales definidas y área bajo la curva

La integración es una herramienta muy útil para encontrar el área bajo una gráfica. En el ejemplo anterior, estamos encontrando el área encerrada entre el eje \(x\) y la curva \(f(x)=5x^2\), entre \(x=1\) y \(x=7\).

Podemos representar gráficamente el ejemplo anterior de la siguiente manera:

Integrales definidas integrales definidas áreas StudySmarterFig. 1: Gráfica donde las rectas muestran al área entre las funciones \(y=-1\) y \(y=5\).

La curva de la gráfica anterior representa \(f(x)=5x^2\). Como se mencionó, el valor de la integral definida entre \(1\) y \(7\) da el área encerrada entre la curva y el eje \(x\) entre \(x=1\) y \(x=7\).

Evalúa: \(\int^1_{0{,}5} \cos(x)dx\)

Solución:

\[\int^1_{0{,}5} \cos(x)dx\]

\[\left[ \sin(x) \right]^1_{0{,}5}\]

\[\sin(1)-\sin(0{,}5)\]

\[0{,}841-0{,}479\]

\[0{,}362\]

Al igual que en el ejemplo anterior, el valor anterior nos da el área encerrada entre la curva \(y=\cos(x)\) y las lineas verticales \(x=0{,}5\) y \(x=1\) .

Consulta la siguiente imagen para ver una demostración clara:

Integrales definidas integrales definidas áreas StudySmarter Fig. 2: Gráfica donde se muestra el área entre los puntos \(x=0{,}5\) y \(x=1\) para la función coseno.

Dada la siguiente función \(\int^5_1(2Px+7)dx=4P^2\), demuestra que hay dos valores posibles de\(P\) y encuéntralos.

Solución:

Calculamos la integral definida:

\[ \int^5_1(2Px+7)dx=\left[ Px^2+7x \right]^5_1=24P+28\]

Ahora resolvemos la ecuación:

\[24P+28=4P^2\]

\[6P+7=P^2\]

\[P^2-6P-7=0\]

\[(P+1)(P-7)=0\]

Por lo tanto, el valor de \(P\) puede ser \(-1\) o \(7\).

Hallar el área cerrada limitada por la curva siguiente y el eje \(x\): \(y=x(x-5)\).

Solución:

Para encontrar el área delimitada por la curva y el eje \(x\), vamos a identificar los puntos en los que la curva se cruza con el eje; es decir, donde la función es igual a \(0\).

\[x(x-5)=0\]

\[x=0, x=5\]

Así que la curva interseca el eje \(x\) en: \((0;0)(5;0)\). Por lo que \(0\) y \(5\) sirven como límites inferior y superior para nuestra integral definida.

Así, el área total es:

\[\int^5_0(x)(x-5)dx\]

\[\left[ \dfrac{x^3}{3}-\dfrac{5x^2}{2}\right]^5_0\]

\[\dfrac{125}{3}-\dfrac{125}{2}-(0-0)=-20{,}83\]

Un área negativa limitada por una curva

En el ejemplo anterior, el área resulta ser un valor negativo. ¿Qué significa esto?

Implica que el área delimitada por la curva y el eje \(x\) cae por debajo del eje \(x\); es decir, el lado negativo del eje \(x\).

Si dibujamos una curva como: \(f(x)=x(x-5)\), obtenemos lo siguiente:

Integrales definidas integrales definidas áreas StudySmarterFig. 3: Área bajo la curva, debajo del eje de las \(x\) en \(y=0\). StudySmarter originales.

Como podemos ver aquí, el área delimitada por la curva cae por debajo del eje \(x\). El área delimitada por la curva y el eje x que cae por encima del eje \(x\) da un valor positivo para \(\int f(x) dx\), y el área delimitada por la curva y el eje \(x\) que cae por debajo del eje \(y\) da un valor negativo para \(\int f(x) dx\).

Ahora veamos qué pasa si queremos encontrar toda la magnitud del área encerrada entre una curva y el eje \(x\), cuando parte de ella cae por encima del eje \(x\), y parte cae por debajo del eje \(x\). En estos casos, tendríamos que encontrar las dos áreas individualmente y sumar sus magnitudes, sin tener en cuenta su signo.

Si tomamos una única integral definida sobre toda el área, el valor resultante sería el [(área encerrada por encima del eje \(x\)) - (área encerrada por debajo del eje \(x\))]).

Integrales definidas por partes

Cuando se tiene una integral que se debe resolver por partes y esta integral es definida como \(f(x)\)siguiente, que consiste en \(g(x)\) y \(h(x)\):

\[\int^b_a u \cdot dv = u \cdot v |^b_a - \int^b_a v \cdot du \]

\[u=g(x)\]

\[v=f(x)\]

En estos casos, se debe primero resolver la antiderivada; esto significa resolver la integral por partes. Después de esto, el resultado de esta integral se debe evaluar en los límites originales de la función:

\[\int^b_a u \cdot dv = u \cdot v |^b_a - \int^b_a v \cdot du = f(x)^b_a \]

Tabla con integrales definidas

Es usual encontrar tablas con integrales indefinidas; estas te dan la antiderivada, pero sin estar evaluada: bueno, te daremos una tabla de integrales definidas.

¡La tabla tiene las funciones más usuales que encontrarás, su solución y cómo debes evaluarlas!

FunciónIntegral definida
\(e^x\)\(\int^b_a e^x dx=e^b-e^a \)
\(ln(x)\)\(\int^b_a ln(x)dx=\left( b \cdot ln(b) -b \right)-\left(a \cdot ln(a)-a \right) \)
\(n^x\)\(\int^b_a n^x dx= n{b}-n{a} \)
\(Log_n(x)\)\(\int^b_a log_n(x)dx=\left( b \cdot log_n(b) -b \right)-\left(a \cdot log_n(a)-a \right) \)
\(\sin(x)\)\(\int^b_a \sin(x)dx=\cos(b)-\cos(a)\)
\(\cos(x)\)\(\int^b_a \cos(x)dx=-\left( \sin(b)-\sin(a) \right)\)
\(\tan(x)\)\(\int^b_a \tan(x)dx=ln|\cos(b)|-ln|\cos(a)|\)
\(x^n\)\(\int^b_a x^ndx \dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}\)
\(\dfrac{n}{x^m}\)\(\int^b_a \dfrac{n}{x^m}=n\dfrac{b^{1-m}-a^{1-m}}{1-m}\)

Tabla 2: Integrales definidas de las funciones más comunes.

Integrales definidas - Puntos clave

  • Para una función \(f(x)\) que es continua en el intervalo cerrado \([a,b]\), es posible calcular la integral entre los límites, \(a\) y \(b\).
  • Una integral calculada entre dos límites se llama integral definida. Se expresa como: \(\int^b_a f(x)dx\).
  • Una integral definida da como resultado un valor; a diferencia de una integral indefinida, que produce una función.
  • El valor de la integral definida nos da el área encerrada entre la curva y el eje \(x\) dentro del intervalo \([a, b]\) .
  • Si el área encerrada por la curva y el eje \(x\) cae por encima del eje \(x\), da un valor positivo para la integral, y si el área cae por debajo del eje \(x\), da un valor negativo para la integral.

Preguntas frecuentes sobre Integrales definidas

Para calcular una integral definida se deben insertar los valores de los límites en los valores de x.

  • El límite superior, primero, y luego calcular el valor numérico de la expresión con ese valor de x.
  • Después, se debe sustituir el límite inferior y calcular el valor de la expresión nuevamente.
  • Como punto final, se debe restar el segundo resultado (que corresponde al límite inferior) del primero (que corresponde al superior).

El resultado de una integral definida es un valor numérico, y corresponde al valor del área bajo la curva de la función que se está integrando.

Si la integral tiene valores numéricos en los extremos del símbolo de integral  ∫, es una integral definida. 


Por ejemplo, ∫a  indica que a es el límite superior de esa integral, mientras ∫b indica el límite inferior.

  • Primero, se debe encontrar la antiderivada, que significa resolver la integral mediante alguno de los métodos conocidos, ya sea por parte, sustitución, trigonométrica, etc.
  • Después, se deben sustituir los valores de los límites en la integral. 
  • Posteriormente, calcular el valor total, usando solo el valor superior a, y el valor total, usando solo el valor inferior b.
  • Para finalizar, se debe hacer la resta: f(b)-f(a).

Cuestionario final de Integrales definidas

Pregunta

¿Qué es una integral definida?


Mostrar respuesta

Answer

Cuando una función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], es posible calcular la integral entre estos límites.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el resultado de una integral definida?


Mostrar respuesta

Answer

Un valor.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el resultado de una integral indefinida?



Mostrar respuesta

Answer

Ambas respuestas con correctas.


Show question

Pregunta


Si \(f(x)\) es el resultado de una integral definida, entonces al evaluar la integral tenemos \(f(a)-f(b)\). ¿Verdadero o falso?



Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta


Toda integral lleva al final después de evaluarse una constante de integración. ¿Verdadero o falso?



Mostrar respuesta

Answer

Falso.

Show question

Pregunta

 ¿Por qué no se incluye la constante de integración para la integral definida?


Mostrar respuesta

Answer

Porque se elimina por sí misma.

Show question

Pregunta


Evalúa la integral definida de \(3x^2+2\) entre \(a=3\) y \(b=5\).



Mostrar respuesta

Answer

102.

Show question

Pregunta


Evalúa la integral definida de \(3x^5+2x^2\)entre \(a=0\) y \(b=2\).



Mostrar respuesta

Answer

\(\dfrac{112}{3}\).

Show question

Pregunta

Explica por ti mismo por qué la integral definida de \(Cos(x)\) y \(Sen(x)\) entre \(0\) y \(2\pi\) da \(0\).



Mostrar respuesta

Answer

La integral es el área bajo la curva. Pero, en estas dos funciones, en el intervalo entre \(0\) y \(2\pi\), el área sobre el eje \(x\) es igual al área bajo el eje \(x\). Por tanto, la suma de estas dos áreas es \(0\) (el área por debajo del eje \(x\) se considera negativa).

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Pregunta


¿Cuál es la integral definida de \(Sen(x)-Sen(x)\) de \(0\) a \(\dfrac{\pi}{2}\)?


Mostrar respuesta

Answer

\(0\).

Show question

Pregunta


Se tiene la integral de \(e^x\), ¿cuál es la integral definida con sus límites?


Mostrar respuesta

Answer

\((e^b)-(e^a)\).

Show question

Pregunta


¿Cuál límite se evalúa primero: \(a\) o \(b\) en \(\int^a_b\)?


Mostrar respuesta

Answer

\(a\).

Show question

Pregunta


 Evalúa la integral definida de \(ln(x)+2\) entre \(2\) y \(4\).


Mostrar respuesta

Answer

\(6,16\).

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Pregunta

¿Qué es la longitud del arco?

Mostrar respuesta

Answer

Es la longitud de una curva.

Show question

Pregunta

¿Cómo se calcula la longitud de un arco de una recta irregular?

Mostrar respuesta

Answer

\(s=\int^b_a \sqrt{1+(f’(x))^2}dx\).

Show question

Pregunta

Una curva irregular se puede dividir en _________ de _______ para poder calcular la longitud, esto como una suma de longitudes.

Mostrar respuesta

Answer

segmentos, rectas.

Show question

Pregunta

Calcula la longitud de la curva \(f(x)=\dfrac{x^2}{2}\) entre los puntos \([-2, 2]\).

Mostrar respuesta

Answer

\(15{,}645\).

Show question

Pregunta


¿Qué representa la integral de la función continua en el rango \([a, b]\)?

Mostrar respuesta

Answer

El área bajo la curva.

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Pregunta

¿Se tiene la función \(f(x)=3x^2+3\), ¿cuál es el área bajo la curva entre los puntos \([0, 6]\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(234\).

Show question

Pregunta

¿Se tiene la función \(f(x)=\cos(x)\), ¿cuál es el área bajo la curva entre los puntos \([-\pi,\pi]\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(0\).

Show question

Pregunta

Se tiene la función \(f(x)=\sin(x)\), ¿cuál es el área bajo la curva entre los puntos \([0,\pi]\)?

Mostrar respuesta

Answer

\(2\).

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre del siguiente tipo de integral: \(\int \int f(x,y)dxdy\)?

Mostrar respuesta

Answer

Integral doble.

Show question

Pregunta

¿Cuál es el nombre del siguiente tipo de integral: \(\int \int \int f(x,y,z)dxdydz\)?

Mostrar respuesta

Answer

Integral triple.

Show question

Pregunta

Se tiene una función continua en el intervalo \([a, b]\), esta tiene una solución analítica cuando se integra, si esta se rota alrededor del eje \(x\), ¿qué figura se obtiene en los límites mencionados?

Mostrar respuesta

Answer

Un sólido de revolución.

Show question

Pregunta

¿Cuál es la fórmula para calcular un sólido de revolución?

Mostrar respuesta

Answer

\(Vol=\pi \int^b_a f(x)^2 dx\).

Show question

Pregunta


Calcula el volumen del sólido de revolución cuya función es un coseno en el rango \([0, 2\pi]\).

Mostrar respuesta

Answer

\(\pi\).

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